Derivado funcional

Concepto en cálculo de variación.

En el cálculo de variaciones , un campo del análisis matemático , la derivada funcional (o derivada variacional ) ^[1] relaciona un cambio en una funcional (un funcional en este sentido es una función que actúa sobre funciones) con un cambio en una función sobre del que depende el funcional.

En el cálculo de variaciones, los funcionales suelen expresarse en términos de una integral de funciones, sus argumentos y sus derivadas . En un integrando L de un funcional, si una función f se varía agregándole otra función δf que es arbitrariamente pequeña, y el integrando resultante se expande en potencias de δf , el coeficiente de δf en el término de primer orden se llama funcional derivado.

Por ejemplo, considere el funcional

$${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f\,'(x)\,)\,dx\ ,}$$

f ′( x ) ≡ df/dxfδfL ( x, f +δf, f '+δf ′)δfJδf^{[1] [Nota 1]}

$${\displaystyle \delta J=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\,}$$

δf ′( δf ) ′la integración por partes .

Definición

En este apartado se define el diferencial funcional (o variación o primera variación) ^{[Nota 2] .} Entonces la derivada funcional se define en términos del diferencial funcional.

Diferencial funcional

Supongamos que es un espacio de Banach y es un funcional definido en . El diferencial de en un punto es el funcional lineal definido [ 2 ^] por la condición de que, para todos , ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho \in B}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi \in B}$

$${\displaystyle F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho ;\phi ]+\epsilon \cdot \|\phi \|}$$

derivada de Fréchet ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \|\phi \|}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|\phi \|\to 0}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$

Sin embargo, esta noción de diferencial funcional es tan fuerte que puede no existir, ^[3] y en esos casos se prefiere una noción más débil, como la derivada de Gateaux . En muchos casos prácticos, el diferencial funcional se define ^[4] como la derivada direccional

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$$

Derivado funcional

En muchas aplicaciones, el dominio de lo funcional es un espacio de funciones diferenciables definidas en algún espacio y tiene la forma ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}$$

δF / δρ ${\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle D\rho (x)}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}$$

δF / δρderivada funcionalFρ^{[5] [6]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho +\epsilon \phi }$

Heurísticamente, es el cambio en , por lo que 'formalmente' tenemos , y luego esto es similar en forma al diferencial total de una función , ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi =\delta \rho }$ ${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$

$${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}$$

^[7]δF / δρFρδF / δρ(x)F si la función ρx ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$ ${\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}$ ${\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$$

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$

Propiedades

Al igual que la derivada de una función, la derivada funcional satisface las siguientes propiedades, donde F [ ρ ] y G [ ρ ] son ​​funcionales: ^{[Nota 3]}

• Linealidad: ^[8]
  $${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$$
  donde λ , μ son constantes.
• Regla del producto: ^[9]
  $${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$$
• Reglas de la cadena:
  • Si F es un funcional y G otro funcional, entonces ^[10]
    $${\displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$$
  • Si G es una función diferenciable ordinaria (funcional local) g , entonces esto se reduce a ^[11]
    $${\displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$$

Determinación de derivados funcionales.

Una fórmula para determinar las derivadas funcionales de una clase común de funcionales se puede escribir como la integral de una función y sus derivadas. Se trata de una generalización de la ecuación de Euler-Lagrange : de hecho, la derivada funcional se introdujo en física dentro de la derivación de la ecuación de Lagrange de segundo tipo a partir del principio de mínima acción en la mecánica lagrangiana (siglo XVIII). Los primeros tres ejemplos siguientes están tomados de la teoría del funcional de la densidad (siglo XX), el cuarto de la mecánica estadística (siglo XIX).

Fórmula

Dado un funcional

$${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$

${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

La segunda línea se obtiene usando la derivada total , donde ∂f / ∂∇' ρes una derivada de un escalar con respecto a un vector . ^{[Nota 4]}

La tercera línea se obtuvo mediante el uso de una regla del producto para la divergencia . La cuarta recta se obtuvo utilizando el teorema de la divergencia y la condición de que en el límite de la región de integración. Como también es una función arbitraria, aplicando el lema fundamental del cálculo de variaciones a la última línea, la derivada funcional es ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$$

donde ρ = ρ ( r ) y f = f ( r , ρ , ∇ ρ ) . Esta fórmula es para el caso de la forma funcional dada por F [ ρ ] al comienzo de esta sección. Para otras formas funcionales, la definición de derivada funcional puede utilizarse como punto de partida para su determinación. (Vea el ejemplo de energía potencial de Coulomb funcional).

