El espacio de Fréchet

Un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Fréchet , llamados así por Maurice Fréchet , son espacios vectoriales topológicos especiales . Son generalizaciones de los espacios de Banach ( espacios vectoriales normados que son completos con respecto a la métrica inducida por la norma ). Todos los espacios de Banach y de Hilbert son espacios de Fréchet. Los espacios de funciones infinitamente diferenciables son ejemplos típicos de espacios de Fréchet, muchos de los cuales normalmente no son espacios de Banach.

Un espacio de Fréchet se define como un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo (TVS) que es completo como un TVS , ^[1] lo que significa que cada secuencia de Cauchy en converge a algún punto en (ver nota al pie para más detalles). ^{[nota 1]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Nota importante : no todos los autores requieren que un espacio de Fréchet sea localmente convexo (como se explica a continuación).

La topología de cada espacio de Fréchet está inducida por alguna métrica completa invariante a la traslación . Por el contrario, si la topología de un espacio localmente convexo está inducida por una métrica completa invariante a la traslación, entonces es un espacio de Fréchet. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Fréchet fue el primero en utilizar el término " espacio de Banach " y Banach , a su vez, acuñó el término "espacio de Fréchet" para referirse a un espacio vectorial topológico metrizable completo , sin el requisito de convexidad local (un espacio de este tipo se suele llamar hoy en día " espacio F "). ^[1] El requisito de convexidad local fue añadido más tarde por Nicolas Bourbaki . ^[1] Es importante señalar que un número considerable de autores (por ejemplo, Schaefer) utilizan "espacio F" para referirse a un espacio de Fréchet (localmente convexo), mientras que otros no requieren que un "espacio de Fréchet" sea localmente convexo. Además, algunos autores incluso utilizan " espacio F " y "espacio de Fréchet" indistintamente. Al leer literatura matemática, se recomienda que el lector compruebe siempre si la definición del libro o artículo de " espacio F " y "espacio de Fréchet" requiere convexidad local. ^[1]

Definiciones

Los espacios de Fréchet se pueden definir de dos maneras equivalentes: la primera emplea una métrica invariante a la traducción , la segunda una familia contable de seminormas .

Definición de métrica invariante

Un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si satisface las siguientes tres propiedades: ${\displaystyle X}$

1. Es localmente convexo . ^{[nota 2]}
2. Su topología puede ser inducida por una métrica invariante a la traducción, es decir, una métrica tal que para todo Esto significa que un subconjunto de es abierto si y sólo si para todo existe un tal que es un subconjunto de ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \{v:d(v,u)<r\}}$ ${\displaystyle U.}$
3. Alguna (o equivalentemente, cada) métrica invariante de traducción para inducir la topología de es completa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • Suponiendo que se satisfacen las otras dos condiciones, esta condición es equivalente a ser un espacio vectorial topológico completo , lo que significa que es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica (esta uniformidad canónica es independiente de cualquier métrica en y se define enteramente en términos de la resta vectorial y los vecindarios de del origen; además, la uniformidad inducida por cualquier métrica invariante de traslación (que defina la topología) en es idéntica a esta uniformidad canónica). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Nótese que no existe una noción natural de distancia entre dos puntos de un espacio de Fréchet: muchas métricas diferentes invariantes a la traducción pueden inducir la misma topología.

Definición de familia contable de seminomas

La definición alternativa y algo más práctica es la siguiente: un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y sólo si satisface las siguientes tres propiedades: ${\displaystyle X}$

1. Es un espacio de Hausdorff .
2. Su topología puede ser inducida por una familia numerable de seminormas . Esto significa que un subconjunto es abierto si y solo si para cada existe y tal que es un subconjunto de . ${\displaystyle (\|\cdot \|_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \{v\in X:\|v-u\|_{k}<r{\text{ for all }}k\leq K\}}$ ${\displaystyle U}$
3. Es completo respecto a la familia de seminormas.

