Los primeros estudios de los triángulos se remontan al segundo milenio antes de Cristo , en las matemáticas egipcias ( papiro matemático de Rhind ) y en las matemáticas babilónicas . La trigonometría también prevalecía en las matemáticas kushitas . [1] El estudio sistemático de las funciones trigonométricas se inició en las matemáticas helenísticas , llegando a la India como parte de la astronomía helenística . [2] En la astronomía india , el estudio de las funciones trigonométricas floreció en el período Gupta , especialmente debido a Aryabhata (siglo VI d.C.), quien descubrió la función seno, la función coseno y la función verseno. Durante la Edad Media , el estudio de la trigonometría continuó en las matemáticas islámicas , de la mano de matemáticos como Al-Khwarizmi y Abu al-Wafa . Se convirtió en una disciplina independiente en el mundo islámico , donde se conocían las seis funciones trigonométricas . Las traducciones de textos árabes y griegos llevaron a que la trigonometría fuera adoptada como materia en el Occidente latino a partir del Renacimiento con Regiomontano . El desarrollo de la trigonometría moderna cambió durante el Siglo de las Luces occidental , comenzando con las matemáticas del siglo XVII ( Isaac Newton y James Stirling ) y alcanzando su forma moderna con Leonhard Euler (1748).
El término "trigonometría" se deriva del griego τρίγωνον trigōnon , "triángulo" y μέτρον metron , "medida". [3]
Las palabras modernas "seno" y "coseno" se derivan de la palabra latina sinus mediante una mala traducción del árabe (ver Seno y coseno#Etimología ). En particular, el sinus rectus arcus de Fibonacci resultó influyente en el establecimiento del término. [4]
La palabra tangente proviene del latín tangens que significa "tocar", ya que la línea toca el círculo de radio unitario, mientras que secante proviene del latín secans "cortar", ya que la línea corta el círculo. [5]
El prefijo " co -" (en "coseno", "cotangente", "cosecante") se encuentra en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter , que define el coseno como una abreviatura del seno complementario (seno del ángulo complementario) . ) y procede a definir los cotangentes de manera similar. [6] [7]
Las palabras "minuto" y "segundo" se derivan de las frases latinas partes minutae primae y partes minutae secundae . [8] Estos se traducen aproximadamente como "primeras partes pequeñas" y "segunda partes pequeñas".
Los antiguos egipcios y babilonios conocían desde hacía muchos siglos teoremas sobre las proporciones de los lados de triángulos semejantes. Sin embargo, como las sociedades prehelénicas carecían del concepto de medida de ángulos, se limitaron a estudiar los lados de los triángulos. [9]
Los astrónomos babilónicos mantenían registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste . [10] Basándose en una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes, pero que no funciona en este contexto porque no utiliza círculos y ángulos en la situación moderna. Las notaciones trigonométricas no se aplicarán. [11] Existe, sin embargo, mucho debate sobre si se trata de una tabla de ternas pitagóricas , una solución de ecuaciones cuadráticas o una tabla trigonométrica .
Los egipcios, por otro lado, utilizaron una forma primitiva de trigonometría para construir pirámides en el segundo milenio antes de Cristo. [10] El Papiro Matemático de Rhind , escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría: [10]
"Si una pirámide tiene 250 codos de alto y el lado de su base 360 codos de largo, ¿cuál es su búsqueda ?"
La solución de Ahmes al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la relación entre carrera y elevación de su cara. En otras palabras, la cantidad que encontró para el seked es la cotangente del ángulo formado por la base de la pirámide y su cara. [10]
Los matemáticos griegos y helenísticos antiguos hicieron uso de la cuerda . Dado un círculo y un arco sobre el círculo, la cuerda es la línea que subtiende el arco. La bisectriz perpendicular de una cuerda pasa por el centro del círculo y biseca el ángulo. La mitad de la cuerda bisecada es el seno de la mitad del ángulo bisecado, es decir, [12]
y en consecuencia la función seno también se conoce como semicorda . Debido a esta relación, los matemáticos helenísticos también conocían una serie de identidades y teoremas trigonométricos que se conocen hoy en día , pero en su forma de cuerda equivalente. [13] [14]
Aunque no existe trigonometría en las obras de Euclides y Arquímedes , en el sentido estricto de la palabra, existen teoremas presentados de forma geométrica (en lugar de trigonométrica) que son equivalentes a leyes o fórmulas trigonométricas específicas. [9] Por ejemplo, las proposiciones doce y trece del libro dos de los Elementos son las leyes de los cosenos para los ángulos obtusos y agudos, respectivamente. Los teoremas sobre las longitudes de las cuerdas son aplicaciones de la ley de los senos . Y el teorema de Arquímedes sobre las cuerdas rotas equivale a fórmulas para senos de sumas y diferencias de ángulos. [9] Para compensar la falta de una tabla de acordes , los matemáticos de la época de Aristarco a veces usaban la afirmación de que, en la notación moderna, sin α /sin β < α / β < tan α /tan β siempre que 0° < β < α < 90°, ahora conocida como desigualdad de Aristarco . [15]
La primera tabla trigonométrica aparentemente fue compilada por Hiparco de Nicea (180 – 125 a. C.), a quien ahora se le conoce como "el padre de la trigonometría". [16] Hiparco fue el primero en tabular los valores correspondientes de arco y cuerda para una serie de ángulos. [4] [16]
Aunque no se sabe cuándo llegó el uso sistemático del círculo de 360° a las matemáticas, se sabe que la introducción sistemática del círculo de 360° se produjo poco después de que Aristarco de Samos compusiera Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna (ca. . 260 aC), ya que midió un ángulo en términos de una fracción de cuadrante. [15] Parece que el uso sistemático del círculo de 360° se debe en gran medida a Hiparco y su tabla de acordes . Es posible que Hiparco haya tomado la idea de esta división de Hipsicles , quien anteriormente había dividido el día en 360 partes, una división del día que pudo haber sido sugerida por la astronomía babilónica. [17] En la astronomía antigua, el zodíaco se había dividido en doce "signos" o treinta y seis "decanatos". Un ciclo estacional de aproximadamente 360 días podría haber correspondido a los signos y decanatos del zodíaco dividiendo cada signo en treinta partes y cada decanato en diez partes. [8] Es debido al sistema de numeración sexagesimal babilónico que cada grado se divide en sesenta minutos y cada minuto se divide en sesenta segundos. [8]
Menelao de Alejandría (ca. 100 d.C.) escribió en tres libros su Sphaerica . En el Libro I, estableció una base para los triángulos esféricos análoga a la base euclidiana para los triángulos planos. [14] Estableció un teorema que no tiene análogo euclidiano, que dos triángulos esféricos son congruentes si los ángulos correspondientes son iguales, pero no distinguió entre triángulos esféricos congruentes y simétricos. [14] Otro teorema que establece es que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180°. [14] El Libro II de Sphaerica aplica la geometría esférica a la astronomía. Y el Libro III contiene el "teorema de Menelao". [14] Además, dio su famosa "regla de las seis cantidades". [18]
Más tarde, Claudio Ptolomeo (ca. 90 – ca. 168 d. C.) amplió los acordes en círculo de Hiparco en su Almagesto , o la sintaxis matemática . El Almagesto es principalmente una obra de astronomía, y la astronomía se basa en la trigonometría. La tabla de cuerdas de Ptolomeo da las longitudes de las cuerdas de un círculo de diámetro 120 en función del número de grados n en el arco correspondiente del círculo, para n que van de 1/2 a 180 en incrementos de 1/2. [19] Los trece libros del Almagesto son la obra trigonométrica más influyente y significativa de toda la antigüedad. [20] Un teorema que fue central para el cálculo de cuerdas de Ptolomeo fue lo que todavía se conoce hoy como teorema de Ptolomeo , de que la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales. Un caso especial del teorema de Ptolomeo apareció como la proposición 93 en los Datos de Euclides . El teorema de Ptolomeo conduce al equivalente de las cuatro fórmulas de suma y diferencia para seno y coseno que hoy se conocen como fórmulas de Ptolomeo, aunque el propio Ptolomeo usó cuerdas en lugar de seno y coseno. [20] Ptolomeo derivó además el equivalente de la fórmula del medio ángulo.