La ecuación anterior para la derivada funcional se puede generalizar al caso que incluye dimensiones superiores y derivadas de orden superior. El funcional sería,

$${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$

donde el vector r ∈ R ⁿ , y ∇ ^{( i )} es un tensor cuyos n ⁱ componentes son operadores de derivada parcial de orden i ,

$${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .}$$

^{[Nota 5]}

Una aplicación análoga de la definición de derivada funcional produce

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$$

En las dos últimas ecuaciones, las n ⁱ componentes del tensor son derivadas parciales de f con respecto a derivadas parciales de ρ , ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,}$$

$${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$$

^{[Nota 6]}

Ejemplos

Energía cinética funcional de Thomas-Fermi

El modelo Thomas-Fermi de 1927 utilizó una energía cinética funcional para un gas de electrones uniforme que no interactúa en un primer intento de teoría de la estructura electrónica de densidad funcional :

$${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$$

T _TF [ ρ ]ρ ( r )T _TF [ ρ ]^[12]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}}$$

Energía potencial de Coulomb funcional.

Para el potencial electrón-núcleo , Thomas y Fermi emplearon el funcional de energía potencial de Coulomb .

$${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$$

Aplicando la definición de derivada funcional,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$$

Para la parte clásica de la interacción electrón-electrón , Thomas y Fermi emplearon el funcional de energía potencial de Coulomb .

$${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$$

rr′

$${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$$

Jρ^[13]

$${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$$

La segunda derivada funcional es

$${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Energía cinética funcional de Weizsäcker.

En 1935, von Weizsäcker propuso agregar una corrección de gradiente al funcional de energía cinética de Thomas-Fermi para que se adaptara mejor a una nube de electrones moleculares:

$${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}$$

$${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$$

^[14]

$${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$$

entropía

La entropía de una variable aleatoria discreta es una función de la función de masa de probabilidad .

$${\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$$

Exponencial

Dejar

$${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$$

Usando la función delta como función de prueba,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$$

De este modo,

$${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$$

Esto es particularmente útil para calcular las funciones de correlación a partir de la función de partición en la teoría cuántica de campos .

Derivada funcional de una función

Una función se puede escribir en forma de integral como un funcional. Por ejemplo,

$${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$$

ρρ ( r )

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}}$$

Derivada funcional de función iterada

La derivada funcional de la función iterada viene dada por: ${\displaystyle f(f(x))}$

$${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$$

$${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$$

En general:

$${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$$

Poniendo N = 0 se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}$$

Usar la función delta como función de prueba

En física, es común usar la función delta de Dirac en lugar de una función de prueba genérica , para obtener la derivada funcional en el punto (este es un punto de toda la derivada funcional, ya que una derivada parcial es un componente del gradiente): ^[15] ${\displaystyle \delta (x-y)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$$

Esto funciona en los casos en los que formalmente se puede expandir como una serie (o al menos hasta el primer orden) en . Sin embargo, la fórmula no es matemáticamente rigurosa, ya que normalmente ni siquiera está definida. ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$

La definición dada en una sección anterior se basa en una relación que se cumple para todas las funciones de prueba , por lo que se podría pensar que debería ser válida también cuando se elige una función específica como la función delta . Sin embargo, esta última no es una función de prueba válida (ni siquiera es una función adecuada). ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

En la definición, la derivada funcional describe cómo la función cambia como resultado de un pequeño cambio en toda la función . La forma particular del cambio no se especifica, pero debe extenderse a lo largo de todo el intervalo definido. Emplear la forma particular de la perturbación dada por la función delta tiene el significado de que varía sólo en el punto . Salvo este punto, no hay variación en . ${\displaystyle F[\rho (x)]}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho (x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho (x)}$

Notas

1. Según Giaquinta y Hildebrandt (1996), p. 18, esta notación es habitual en la literatura física .
2. Llamada primera variación en (Giaquinta & Hildebrandt 1996, p. 3), variación o primera variación en (Courant & Hilbert 1953, p. 186), variación o diferencial en (Gelfand & Fomin 2000, p. 11, § 3.2) y diferencial en (Parr y Yang 1989, p. 246).
3. Aquí la notación
   $${\displaystyle {\frac {\delta {F}}{\delta \rho }}(x)\equiv {\frac {\delta {F}}{\delta \rho (x)}}}$$
   es presentado.
4. Para un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional,
   $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{x}}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{y}}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{z}}}\mathbf {\hat {k}} \,,}$$
   donde y , , son vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y, z. ${\displaystyle \rho _{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,,\ \rho _{y}={\frac {\partial \rho }{\partial y}}\,,\ \rho _{z}={\frac {\partial \rho }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$
5. Por ejemplo, para el caso de tres dimensiones ( n = 3 ) y derivadas de segundo orden ( i = 2 ), el tensor ∇ ⁽²⁾ tiene componentes,
   $${\displaystyle \left[\nabla ^{(2)}\right]_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha ,\beta =1,2,3\,.}$$
6. Por ejemplo, para el caso n = 3 y i = 2 , el producto escalar tensorial es,
   $${\displaystyle \nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\ {\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha \beta }}}\qquad {\text{where}}\ \ \rho _{\alpha \beta }\equiv {\frac {\partial ^{\,2}\rho }{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ .}$$

Notas a pie de página

1. (Giaquinta y Hildebrandt 1996, p.18)
2. (Gelfand y Fomin 2000, pág.11).
3. (Giaquinta y Hildebrandt 1996, pag. 10).
4. (Giaquinta y Hildebrandt 1996, pag. 10).
5. (Parr y Yang 1989, p. 246, ecuación A.2).
6. (Greiner y Reinhardt 1996, pág. 36,37).
7. (Parr y Yang 1989, pág. 246).
8. (Parr y Yang 1989, p. 247, ecuación A.3).
9. (Parr y Yang 1989, p. 247, ecuación A.4).
10. (Greiner y Reinhardt 1996, p. 38, ecuación 6).
11. (Greiner y Reinhardt 1996, p. 38, ecuación 7).
12. (Parr y Yang 1989, p. 247, ecuación A.6).
13. (Parr y Yang 1989, p. 248, ecuación A.11).
14. (Parr y Yang 1989, p. 247, ecuación A.9).
15. Greiner y Reinhardt 1996, pág. 37

Referencias

• Courant, Ricardo ; Hilbert, David (1953). "Capítulo IV. El Cálculo de Variaciones". Métodos de Física Matemática . vol. Yo (Primera edición en inglés). Nueva York, Nueva York: Interscience Publishers , Inc. págs. 164–274. ISBN 978-0471504474. Señor  0065391. Zbl  0001.00501..
• Frigyik, Béla A.; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (enero de 2008), Introducción a los derivados funcionales (PDF) , UWEE Tech Report, vol. UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Washington, p. 7, archivado desde el original (PDF) el 17 de febrero de 2017 , consultado el 23 de octubre de 2013.
• Gelfand, IM ; Fomin, SV (2000) [1963], Cálculo de variaciones, traducido y editado por Richard A. Silverman (edición revisada en inglés), Mineola, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0486414485, SEÑOR  0160139, Zbl  0127.05402.
• Giaquinta, Mariano ; Hildebrandt, Stefan (1996), Cálculo de variaciones 1. El formalismo lagrangiano , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 310 (1.ª ed.), Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-50625-X, SEÑOR  1368401, Zbl  0853.49001.
• Greiner, Walter ; Reinhardt, Joachim (1996), "Sección 2.3 - Derivados funcionales", Cuantización de campos , Con prólogo de DA Bromley, Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag, págs. 36–38, ISBN 3-540-59179-6, SEÑOR  1383589, Zbl  0844.00006.
• Parr, RG; Yang, W. (1989). "Apéndice A, Funcionales". Teoría densidad-funcional de átomos y moléculas. Nueva York: Oxford University Press. págs. 246-254. ISBN 978-0195042795.

enlaces externos

• "Derivado funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]