Una familia de seminormas en produce una topología de Hausdorff si y sólo si ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \bigcap _{\|\cdot \|\in {\mathcal {P}}}\{x\in X:\|x\|=0\}=\{0\}.}$$

Una secuencia en converge a en el espacio de Fréchet definido por una familia de seminormas si y sólo si converge a con respecto a cada una de las seminormas dadas. ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Como espacios palmeados de Baire

Teorema ^[3]  (de Wilde 1978)  :  Un espacio vectorial topológico es un espacio de Fréchet si y solo si es a la vez un espacio reticulado y un espacio de Baire . ${\displaystyle X}$

Comparación con los espacios de Banach

A diferencia de los espacios de Banach , la métrica invariante a la traducción completa no necesariamente surge de una norma. Sin embargo, la topología de un espacio de Fréchet surge tanto de una paranorma total como de una F -norma (la F significa Fréchet).

Aunque la estructura topológica de los espacios de Fréchet es más complicada que la de los espacios de Banach debido a la posible falta de una norma, muchos resultados importantes en el análisis funcional, como el teorema de aplicación abierta , el teorema de grafo cerrado y el teorema de Banach-Steinhaus , aún son válidos.

Construyendo espacios de Fréchet

Recordemos que una seminorma es una función de un espacio vectorial para los números reales que satisface tres propiedades. Para todos y cada uno de los escalares ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle c,}$ $${\displaystyle \|x\|\geq 0}$$ $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ $${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}$$

Si , entonces es de hecho una norma. Sin embargo, las seminormas son útiles porque nos permiten construir espacios de Fréchet, como sigue: ${\displaystyle \|x\|=0\iff x=0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Para construir un espacio de Fréchet, normalmente se comienza con un espacio vectorial y se define una familia contable de seminomas con las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$ ${\displaystyle X}$

• si y para todos entonces ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|_{k}=0}$ ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle x=0}$
• si es una secuencia en la que es Cauchy con respecto a cada seminorma entonces existe tal que converge a con respecto a cada seminorma ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k},}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}$

Entonces la topología inducida por estas seminormas (como se explicó anteriormente) se convierte en un espacio de Fréchet; la primera propiedad asegura que es Hausdorff, y la segunda propiedad asegura que es completo. Una métrica completa invariante a la traducción que induce la misma topología en puede entonces definirse por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\qquad x,y\in X.}$$

La función se asigna monótonamente a y, por lo tanto, la definición anterior garantiza que es "pequeño" si y solo si existe "grande" tal que es "pequeño" para ${\displaystyle u\mapsto {\frac {u}{1+u}}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle d(x,y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{k}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,K.}$

Ejemplos

Del análisis funcional puro

• Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, ya que la norma induce una métrica invariante a la traducción y el espacio es completo con respecto a esta métrica.
• El espacio de todas las secuencias de valores reales ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ (también denominado ) se convierte en un espacio de Fréchet si definimos la seminorma -ésima de una secuencia como el valor absoluto del elemento -ésimo de la secuencia. La convergencia en este espacio de Fréchet es equivalente a la convergencia elemento por elemento. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

De colectores lisos

• El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas para cada entero no negativo Aquí, denota la derivada -ésima de y En este espacio de Fréchet, una secuencia de funciones converge hacia el elemento si y solo si para cada entero no negativo la secuencia converge uniformemente . ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}}$$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{(0)}=f.}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$
• El espacio vectorial de todas las funciones infinitamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas para todos los números enteros. Entonces, una secuencia de funciones converge si y solo si para cada las secuencias convergen de forma compacta . ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$ ${\displaystyle k,n\geq 0.}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)\to f}$ ${\displaystyle k,n\geq 0,}$ ${\displaystyle \left(f_{n}^{(k)}\right)\to f^{(k)}}$
• El espacio vectorial de todas las funciones continuamente diferenciables se convierte en un espacio de Fréchet con las seminormas para todos los números enteros y ${\displaystyle C^{m}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}}$$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,m.}$
• Si es una variedad compacta y es un espacio de Banach , entonces el conjunto de todas las funciones infinitamente a menudo diferenciables se puede convertir en un espacio de Fréchet utilizando como seminormas las supremas de las normas de todas las derivadas parciales. Si es una variedad (no necesariamente compacta) que admite una sucesión numerable de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de está contenido en al menos uno entonces los espacios y son también espacios de Fréchet de manera natural. Como caso especial, cada variedad completa de dimensión finita suave se puede convertir en una unión anidada de subconjuntos compactos: equiparla con una métrica de Riemann que induzca una métrica choose y sea Sea una variedad compacta y un fibrado vectorial sobre Sea el espacio de secciones suaves de sobre Choose métricas y conexiones de Riemann , que se garantiza que existen, en los fibrados y Si es una sección, denote su derivada covariante j ^-ésima por Entonces (donde es la norma inducida por la métrica de Riemann ) es una familia de seminormas que forman un espacio de Fréchet. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ ${\displaystyle f:M\to B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K^{n},}$ ${\displaystyle C^{m}(M,B)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,B)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d(x,y),}$ ${\displaystyle x\in M,}$ $${\displaystyle K_{n}=\{y\in M:d(x,y)\leq n\}\ .}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle D^{j}s.}$ $${\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|_{g}}$$ ${\displaystyle |\,\cdot \,|_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,V)}$

