Espacio vectorial topológico localmente convexo

Un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios vectoriales topológicos localmente convexos ( LCTVS ) o los espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos (TVS) que generalizan espacios normados . Pueden definirse como espacios vectoriales topológicos cuya topología se genera por traslaciones de conjuntos convexos absorbentes y balanceados . Alternativamente , pueden definirse como un espacio vectorial con una familia de seminormas , y una topología puede definirse en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normables , la existencia de una base local convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte para que se cumpla el teorema de Hahn-Banach , lo que produce una teoría suficientemente rica de funcionales lineales continuos .

Los espacios de Fréchet son espacios vectoriales topológicos localmente convexos que son completamente metrizables (con la posibilidad de elegir una métrica completa). Son generalizaciones de los espacios de Banach , que son espacios vectoriales completos con respecto a una métrica generada por una norma .

Historia

Las topologías metrizables en espacios vectoriales han sido estudiadas desde su introducción en la tesis doctoral de Maurice Fréchet de 1902 Sur quelques points du calcul fonctionnel (donde se introdujo por primera vez la noción de métrica ). Después de que Felix Hausdorff definiera la noción de espacio topológico general en 1914, ^[1] aunque algunos matemáticos utilizaban implícitamente topologías localmente convexas, hasta 1934 solo John von Neumann parece haber definido explícitamente la topología débil en espacios de Hilbert y la topología fuerte de operadores en espacios de Hilbert. ^{[2] [3]} Finalmente, en 1935 von Neumann introdujo la definición general de un espacio localmente convexo (al que él llamó espacio convexo ). ^{[4] [5]}

Un ejemplo notable de un resultado que tuvo que esperar hasta el desarrollo y la difusión de espacios localmente convexos generales (entre otras nociones y resultados, como las redes , la topología del producto y el teorema de Tichonoff ) para ser demostrado en su total generalidad, es el teorema de Banach-Alaoglu que Stefan Banach estableció por primera vez en 1932 mediante un argumento diagonal elemental para el caso de espacios normados separables ^[6] (en cuyo caso la bola unidad del dual es metrizable ).

Definición

Supongamos que es un espacio vectorial sobre un subcuerpo de números complejos (normalmente él mismo o ). Un espacio localmente convexo se define en términos de conjuntos convexos o, equivalentemente, en términos de seminormas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición mediante conjuntos convexos

Un espacio vectorial topológico (TVS) se denominalocalmente convexo si tiene unabase de vecindad(es decir, una base local) en el origen que consiste enconjuntos convexos.^[7]El términoEl espacio vectorial topológico localmente convexo a veces se abrevia comoespacio localmente convexo oTelevisores LCD .

Un subconjunto en se llama ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

1. Convexo si para todos y En otras palabras, contiene todos los segmentos de línea entre puntos en ${\displaystyle x,y\in C,}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle tx+(1-t)y\in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
2. En un círculo si para todos y escalares si entonces Si esto significa que es igual a su reflexión a través del origen. Porque significa que para cualquier contiene el círculo a través de centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|=1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x.}$
3. Equilibrado si para todos y escalares si entonces Si esto significa que si entonces contiene el segmento de línea entre y Para significa que para cualquier contiene el disco con en su límite, centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por De manera equivalente, un conjunto equilibrado es un "cono en un círculo" ^{[ cita requerida ]} . Nótese que en el TVS , pertenece a la bola centrada en el origen de radio , pero no pertenece; de ​​hecho, C no es un cono , pero está equilibrado. ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle |s|\leq 1}$ ${\displaystyle sx\in C.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x=(1,1)}$ ${\textstyle C=({}}$ ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {})}$ ${\textstyle 2x=(2,2)}$
4. Un cono (cuando el campo subyacente está ordenado ) si para todos y ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle t\geq 0,}$ ${\displaystyle tx\in C.}$
5. Absorbente o absorbente si para cada existe tal que para todo lo que satisface El conjunto se puede escalar mediante cualquier valor "grande" para absorber cada punto en el espacio. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in tC}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle |t|>r.}$ ${\displaystyle C}$
   • En cualquier TVS, cada vecindario del origen es absorbente. ^[7]
6. Absolutamente convexo o undisco si es equilibrado y convexo. Esto es equivalente a que esté cerrado bajo combinaciones lineales cuyos coeficientes suman absolutamente; un conjunto de este tipo es absorbente si abarca todos los ${\displaystyle \leq 1}$ ${\displaystyle X.}$

De hecho, cada TVS localmente convexo tiene una base de vecindad del origen que consiste enconjuntos absolutamente convexos (es decir, discos), donde esta base de vecindad puede además elegirse para que también consista enteramente de conjuntos abiertos o enteramente de conjuntos cerrados.^[8] Cada TVS tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos balanceados, pero solo un TVS localmente convexo tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos que son tanto balanceadoscomoconvexos. Es posible que un TVS tengaalgunasvecindades del origen que sean convexas y, sin embargo, no sean localmente convexos porque no tiene una base de vecindad en el origen que consista enteramente de conjuntos convexos (es decir, cada base de vecindad en el origen contiene algún conjunto no convexo); por ejemplo, cada TVS no localmente convexose tiene a sí mismo (es decir,) como una vecindad convexa del origen. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Como la traslación es continua (por definición del espacio vectorial topológico ), todas las traslaciones son homeomorfismos , por lo que cada base para los vecindarios del origen se puede traducir a una base para los vecindarios de cualquier vector dado.

