Teoría de calibre

Teoría física con campos invariantes bajo la acción de grupos de Lie "de calibre" locales

En física , una teoría de calibre es un tipo de teoría de campos en la que el lagrangiano y, por lo tanto, la dinámica del sistema en sí, no cambian bajo transformaciones locales según ciertas familias de operaciones suaves ( grupos de Lie ). Formalmente, el lagrangiano es invariante bajo estas transformaciones.

El término "calibre" se refiere a cualquier formalismo matemático específico para regular los grados de libertad redundantes en el lagrangiano de un sistema físico. Las transformaciones entre posibles calibres, llamadas transformaciones de calibre , forman un grupo de Lie, conocido como el grupo de simetría o el grupo de calibre de la teoría. Asociado con cualquier grupo de Lie está el álgebra de Lie de generadores de grupos . Para cada generador de grupo surge necesariamente un campo correspondiente (normalmente un campo vectorial ) llamado campo de calibre . Los campos de calibre se incluyen en el lagrangiano para asegurar su invariancia bajo las transformaciones de grupo locales (llamada invariancia de calibre ). Cuando se cuantiza una teoría de este tipo , los cuantos de los campos de calibre se denominan bosones de calibre . Si el grupo de simetría no es conmutativo, entonces la teoría de calibre se denomina teoría de calibre no abeliana , siendo el ejemplo habitual la teoría de Yang-Mills .

Muchas teorías poderosas en física son descritas por lagrangianos que son invariantes bajo algunos grupos de transformación de simetría. Cuando son invariantes bajo una transformación realizada de manera idéntica en cada punto en el espacio-tiempo en el que ocurren los procesos físicos, se dice que tienen una simetría global . La simetría local , la piedra angular de las teorías de calibración, es una restricción más fuerte. De hecho, una simetría global es simplemente una simetría local cuyos parámetros del grupo son fijos en el espacio-tiempo (de la misma manera que un valor constante puede entenderse como una función de un cierto parámetro, cuyo resultado es siempre el mismo).

Las teorías de gauge son importantes como las teorías de campo exitosas que explican la dinámica de las partículas elementales . La electrodinámica cuántica es una teoría de gauge abeliana con el grupo de simetría U(1) y tiene un campo de gauge, el electromagnético de cuatro potenciales , siendo el fotón el bosón de gauge. El modelo estándar es una teoría de gauge no abeliana con el grupo de simetría U(1) × SU(2) × SU(3) y tiene un total de doce bosones de gauge: el fotón , tres bosones débiles y ocho gluones .

Las teorías de gauge también son importantes para explicar la gravitación en la teoría de la relatividad general . Su caso es algo inusual en el sentido de que el campo de gauge es un tensor, el tensor de Lanczos . Las teorías de la gravedad cuántica , comenzando con la teoría de la gravitación de gauge , también postulan la existencia de un bosón de gauge conocido como gravitón . Las simetrías de gauge pueden verse como análogas del principio de covarianza general de la relatividad general en el que el sistema de coordenadas puede elegirse libremente bajo difeomorfismos arbitrarios del espacio-tiempo. Tanto la invariancia de gauge como la invariancia del difeomorfismo reflejan una redundancia en la descripción del sistema. Una teoría alternativa de la gravitación, la gravedad de la teoría de gauge , reemplaza el principio de covarianza general con un verdadero principio de gauge con nuevos campos de gauge.

Históricamente, estas ideas se plantearon por primera vez en el contexto del electromagnetismo clásico y, más tarde, en la relatividad general . Sin embargo, la importancia moderna de las simetrías de gauge apareció por primera vez en la mecánica cuántica relativista de los electrones  ( la electrodinámica cuántica) , que se explica a continuación. Hoy en día, las teorías de gauge son útiles en la materia condensada , la física nuclear y la física de altas energías , entre otros subcampos.

Historia

El concepto y el nombre de teoría de gauge deriva del trabajo de Hermann Weyl en 1918. ^[1] Weyl, en un intento de generalizar las ideas geométricas de la relatividad general para incluir el electromagnetismo , conjeturó que Eichinvarianz o invariancia bajo el cambio de escala (o "gauge") también podría ser una simetría local de la relatividad general. Después del desarrollo de la mecánica cuántica , Weyl, Vladimir Fock ^[2] y Fritz London reemplazaron el factor de escala simple con una cantidad compleja y convirtieron la transformación de escala en un cambio de fase , que es una simetría de gauge U(1) . Esto explicó el efecto del campo electromagnético en la función de onda de una partícula mecánica cuántica cargada . El artículo de Weyl de 1929 introdujo el concepto moderno de invariancia de gauge ^[3] posteriormente popularizado por Pauli en su revisión de 1941. ^[4] En retrospectiva, la formulación de Maxwell , en 1864-65, de la electrodinámica (" Una teoría dinámica del campo electromagnético ") sugirió la posibilidad de invariancia, cuando afirmó que cualquier campo vectorial cuyo rizo se anule (y por lo tanto puede escribirse normalmente como un gradiente de una función) podría agregarse al potencial vectorial sin afectar el campo magnético . De manera similar, sin que nadie se diera cuenta, Hilbert había derivado las ecuaciones de campo de Einstein postulando la invariancia de la acción bajo una transformación general de coordenadas. La importancia de estas invariancias de simetría pasó desapercibida hasta el trabajo de Weyl.

Inspirado por las descripciones de Pauli de la conexión entre la conservación de carga y la teoría de campo impulsada por la invariancia, Chen Ning Yang buscó una teoría de campo para la unión de núcleos atómicos basada en la conservación del isospín nuclear . ^{[5] : 202} En 1954, Yang y Robert Mills generalizaron la invariancia de calibre del electromagnetismo, construyendo una teoría basada en la acción del grupo de simetría SU(2) (no abeliano) sobre el doblete de isospín de protones y neutrones . ^[6] Esto es similar a la acción del grupo U(1) sobre los campos de espinor de la electrodinámica cuántica .

La teoría de Yang-Mills se convirtió en la teoría prototipo para resolver parte de la gran confusión en la física de partículas elementales . Esta idea encontró aplicación más tarde en la teoría cuántica de campos de la fuerza débil y su unificación con el electromagnetismo en la teoría electrodébil . Las teorías de gauge se volvieron aún más atractivas cuando se advirtió que las teorías de gauge no abelianas reproducían una característica llamada libertad asintótica . Se creía que la libertad asintótica era una característica importante de las interacciones fuertes. Esto motivó la búsqueda de una teoría de gauge de fuerza fuerte. Esta teoría, ahora conocida como cromodinámica cuántica , es una teoría de gauge con la acción del grupo SU(3) sobre el triplete de color de los quarks . El Modelo Estándar unifica la descripción del electromagnetismo, las interacciones débiles y las interacciones fuertes en el lenguaje de la teoría de gauge.

En la década de 1970, Michael Atiyah comenzó a estudiar las matemáticas de las soluciones de las ecuaciones clásicas de Yang-Mills . En 1983, el estudiante de Atiyah, Simon Donaldson, se basó en este trabajo para demostrar que la clasificación diferenciable de variedades 4- suaves es muy diferente de su clasificación hasta el homeomorfismo . ^[7] Michael Freedman utilizó el trabajo de Donaldson para exhibir R 4 s exóticas , es decir, estructuras diferenciables exóticas en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Esto condujo a un creciente interés en la teoría de calibre por sí misma, independientemente de sus éxitos en la física fundamental. En 1994, Edward Witten y Nathan Seiberg inventaron técnicas de teoría de calibre basadas en la supersimetría que permitieron el cálculo de ciertos invariantes topológicos ^{[8] [9]} (los invariantes de Seiberg-Witten ). Estas contribuciones a las matemáticas desde la teoría de calibre han llevado a un renovado interés en esta área.

La importancia de las teorías de gauge en física se ejemplifica en el tremendo éxito del formalismo matemático al proporcionar un marco unificado para describir las teorías cuánticas de campos del electromagnetismo , la fuerza débil y la fuerza fuerte . Esta teoría, conocida como el Modelo Estándar , describe con precisión las predicciones experimentales con respecto a tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza, y es una teoría de gauge con el grupo de gauge SU(3) × SU(2) × U(1) . Las teorías modernas como la teoría de cuerdas , así como la relatividad general , son, de una forma u otra, teorías de gauge.

Consulte Jackson y Okun ^[10] para conocer la historia temprana del calibre y Pickering ^[11] para obtener más información sobre la historia del calibre y las teorías cuánticas de campos.

Descripción

Simetrías globales y locales

Simetría global

En física , la descripción matemática de cualquier situación física suele contener un exceso de grados de libertad ; la misma situación física se describe igualmente bien mediante muchas configuraciones matemáticas equivalentes. Por ejemplo, en dinámica newtoniana , si dos configuraciones están relacionadas por una transformación galileana (un cambio inercial del sistema de referencia), representan la misma situación física. Estas transformaciones forman un grupo de " simetrías " de la teoría, y una situación física corresponde no a una configuración matemática individual, sino a una clase de configuraciones relacionadas entre sí por este grupo de simetría.

Esta idea se puede generalizar para incluir simetrías tanto locales como globales, análogas a "cambios de coordenadas" mucho más abstractos en una situación en la que no existe un sistema de coordenadas " inercial " preferido que cubra todo el sistema físico. Una teoría de calibración es un modelo matemático que tiene simetrías de este tipo, junto con un conjunto de técnicas para hacer predicciones físicas consistentes con las simetrías del modelo.

Ejemplo de simetría global

Cuando una cantidad que aparece en la configuración matemática no es sólo un número sino que tiene algún significado geométrico, como una velocidad o un eje de rotación, su representación como números dispuestos en un vector o matriz también se modifica mediante una transformación de coordenadas. Por ejemplo, si una descripción de un patrón de flujo de fluido indica que la velocidad del fluido en la vecindad de ( x = 1, y = 0) es de 1 m/s en la dirección x positiva , entonces una descripción de la misma situación en la que el sistema de coordenadas se ha girado 90 grados en el sentido de las agujas del reloj indica que la velocidad del fluido en la vecindad de ( x = 0 , y = −1 ) es de 1 m/s en la dirección y negativa . La transformación de coordenadas ha afectado tanto al sistema de coordenadas utilizado para identificar la ubicación de la medición como a la base en la que se expresa su valor . Siempre que esta transformación se realice globalmente (afectando la base de coordenadas de la misma manera en cada punto), el efecto sobre los valores que representan la tasa de cambio de alguna cantidad a lo largo de algún camino en el espacio y el tiempo a medida que pasa por el punto P es el mismo que el efecto sobre los valores que son verdaderamente locales a P.

Simetría local

Uso de haces de fibras para describir simetrías locales

Para describir adecuadamente situaciones físicas en teorías más complejas, a menudo es necesario introducir una "base de coordenadas" para algunos de los objetos de la teoría que no tienen esta relación simple con las coordenadas utilizadas para etiquetar puntos en el espacio y el tiempo. (En términos matemáticos, la teoría implica un haz de fibras en el que la fibra en cada punto del espacio base consiste en posibles bases de coordenadas para usar al describir los valores de los objetos en ese punto). Para explicar una configuración matemática, uno debe elegir una base de coordenadas particular en cada punto (una sección local del haz de fibras) y expresar los valores de los objetos de la teoría (generalmente " campos " en el sentido del físico) utilizando esta base. Dos de estas configuraciones matemáticas son equivalentes (describen la misma situación física) si están relacionadas por una transformación de esta base de coordenadas abstracta (un cambio de sección local o transformación de calibre ).

En la mayoría de las teorías de gauge, el conjunto de posibles transformaciones de la base de gauge abstracta en un punto individual en el espacio y el tiempo es un grupo de Lie de dimensión finita. El grupo más simple de este tipo es U(1) , que aparece en la formulación moderna de la electrodinámica cuántica (EDQ) a través de su uso de números complejos . La EQQ se considera generalmente como la primera y más simple teoría de gauge física. El conjunto de posibles transformaciones de gauge de la configuración completa de una teoría de gauge dada también forma un grupo, el grupo de gauge de la teoría. Un elemento del grupo de gauge puede parametrizarse mediante una función que varía suavemente desde los puntos del espacio-tiempo hasta el grupo de Lie (de dimensión finita), de modo que el valor de la función y sus derivadas en cada punto representan la acción de la transformación de gauge sobre la fibra sobre ese punto.

Una transformación de calibre con un parámetro constante en cada punto del espacio y del tiempo es análoga a una rotación rígida del sistema de coordenadas geométricas; representa una simetría global de la representación de calibre. Como en el caso de una rotación rígida, esta transformación de calibre afecta a las expresiones que representan la tasa de cambio a lo largo de una trayectoria de alguna cantidad dependiente del calibre de la misma manera que a las que representan una cantidad verdaderamente local. Una transformación de calibre cuyo parámetro no es una función constante se denomina simetría local ; su efecto sobre las expresiones que implican una derivada es cualitativamente diferente del de las expresiones que no la implican. (Esto es análogo a un cambio no inercial del marco de referencia, que puede producir un efecto Coriolis ).

Campos de calibración

La versión "covariante de calibración" de una teoría de calibración explica este efecto introduciendo un campo de calibración (en lenguaje matemático, una conexión de Ehresmann ) y formulando todas las tasas de cambio en términos de la derivada covariante con respecto a esta conexión. El campo de calibración se convierte en una parte esencial de la descripción de una configuración matemática. Una configuración en la que el campo de calibración puede eliminarse mediante una transformación de calibración tiene la propiedad de que su intensidad de campo (en lenguaje matemático, su curvatura ) es cero en todas partes; una teoría de calibración no se limita a estas configuraciones. En otras palabras, la característica distintiva de una teoría de calibración es que el campo de calibración no solo compensa una mala elección del sistema de coordenadas; generalmente no hay ninguna transformación de calibración que haga que el campo de calibración desaparezca.

Al analizar la dinámica de una teoría de calibración, el campo de calibración debe tratarse como una variable dinámica, similar a otros objetos en la descripción de una situación física. Además de su interacción con otros objetos a través de la derivada covariante, el campo de calibración generalmente aporta energía en forma de un término de "autoenergía". Se pueden obtener las ecuaciones para la teoría de calibración mediante:

• partiendo de un ansatz ingenuo sin el campo de calibre (en el que las derivadas aparecen en una forma "desnuda");
• enumerar aquellas simetrías globales de la teoría que pueden caracterizarse por un parámetro continuo (generalmente un equivalente abstracto de un ángulo de rotación);
• calcular los términos de corrección que resultan de permitir que el parámetro de simetría varíe de un lugar a otro; y
• reinterpretando estos términos de corrección como acoplamientos a uno o más campos de calibración, y dando a estos campos términos de autoenergía y comportamiento dinámico apropiados.

Este es el sentido en el que una teoría de calibre "extiende" una simetría global a una simetría local, y se asemeja mucho al desarrollo histórico de la teoría de calibre de la gravedad conocida como relatividad general .

Experimentos físicos

Las teorías de calibre utilizadas para modelar los resultados de experimentos físicos implican:

• limitar el universo de posibles configuraciones a aquellas consistentes con la información utilizada para configurar el experimento, y luego
• calcular la distribución de probabilidad de los posibles resultados que el experimento está diseñado para medir.

No podemos expresar las descripciones matemáticas de la "información de configuración" y los "posibles resultados de medición", o las "condiciones límite" del experimento, sin hacer referencia a un sistema de coordenadas particular, incluida la elección de un calibre. Se supone que el experimento es adecuado y está aislado de la influencia "externa", lo que es en sí mismo una afirmación de dependencia del calibre. El manejo incorrecto de los cálculos de dependencia del calibre en condiciones límite es una fuente frecuente de anomalías , y los enfoques para evitar anomalías clasifican las teorías de calibre ^{[ aclaración necesaria ]} .

Teorías del continuo

Las dos teorías de calibración mencionadas anteriormente, la electrodinámica del medio continuo y la relatividad general, son teorías de campos del medio continuo. Las técnicas de cálculo en una teoría del medio continuo suponen implícitamente que:

• Dada una elección de calibre completamente fija, las condiciones límite de una configuración individual se describen completamente
• Dado un calibre completamente fijo y un conjunto completo de condiciones de contorno, la acción mínima determina una configuración matemática única y, por lo tanto, una situación física única consistente con estos límites.
• La fijación del calibre no introduce anomalías en el cálculo, ya sea por la dependencia del calibre al describir información parcial sobre las condiciones de contorno o por la incompletitud de la teoría.