De la holomorficidad

• Sea el espacio de funciones completas ( holomorfas en todas partes ) en el plano complejo. Entonces la familia de seminormas se convierte en un espacio de Fréchet. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \left|f\right|_{n}=\sup\{\left|f(z)\right|:|z|\leq n\}}$$ ${\displaystyle H}$
• Sea el espacio de funciones enteras (holomórficas en todas partes) de tipo exponencial . Entonces la familia de seminormas se convierte en un espacio de Fréchet. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau .}$ $${\displaystyle \left|f\right|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]\left|f(z)\right|}$$ ${\displaystyle H}$

No todos los espacios vectoriales con métricas completamente invariantes en la traslación son espacios de Fréchet. Un ejemplo es el espacio ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ con Aunque este espacio no es localmente convexo, es un F-espacio . ${\displaystyle p<1.}$

Propiedades y nociones adicionales

Si un espacio de Fréchet admite una norma continua entonces todas las seminormas utilizadas para definirlo pueden ser reemplazadas por normas añadiendo esta norma continua a cada una de ellas. Un espacio de Banach, con compactos, y todos admiten normas, mientras que y no. ${\displaystyle C^{\infty }([a,b]),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$

Un subespacio cerrado de un espacio de Fréchet es un espacio de Fréchet. Un cociente de un espacio de Fréchet por un subespacio cerrado es un espacio de Fréchet. La suma directa de un número finito de espacios de Fréchet es un espacio de Fréchet.

Un producto de un número numerable de espacios de Fréchet es siempre, a su vez, un espacio de Fréchet. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios de Fréchet será un espacio de Fréchet si y solo si todos, excepto un número numerable de ellos como máximo, son triviales (es decir, tienen dimensión 0). En consecuencia, un producto de un número incontable de espacios de Fréchet no triviales no puede ser un espacio de Fréchet (de hecho, un producto de este tipo ni siquiera es metrizable porque su origen no puede tener una base de vecindad numerable). Así, por ejemplo, si es un conjunto cualquiera y es un espacio de Fréchet no trivial (como por ejemplo), entonces el producto es un espacio de Fréchet si y solo si es un conjunto numerable. ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{I}=\prod _{i\in I}X}$ ${\displaystyle I}$

Varias herramientas importantes del análisis funcional que se basan en el teorema de categorías de Baire siguen siendo válidas en los espacios de Fréchet; algunos ejemplos son el teorema de grafo cerrado y el teorema de aplicación abierta . El teorema de aplicación abierta implica que si hay topologías en que hacen que tanto y como sean TVS completamente metrizables (como los espacios de Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si ). ^[4] ${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$

Todo operador lineal acotado de un espacio de Fréchet a otro espacio vectorial topológico (TVS) es continuo. ^[5]

Existe un espacio de Fréchet que tiene un subconjunto acotado y también un subespacio vectorial denso tal que no está contenido en la clausura (en ) de ningún subconjunto acotado de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

Todos los espacios de Fréchet son espacios estereotípicos . En la teoría de los espacios estereotípicos, los espacios de Fréchet son objetos duales de los espacios de Brauner . Todos los espacios de Montel metrizables son separables . ^[7] Un espacio de Fréchet separable es un espacio de Montel si y solo si cada secuencia convergente débil* en su dual continuo converge es fuertemente convergente . ^[7]

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y más generalmente, de cualquier espacio localmente convexo metrizable ^[8] ) es un DF-espacio . ^[9] El dual fuerte de un DF-espacio es un espacio de Fréchet. ^[10] El dual fuerte de un espacio de Fréchet reflexivo es un espacio bornológico ^[8] y un espacio de Ptak . Todo espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte del espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet. ^[11] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Normas y normabilidad