Definición por seminormas

Una seminorma en es un mapa tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$es semidefinido no negativo o positivo: ; ${\displaystyle p(x)\geq 0}$
2. ${\displaystyle p}$es homogéneo positivo o escalable positivo: para cada escalar Entonces, en particular, ; ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle p(0)=0}$
3. ${\displaystyle p}$es subaditivo. Satisface la desigualdad triangular: ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y).}$

Si satisface la definitividad positiva, que establece que si entonces entonces es una norma . Si bien en general las seminormas no necesitan ser normas, existe un análogo de este criterio para las familias de seminormas, la separatividad, definida a continuación. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle p}$

Si es un espacio vectorial y es una familia de seminormas en entonces un subconjunto de se llama base de seminormas para si para todo existe un y un real tal que ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$

Definición (segunda versión): Un espacio localmente convexo se define como un espacio vectorial junto con una familia de seminomas en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Topología seminorma

Supongamos que es un espacio vectorial sobre donde son los números reales o complejos. Una familia de seminormas en el espacio vectorial induce una topología de espacio vectorial canónico en , llamada topología inicial inducida por las seminormas, lo que lo convierte en un espacio vectorial topológico (TVS). Por definición, es la topología más burda en para la cual todas las funciones en son continuas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Es posible que una topología localmente convexa en un espacio sea inducida por una familia de normas pero que no sea normable ( es decir, que su topología sea inducida por una única norma). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Bases y subbases

Un conjunto abierto en tiene la forma , donde es un número real positivo. La familia de preimágenes como rangos sobre una familia de seminormas y rangos sobre los números reales positivos es una subbase en el origen para la topología inducida por . Estos conjuntos son convexos, como se deduce de las propiedades 2 y 3 de las seminormas. Las intersecciones de un número finito de tales conjuntos son entonces también convexas, y dado que la colección de todas esas intersecciones finitas es una base en el origen, se deduce que la topología es localmente convexa en el sentido de la primera definición dada anteriormente. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle [0,r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{-1}\left([0,r)\right)=\{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Recordemos que la topología de un TVS es invariante en la traducción, es decir, si es cualquier subconjunto de que contenga el origen, entonces para cualquier es un entorno del origen si y sólo si es un entorno de ; por lo tanto, basta con definir la topología en el origen. Una base de entornos de para esta topología se obtiene de la siguiente manera: para cada subconjunto finito de y cada sea ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle U_{F,r}(y):=\{x\in X:p(x-y)<r\ {\text{ for all }}p\in F\}.}$$

Bases de seminomas y familias saturadas

Si es un espacio localmente convexo y si es una colección de seminormas continuas en , entonces se llama una base de seminormas continuas si es una base de seminormas para la colección de todas las seminormas continuas en . ^[9] Explícitamente, esto significa que para todas las seminormas continuas en , existe un y un real tal que ^[9] Si es una base de seminormas continuas para un TVS localmente convexo , entonces la familia de todos los conjuntos de la forma como varía con y varía con los números reales positivos, es una base de vecindades del origen en (no solo una subbase, por lo que no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de tales conjuntos). ^{[9] [prueba 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\leq rq.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<r\}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

Una familia de seminormas en un espacio vectorial se denomina saturada si para cualquier y en la seminorma definida por pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle x\mapsto \max\{p(x),q(x)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}.}$

Si es una familia saturada de seminormas continuas que induce la topología en entonces la colección de todos los conjuntos de la forma como rangos sobre y rangos sobre todos los números reales positivos, forma una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos abiertos convexos; ^[9] Esto forma una base en el origen en lugar de simplemente una subbase de modo que, en particular, no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de tales conjuntos. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r}$

Fundamento de las normas

El siguiente teorema implica que si es un espacio localmente convexo entonces la topología de puede ser definida por una familia de normas continuas en (una norma es una seminorma donde implica ) si y solo si existe al menos una norma continua en . ^[10] Esto se debe a que la suma de una norma y una seminorma es una norma, por lo que si un espacio localmente convexo está definido por alguna familia de seminormas (cada una de las cuales es necesariamente continua), entonces la familia de normas (también continuas) obtenida al agregar alguna norma continua dada a cada elemento, será necesariamente una familia de normas que define esta misma topología localmente convexa. Si existe una norma continua en un espacio vectorial topológico, entonces es necesariamente Hausdorff, pero la recíproca no es cierta en general (ni siquiera para espacios localmente convexos o espacios de Fréchet ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+n:=\{p+n:p\in {\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[11]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre el cuerpo Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$no admite una norma continua (es decir , cualquier seminorma continua no puede ser una norma). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Redes

Supóngase que la topología de un espacio localmente convexo es inducida por una familia de seminormas continuas en . Si y si es una red en , entonces en si y sólo si para todo ^[12] Además, si es Cauchy en , entonces también lo es para todo ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }-x\right)=\left(p\left(x_{i}\right)-x\right)_{i\in I}\to 0.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)=\left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$

