Versina

1 menos el coseno de un ángulo

La versina o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunas de las tablas trigonométricas más antiguas ( Sánscrito Aryabhatia , ^[1] Sección I) . La versina de un ángulo es 1 menos su coseno .

Existen varias funciones relacionadas, entre las que destacan la coversina y la haversina . Esta última, la mitad de una versina, es de particular importancia en la fórmula haversina de navegación.

Un círculo unitario con funciones trigonométricas . ^[2]

Descripción general

La versina ^{[3] [4] [5] [6] [7]} o seno versado ^{[8] [9] [10] [11] [12]} es una función trigonométrica que ya aparece en algunas de las primeras tablas trigonométricas. Se simboliza en las fórmulas utilizando las abreviaturas versin , sinver , ^{[13] [14]} vers , ver ^[15] o siv . ^{[16] [17]} En latín , se conoce como seno versus (seno invertido), versinus , versus o sagitta (flecha). ^[18]

Expresado en términos de funciones trigonométricas comunes seno, coseno y tangente, el verseno es igual a $${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

Existen varias funciones relacionadas correspondientes a la versina:

• El coseno versado , ^{[19] [nb 1]} o vercoseno , abreviado vercosin , vercos o vcs .
• El seno cubierto o coversine ^[20] (en latín, cosinus versus o coversinus ), abreviado coversin , ^[21] covers , ^{[22] [23] [24]} cosiv , o cvs ^[25]
• El coseno cubierto ^[26] o covercosine , abreviado covercosin , covercos o cvc

En completa analogía con las cuatro funciones mencionadas anteriormente, existe también otro conjunto de cuatro funciones de "valor medio":

• El seno haversed ^[27] o haversine (del latín semiversus ), ^{[28] [29]} abreviado haversin , semiversin , semiversinus , havers , hav , ^{[30] [31]} hvs , ^{[nb 2]} sem o hv , ^[32] más famoso de la fórmula haversine utilizada históricamente en navegación.
• El coseno haversed ^[33] o havercosine , abreviado havercosin , havercos , hac o hvc
• El seno hacoversado , hacoversina , ^[21] o cohaversina , abreviado hacoversina , semicoversina , hacovers , hacov ^[34] o hcv
• El coseno hacoversado , ^[35] hacovercoseno , o cohavercoseno , abreviado hacovercosin , hacovercos o hcc

Historia y aplicaciones

Versine y coversine

Seno, coseno y versina del ángulo θ en términos de un círculo unitario con radio 1, centrado en O. Esta figura también ilustra la razón por la que la versina a veces se llamaba sagitta , que en latín significa flecha . ^{[18] [36]} Si el arco ADB del ángulo doble Δ  = 2 θ se considera como un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces la versina CD es claramente el "eje de la flecha".

Gráficos de funciones trigonométricas históricas comparadas con seno y coseno: en el archivo SVG, pase el cursor sobre un gráfico o haga clic para resaltarlo

La función seno ordinaria ( ver nota sobre etimología ) a veces se llamaba históricamente seno recto ("seno recto"), para contrastarlo con el seno versado ( seno versus ). ^[37] El significado de estos términos es evidente si uno mira las funciones en el contexto original para su definición, un círculo unitario :

Para una cuerda vertical AB del círculo unitario, el seno del ángulo θ (que representa la mitad del ángulo subtendido Δ ) es la distancia AC (la mitad de la cuerda). Por otra parte, el seno versado de θ es la distancia CD desde el centro de la cuerda hasta el centro del arco. Por lo tanto, la suma de cos( θ ) (igual a la longitud de la línea OC ) y versin( θ ) (igual a la longitud de la línea CD ) es el radio OD (con longitud 1). Ilustrado de esta manera, el seno es vertical ( rectus , literalmente "recto") mientras que el verseno es horizontal ( versus , literalmente "volteado en contra, fuera de lugar"); ambos son distancias desde C hasta el círculo.

Esta figura también ilustra la razón por la cual la versina a veces era llamada sagitta , que en latín significa flecha . ^{[18] [36]} Si el arco ADB del ángulo doble Δ  = 2 θ se considera como un " arco " y la cuerda AB como su "cuerda", entonces la versina CD es claramente el "eje de la flecha".