Si es un espacio localmente convexo entonces la topología de puede ser definida por una familia de normas continuas en (una norma es una seminorma positiva-definida ) si y solo si existe al menos una norma continua en ^[12] Incluso si un espacio de Fréchet tiene una topología que está definida por una familia (contable) de normas (todas las normas son también seminormas), entonces puede no obstante no ser un espacio normable (lo que significa que su topología no puede definirse por ninguna norma individual). El espacio de todas las sucesiones (con la topología de producto) es un espacio de Fréchet. No existe ninguna topología localmente convexa de Hausdorff en que sea estrictamente más burda que esta topología de producto. ^[13] El espacio no es normable , lo que significa que su topología no puede definirse por ninguna norma . ^[13] Además, no existe ninguna norma continua en De hecho, como lo muestra el siguiente teorema, siempre que sea un espacio de Fréchet en el que no exista ninguna norma continua, esto se debe enteramente a la presencia de como subespacio. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Teorema ^[13]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre el cuerpo Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$no admite una norma continua (es decir , cualquier seminorma continua no puede ser una norma). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Si es un espacio de Fréchet no normalizable en el que existe una norma continua, entonces contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio localmente convexo metrizable es normable si y solo si su espacio dual fuerte es un espacio localmente convexo de Fréchet–Urysohn . ^[9] En particular, si un espacio metrizable localmente convexo (como un espacio de Fréchet) no es normable (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces su espacio dual fuerte no es un espacio de Fréchet–Urysohn y, en consecuencia, este espacio localmente convexo de Hausdorff completo tampoco es metrizable ni normable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet (y, más generalmente, de espacios bornológicos como los SVT metrizables) es siempre un SVT completo y, por lo tanto, como cualquier SVT completo, es normable si y solo si su topología puede ser inducida por una norma completa (es decir, si y solo si puede convertirse en un espacio de Banach que tenga la misma topología). Si es un espacio de Fréchet, entonces es normable si (y solo si) existe una norma completa en su espacio dual continuo tal que la topología inducida por la norma en él es más fina que la topología débil-*. ^[15] En consecuencia, si un espacio de Fréchet no es normable (lo que solo puede suceder si es de dimensión infinita), entonces tampoco lo es su espacio dual fuerte. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X'}$

Teorema de Anderson-Kadec

Teorema de Anderson-Kadec  :  Todo espacio de Fréchet real separable y de dimensión infinita es homeomorfo alproducto cartesiano de un número contable de copias de la línea real. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Nótese que el homeomorfismo descrito en el teorema de Anderson-Kadec no es necesariamente lineal.

Teorema de Eidelheit  :  Un espacio de Fréchet es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Diferenciación de funciones

Si y son espacios de Fréchet, entonces el espacio que consiste en todas las funciones lineales continuas de a no es un espacio de Fréchet de ninguna manera natural. Esta es una diferencia importante entre la teoría de los espacios de Banach y la de los espacios de Fréchet y requiere una definición diferente para la diferenciabilidad continua de funciones definidas en espacios de Fréchet, la derivada de Gateaux : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Supongamos que un subconjunto abierto de un espacio de Fréchet es una función valorada en un espacio de Fréchet y La función es diferenciable en en la dirección si existe el límite . Se dice que la función es continuamente diferenciable en si la función es continua. Dado que el producto de los espacios de Fréchet es nuevamente un espacio de Fréchet, podemos intentar diferenciar y definir las derivadas superiores de de esta manera. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P:U\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle h\in X.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle D(P):U\times X\to Y}$$ ${\displaystyle D(P)}$ ${\displaystyle P}$

El operador de derivada definido por es en sí mismo infinitamente diferenciable. La primera derivada está dada por para dos elementos cualesquiera. Esta es una ventaja importante del espacio de Fréchet sobre el espacio de Banach para finitos. ${\displaystyle P:C^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle P(f)=f'}$ $${\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}$$ ${\displaystyle f,h\in C^{\infty }([0,1]).}$ ${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle C^{k}([0,1])}$ ${\displaystyle k.}$

Si es una función continuamente diferenciable, entonces la ecuación diferencial no necesita tener soluciones, e incluso si las tiene, las soluciones no necesitan ser únicas. Esto contrasta marcadamente con la situación en los espacios de Banach. ${\displaystyle P:U\to Y}$ $${\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}$$

En general, el teorema de la función inversa no es verdadero en los espacios de Fréchet, aunque un sustituto parcial es el teorema de Nash-Moser .