Ptolomeo utilizó estos resultados para crear sus tablas trigonométricas, pero no se puede determinar si estas tablas se derivaron del trabajo de Hiparco. [20]
Ni las tablas de Hiparco ni las de Ptolomeo han sobrevivido hasta nuestros días, aunque las descripciones de otros autores antiguos dejan pocas dudas de que alguna vez existieron. [21]
Algunos de los primeros y más significativos avances de la trigonometría se produjeron en la India . Obras influyentes de los siglos IV y V d.C., conocidas como Siddhantas (de las cuales había cinco, la más importante de las cuales es Surya Siddhanta [22] ) definieron por primera vez el seno como la relación moderna entre medio ángulo y media cuerda. , al tiempo que define el coseno, el verseno y el seno inverso . [23] Poco después, otro matemático y astrónomo indio , Aryabhata (476-550 d.C.), recopiló y amplió los desarrollos de los Siddhantas en una importante obra llamada Aryabhatiya . [24] Los Siddhantas y los Aryabhatiya contienen las tablas más antiguas que se conservan de valores de seno y valores de verseno (1 - coseno), en intervalos de 3,75° de 0° a 90°, con una precisión de 4 decimales. [25] Usaron las palabras jya para seno, kojya para coseno, utkrama-jya para versino y otkram jya para seno inverso. Las palabras jya y kojya finalmente se convirtieron en seno y coseno respectivamente después de una mala traducción descrita anteriormente.
En el siglo VII, Bhaskara I elaboró una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin utilizar una tabla. También dio la siguiente fórmula de aproximación para sin( x ), que tenía un error relativo de menos del 1,9%:
Más tarde, en el siglo VII, Brahmagupta volvió a desarrollar la fórmula
(también derivado anteriormente, como se mencionó anteriormente) y la fórmula de interpolación de Brahmagupta para calcular valores sinusoidales. [11]
Otro autor indio posterior sobre trigonometría fue Bhaskara II en el siglo XII. Bhaskara II desarrolló la trigonometría esférica y descubrió muchos resultados trigonométricos.
Bhaskara II fue uno de los primeros en descubrir resultados trigonométricos como:
Madhava (c. 1400) hizo primeros avances en el análisis de funciones trigonométricas y sus expansiones en series infinitas . Desarrolló los conceptos de series de potencias y series de Taylor , y produjo las expansiones de series de potencias de seno, coseno, tangente y arcotangente. [26] [27] Utilizando las aproximaciones de la serie de Taylor de seno y coseno, produjo una tabla de senos con 12 decimales de precisión y una tabla de cosenos con 9 decimales de precisión. También dio la serie de potencias de π y el ángulo , radio , diámetro y circunferencia de un círculo en términos de funciones trigonométricas. Sus obras fueron ampliadas por sus seguidores en la Escuela de Kerala hasta el siglo XVI. [26] [27]
El texto indio Yuktibhāṣā contiene pruebas de la expansión de las funciones seno y coseno y la derivación y prueba de la serie de potencias para la tangente inversa , descubierta por Madhava. El Yuktibhāṣā también contiene reglas para encontrar los senos y cosenos de la suma y diferencia de dos ángulos.
En China , la tabla de senos de Aryabhata fue traducida al libro matemático chino del Kaiyuan Zhanjing , compilado en el año 718 dC durante la dinastía Tang . [29] Aunque los chinos se destacaron en otros campos de las matemáticas, como la geometría sólida, el teorema binomial y las fórmulas algebraicas complejas, las primeras formas de trigonometría no fueron tan apreciadas como en los primeros mundos griego, helenístico, indio e islámico. [30] En cambio, los primeros chinos utilizaron un sustituto empírico conocido como chong cha , mientras que se conocía el uso práctico de la trigonometría plana en el uso del seno, la tangente y la secante. [29] Sin embargo, este estado embrionario de la trigonometría en China comenzó a cambiar y avanzar lentamente durante la dinastía Song (960-1279), donde los matemáticos chinos comenzaron a expresar un mayor énfasis en la necesidad de la trigonometría esférica en la ciencia calendárica y los cálculos astronómicos. [29] El erudito científico, matemático y funcionario chino Shen Kuo (1031-1095) utilizó funciones trigonométricas para resolver problemas matemáticos de cuerdas y arcos. [29] Victor J. Katz escribe que en la fórmula de Shen "técnica de círculos que se cruzan", creó una aproximación de los arcos s de un círculo dado el diámetro d , sagitta v y la longitud c de la cuerda que subtiende el arco, la longitud de los cuales se aproximó a [31]
Sal Restivo escribe que el trabajo de Shen sobre las longitudes de los arcos de círculo proporcionó la base para la trigonometría esférica desarrollada en el siglo XIII por el matemático y astrónomo Guo Shoujing (1231-1316). [32] Como afirman los historiadores L. Gauchet y Joseph Needham, Guo Shoujing utilizó la trigonometría esférica en sus cálculos para mejorar el sistema de calendario y la astronomía china . [29] [33] Junto con una ilustración china de finales del siglo XVII de las pruebas matemáticas de Guo, Needham afirma que:
Guo utilizó una pirámide esférica cuadrangular, cuyo cuadrilátero basal consistía en un arco ecuatorial y uno de eclíptica, junto con dos arcos meridianos , uno de los cuales pasaba por el punto del solsticio de verano ... Con tales métodos pudo obtener el du lü (grados del ecuador correspondientes a grados de la eclíptica), el ji cha (valores de cuerdas para arcos de eclíptica dados) y el cha lü (diferencia entre cuerdas de arcos que difieren en 1 grado). [34]
A pesar de los logros del trabajo de Shen y Guo en trigonometría, otro trabajo sustancial sobre trigonometría china no se volvería a publicar hasta 1607, con la publicación dual de los Elementos de Euclides por el funcionario y astrónomo chino Xu Guangqi (1562-1633) y el jesuita italiano Matteo Ricci. (1552-1610). [35]
Trabajos anteriores fueron posteriormente traducidos y ampliados en el mundo islámico medieval por matemáticos musulmanes de ascendencia mayoritariamente persa y árabe , quienes enunciaron un gran número de teoremas que liberaron la materia de trigonometría de la dependencia del cuadrilátero completo , como era el caso de las matemáticas helenísticas debido a a la aplicación del teorema de Menelao . Según ES Kennedy, fue después de este desarrollo de las matemáticas islámicas que "surgió la primera trigonometría real, en el sentido de que sólo entonces el objeto de estudio pasó a ser el triángulo esférico o plano , sus lados y ángulos ". [36]
También se conocían métodos que trataban con triángulos esféricos, particularmente el método de Menelao de Alejandría , quien desarrolló el "teorema de Menelao" para tratar problemas esféricos. [14] [37] Sin embargo, ES Kennedy señala que si bien en las matemáticas preislámicas era posible calcular las magnitudes de una figura esférica, en principio, mediante el uso de la tabla de cuerdas y el teorema de Menelao, la aplicación del Teorema a problemas esféricos fue muy difícil en la práctica. [38] Para observar los días santos en el calendario islámico en los que los tiempos estaban determinados por las fases de la luna , los astrónomos inicialmente utilizaron el método de Menelao para calcular el lugar de la luna y las estrellas , aunque este método resultó ser torpe y difícil. Implicaba establecer dos triángulos rectángulos que se cruzaran ; aplicando el teorema de Menelao era posible resolver uno de los seis lados, pero sólo si se conocían los otros cinco lados. Para saber la hora a partir de la altitud del sol , por ejemplo, se requerían aplicaciones repetidas del teorema de Menelao. Para los astrónomos islámicos medievales , existía un desafío obvio: encontrar un método trigonométrico más simple. [39]
A principios del siglo IX d. C., Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī produjo tablas precisas de senos y cosenos, y la primera tabla de tangentes. También fue pionero en trigonometría esférica . En el año 830 d.C., Habash al-Hasib al-Marwazi elaboró la primera tabla de cotangentes. [40] [41] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (Albatenius) (853-929 d.C.) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1° a 90°. [41]
En el siglo X d.C., en la obra de Abū al-Wafā' al-Būzjānī , se utilizaron las seis funciones trigonométricas . [42] Abu al-Wafa tenía tablas de senos en incrementos de 0,25°, con 8 decimales de precisión, y tablas precisas de valores tangentes. [42] También desarrolló la siguiente fórmula trigonométrica: [43]
En su texto original, Abū al-Wafā' afirma: "Si queremos eso, multiplicamos el seno dado por el coseno minutos , y el resultado es la mitad del seno del doble". [43] Abū al-Wafā también estableció las identidades de suma y diferencia de ángulos presentadas con pruebas completas: [43]
Para el segundo, el texto dice: "Multiplicamos el seno de cada uno de los dos arcos por el coseno de los otros minutos . Si queremos el seno de la suma, sumamos los productos, si queremos el seno de la diferencia , tomamos su diferencia". [43]
También descubrió la ley de los senos para la trigonometría esférica: [40]
También a finales del siglo X y principios del XI d.C., el astrónomo egipcio Ibn Yunus realizó muchos cálculos trigonométricos cuidadosos y demostró la siguiente identidad trigonométrica : [44]
Al-Jayyani (989-1079) de al-Andalus escribió El libro de los arcos desconocidos de una esfera , que se considera "el primer tratado de trigonometría esférica ". [45] "Contiene fórmulas para triángulos diestros , la ley general de los senos y la solución de un triángulo esférico mediante el triángulo polar". Este tratado tuvo más tarde una "fuerte influencia en las matemáticas europeas", y es probable que su "definición de razones como números" y su "método para resolver un triángulo esférico cuando se desconocen todos los lados" hayan influido en Regiomontano . [45]
El método de triangulación fue desarrollado por primera vez por matemáticos musulmanes, quienes lo aplicaron a usos prácticos como la topografía [46] y la geografía islámica , como lo describió Abu Rayhan Biruni a principios del siglo XI. El propio Biruni introdujo técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre varios lugares. [47] A finales del siglo XI, Omar Khayyám (1048-1131) resolvió ecuaciones cúbicas utilizando soluciones numéricas aproximadas encontradas por interpolación en tablas trigonométricas. En el siglo XIII, Nasīr al-Dīn al-Tūsī fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente de la astronomía, y desarrolló la trigonometría esférica hasta su forma actual. [41] Enumeró los seis casos distintos de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica, y en su Sobre la figura del sector , estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, descubrió la ley de las tangentes para triángulos esféricos y proporcionó pruebas de ambas leyes. [48] Nasir al-Din al-Tusi ha sido descrito como el creador de la trigonometría como disciplina matemática por derecho propio. [49] [50] [51]
En el siglo XV, Jamshīd al-Kāshī proporcionó la primera declaración explícita de la ley de los cosenos en una forma adecuada para la triangulación . [ cita necesaria ] En Francia , la ley de los cosenos todavía se conoce como el teorema de Al-Kashi . También dio tablas trigonométricas de valores de la función seno a cuatro dígitos sexagesimales (equivalentes a 8 decimales) por cada 1° de argumento con diferencias a sumar por cada 1/60 de 1°. [ cita necesaria ] Ulugh Beg también proporciona tablas precisas de senos y tangentes con 8 decimales aproximadamente al mismo tiempo. [ cita necesaria ]
En 1342, Levi ben Gershon, conocido como Gersonides , escribió Sobre senos, cuerdas y arcos , en particular demostrando la ley de los senos para triángulos planos y dando tablas de senos de cinco cifras . [52]
Una tabla trigonométrica simplificada, la " toleta de marteloio ", fue utilizada por los marineros del Mar Mediterráneo durante los siglos XIV y XV para calcular los rumbos de navegación . Fue descrito por Ramon Llull de Mallorca en 1295 y presentado en el atlas de 1436 del capitán veneciano Andrea Bianco .
Regiomontanus fue quizás el primer matemático en Europa en tratar la trigonometría como una disciplina matemática distinta, [53] en su De triangulis omnimodis escrito en 1464, así como en su posterior Tabulae directionum que incluía la función tangente, sin nombre. El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , un estudiante de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; Este trabajo fue terminado por el alumno de Rheticus, Valentin Otho, en 1596.
En el siglo XVII, Isaac Newton y James Stirling desarrollaron la fórmula general de interpolación de Newton-Stirling para funciones trigonométricas.
En el siglo XVIII, la Introducción in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fue la principal responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, derivando sus series infinitas y presentando la " fórmula de Euler " e ix = cos x + i sen x . Euler utilizó las abreviaturas casi modernas pecado. , porque. , Espiga. , cuna. , segundo y cosec. Antes de esto, Roger Cotes había calculado la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). [54] También en el siglo XVIII, Brook Taylor definió la serie general de Taylor y dio a la serie expansiones y aproximaciones para las seis funciones trigonométricas. Las obras de James Gregory en el siglo XVII y de Colin Maclaurin en el siglo XVIII también fueron muy influyentes en el desarrollo de las series trigonométricas.
Una de las contribuciones matemáticas más importantes de al-Tusi fue la creación de la trigonometría como una disciplina matemática por derecho propio y no simplemente como una herramienta para aplicaciones astronómicas.
En Tratado sobre el cuadrilátero, al-Tusi hizo la primera exposición existente de todo el sistema de trigonometría plana y esférica.
Esta obra es realmente la primera en la historia sobre la trigonometría como rama independiente de las matemáticas puras y la primera en la que se exponen los seis casos de un triángulo esférico rectángulo.
Se dice que su principal contribución en matemáticas (Nasr, 1996, pp. 208-214) es la trigonometría, que por primera vez fue compilada por él como una nueva disciplina por derecho propio.
A sus esfuerzos también debe su desarrollo la trigonometría esférica, que incluye el concepto de las seis fórmulas fundamentales para la solución de triángulos rectángulos esféricos.