En consonancia con la interpretación del seno como "vertical" y del seno versado como "horizontal", sagitta también es un sinónimo obsoleto de la abscisa (el eje horizontal de un gráfico). ^[36]

En 1821, Cauchy utilizó los términos seno versus ( siv ) para el verseno y coseno versus ( cosiv ) para el coverseno. ^{[16] [17] [nb 1]}

Las funciones trigonométricas se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O.

Históricamente, el seno versado se consideraba una de las funciones trigonométricas más importantes. ^{[12] [37] [38]}

A medida que θ tiende a cero, versin( θ ) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales, por lo que un usuario de una tabla trigonométrica solo para el coseno necesitaría una precisión muy alta para obtener el verseno con el fin de evitar una cancelación catastrófica , lo que hace que las tablas separadas para este último sean convenientes. ^[12] Incluso con una calculadora o computadora, los errores de redondeo hacen que sea recomendable utilizar la fórmula  sen ^{2 para} θ pequeños .

Otra ventaja histórica de la versina es que siempre es no negativa, por lo que su logaritmo está definido en todas partes excepto en el ángulo único ( θ = 0, 2 π , …) donde es cero; por lo tanto, se podrían usar tablas logarítmicas para multiplicaciones en fórmulas que involucran versinas.

De hecho, la tabla de valores de seno (semicuerda) más antigua que se conserva ( a diferencia de las cuerdas tabuladas por Ptolomeo y otros autores griegos), calculada a partir del Surya Siddhantha de la India que data del siglo III a. C., era una tabla de valores para el seno y el seno versado (en incrementos de 3,75° desde 0 a 90°). ^[37]

La versina aparece como un paso intermedio en la aplicación de la fórmula del medio ángulo sen ² ( ⁠θ/2⁠ ) ​​= ⁠1/2⁠ versin( θ ), derivada por Ptolomeo , que se utilizó para construir dichas tablas.

Haversina

El haverseno, en particular, era importante en la navegación porque aparece en la fórmula haverseno , que se utiliza para calcular con razonable precisión distancias en un esferoide astronómico (ver problemas con el radio de la Tierra frente a la esfera ) dadas posiciones angulares (por ejemplo, longitud y latitud ). También se podría utilizar sen ² ( ⁠θ/2) directamente, pero tener una tabla del haverseno eliminó la necesidad de calcular cuadrados y raíces cuadradas. [ ^12]

Una utilización temprana por parte de José de Mendoza y Ríos de lo que más tarde se denominaría haversines está documentada en 1801. ^{[14] [39]}

El primer equivalente inglés conocido de una tabla de haversines fue publicado por James Andrew en 1805, bajo el nombre de "Cuadrados de semicordes naturales". ^{[40] [41] [18]}

En 1835, el término haversine (anotado naturalmente como hav. o logarítmicamente en base 10 como log. haversine o log. havers. ) fue acuñado ^[42] por James Inman ^{[14] [43] [44]} en la tercera edición de su obra Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen para simplificar el cálculo de distancias entre dos puntos en la superficie de la Tierra usando trigonometría esférica para aplicaciones en navegación. ^{[3] [42]} Inman también usó los términos nat. versine y nat. vers. para versines. ^[3]

Otras tablas de haversines de gran prestigio fueron las de Richard Farley en 1856 ^{[40] [45]} y John Caulfield Hannyngton en 1876. ^{[40] [46]}

La haversina continúa utilizándose en navegación y ha encontrado nuevas aplicaciones en las últimas décadas, como en el método de Bruce D. Stark para despejar distancias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 ^{[47] [48]} o en un método más compacto para la reducción de la visibilidad desde 2014. ^[32]

Usos modernos

Aunque el uso de la versina, coversina y haversina, así como sus funciones inversas, se remonta a siglos atrás, los nombres de las otras cinco cofunciones parecen tener un origen mucho más reciente.

Un período (0 < θ < 2 π ) de una forma de onda versina o, más comúnmente, haversina (o havercosina) también se usa comúnmente en el procesamiento de señales y la teoría de control como la forma de un pulso o una función de ventana (incluidas las ventanas de Hann , Hann-Poisson y Tukey ), porque "se enciende" suavemente ( continua en valor y pendiente ) de cero a uno (para haversina) y nuevamente a cero. ^{[nb 2]} En estas aplicaciones, se denomina función de Hann o filtro de coseno elevado . Del mismo modo, la havercosina se usa en distribuciones de coseno elevado en teoría de probabilidad y estadística .

En la forma de sen ² ( θ ), el haverseno del ángulo doble Δ describe la relación entre las extensiones y los ángulos en la trigonometría racional , una reformulación propuesta de geometrías planas y sólidas métricas por Norman John Wildberger desde 2005. ^[49]

Identidades matemáticas

Definiciones

Rotaciones circulares

Las funciones son rotaciones circulares entre sí.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

Derivadas e integrales

Funciones inversas

Funciones inversas como arcversina ^[34] (arcversina, arcvers, ^{[8] [34]} avers, ^{[51] [52]} aver), arcvercosina (arcvercosina, arcvercos, avercos, avcs), arccoversina ^[34] (arccoversin, arccovers, ^{[8] [34]} acovers, ^{[51] [52]} acvs), arccovercosina (arccovercosina, arccovercos, acovercos, acvc), archaversina (archaversin, archav, ^[34] haversin ⁻¹ , ^[53] invhav, ^{[34] [54] [55] [56]} ahav, ^{[34] [51] [52]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [57] [58]} ), archavercosina (archavercosina, archavercos, ahvc), También existen archacoversina (archacoversin, ahcv) o archacovercosina (archacovercosin, archacovercos, ahcc):

Otras propiedades

Estas funciones pueden extenderse al plano complejo . ^{[50] [20] [27]}

Serie Maclaurin : ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^[8]

Aproximaciones

Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van de 0 a 2 π

Comparación de la función versina con tres aproximaciones a las funciones versina, para ángulos que van de 0 a π /2

Cuando la versina v es pequeña en comparación con el radio r , se puede aproximar a partir de la longitud de la semicuerda L (la distancia AC mostrada arriba) mediante la fórmula ^[59] $${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

Como alternativa, si la versina es pequeña y se conocen la versina, el radio y la longitud de la semicuerda, se pueden utilizar para estimar la longitud del arco s ( AD en la figura anterior) mediante la fórmula Esta fórmula era conocida por el matemático chino Shen Kuo , y dos siglos más tarde Guo Shoujing desarrolló una fórmula más precisa que también involucraba la sagita . ^[60] $${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

Una aproximación más precisa utilizada en ingeniería ^[61] es $${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

Curvas y cuerdas arbitrarias

El término versina también se utiliza a veces para describir desviaciones de la rectitud en una curva plana arbitraria, de la que el círculo anterior es un caso especial. Dada una cuerda entre dos puntos de una curva, la distancia perpendicular v desde la cuerda hasta la curva (normalmente en el punto medio de la cuerda) se denomina medida versina . Para una línea recta, la versina de cualquier cuerda es cero, por lo que esta medida caracteriza la rectitud de la curva. En el límite , cuando la longitud de la cuerda L tiende a cero, la relación ⁠8v​/L ²⁠ se refiere a la curvatura instantánea . Este uso es especialmente común en el transporte ferroviario , donde describe mediciones de la rectitud de las vías del tren ^[62] y es la base del método Hallade para el estudio de vías .

El término sagitta (a menudo abreviado como sag ) se utiliza de forma similar en óptica , para describir las superficies de lentes y espejos .

Véase también

• Identidades trigonométricas
• Exsecante y excosecante
• Versiera ( Bruja de Agnesi )
• exponencial menos 1
• Logaritmo natural más 1

Notas

1. Algunas fuentes inglesas confunden el coseno versado con el seno cubierto. Históricamente (fe en Cauchy, 1821), el seno versus (versino) se definía como siv( θ ) = 1−cos( θ ), el coseno versus (lo que ahora también se conoce como coversino) como cosiv( θ ) = 1−sin( θ ), y el vercoseno como vcs θ  = 1+cos( θ ). Sin embargo, en su traducción al inglés de 2009 del trabajo de Cauchy, Bradley y Sandifer asocian el coseno versus (y cosiv) con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercosino) en lugar del seno cubierto . De manera similar, en su trabajo de 1968/2000, Korn y Korn asocian la función covers( θ ) con el coseno versado en lugar del seno cubierto .
2. La abreviatura hvs, que a veces se utiliza para la función haversine en el procesamiento y filtrado de señales, también se utiliza a veces para la función escalonada de Heaviside, no relacionada .

Referencias

1. El Āryabhaṭīya por Āryabhaṭa
2. Haslett, Charles (septiembre de 1855). Hackley, Charles W. (ed.). The Mechanic's, Machinist's, Engineer's Practical Book of Reference: Contiene tablas y fórmulas para su uso en medición superficial y sólida; resistencia y peso de materiales; mecánica; maquinaria; hidráulica, hidrodinámica; motores marinos, química; y recetas diversas. Adaptado a y para el uso de todas las clases de mecánica práctica. Junto con el Engineer's Field Book: Contiene fórmulas para las diversas líneas de funcionamiento y cambio, ubicación de vías secundarias y cambios de vía, etc., etc. Tablas de radios y sus logaritmos, senos naturales y logarítmicos versados ​​y secantes externos, senos naturales y tangentes para cada grado y minuto del cuadrante, y logaritmos de los números naturales del 1 al 10.000. Nueva York, EE. UU.: James G. Gregory, sucesor de WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Consultado el 13 de agosto de 2017. […] Aún así, habría mucho trabajo de cálculo que podría ahorrarse mediante el uso de tablas de secantes externas y senos invertidos, que han sido empleadas con gran éxito recientemente por los ingenieros del ferrocarril de Ohio y Mississippi , y que, con las fórmulas y reglas necesarias para su aplicación al trazado de curvas, elaboradas por el Sr. Haslett, uno de los ingenieros de esa carretera, ahora se dan a conocer al público por primera vez. […] Al presentar este trabajo al público, el autor reclama para él la adaptación de un nuevo principio en el análisis trigonométrico de las fórmulas generalmente utilizadas en los cálculos de campo. La experiencia ha demostrado que los senos invertidos y las secantes externas entran con tanta frecuencia en los cálculos de curvas como los senos y las tangentes; y por su uso, como se ilustra en los ejemplos dados en esta obra, se cree que muchas de las reglas de uso general se simplifican mucho, y muchos cálculos sobre curvas y líneas continuas se hacen menos intrincados, y los resultados se obtienen con más precisión y mucho menos problema, que por cualquier método establecido en obras de este tipo. Los ejemplos dados han sido todos sugeridos por la práctica real, y se explicarán por sí mismos. […] Como un libro para uso práctico en el trabajo de campo, se cree con confianza que este es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier obra en uso ahora. Además de las tablas que generalmente se encuentran en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran trabajo, una Tabla de Senos Versados ​​Naturales y Logarítmicos y Secantes Externas, calculados en grados, para cada minuto; también, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1° a 60°. […]Edición de 1856
3. Inman, James (1835) [1821]. Navegación y astronomía náutica: para uso de los marineros británicos (3.ª ed.). Londres, Reino Unido: W. Woodward, C. y J. Rivington . Consultado el 9 de noviembre de 2015 .(Cuarta edición: [1].)
4. Zucker, Ruth (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4.3.147: Funciones trascendentales elementales - Funciones circulares". En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (eds.). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 78. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
5. Tapson, Frank (2004). "Notas de referencia sobre medidas: ángulos". 1.4. Cleave Books. Archivado desde el original el 2007-02-09 . Consultado el 2015-11-12 .
6. Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. "32.13. Las funciones coseno cos(x) y seno sin(x) - Funciones afines". Atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas (2.ª ed.). Springer Science+Business Media, LLC . p. 322. doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. Número de serie LCCN  2008937525.
7. Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 11.1. Propiedades del seno y el coseno". Manual de cálculo de funciones matemáticas: programación con la biblioteca de software portátil MathCW (1.ª edición). Salt Lake City, UT, EE. UU.: Springer International Publishing AG . pág. 301. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN. 978-3-319-64109-6. Código LCCN  2017947446. S2CID  30244721.
8. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (enero de 1909). "Ejercicios de repaso [100] Funciones trigonométricas secundarias". Escrito en Ann Arbor, Michigan, EE. UU. Trigonometría. Vol. Parte I: Trigonometría plana. Nueva York, EE. UU.: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, EE. UU. pp. 125–127 . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
9. Boyer, Carl Benjamin (1969) [1959]. "5: Comentario sobre el artículo de EJ Dijksterhuis (Los orígenes de la mecánica clásica desde Aristóteles hasta Newton)". En Clagett, Marshall (ed.). Problemas críticos en la historia de la ciencia (3.ª ed.). Madison, Milwaukee y Londres: University of Wisconsin Press, Ltd., págs. 185-190. ISBN 0-299-01874-1. LCCN  59-5304. 9780299018740 . Consultado el 16 de noviembre de 2015 .
10. Swanson, Todd; Andersen, Janet; Keeley, Robert (1999). "5 (Funciones trigonométricas)" (PDF) . Precálculo: un estudio de funciones y sus aplicaciones . Harcourt Brace & Company . pág. 344. Archivado (PDF) desde el original el 2003-06-17 . Consultado el 2015-11-12 .
11. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "Apéndice B: B9. Trigonometría plana y esférica: fórmulas expresadas en términos de la función Haversine". Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para referencia y revisión (3.ª ed.). Mineola, Nueva York, EE. UU.: Dover Publications, Inc., págs. 892–893. ISBN 978-0-486-41147-7.(Véase erratas.)
12. Calvert, James B. (14 de septiembre de 2007) [10 de enero de 2004]. «Trigonometría». Archivado desde el original el 2 de octubre de 2007. Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
13. Edler von Braunmühl, Anton (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie - Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart [ Conferencias sobre historia de la trigonometría - desde la invención de los logaritmos hasta el presente ] (en alemán). vol. 2. Leipzig, Alemania: BG Teubner . pag. 231 . Consultado el 9 de diciembre de 2015 .
14. Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. Una historia de las notaciones matemáticas. Vol. 2 (2.ª edición corregida de la edición de 1929). Chicago, EE. UU.: Open Court Publishing Company . pág. 172. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Consultado el 11 de noviembre de 2015 . La haversina aparece por primera vez en las tablas de versinas logarítmicas de José de Mendoza y Ríos (Madrid, 1801, también 1805, 1809), y más tarde en un tratado sobre navegación de James Inman (1821). Véase JD White en Nautical Magazine (febrero y julio de 1926).(NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2ª edición de Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013.)
15. Shaneyfelt, Ted V. "Notas sobre círculos, estrellas y estrellas: ¿Qué es un hacovercoseno?". Hilo, Hawái: Universidad de Hawái . Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015. Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
16. Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Analizar Algébrique". Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique (en francés). vol. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi .fecha de acceso=2015-11-07--> (reeditado por Cambridge University Press , 2009; ISBN 978-1-108-00208-0 ) 
17. Bradley, Robert E.; Sandifer, Charles Edward (14 de enero de 2010) [2009]. Buchwald, JZ (ed.). Curso de análisis de Cauchy: una traducción anotada. Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Cauchy, Augustin-Louis . Springer Science+Business Media, LLC . pp. 10, 285. doi :10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9 . Consultado el 9 de noviembre de 2015 .(Véase erratas.)
18. van Brummelen, Glen Robert (2013). Matemáticas celestiales: el arte olvidado de la trigonometría esférica. Princeton University Press . ISBN 9780691148922. 0691148929 . Consultado el 10 de noviembre de 2015 .
19. Weisstein, Eric Wolfgang . "Vercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 24 de marzo de 2014. Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
20. Weisstein, Eric Wolfgang . "Coversine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 2005-11-27 . Consultado el 2015-11-06 .
21. Weisstein, Eric Wolfgang . «Hacoversine». MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2014. Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
22. Ludlow, Henry Hunt; Bass, Edgar Wales (1891). Elementos de trigonometría con tablas logarítmicas y otras (3.ª ed.). Boston, EE. UU.: John Wiley & Sons . pág. 33. Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
23. Wentworth, George Albert (1903) [1887]. Trigonometría plana (2.ª ed.). Boston, EE. UU.: Ginn and Company . pág. 5.
24. Kenyon, Alfred Monroe; Ingold, Louis (1913). Trigonometría. Nueva York, EE. UU.: The Macmillan Company . pp. 8–9 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
25. Anderegg, Frederick; Roe, Edward Drake (1896). Trigonometría: para escuelas y universidades. Boston, EE. UU.: Ginn and Company . pág. 10. Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
26. Weisstein, Eric Wolfgang . "Covercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 28 de marzo de 2014. Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
27. Weisstein, Eric Wolfgang . "Haversine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 2005-03-10 . Consultado el 2015-11-06 .
28. Fulst, Otto (1972). "17, 18". En Lütjen, Johannes; Stein, Walter; Zwiebler, Gerhard (eds.). Nautische Tafeln (en alemán) (24 ed.). Bremen, Alemania: Arthur Geist Verlag.
29. Sauer, Frank (2015) [2004]. "Semiversus-Verfahren: Logarithmische Berechnung der Höhe" (en alemán). Hotheim am Taunus, Alemania: Astrosail. Archivado desde el original el 17 de septiembre de 2013 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 .
30. Rider, Paul Reece; Davis, Alfred (1923). Trigonometría plana. Nueva York, EE. UU.: D. Van Nostrand Company . pág. 42. Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
31. "Haversine". Wolfram Language & System: Documentation Center . 7.0. 2008. Archivado desde el original el 2014-09-01 . Consultado el 2015-11-06 .
32. Rudzinski, Greg (julio de 2015). "Reducción de la visibilidad ultracompacta". Ocean Navigator (227). Ix, Hanno. Portland, ME, EE. UU.: Navigator Publishing LLC: 42–43. ISSN  0886-0149 . Consultado el 7 de noviembre de 2015 .
33. Weisstein, Eric Wolfgang . "Havercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2014. Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
34. van Vlijmen, Oscar (28 de diciembre de 2005) [2003]. "Goniología". Eenheden, constanten en conversaciones . Archivado desde el original el 28 de octubre de 2009 . Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
35. Weisstein, Eric Wolfgang . "Hacovercosine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de marzo de 2014. Consultado el 6 de noviembre de 2015 .
36. "sagitta" . Diccionario Oxford de inglés (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
37. Boyer, Carl Benjamin ; Merzbach, Uta C. (6 de marzo de 1991) [1968]. Una historia de las matemáticas (2.ª ed.). Nueva York, EE. UU.: John Wiley & Sons . ISBN 978-0471543978. 0471543977 . Consultado el 10 de agosto de 2019 .
38. Miller, Jeff (10 de septiembre de 2007). "Usos más antiguos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (V)". New Port Richey, Florida, EE. UU. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2015. Consultado el 10 de noviembre de 2015 .
39. de Mendoza y Ríos, José (1795). Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares: y aplicación de su teórica á la solución de otros problemas de navegación (en español). Madrid, España: Imprenta Real.
40. Archibald, Raymond Clare (1945). "Tablas matemáticas recientes: 197[C, D].—Haversines naturales y logarítmicos..." Tablas matemáticas y otras ayudas para el cálculo . 1 (11): 421–422. doi : 10.1090/S0025-5718-45-99080-6 .
41. Andrew, James (1805). Tablas astronómicas y náuticas con preceptos para hallar la latitud y longitud de lugares . Vol. T. XIII. Londres. págs. 29–148.(Una tabla haversine de 7 posiciones desde 0° a 120° en intervalos de 10".)
42. "haversine". Diccionario Oxford de inglés (2.ª ed.). Oxford University Press . 1989.
43. White, JD (febrero de 1926). "(título desconocido)". Revista náutica .(NB. Según Cajori, 1929, esta revista contiene una discusión sobre el origen de las haversinas.)
44. White, JD (julio de 1926). "(título desconocido)". Revista náutica .(NB. Según Cajori, 1929, esta revista contiene una discusión sobre el origen de las haversinas.)
45. Farley, Richard (1856). Senos versados ​​naturales de 0 a 125° y senos versados ​​logarítmicos de 0 a 135° . Londres.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(Una tabla de haversinas de 0° a 125°/135°.)
46. Hannyngton, John Caulfield (1876). Haversines, naturales y logarítmicos, utilizados en el cálculo de distancias lunares para el almanaque náutico . Londres.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)(Tabla de haversines de 7 posiciones desde 0° a 180°, haversines logarítmicos a intervalos de 15", haversines naturales a intervalos de 10").
47. Stark, Bruce D. (1997) [1995]. Tablas de Stark para calcular la distancia lunar y hallar la hora universal mediante la observación con sextante, incluida una forma conveniente de perfeccionar las habilidades de navegación celestial mientras se está en tierra (2.ª ed.). Starpath Publications. ISBN 978-0914025214. 091402521X . Consultado el 2 de diciembre de 2015 .(NB. Contiene una tabla de logaritmos gaussianos lg (1+10 ^−x ).)
48. Kalivoda, Jan (30 de julio de 2003). "Bruce Stark - Tablas para despejar la distancia lunar y encontrar GMT mediante observación con sextante (1995, 1997)" (Reseña). Praga, República Checa. Archivado desde el original el 12 de enero de 2004. Consultado el 2 de diciembre de 2015 .[2][3]
49. Wildberger, Norman John (2005). Proporciones divinas: de la trigonometría racional a la geometría universal (1.ª ed.). Australia: Wild Egg Pty Ltd. ISBN 0-9757492-0-X. Recuperado el 1 de diciembre de 2015 .
50. Weisstein, Eric Wolfgang . "Versine". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 2010-03-31 . Consultado el 2015-11-05 .
51. Simpson, David G. (8 de noviembre de 2001). "AUXTRIG" ( código fuente Fortran 90 ). Greenbelt, Maryland, EE. UU.: Centro de vuelo espacial Goddard de la NASA . Archivado desde el original el 16 de junio de 2008. Consultado el 26 de octubre de 2015 .
52. van den Doel, Kees (25 de enero de 2010). "jass.utils Class Fmath". JASS - Sistema de síntesis de audio Java . 1.25. Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2007. Consultado el 26 de octubre de 2015 .
53. mf344 (4 de julio de 2014). "Perdida pero hermosa: La haversine". Revista Plus . maths.org. Archivado desde el original el 18 de julio de 2014 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .{{cite news}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
54. Skvarc, Jure (1999-03-01). "identify.py: Un cliente asteroid_server que identifica mediciones en formato MPC". Fitsblink ( código fuente Python ). Archivado desde el original el 20 de noviembre de 2008. Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
55. Skvarc, Jure (2014-10-27). «astrotrig.py: Funciones relacionadas con la trigonometría astronómica» ( código fuente de Python ). Ljubljana, Eslovenia: Telescopio Vega, Universidad de Ljubljana . Archivado desde el original el 2015-11-28 . Consultado el 2015-11-28 .
56. Ballew, Pat (8 de febrero de 2007) [2003]. "Versine". Math Words, página 4. Versine. Archivado desde el original el 8 de febrero de 2007. Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
57. Weisstein, Eric Wolfgang . "Haversine inverso". MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 8 de junio de 2008. Consultado el 5 de octubre de 2015 .
58. "InverseHaversine". Wolfram Language & System: Centro de documentación . 7.0. 2008 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .
59. Woodward, Ernest (diciembre de 1978). Geometría: solución de problemas planos, sólidos y analíticos. Guías de solución de problemas. Asociación de investigación y educación (REA). pág. 359. ISBN 978-0-87891-510-1.
60. Needham, Noel Joseph Terence Montgomery (1959). Ciencia y civilización en China: matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra. Vol. 3. Cambridge University Press . pág. 39. ISBN 9780521058018.
61. Boardman, Harry (1930). Tabla para uso en el cálculo de arcos, cuerdas y versines . Chicago Bridge and Iron Company . pág. 32.
62. Nair, PN Bhaskaran (1972). "Sistemas de medición de vías: conceptos y técnicas". Rail International . 3 (3). Asociación del Congreso Internacional de Ferrocarriles, Unión Internacional de Ferrocarriles : 159–166. ISSN  0020-8442. OCLC  751627806.

Lectura adicional

• Hawking, Stephen William , ed. (2002). Sobre los hombros de gigantes: las grandes obras de física y astronomía . Filadelfia, EE. UU.: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Consultado el 31 de julio de 2017 .

Enlaces externos

• Pegg, Jr., Ed . "Sagita, apotema y acorde". El proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Funciones trigonométricas en GeoGebra.org