Variedades de Fréchet y grupos de Lie

Se pueden definir las variedades de Fréchet como espacios que "localmente se parecen" a los espacios de Fréchet (así como las variedades ordinarias se definen como espacios que localmente se parecen al espacio euclidiano ), y luego se puede extender el concepto de grupo de Lie a estas variedades. Esto es útil porque para una variedad compacta (ordinaria) dada, el conjunto de todos los difeomorfismos forma un grupo de Lie generalizado en este sentido, y este grupo de Lie captura las simetrías de Algunas de las relaciones entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie siguen siendo válidas en este contexto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle f:M\to M}$ ${\displaystyle M.}$

Otro ejemplo importante de un grupo de Lie de Fréchet es el grupo de bucles de un grupo de Lie compacto, las aplicaciones suaves ( ) multiplicadas puntualmente por ^{[16] [17]} ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma :S^{1}\to G,}$ ${\displaystyle \left(\gamma _{1}\gamma _{2}\right)(t)=\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t)..}$

Generalizaciones

Si eliminamos el requisito de que el espacio sea localmente convexo, obtenemos F-espacios : espacios vectoriales con métricas completamente invariantes a la traslación.

Los espacios LF son límites inductivos contables de espacios de Fréchet.

Véase también

• Espacio de Banach  : espacio vectorial normado que es completo
• Espacio de Brauner  : espacio localmente convexo, compacto y completo, generado con una secuencia de conjuntos compactos Kₙ tales que cualquier conjunto compacto está contenido en algún KₙPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica completamente invariante a la traslación
• Red de Fréchet  – Red vectorial topológica
• Espacio graduado de Fréchet  – Generalización del teorema de la función inversaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
• Sobreyección de espacios de Fréchet  – Caracterización de la sobreyección
• Espacio de Tame Fréchet  – Generalización del teorema de la función inversaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Notas

1. Aquí "Cauchy" significa Cauchy con respecto a la uniformidad canónica que posee toda sucesión de variables televisivas . Es decir, una sucesión en una sucesión de variables televisivas es Cauchy si y solo si para todos los vecindarios del origen en cualquier momento y son suficientemente grandes. Nótese que esta definición de una sucesión de Cauchy no depende de ninguna métrica en particular y ni siquiera requiere que sea metrizable. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{m}-x_{n}\in U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$
2. Algunos autores no incluyen la convexidad local como parte de la definición de un espacio de Fréchet.

Citas

1. Narici y Beckenstein 2011, pág. 93.
2. Conway 1990, Capítulo 4.
3. Narici y Beckenstein 2011, pág. 472.
4. Trèves 2006, págs. 166-173.
5. Trèves 2006, pág. 142.
6. Wilansky 2013, pág. 57.
7. Schaefer & Wolff 1999, págs. 194-195.
8. Schaefer & Wolff 1999, pág. 154.
9. Gabriyelyan, SS "Sobre espacios topológicos y grupos topológicos con ciertas redes contables locales (2014)
10. Schaefer y Wolff 1999, pág. 196.
11. Schaefer y Wolff 1999, págs. 154-155.
12. Jarchow 1981, pág. 130.
13. Jarchow 1981, págs. 129-130.
14. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
15. "El dual de un espacio de Fréchet". 24 de febrero de 2012. Consultado el 26 de abril de 2021 .
16. Sergeev 2010
17. Pressley y Segal 1986

Referencias

• "Espacio de Fréchet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN. 978-0-387-90081-0.OCLC 878109401  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Pressley, Andrew; Segal, Graeme (1986). Grupos de bucles. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. Nueva York: Oxford University Press . ISBN 0-19-853535-X.Sr. 0900587  .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Sergeev, Armen (2010). Geometría de Kähler de espacios de bucles. Memorias de la Sociedad Matemática de Japón. Vol. 23. World Scientific Publishing . doi :10.1142/e023. ISBN. 978-4-931469-60-0.
• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 639. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-08662-8.OCLC 297140003  .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4.OCLC 24909067  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .