Derivado de gateaux

Generalización del concepto de derivada direccional.

En matemáticas , el diferencial Gateaux o derivada Gateaux es una generalización del concepto de derivada direccional en cálculo diferencial . Nombrado en honor a René Gateaux , se define para funciones entre espacios vectoriales topológicos localmente convexos como los espacios de Banach . Al igual que la derivada de Fréchet en un espacio de Banach, el diferencial de Gateaux se utiliza a menudo para formalizar la derivada funcional comúnmente utilizada en el cálculo de variaciones y en física .

A diferencia de otras formas de derivadas, el diferencial Gateaux de una función puede ser no lineal . Sin embargo, muchas veces la definición del diferencial Gateaux también requiere que sea una transformación lineal continua . Algunos autores, como Tikhomirov (2001), establecen una distinción adicional entre el diferencial Gateaux (que puede ser no lineal) y la derivada Gateaux (que consideran lineal). En la mayoría de las aplicaciones, la linealidad continua se deriva de alguna condición más primitiva que es natural para el entorno particular, como imponer una diferenciabilidad compleja en el contexto de una holomorfía de dimensión infinita o una diferenciabilidad continua en un análisis no lineal.

Definición

Supongamos que y son espacios vectoriales topológicos localmente convexos (por ejemplo, espacios de Banach ), están abiertos y el diferencial de Gateaux de at en la dirección se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle F:U\to Y.}$ ${\displaystyle dF(u;\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \psi \in X}$

Si el límite existe para todos entonces se dice que los Gateaux son diferenciables en ${\displaystyle \psi \in X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u.}$

El límite que aparece en ( 1 ) se toma en relación con la topología de Si y son espacios vectoriales topológicos reales , entonces el límite se toma como real. Por otro lado, si y son espacios vectoriales topológicos complejos , entonces el límite anterior generalmente se toma como en el plano complejo como en la definición de diferenciabilidad compleja . En algunos casos, se toma un límite débil en lugar de un límite fuerte, lo que lleva a la noción de un derivado débil de Gateaux. ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau \to 0}$

Linealidad y continuidad

En cada punto el diferencial Gateaux define una función ${\displaystyle u\in U,}$

$${\displaystyle dF(u;\cdot ):X\to Y.}$$

Esta función es homogénea en el sentido de que para todos los escalares ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle dF(u;\alpha \psi )=\alpha dF(u;\psi ).\,}$$

Sin embargo, esta función no tiene por qué ser aditiva, por lo que el diferencial de Gateaux puede dejar de ser lineal, a diferencia de la derivada de Fréchet . Incluso si es lineal, es posible que no dependa continuamente de si y son de dimensión infinita. Además, para los diferenciales de Gateaux que son lineales y continuos, existen varias formas no equivalentes de formular su diferenciabilidad continua . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \psi ,}$

Por ejemplo, considere la función de valor real de dos variables reales definidas por ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}$$

${\displaystyle (0,0)}$

$${\displaystyle dF(0,0;a,b)={\begin{cases}{\dfrac {F(\tau a,\tau b)-0}{\tau }}&(a,b)\neq (0,0),\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0),\\0&(a,b)=(0,0).\end{cases}}}$$

funcional lineal discontinuo ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$

Relación con la derivada de Fréchet

Si Fréchet es diferenciable, entonces también es diferenciable Gateaux, y sus derivados Fréchet y Gateaux concuerdan. Lo contrario claramente no es cierto, ya que la derivada de Gateaux puede no ser lineal o continua. De hecho, es incluso posible que la derivada de Gateaux sea lineal y continua pero que la derivada de Fréchet no exista. ${\displaystyle F}$

Sin embargo, para funciones desde un espacio de Banach complejo a otro espacio de Banach complejo , la derivada de Gateaux (donde el límite se toma sobre el complejo que tiende a cero como en la definición de diferenciabilidad compleja ) es automáticamente lineal, un teorema de Zorn (1945). Además, si son Gateaux (complejos) diferenciables en cada uno con derivada ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u\in U}$

$${\displaystyle DF(u)\colon \psi \mapsto dF(u;\psi )}$$

análisis complejoanalíticaholomorfia de dimensión infinita ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle DF}$

Diferenciabilidad continua

La diferenciabilidad continua de Gateaux se puede definir de dos formas no equivalentes. Supongamos que Gateaux es diferenciable en cada punto del conjunto abierto. Una noción de diferenciabilidad continua requiere que el mapeo en el espacio del producto ${\displaystyle F\colon U\to Y}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle dF\colon U\times X\to Y}$$

continuo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle dF(u;\cdot )}$ ${\displaystyle u}$

Una noción más sólida de diferenciabilidad continua requiere que

$${\displaystyle u\mapsto DF(u)}$$

$${\displaystyle U\to L(X,Y)}$$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle DF(u).}$

Por conveniencia técnica, esta última noción de diferenciabilidad continua es típica (pero no universal) cuando los espacios y son Banach, ya que también lo es y entonces se pueden emplear resultados estándar del análisis funcional. La primera es la definición más común en áreas de análisis no lineal donde los espacios funcionales involucrados no son necesariamente espacios de Banach. Por ejemplo, la diferenciación en espacios de Fréchet tiene aplicaciones como el teorema de la función inversa de Nash-Moser en el que los espacios funcionales de interés a menudo consisten en funciones suaves en una variedad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X,Y)}$