Equivalencia de definiciones

Aunque la definición en términos de una base de vecindad ofrece una mejor imagen geométrica, la definición en términos de seminormas es más fácil de usar en la práctica. La equivalencia de las dos definiciones se desprende de una construcción conocida como funcional de Minkowski o calibre de Minkowski. La característica clave de las seminormas que garantiza la convexidad de sus bolas es la desigualdad triangular . ${\displaystyle \varepsilon }$

Para un conjunto absorbente tal que si entonces siempre que se defina el funcional de Minkowski de ser ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle tx\in C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{r>0:x\in rC\}.}$$

De esta definición se sigue que es una seminorma si es equilibrada y convexa (también es absorbente por supuesto). Por el contrario, dada una familia de seminormas, los conjuntos forman una base de conjuntos equilibrados absorbentes convexos. ${\displaystyle \mu _{C}}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \left\{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon _{1},\ldots ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon _{n}\right\}}$$

Formas de definir una topología localmente convexa

Teorema ^[7]  —  Supóngase que es un espacio vectorial (real o complejo) y sea una base de filtros de subconjuntos de tales que: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. Todo es convexo , equilibrado y absorbente ; ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$
2. Para cada uno existe algo realmente satisfactorio tal que ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<r\leq 1/2}$ ${\displaystyle rB\in {\mathcal {B}}.}$

Entonces, hay una base de vecindad en 0 para una topología TVS localmente convexa en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema ^[7]  —  Supóngase que es un espacio vectorial (real o complejo) y sea una colección no vacía de subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de Entonces el conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de intersecciones finitas de conjuntos en forma una base de vecindad en el origen para una topología TVS localmente convexa en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplo: espacios normados auxiliares

Si es convexo y absorbente en entonces el conjunto simétrico será convexo y equilibrado (también conocido como un conjunto absolutamente convexo o un disco ) además de ser absorbente en Esto garantiza que el funcional de Minkowski de será una seminorma en por lo que se convierte en un espacio seminormado que lleva su topología pseudometrizable canónica . El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen para esta topología localmente convexa. Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo es también un subconjunto acotado de entonces el disco absorbente también estará acotado, en cuyo caso será una norma y formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar . Si este espacio normado es un espacio de Banach entonces se llama disco de Banach . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle rD}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$ ${\displaystyle D}$

Otras definiciones

• Una familia de seminormas se llama total o separada o se dice que separa puntos si siempre que se cumple para cada entonces es necesariamente Un espacio localmente convexo es de Hausdorff si y solo si tiene una familia separada de seminormas. Muchos autores toman el criterio de Hausdorff en la definición. ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$
• Una pseudométrica es una generalización de una métrica que no satisface la condición de que solo cuando Un espacio localmente convexo es pseudometrizable, lo que significa que su topología surge de una pseudométrica, si y solo si tiene una familia contable de seminormas. De hecho, una pseudométrica que induce la misma topología está dada por (donde se puede reemplazar por cualquier secuencia sumable positiva ). Esta pseudométrica es invariante a la traducción, pero no homogénea, lo que significa y, por lo tanto, no define una (pseudo)norma. La pseudométrica es una métrica honesta si y solo si la familia de seminormas está separada, ya que este es el caso si y solo si el espacio es de Hausdorff. Si además el espacio es completo, el espacio se llama espacio de Fréchet . ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}$$ ${\displaystyle 1/2^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle d(kx,ky)\neq |k|d(x,y),}$
• Como ocurre con cualquier espacio vectorial topológico, un espacio localmente convexo es también un espacio uniforme . Por lo tanto, se puede hablar de continuidad uniforme , convergencia uniforme y sucesiones de Cauchy .
• Una red de Cauchy en un espacio localmente convexo es una red tal que para cada una de las seminormas existe algún índice tal que para todos los índices En otras palabras, la red debe ser de Cauchy en todas las seminormas simultáneamente. La definición de completitud se da aquí en términos de redes en lugar de las secuencias más familiares porque a diferencia de los espacios de Fréchet que son metrizables, los espacios generales pueden definirse por una familia incontable de pseudometrías . Las secuencias, que son contables por definición, no pueden ser suficientes para caracterizar la convergencia en tales espacios. Un espacio localmente convexo es completo si y solo si cada red de Cauchy converge. ${\displaystyle \left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{\alpha },}$ ${\displaystyle c\in A}$ ${\displaystyle a,b\geq c,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }\left(x_{a}-x_{b}\right)<r.}$
• Una familia de seminormas se convierte en un conjunto preordenado bajo la relación si y solo si existe un tal que para todo Se dice que es una familia dirigida de seminormas si la familia es un conjunto dirigido con adición como unión , en otras palabras, si para todo y existe un tal que Toda familia de seminormas tiene una familia dirigida equivalente, es decir, una que define la misma topología. De hecho, dada una familia sea el conjunto de subconjuntos finitos de y entonces para todo definir Se puede comprobar que es una familia dirigida equivalente. ${\displaystyle p_{\alpha }\leq p_{\beta }}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle p_{\alpha }(x)\leq Mp_{\beta }(x).}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p_{\alpha }+p_{\beta }\leq p_{\gamma }.}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in I},}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F\in \Phi }$ $${\displaystyle q_{F}=\sum _{\alpha \in F}p_{\alpha }.}$$ ${\displaystyle \left(q_{F}\right)_{F\in \Phi }}$
• Si la topología del espacio se induce a partir de una única seminorma, entonces el espacio es seminormable . Cualquier espacio localmente convexo con una familia finita de seminormas es seminormable. Además, si el espacio es de Hausdorff (la familia está separada), entonces el espacio es normable, con norma dada por la suma de las seminormas. En términos de los conjuntos abiertos, un espacio vectorial topológico localmente convexo es seminormable si y solo si el origen tiene un entorno acotado .

