Lagrangiano (teoría de campos)

Aplicación de la mecánica lagrangiana a las teorías de campos.

La teoría de campos lagrangiana es un formalismo de la teoría de campos clásica . Es el análogo de la teoría de campos de la mecánica lagrangiana . La mecánica lagrangiana se utiliza para analizar el movimiento de un sistema de partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad . La teoría de campos lagrangiana se aplica a continuos y campos , que tienen un número infinito de grados de libertad.

Una motivación para el desarrollo del formalismo lagrangiano sobre campos, y más generalmente, para la teoría de campos clásica , es proporcionar una base matemática clara para la teoría cuántica de campos , que está tristemente acosada por dificultades formales que la hacen inaceptable como teoría matemática. Los lagrangianos presentados aquí son idénticos a sus equivalentes cuánticos, pero, al tratar los campos como campos clásicos, en lugar de cuantificarlos, se pueden proporcionar definiciones y obtener soluciones con propiedades compatibles con el enfoque formal convencional de las matemáticas de ecuaciones diferenciales parciales . Esto permite la formulación de soluciones en espacios con propiedades bien caracterizadas, como los espacios de Sobolev . Permite proporcionar varios teoremas, que van desde pruebas de existencia hasta la convergencia uniforme de series formales y los escenarios generales de la teoría potencial . Además, se obtiene información y claridad mediante generalizaciones a variedades de Riemann y haces de fibras , lo que permite discernir y desenredar claramente la estructura geométrica de las ecuaciones de movimiento correspondientes. Una visión más clara de la estructura geométrica ha permitido a su vez utilizar teoremas altamente abstractos de la geometría para obtener más información, desde el teorema de Chern-Gauss-Bonnet y el teorema de Riemann-Roch hasta el teorema del índice de Atiyah-Singer y la teoría de Chern-Simons. .

Descripción general

En la teoría de campos, la variable independiente se reemplaza por un evento en el espacio-tiempo ( x , y , z , t ) , o más generalmente aún por un punto s en una variedad de Riemann . Las variables dependientes se reemplazan por el valor de un campo en ese punto del espacio-tiempo de manera que las ecuaciones de movimiento se obtienen mediante un principio de acción , escrito como: ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,}$$

acciónfuncionals ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s},}$$

donde los corchetes indican ; y s = { s ^α } denota el conjunto de n variables independientes del sistema, incluida la variable tiempo, y está indexada por α = 1, 2, 3, ..., n . El tipo de letra caligráfico, se utiliza para indicar la densidad , y es la forma de volumen de la función de campo, es decir, la medida del dominio de la función de campo. ${\displaystyle \{\cdot ~\forall \alpha \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s}$

En formulaciones matemáticas, es común expresar el lagrangiano como una función en un haz de fibras , donde las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden interpretarse como que especifican las geodésicas en el haz de fibras. El libro de texto de Abraham y Marsden ^[1] proporcionó la primera descripción exhaustiva de la mecánica clásica en términos de ideas geométricas modernas, es decir, en términos de variedades tangentes , variedades simplécticas y geometría de contacto . El libro de texto de Bleecker ^[2] proporcionó una presentación completa de las teorías de campo en física en términos de haces de fibras de calibre invariante. Tales formulaciones se conocían o se sospechaban desde mucho antes. Jost ^[3] continúa con una presentación geométrica, aclarando la relación entre las formas hamiltoniana y lagrangiana, describiendo variedades de espín a partir de primeros principios, etc. La investigación actual se centra en estructuras afines no rígidas (a veces llamadas "estructuras cuánticas") en las que se reemplazan ocurrencias. de espacios vectoriales mediante álgebras tensoriales . Esta investigación está motivada por la comprensión revolucionaria de los grupos cuánticos como álgebras de Lie afines ( los grupos de Lie son, en cierto sentido, "rígidos", ya que están determinados por su álgebra de Lie. Cuando se reformulan en un álgebra tensorial, se vuelven "flexibles", teniendo infinitos grados de libertad; ver, por ejemplo, álgebra de Virasoro ).