Derivados superiores

Mientras que las derivadas de Fréchet de orden superior se definen naturalmente como funciones multilineales por iteración, utilizando isomorfismos la derivada de Gateaux de orden superior no se puede definir de esta manera. En cambio, la derivada Gateaux de orden ésimo de una función en la dirección se define por ${\displaystyle L^{n}(X,Y)=L(X,L^{n-1}(X,Y)),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F:U\subseteq X\to Y}$ ${\displaystyle h}$

En lugar de una función multilineal, se trata de una función homogénea de grado en ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h.}$

Hay otro candidato para la definición de derivada de orden superior, la función

que surge naturalmente en el cálculo de variaciones como la segunda variación de al menos en el caso especial donde tiene un valor escalar. Sin embargo, es posible que esto no tenga ninguna propiedad razonable, aparte de ser homogéneo por separado en y. Es deseable contar con condiciones suficientes para garantizar que sea una función bilineal simétrica de y y que concuerde con la polarización de ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle d^{n}F.}$

Por ejemplo, se cumple la siguiente condición suficiente (Hamilton 1982). Supongamos que es en el sentido de que el mapeo ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{1}}$

$${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$$

topología del producto3

$${\displaystyle D^{2}F:U\times X\times X\to Y}$$

${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k.}$

$${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}$$

${\displaystyle D^{2}F(u)}$ ${\displaystyle d^{2}F(u;-).}$

Propiedades

Se supone que una versión del teorema fundamental del cálculo es válida para la derivada de Gateaux de siempre que sea suficientemente diferenciable de forma continua. Específicamente: ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$

• Supongamos que es en el sentido de que la derivada de Gateaux es una función continua. Entonces para cualquiera y ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle dF:U\times X\to Y.}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle h\in X,}$
  $${\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt}$$
  donde la integral es la integral de Gelfand-Pettis (la integral débil) (Vainberg (1964)).

Muchas de las otras propiedades familiares de la derivada se derivan de esto, como la multilinealidad y la conmutatividad de las derivadas de orden superior. Otras propiedades, también consecuencias del teorema fundamental, incluyen:

• ( La regla de la cadena )
  
  $${\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))}$$
  para todos y (Es importante destacar que, al igual que con las derivadas parciales simples , la derivada Gateaux no satisface la regla de la cadena si se permite que la derivada sea discontinua). ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle x\in X.}$

• ( Teorema de Taylor con resto )
  Supongamos que el segmento de recta entre y se encuentra completamente dentro de If es entonces ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle u+h}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C^{k}}$
  $${\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}}$$
  donde el término restante está dado por
  $${\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt}$$

Ejemplo

Sea el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en un conjunto medible de Lebesgue en el espacio euclidiano . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

$${\displaystyle E:X\to \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))\,dx}$$

real ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle dE(u;\psi )=\langle F'(u),\psi \rangle :=\int _{\Omega }F'(u(x))\,\psi (x)\,dx.}$$

De hecho, lo anterior es el límite de ${\displaystyle \tau \to 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \,\psi )\,dx-\int _{\Omega }F(u)\,dx\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\,\tau \,\psi )\,ds\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}F'(u+s\tau \psi )\,\psi \,ds\,dx.\end{aligned}}}$$

Ver también

• derivado de Hadamard
• Derivada (generalizaciones)  – Construcción fundamental del cálculo diferencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Funciones diferenciables con valores vectoriales del espacio euclidiano  : función diferenciable en análisis funcionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Diferenciación en espacios de Fréchet
• Derivada fractal  - Generalización de derivada a fractales
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Función vectorial de dimensión infinita  : función cuyos valores se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Cuasiderivada  : generalización de una derivada de una función entre dos espacios de Banach
• Análisis cuaterniónico  : teoría de funciones con variable cuaternión
• Semidiferenciabilidad

Referencias

• Gateaux, René (1913), "Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , París, 157 : 325–327 , recuperado 2 de septiembre 2012.
• Gateaux, René (1919), "Fonctions d'une infinité de variables indépendantes", Bulletin de la Société Mathématique de France , 47 : 70–96, doi : 10.24033/bsmf.995.
• Hamilton, RS (1982), "El teorema de la función inversa de Nash y Moser", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 7 (1): 65–222, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 , SEÑOR  0656198
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Tikhomirov, VM (2001) [1994], "Variación de Gâteaux", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vainberg, MM (1964), Métodos variacionales para el estudio de operadores no lineales , San Francisco, Londres, Amsterdam: Holden-Day, Inc, p. 57
• Zorn, Max (1945), "Caracterización de funciones analíticas en espacios de Banach", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 46 (4): 585–593, doi :10.2307/1969198, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969198, MR  0014190.
• Zorn, Max (1946), "Derivados y diferenciales de Frechet", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 52 (2): 133–137, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08524-9 , SEÑOR  0014595.