Condiciones suficientes

Finca de ampliación Hahn–Banach

Sea un TVS. Digamos que un subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en puede extenderse a un funcional lineal continuo en . ^[13] Digamos que tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para los TVS metrizables completos existe una recíproca:

Teorema ^[13]  (Kalton)  :  Todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.

Si un espacio vectorial tiene dimensión incontable y si lo dotamos de la topología vectorial más fina , entonces se trata de un TVS con el HBEP que no es ni localmente convexo ni metrizable. ^[13] ${\displaystyle X}$

Propiedades

En general, es una familia de seminomas continuas que generan la topología de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X.}$

Cierre topológico

Si y entonces si y sólo si para cada colección finita existe alguna tal que ^[14] La clausura de en es igual a ^[15] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(x-s)<r.}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$

Topología de espacios localmente convexos de Hausdorff

Todo espacio localmente convexo de Hausdorff es homeomorfo a un subespacio vectorial de un producto de espacios de Banach . ^[16] El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto de un número contable de copias de (este homeomorfismo no necesita ser una función lineal ). ^[17] ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades de los subconjuntos convexos

Propiedades algebraicas de los subconjuntos convexos

Un subconjunto es convexo si y solo si para todos ^[18] o equivalentemente, si y solo si para todos los números reales positivos ^[19] donde debido a que siempre se cumple, el signo igual se puede reemplazar con Si es un conjunto convexo que contiene el origen, entonces tiene forma de estrella en el origen y para todos los números reales no negativos. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle tC+(1-t)C\subseteq C}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle (s+t)C=sC+tC}$ ${\displaystyle s>0{\text{ and }}t>0,}$ ${\displaystyle (s+t)C\subseteq sC+tC}$ ${\displaystyle \,=\,}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s\geq 0{\text{ and }}t\geq 0,}$ ${\displaystyle (sC)\cap (tC)=(\min _{}\{s,t\})C.}$

La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos es convexa; además, el múltiplo escalar de un conjunto convexo es nuevamente convexo. ^[20]

Propiedades topológicas de los subconjuntos convexos

• Supongamos que es un TVS (no necesariamente localmente convexo o Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces los subconjuntos abiertos convexos de son exactamente aquellos que tienen la forma para algunos y algunos funcionales sublineales continuos positivos en ^[21] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z+\{y\in Y:p(y)<1\}=\{y\in Y:p(y-z)<1\}}$ ${\displaystyle z\in Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y.}$
• El interior y el cierre de un subconjunto convexo de un TVS es nuevamente convexo. ^[20]
• Si es un conjunto convexo con interior no vacío, entonces la clausura de es igual a la clausura del interior de ; además, el interior de es igual al interior de la clausura de ^{[20] [22]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C.}$
  • Entonces, si el interior de un conjunto convexo no está vacío, entonces es un conjunto cerrado (respectivamente, abierto) si y solo si es un conjunto regular cerrado (respectivamente, regular abierto). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Si es convexo y entonces ^[23] Explícitamente, esto significa que si es un subconjunto convexo de un TVS (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo), pertenece al cierre de y pertenece al interior de entonces el segmento de línea abierto que une y pertenece al interior de es decir, ^{[22] [24] [prueba 2]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C;}$ ${\displaystyle \{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.}$
• Si es un subespacio vectorial cerrado de un espacio localmente convexo (no necesariamente de Hausdorff) es un entorno convexo del origen en y si es un vector que no está en entonces existe un entorno convexo del origen en tal que y ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V=U\cap M}$ ${\displaystyle z\not \in U.}$
• El cierre de un subconjunto convexo de un espacio de Hausdorff localmente convexo es el mismo para todas las topologías TVS de Hausdorff localmente convexas que son compatibles con la dualidad entre y su espacio dual continuo. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• En un espacio localmente convexo, la envoltura convexa y la envoltura discoidal de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotadas. ^[7]
• En un espacio localmente convexo completo , la envoltura convexa y la envoltura discal de un conjunto compacto son ambas compactas. ^[7]
  • De manera más general, si es un subconjunto compacto de un espacio localmente convexo, entonces la envoltura convexa (respectivamente, la envoltura discal ) es compacta si y solo si es completa. ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$
• En un espacio localmente convexo, las envolturas convexas de conjuntos acotados están acotadas. Esto no es cierto para los sistemas de transmisión de valores transitorios en general. ^[26]
• En un espacio de Fréchet , la envoltura convexa cerrada de un conjunto compacto es compacta. ^[27]
• En un espacio localmente convexo, cualquier combinación lineal de conjuntos totalmente acotados está totalmente acotada. ^[26]

Propiedades de las envolturas convexas

Para cualquier subconjunto de un TVS, la envoltura convexa (respectivamente, envoltura convexa cerrada , envoltura equilibrada , envoltura convexa equilibrada ) denotada por (respectivamente, ), es el subconjunto convexo (respectivamente, convexo cerrado, equilibrado, convexo equilibrado) más pequeño de que contiene ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$

• La envoltura convexa de un subconjunto compacto de un espacio de Hilbert no es necesariamente cerrada y, por lo tanto, tampoco necesariamente compacta. Por ejemplo, sea el espacio de Hilbert separable de secuencias sumables al cuadrado con la norma usual y sea la base ortonormal estándar (que está en la coordenada ). El conjunto cerrado es compacto pero su envoltura convexa no es un conjunto cerrado porque pertenece a la clausura de en pero (ya que cada secuencia es una combinación convexa finita de elementos de y, por lo tanto, está necesariamente en todas las coordenadas excepto en un número finito, lo que no es cierto para ). ^[28] Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos de Hausdorff completos , la envoltura convexa cerrada de este subconjunto compacto es compacta. El subespacio vectorial es un espacio pre-Hilbert cuando está dotado de la subestructura que el espacio de Hilbert induce en él, pero no es completo y (ya que ). La envoltura convexa cerrada de en (aquí, "cerrada" significa con respecto a y no a como antes) es igual a que no es compacta (porque no es un subconjunto completo). Esto muestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no es completo, la envoltura convexa cerrada del subconjunto compacto podría no ser compacta (aunque será precompacta/totalmente acotada ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{1}}e_{n},{\tfrac {1}{2}}e_{2},{\tfrac {1}{3}}e_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
• En un espacio localmente convexo de Hausdorff, la envoltura convexa cerrada de un subconjunto compacto no es necesariamente compacta aunque sea un subconjunto precompacto (también llamado "totalmente acotado"), lo que significa que su clausura, cuando se toma en una completitud de será compacta (aquí de modo que si y solo si es completa); es decir, será compacta. Así, por ejemplo, la envoltura convexa cerrada de un subconjunto compacto de de un espacio pre-Hilbert es siempre un subconjunto precompacto de y, por lo tanto, la clausura de en cualquier espacio de Hilbert que contenga (como la completitud de Hausdorff de por ejemplo) será compacta (este es el caso en el ejemplo anterior). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}^{X}S=\operatorname {cl} _{X}\operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\subseteq {\widehat {X}},}$ ${\displaystyle X={\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}{\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle C:={\overline {\operatorname {co} }}^{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• En un TVS localmente convexo cuasi completo , el cierre de la envoltura convexa de un subconjunto compacto es nuevamente compacto.
• En un TVS localmente convexo de Hausdorff, la envoltura convexa de un conjunto precompacto es nuevamente precompacta. ^[29] En consecuencia, en un espacio localmente convexo de Hausdorff completo , la envoltura convexa cerrada de un subconjunto compacto es nuevamente compacta. ^[30]
• En cualquier TVS, la envoltura convexa de una unión finita de conjuntos convexos compactos es compacta (y convexa). ^[7]
  • Esto implica que en cualquier TVS de Hausdorff, la envoltura convexa de una unión finita de conjuntos convexos compactos es cerrada (además de ser compacta ^[31] y convexa); en particular, la envoltura convexa de dicha unión es igual a la envoltura convexa cerrada de esa unión.
  • En general, la envoltura convexa cerrada de un conjunto compacto no es necesariamente compacta. Sin embargo, cada subconjunto compacto de (donde ) sí tiene una envoltura convexa compacta. ^[31] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$
  • En cualquier TVS que no sea de Hausdorff, existen subconjuntos que son compactos (y por lo tanto completos) pero no cerrados.
• El teorema bipolar establece que el bipolar (es decir, el polar del polar) de un subconjunto de un TVS de Hausdorff localmente convexo es igual a la envoltura equilibrada convexa cerrada de ese conjunto. ^[32]
• La envoltura equilibrada de un conjunto convexo no es necesariamente convexa.
• Si y son subconjuntos convexos de un espacio vectorial topológico y si entonces existen y un número real que satisface tal que ^[20] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} (C\cup D),}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ ${\displaystyle x=rc+(1-r)d.}$
• Si es un subespacio vectorial de un TVS un subconjunto convexo de y un subconjunto convexo de tal que entonces ^[20] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cap M\subseteq C,}$ ${\displaystyle C=M\cap \operatorname {co} (C\cup D).}$
• Recordemos que el subconjunto equilibrado más pequeño de que contiene un conjunto se denomina envoltura equilibrada de y se denota por Para cualquier subconjunto de la envoltura equilibrada convexa de denotado por es el subconjunto más pequeño de que contiene que es convexo y equilibrado. ^[33] La envoltura equilibrada convexa de es igual a la envoltura convexa de la envoltura equilibrada de (es decir, ), pero la envoltura equilibrada convexa de no es necesariamente igual a la envoltura equilibrada de la envoltura convexa de (es decir, no es necesariamente igual a ). ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$
• Si son subconjuntos de un TVS y si es un escalar entonces ^[34] y Además, si es compacto entonces ^[35] Sin embargo, la envoltura convexa de un conjunto cerrado no necesita ser cerrada; ^[34] por ejemplo, el conjunto es cerrado en pero su envoltura convexa es el conjunto abierto ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A+B)=\operatorname {co} (A)+\operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (sA)=s\operatorname {co} A,}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (A\cup B)=\operatorname {co} (A)\cup \operatorname {co} (B),}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(sA)=s{\overline {\operatorname {co} }}(A).}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A+B)={\overline {\operatorname {co} }}(A)+{\overline {\operatorname {co} }}(B).}$ ${\displaystyle \left\{(x,\,\pm \tan x):|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\times \mathbb {R} .}$
• Si son subconjuntos de un TVS cuyas envolturas convexas cerradas son compactas, entonces ^[35] ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(A\cup B)={\overline {\operatorname {co} }}\left({\overline {\operatorname {co} }}(A)\cup {\overline {\operatorname {co} }}(B)\right).}$
• Si es un conjunto convexo en un espacio vectorial complejo y existe alguno tal que entonces para todos los reales tales que En particular, para todos los escalares tales que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z,iz,-z,-iz\in S,}$ ${\displaystyle rz+siz\in S}$ ${\displaystyle r,s}$ ${\displaystyle |r|+|s|\leq 1.}$ ${\displaystyle az\in S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}.}$
• Teorema de Carathéodory : Si es cualquier subconjunto de (donde ) entonces para cada existe un subconjunto finito que contiene como máximo puntos cuya envoltura convexa contiene (es decir, y ). ^[36] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} S,}$ ${\displaystyle F\subseteq S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |F|\leq n+1}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {co} F}$

Ejemplos y no ejemplos

Topología convexa local más fina y más gruesa

Topología vectorial más burda

Cualquier espacio vectorial dotado de la topología trivial (también llamada topología indiscreta ) es un TVS localmente convexo (y, por supuesto, es la topología más burda de este tipo). Esta topología es de Hausdorff si y solo La topología indiscreta convierte cualquier espacio vectorial en un TVS localmente convexo pseudometrizable completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

Por el contrario, la topología discreta forma una topología vectorial en si y sólo Esto se deduce del hecho de que cada espacio vectorial topológico es un espacio conexo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{0\}.}$

La mejor topología convexa local

Si es un espacio vectorial real o complejo y si es el conjunto de todas las seminormas en entonces la topología TVS localmente convexa, denotada por que induce en se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} },}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$topología localmente convexa más fina en^[37] Esta topología también puede describirse como la topología TVS en quetiene como base de vecindad en el origen el conjunto de todoslos discosabsorbentesen^[37] Cualquier topología TVS localmente convexa enes necesariamente un subconjunto deesHausdorff.^[15] Cada aplicación lineal deen otro TVS localmente convexo es necesariamente continua.^[15]En particular, cada funcional lineal enes continuo y cada subespacio vectorial dees cerrado en;^[15] por lo tanto, sies de dimensión infinita entoncesno es pseudometrizable (y por lo tanto no metrizable).^[37] Además,es laúnicatopología localmente convexa de Hausdorff encon la propiedad de que cualquier aplicación lineal de ella en cualquier espacio localmente convexo de Hausdorff es continua.^[38]El espacioes unespacio bornológico.^[39] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }.}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\operatorname {lc} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{\operatorname {lc} }\right)}$

Ejemplos de espacios localmente convexos

Todo espacio normado es un espacio localmente convexo de Hausdorff, y gran parte de la teoría de espacios localmente convexos generaliza partes de la teoría de espacios normados. La familia de seminormas puede considerarse como la norma única. Todo espacio de Banach es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo; en particular, los espacios con son localmente convexos. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

En términos más generales, todo espacio de Fréchet es localmente convexo. Un espacio de Fréchet puede definirse como un espacio localmente convexo completo con una familia numerable separada de seminormas.

El espacio de sucesiones de valores reales con la familia de seminormas dada por es localmente convexo. La familia numerable de seminormas es completa y separable, por lo que se trata de un espacio de Fréchet, que no es normable. Esta es también la topología límite de los espacios incluidos en de forma natural, completando sucesiones finitas con un número infinito de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ $${\displaystyle p_{i}\left(\left\{x_{n}\right\}_{n}\right)=\left|x_{i}\right|,\qquad i\in \mathbb {N} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle 0.}$

Dado cualquier espacio vectorial y una colección de funcionales lineales en él, se puede convertir en un espacio vectorial topológico localmente convexo dándole la topología más débil, haciendo que todos los funcionales lineales sean continuos. Esto se conoce como la topología débil o la topología inicial determinada por La colección puede ser el dual algebraico de o cualquier otra colección. La familia de seminormas en este caso está dada por para todos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{f}(x)=|f(x)|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.}$

Los espacios de funciones diferenciables dan otros ejemplos no normalizables. Consideremos el espacio de funciones suaves tales que donde y son multiíndices . La familia de seminormas definidas por está separada, es contable y el espacio es completo, por lo que este espacio metrizable es un espacio de Fréchet. Se lo conoce como el espacio de Schwartz o el espacio de funciones de decrecimiento rápido, y su espacio dual es el espacio de distribuciones templadas . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f\right|<\infty ,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{a,b}(f)=\sup _{x}\left|x^{a}D_{b}f(x)\right|}$