Definiciones

En la teoría de campos lagrangianos, el lagrangiano como función de coordenadas generalizadas se reemplaza por una densidad lagrangiana, una función de los campos en el sistema y sus derivadas, y posiblemente las propias coordenadas de espacio y tiempo. En la teoría de campos, la variable independiente t se reemplaza por un evento en el espacio-tiempo ( x , y , z , t ) o aún más generalmente por un punto s en una variedad.

A menudo, una "densidad lagrangiana" se denomina simplemente "lagrangiana".

Campos escalares

Para un campo escalar , la densidad lagrangiana tomará la forma: ^{[nb 1] [4]} ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}$$

Para muchos campos escalares

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\varphi _{n},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n},\partial \varphi _{n}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)}$$

En formulaciones matemáticas, se entiende que los campos escalares son coordenadas de un haz de fibras y que las derivadas del campo son secciones del haz de chorros .

Campos vectoriales, campos tensoriales, campos espinores.

Lo anterior se puede generalizar para campos vectoriales , campos tensoriales y campos espinores . En física, los fermiones se describen mediante campos de espinores. Los bosones se describen mediante campos tensoriales, que incluyen campos escalares y vectoriales como casos especiales.

Por ejemplo, si hay campos escalares de valor real , entonces la variedad de campos es . Si el campo es un campo vectorial real , entonces la variedad del campo es isomorfa a . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Acción

La integral de tiempo del Lagrangiano se llama acción denotada por S. En teoría de campos, ocasionalmente se hace una distinción entre el lagrangiano L , del cual la integral de tiempo es la acción

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,}$$

densidad lagrangianael espacio-tiempo ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.}$$

La integral de volumen espacial de la densidad lagrangiana es la lagrangiana; en 3D,

$${\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.}$$

La acción a menudo se denomina "acción funcional ", ya que es una función de los campos (y sus derivados).

forma de volumen

En presencia de gravedad o cuando se utilizan coordenadas curvilíneas generales, la densidad lagrangiana incluirá un factor de . Esto asegura que la acción sea invariante bajo transformaciones de coordenadas generales. En la literatura matemática, el espacio-tiempo se considera una variedad de Riemann y la integral luego se convierte en la forma de volumen. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}}$$

Aquí, es el producto de la cuña y es la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico en . Para el espaciotiempo plano (por ejemplo, el espaciotiempo de Minkowski ), la unidad de volumen es uno, es decir, por lo que comúnmente se omite cuando se analiza la teoría de campos en el espaciotiempo plano. Del mismo modo, el uso de los símbolos del producto de cuña no ofrece información adicional sobre el concepto ordinario de volumen en el cálculo multivariado, por lo que también se descartan. Algunos libros de texto más antiguos, por ejemplo Landau y Lifschitz, escriben para la forma de volumen, ya que el signo menos es apropiado para tensores métricos con signatura (+−−−) o (−+++) (ya que el determinante es negativo, en cualquier caso) . Cuando se analiza la teoría de campos sobre variedades de Riemann generales, la forma del volumen generalmente se escribe en notación abreviada donde está la estrella de Hodge . Eso es, ${\displaystyle \wedge }$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ ${\displaystyle |g|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle *(1)}$ ${\displaystyle *}$

$${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}}$$

No es raro que la notación anterior se considere completamente superflua y

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}}$$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen el flujo geodésico del campo en función del tiempo. Tomando la variación con respecto a , se obtiene ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right).}$$

Resolviendo, con respecto a las condiciones de contorno , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange :

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right).}$$

Ejemplos

Se ha formulado una gran variedad de sistemas físicos en términos de lagrangianos sobre campos. A continuación se muestra una muestra de algunos de los más comunes que se encuentran en los libros de texto de física sobre teoría de campos.

gravedad newtoniana

La densidad lagrangiana de la gravedad newtoniana es:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))^{2}-\rho (\mathbf {x} ,t)\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