Un espacio de funciones importante en el análisis funcional es el espacio de funciones suaves con soporte compacto en Se necesita una construcción más detallada para la topología de este espacio porque el espacio no es completo en la norma uniforme. La topología en se define de la siguiente manera: para cualquier conjunto compacto fijo, el espacio de funciones con es un espacio de Fréchet con una familia numerable de seminormas (en realidad, estas son normas, y la completitud del espacio con la norma es un espacio de Banach ). Dada cualquier colección de conjuntos compactos, dirigida por inclusión y tal que su unión sea igual a la forma un sistema directo , y se define como el límite de este sistema. Tal límite de espacios de Fréchet se conoce como espacio LF . Más concretamente, es la unión de todos los con la topología localmente convexa más fuerte que hace que cada mapa de inclusión sea continuo. Este espacio es localmente convexo y completo. Sin embargo, no es metrizable, por lo que no es un espacio de Fréchet. El espacio dual de es el espacio de distribuciones en ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$ ${\displaystyle \|f\|_{m}=\sup _{k\leq m}\sup _{x}\left|D^{k}f(x)\right|}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle D^{m}(K)}$ ${\displaystyle \left(K_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle D(U)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)}$ ${\displaystyle C_{0}^{\infty }\left(K_{a}\right)\hookrightarrow D(U)}$ ${\displaystyle D\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

De manera más abstracta, dado un espacio topológico, el espacio de funciones continuas (no necesariamente acotadas) en puede recibir la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. Esta topología se define mediante seminormas (ya que varía sobre el conjunto dirigido de todos los subconjuntos compactos de ). Cuando es localmente compacto (por ejemplo, un conjunto abierto en ), se aplica el teorema de Stone-Weierstrass : en el caso de funciones de valores reales, cualquier subálgebra de que separe puntos y contenga las funciones constantes (por ejemplo, la subálgebra de polinomios) es densa . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi _{K}(f)=\max\{|f(x)|:x\in K\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C(X)}$

Ejemplos de espacios que carecen de convexidad local

Muchos espacios vectoriales topológicos son localmente convexos. Algunos ejemplos de espacios que carecen de convexidad local son los siguientes:

• Los espacios ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ para están dotados de la norma F. No son localmente convexos, ya que el único entorno convexo de cero es todo el espacio. De manera más general, los espacios con una medida finita y sin átomos no son localmente convexos. ${\displaystyle 0<p<1}$ $${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f(x)|^{p}\,dx.}$$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• El espacio de funciones mensurables en el intervalo unitario (donde identificamos dos funciones que son iguales casi en todas partes ) tiene una topología de espacio vectorial definida por la métrica invariante de la traslación (que induce la convergencia en la medida de las funciones mensurables; para las variables aleatorias , la convergencia en la medida es convergencia en la probabilidad ): Este espacio a menudo se denota ${\displaystyle [0,1]}$ $${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}\,dx.}$$ ${\displaystyle L_{0}.}$

Ambos ejemplos tienen la propiedad de que cualquier aplicación lineal continua de los números reales es En particular, su espacio dual es trivial, es decir, contiene sólo el funcional cero. ${\displaystyle 0.}$

• El espacio de secuencia no es localmente convexo. ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$

Mapeos continuos

Teorema ^[40]  —  Sea un operador lineal entre sistemas de sucesión temporal donde es localmente convexo (nótese que no necesita ser localmente convexo). Entonces es continuo si y solo si para cada seminorma continua en , existe una seminorma continua en tal que ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ T\leq p.}$

Dado que los espacios localmente convexos son espacios topológicos y también espacios vectoriales, las funciones naturales a considerar entre dos espacios localmente convexos son las aplicaciones lineales continuas . Utilizando las seminormas, se puede dar un criterio necesario y suficiente para la continuidad de una aplicación lineal que se asemeja mucho a la condición de acotación más familiar encontrada para los espacios de Banach.

Dados espacios localmente convexos y con familias de seminormas y respectivamente, una función lineal es continua si y sólo si para cada existen y tales que para todo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle \left(q_{\beta }\right)_{\beta }}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle v\in X,}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq M\left(p_{\alpha _{1}}(v)+\dotsb +p_{\alpha _{n}}(v)\right).}$$

En otras palabras, cada seminorma del rango de está acotada por encima por una suma finita de seminormas en el dominio . Si la familia es una familia dirigida, y siempre se puede elegir que sea dirigida como se explicó anteriormente, entonces la fórmula se vuelve aún más simple y más familiar: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \left(p_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ $${\displaystyle q_{\beta }(Tv)\leq Mp_{\alpha }(v).}$$

La clase de todos los espacios vectoriales topológicos localmente convexos forma una categoría con mapas lineales continuos como morfismos .

Funciones lineales

Teorema ^[40]  —  Si es un TVS (no necesariamente localmente convexo) y si es un funcional lineal en , entonces es continuo si y solo si existe una seminorma continua en tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p.}$

Si es un espacio vectorial real o complejo, es un funcional lineal en , y es una seminorma en , entonces si y solo si ^[41] Si es un funcional lineal no 0 en un espacio vectorial real y si es una seminorma en , entonces si y solo si ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f\leq p.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

Mapas multilineales

Sea un entero, sea TVSs (no necesariamente localmente convexo), sea un TVS localmente convexo cuya topología está determinada por una familia de seminormas continuas, y sea un operador multilineal que es lineal en cada una de sus coordenadas. Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle M:\prod _{i=1}^{n}X_{i}\to Y}$ ${\displaystyle n}$