Φpotencial gravitacionalρG³⁻¹⁻²constante gravitacional⁻³ρ⁻³ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Este lagrangiano se puede escribir en la forma de , proporcionando un término cinético y la interacción el término potencial. Véase también la teoría de la gravitación de Nordström para saber cómo podría modificarse para hacer frente a los cambios a lo largo del tiempo. Esta forma se repite en el siguiente ejemplo de teoría de campos escalares. ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ ${\displaystyle T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G}$ ${\displaystyle V=\rho \Phi }$

La variación de la integral con respecto a Φ es:

$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t)).}$$

Después de integrar por partes, descartar la integral total y dividir por δ Φ la fórmula queda:

$${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

$${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}$$

la ley de Gauss para la gravedad

Teoría de campos escalares

El lagrangiano para un campo escalar que se mueve en un potencial se puede escribir como ${\displaystyle V(\phi )}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}}$$

potencial del sombrero mexicanocampos de Higgs ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ${\displaystyle V(\phi )}$

Modelo sigma lagrangiano

El modelo sigma describe el movimiento de una partícula puntual escalar obligada a moverse en una variedad de Riemann , como un círculo o una esfera. Generaliza el caso de campos escalares y vectoriales, es decir, campos obligados a moverse en una variedad plana. El lagrangiano se escribe comúnmente en una de tres formas equivalentes:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$$

diferencial ${\displaystyle \mathrm {d} }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$$

métrica de Riemanncoordenadas localesgráfico de coordenadas ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$$

$${\displaystyle L_{\mu }=U^{-1}\partial _{\mu }U}$$

grupo de Lie SU(N)espacio simétricoforma asesinaforma Maurer-Cartan ${\displaystyle U\in \mathrm {SU} (N)}$

En general, los modelos sigma exhiben soluciones topológicas de solitones . El más famoso y mejor estudiado de ellos es el Skyrmion , que sirve como modelo del nucleón que ha resistido la prueba del tiempo.

Electromagnetismo en relatividad especial

Considere una partícula puntual, una partícula cargada, que interactúa con el campo electromagnético . Los términos de interacción

$${\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}$$

⁻³⁻² ${\displaystyle \mathbf {j} }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t).}$$

Variando esto con respecto a ϕ , obtenemos

$${\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$$

la ley de Gauss

Variando en cambio con respecto a , obtenemos ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}$$

la ley de Ampère

Usando notación tensorial , podemos escribir todo esto de manera más compacta. El término es en realidad el producto interno de dos cuatro vectores . Empaquetamos la densidad de carga en el 4-vector actual y el potencial en el 4-vector potencial. Estos dos nuevos vectores son ${\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} }$

$${\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad {\text{and}}\quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}$$

$${\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}$$

tensor electromagnético ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$$

$${\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}$$

métrica de Minkowski

$${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{and}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}$$

tensor de Levi-Civita

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}$$

principio de equivalencia^{[5] [6]}

Electromagnetismo y ecuaciones de Yang-Mills

Usando formas diferenciales , la acción electromagnética S en el vacío sobre una variedad (pseudo) Riemanniana se puede escribir (usando unidades naturales , c = ε ₀ = 1 ) como ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \ast \mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge \ast \mathbf {J} \right).}$$

AJFde la estrella de Hodge

$${\displaystyle \mathrm {d} {\ast }\mathbf {F} ={\ast }\mathbf {J} .}$$

F = d A

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

Fforma exacta

Se puede entender que el campo A es la conexión afín en un haz de fibras U (1) . Es decir, la electrodinámica clásica, todos sus efectos y ecuaciones, pueden entenderse completamente en términos de un haz circular sobre el espacio-tiempo de Minkowski .

Las ecuaciones de Yang-Mills se pueden escribir exactamente de la misma forma que antes, reemplazando el grupo de Lie U(1) del electromagnetismo por un grupo de Lie arbitrario. En el modelo Estándar , se considera convencionalmente aunque el caso general sea de interés general. En todos los casos, no es necesario realizar ninguna cuantificación. Aunque las ecuaciones de Yang-Mills tienen sus raíces históricas en la teoría cuántica de campos, las ecuaciones anteriores son puramente clásicas. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)}$

Chern-Simons funcional

En la misma línea que lo anterior, se puede considerar la acción en una dimensión menos, es decir, en una configuración de geometría de contacto . Esto le da al Chern-Simons funcionalidad . Esta escrito como

$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right).}$$

La teoría de Chern-Simons fue profundamente explorada en física, como modelo de juguete para una amplia gama de fenómenos geométricos que uno podría esperar encontrar en una gran teoría unificada .

Lagrangiano de Ginzburg-Landau

La densidad lagrangiana para la teoría de Ginzburg-Landau combina la lagrangiana para la teoría de campos escalares con la lagrangiana para la acción de Yang-Mills . Puede escribirse como: ^[7]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}}$$

secciónhaz de vectoressuperconductorcampo de Higgspotencial del "sombrero de sombrero"campo Yang-Millsecuaciones de Euler-Lagrangeecuaciones de Yang-Mills ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle D{\star }D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$$

$${\displaystyle D{\star }F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$$

operador estrella de Hodgeecuaciones de Yang-Mills-Higgsla teoría de Seiberg-Witten ${\displaystyle {\star }}$

Dirac Lagrangiano

La densidad lagrangiana para un campo de Dirac es: ^[8]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\hbar c{\partial }\!\!\!/\ -mc^{2})\psi }$$

espinor de Diracadjunto de Diracnotación de barra diagonal de Feynmanespinores de Weylálgebra del espacio-tiempo de Clifford^[3]vielbeinestructura de espín ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle {\partial }\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }}$

Lagrangiano electrodinámico cuántico

La densidad lagrangiana para QED combina la grangiana para el campo de Dirac junto con la lagrangiana para electrodinámica de forma invariante de calibre. Es:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$$

tensor electromagnéticoDderivada covariante de calibreFeynmancuatro potencial electromagnéticoespinores de Weylálgebra de Clifford^[3][2] ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {D}\!\!\!\!/}$ ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$ ${\displaystyle D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }}$ ${\displaystyle A_{\sigma }}$

Lagrangiano cromodinámico cuántico

La densidad lagrangiana para la cromodinámica cuántica combina la lagrangiana para uno o más espinores de Dirac masivos con la lagrangiana para la acción de Yang-Mills , que describe la dinámica de un campo de calibre; el lagrangiano combinado es invariante de calibre. Puede escribirse como: ^[9]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!\!/\ -m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}$$

D es la derivada covariante de calibrende quarkstensor de intensidad de campo de gluones^{[2] [3]} ${\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!}$

gravedad einstein

La densidad de Lagrange para la relatividad general en presencia de campos de materia es

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$$

constante cosmológicaescalar de curvaturatensor de Riccitensor métricotensor de Riccitensor de Riemanndelta de Kroneckeracción de Einstein-Hilbertde fuerza de mareasímbolos de Christoffelconexión métricaEsto se debe a la comprensión de que se pueden escribir conexiones con torsiónper segeodésicaslínea recta ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}}$

El lagrangiano de la relatividad general también se puede escribir de una forma que lo haga manifiestamente similar a las ecuaciones de Yang-Mills. Esto se llama principio de acción de Einstein-Yang-Mills. Esto se hace observando que la mayor parte de la geometría diferencial funciona "bien" en paquetes con una conexión afín y un grupo de Lie arbitrario. Luego, reemplazando SO(3,1) para ese grupo de simetría, es decir, para los campos del marco , se obtienen las ecuaciones anteriores. ^{[2] [3]}

Sustituyendo este lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange y tomando el tensor métrico como campo, obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }\,.}$$

${\displaystyle T_{\mu \nu }}$tensor de momento de energía

$${\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\,.}$$

determinante jacobiano^[5]forma de volumen ${\displaystyle g}$ ${\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$

Electromagnetismo en relatividad general.