1. ${\displaystyle M}$es continua
2. Para cada existen seminomas continuas en respectivamente, tales que para todo ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ ${\displaystyle q(M(x))\leq p_{1}\left(x_{1}\right)\cdots p_{n}\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \prod _{i=1}^{n}X_{i}.}$
3. Para cada uno existe algún vecindario del origen en el cual está limitado. ^[15] ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}},}$ ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle q\circ M}$

Véase también

• Espacio métrico convexo  : espacio métrico con la propiedad de que cualquier segmento que une dos puntos en ese espacio tiene otros puntos además de los puntos finales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teorema de Kerin-Milman  : cuándo un espacio es igual a la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos
• Forma lineal  : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares
• Red vectorial localmente convexa
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Seminorma  : función de valor real no negativo en un espacio vectorial real o complejo que satisface la desigualdad triangular y es absolutamente homogénea.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Funcional sublineal  : tipo de función en álgebra linealPages displaying short descriptions of redirect targets
• Grupo topológico  – Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad
• Espacio vectorial  – Estructura algebraica en álgebra lineal

Notas

1. Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
2. von Neumann, J. Obras completas . Vol. II. págs. 94-104
3. Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 1.
4. von Neumann, J. Obras completas . Vol. II. págs. 508–527
5. Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 2.
6. Banach, S. Teoría de las operaciones lineales p. 75. Cap. VIII. Sec. 3. Teorema 4., traducido de Theorie des operations lineaires (1932)
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67–113.
8. Narici y Beckenstein 2011, pág. 83.
9. Narici y Beckenstein 2011, pág. 122.
10. Jarchow 1981, pág. 130.
11. Jarchow 1981, págs. 129-130.
12. Narici y Beckenstein 2011, pág. 126.
13. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.
14. Narici y Beckenstein 2011, pág. 149.
15. Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115–154.
17. Bessaga y Pełczyński 1975, pag. 189
18. Rudin 1991, pág. 6.
19. Rudin 1991, pág. 38.
20. Trèves 2006, p. 126.
21. Narici y Beckenstein 2011, págs. 177–220.
22. Schaefer & Wolff 1999, pág. 38.
23. Jarchow 1981, págs. 101–104.
24. Conway 1990, pág. 102.
25. Trèves 2006, pág. 370.
26. Narici y Beckenstein 2011, págs. 155-176.
27. Rudin 1991, pág. 7.
28. Aliprantis y Frontera 2006, pag. 185.
29. Trèves 2006, pág. 67.
30. Trèves 2006, pág. 145.
31. Rudin 1991, págs. 72-73.
32. Trèves 2006, pág. 362.
33. Trèves 2006, pág. 68.
34. Narici y Beckenstein 2011, pág. 108.
35. Dunford 1988, pág. 415.
36. Rudin 1991, págs. 73–74.
37. Narici y Beckenstein 2011, págs. 125-126.
38. Narici y Beckenstein 2011, pág. 476.
39. Narici y Beckenstein 2011, pág. 446.
40. Narici y Beckenstein 2011, págs. 126-128.
41. Narici y Beckenstein 2011, págs. 126-–128.

1. Sea la bola unitaria abierta asociada con la seminorma y observe que si es real entonces y por lo tanto Por lo tanto, un entorno abierto básico del origen inducido por es una intersección finita de la forma donde y son todos reales positivos. Sea que es una seminorma continua y además, Elija y tal que donde esta desigualdad se cumple si y solo si Por lo tanto, como se desea. ${\displaystyle V_{p}=\{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rV_{p}=\{rx\in X:p(x)<1\}=\{z\in X:p(z)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}=V_{(1/r)p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{p}=V_{rp}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle p:=\max \left\{r_{1}p_{1},\ldots ,r_{n}p_{n}\right\},}$ ${\displaystyle V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}}.}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle p\leq rq,}$ ${\displaystyle V_{rq}\subseteq V_{p}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}V_{q}=V_{rq}\subseteq V_{p}=V_{r_{1}p_{1}}\cap \cdots \cap V_{r_{n}p_{n}},}$
2. Arreglar de modo que queda por demostrar que pertenece a Reemplazando con si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que y de modo que queda por demostrar que es un entorno del origen. Sea de modo que Dado que la multiplicación escalar por es un homeomorfismo lineal Dado que y se sigue que donde debido a que es abierto, existe algún que satisface Definir por que es un homeomorfismo porque El conjunto es, por tanto, un subconjunto abierto de que además contiene Si entonces dado que es convexo, y que prueba que Por tanto, es un subconjunto abierto de que contiene el origen y está contenido en QED ${\displaystyle 0<r<1}$ ${\displaystyle w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}C.}$ ${\displaystyle C,x,y}$ ${\displaystyle C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}}$ ${\displaystyle rx+(1-r)y=0,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0}$ ${\displaystyle y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.}$ ${\displaystyle s\neq 0}$ ${\displaystyle X\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle y\in \operatorname {cl} C,}$ ${\displaystyle x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle \operatorname {int} C}$ ${\displaystyle c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,}$ ${\displaystyle sc_{0}\in C.}$ ${\displaystyle h:X\to X}$ ${\displaystyle x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},}$ ${\displaystyle 0<r<1.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {int} C}$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<r<1,}$ ${\displaystyle sc_{0},c\in C,}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.}$ ${\displaystyle h\left(\operatorname {int} C\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$

Referencias

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