La densidad de Lagrange del electromagnetismo en la relatividad general también contiene la acción de Einstein-Hilbert desde arriba. El lagrangiano electromagnético puro es precisamente una materia lagrangiana . El lagrangiano es ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{matter}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)g^{\mu \rho }(x)g^{\nu \sigma }(x)+{\frac {c^{4}}{16\pi G}}R(x)\\&={\mathcal {L}}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{Einstein–Hilbert}}.\end{aligned}}}$$

Este Lagrangiano se obtiene simplemente reemplazando la métrica de Minkowski en el Lagrangiano plano anterior con una métrica más general (posiblemente curvada) . Podemos generar las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de un campo EM utilizando este lagrangiano. El tensor de energía-momento es ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$

$${\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$

$${\displaystyle T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0}$$

$${\displaystyle R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T}$$

$${\displaystyle R^{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\mu }}_{\lambda }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}$$

$${\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}$$

derivada covarianteagujero negro cargado de Reissner-Nordströmunidades naturalesQ^[5] ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle j^{\mu }=0}$

$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$$

Una posible forma de unificar los lagrangianos electromagnéticos y gravitacionales (mediante el uso de una quinta dimensión) viene dada por la teoría de Kaluza-Klein . ^[2] Efectivamente, se construye un paquete afín, tal como para las ecuaciones de Yang-Mills dadas anteriormente, y luego se considera la acción por separado en las partes de 4 dimensiones y de 1 dimensión. Tales factorizaciones , como el hecho de que las 7 esferas pueden escribirse como un producto de las 4 esferas y las 3 esferas, o que las 11 esferas son un producto de las 4 esferas y las 7 esferas, contabilizan gran parte del entusiasmo inicial por el descubrimiento de una teoría del todo . Desafortunadamente, las 7 esferas resultaron no ser lo suficientemente grandes como para contener todo el modelo Estándar , frustrando estas esperanzas.

Ejemplos adicionales

• El modelo BF Lagrangiano, abreviatura de "Background Field", describe un sistema con dinámica trivial, cuando se escribe en una variedad espacio-temporal plana. En un espaciotiempo topológicamente no trivial, el sistema tendrá soluciones clásicas no triviales, que pueden interpretarse como solitones o instantones . Existe una variedad de extensiones que forman las bases de las teorías de campos topológicos .

Ver también

• Cálculo de variaciones
• Teoría de campos clásica covariante
• Ecuación de Euler-Lagrange
• Derivado funcional
• integral funcional
• Coordenadas generalizadas
• Mecánica hamiltoniana
• Teoría de campos hamiltonianos
• término cinético
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas
• Mecánica lagrangiana
• punto lagrangiano
• sistema lagrangiano
• teorema de noether
• Función Onsager-Mahlup
• Principio de mínima acción
• Teoría de campos escalares

Notas

1. Es un abuso estándar de notación abreviar todas las derivadas y coordenadas en la densidad lagrangiana de la siguiente manera:
   $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x_{\mu })}$$
   ver cuatro gradiente . El μ es un índice que toma valores 0 (para la coordenada de tiempo) y 1, 2, 3 (para las coordenadas espaciales), por lo que estrictamente solo estaría presente una derivada o coordenada. En general, todas las derivadas espaciales y temporales aparecerán en la densidad lagrangiana; por ejemplo, en coordenadas cartesianas, la densidad lagrangiana tiene la forma completa:
   $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\varphi ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},{\frac {\partial \varphi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$$
   Aquí escribimos lo mismo, pero usando ∇ para abreviar todas las derivadas espaciales como un vector.

Citas

1. Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden, (1967) "Fundamentos de la mecánica"
2. David Bleecker, (1981) "Teoría de calibre y principios variacionales" Addison-Wesley
3. Jurgen Jost, (1995) "Geometría riemanniana y análisis geométrico", Springer
4. Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "Teoría de campos lagrangianos". Teoría cuántica de campos (2ª ed.). Wiley. pag. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.
5. Zee, Anthony (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 344–390. ISBN 9780691145587.
6. Cahill, Kevin (2013). Matemáticas físicas . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781107005211.
7. Jost, Jürgen (2002). "El funcional Ginzburg-Landau". Geometría de Riemann y análisis geométrico (Tercera ed.). Springer-Verlag. págs. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
8. Itzykson-Zuber, ecuación. 3-152
9. Claude Itykson y Jean-Bernard Zuber, (1980) "Teoría cuántica de campos"