La determinación de la probabilidad de posibles resultados de medición se realiza mediante:

• establecer una distribución de probabilidad sobre todas las situaciones físicas determinadas por condiciones de contorno consistentes con la información de configuración
• Establecer una distribución de probabilidad de los resultados de las mediciones para cada posible situación física
• Convolucionando estas dos distribuciones de probabilidad para obtener una distribución de posibles resultados de medición consistente con la información de configuración

Estas suposiciones tienen suficiente validez en un amplio rango de escalas de energía y condiciones experimentales para permitir que estas teorías hagan predicciones precisas acerca de casi todos los fenómenos que encontramos en la vida diaria: luz, calor y electricidad, eclipses, vuelos espaciales, etc. Sólo fallan en las escalas más pequeñas y más grandes debido a omisiones en las teorías mismas, y cuando las técnicas matemáticas mismas fallan, más notablemente en el caso de la turbulencia y otros fenómenos caóticos .

Teorías cuánticas de campos

Aparte de estas teorías clásicas de campos continuos, las teorías de calibración más conocidas son las teorías cuánticas de campos , que incluyen la electrodinámica cuántica y el Modelo Estándar de física de partículas elementales. El punto de partida de una teoría cuántica de campos es muy similar al de su análogo continuo: una integral de acción covariante de calibración que caracteriza las situaciones físicas "permitidas" de acuerdo con el principio de mínima acción . Sin embargo, las teorías del continuo y cuánticas difieren significativamente en cómo manejan los grados de libertad excedentes representados por las transformaciones de calibración. Las teorías del continuo, y la mayoría de los tratamientos pedagógicos de las teorías cuánticas de campos más simples, utilizan una prescripción de fijación de calibración para reducir la órbita de las configuraciones matemáticas que representan una situación física dada a una órbita más pequeña relacionada por un grupo de calibración más pequeño (el grupo de simetría global, o tal vez incluso el grupo trivial).

Las teorías cuánticas de campos más sofisticadas, en particular aquellas que involucran un grupo de calibración no abeliano, rompen la simetría de calibración dentro de las técnicas de la teoría de perturbaciones al introducir campos adicionales (los fantasmas de Faddeev-Popov ) y contratérminos motivados por la cancelación de anomalías , en un enfoque conocido como cuantificación BRST . Si bien estas preocupaciones son en cierto sentido altamente técnicas, también están estrechamente relacionadas con la naturaleza de la medición, los límites del conocimiento de una situación física y las interacciones entre condiciones experimentales especificadas de manera incompleta y una teoría física comprendida de manera incompleta. ^{[ cita requerida ]} Las técnicas matemáticas que se han desarrollado para hacer manejables las teorías de calibración han encontrado muchas otras aplicaciones, desde la física del estado sólido y la cristalografía hasta la topología de baja dimensión .

Teoría clásica del calibre

Electromagnetismo clásico

En electrostática , se puede hablar del campo eléctrico, E , o de su potencial eléctrico correspondiente , V. El conocimiento de uno permite encontrar el otro, excepto que los potenciales que difieren en una constante, , corresponden al mismo campo eléctrico. Esto se debe a que el campo eléctrico se relaciona con los cambios en el potencial de un punto en el espacio a otro, y la constante C se cancelaría al restar para encontrar el cambio en el potencial. En términos de cálculo vectorial , el campo eléctrico es el gradiente del potencial, . Generalizando de la electricidad estática al electromagnetismo, tenemos un segundo potencial, el potencial vectorial A , con ${\displaystyle V\mapsto V+C}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$

Las transformaciones generales del calibre ahora se vuelven no sólo sino ${\displaystyle V\mapsto V+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\mapsto \mathbf {A} +\nabla f\\V&\mapsto V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}}$

donde f es cualquier función dos veces continuamente diferenciable que depende de la posición y el tiempo. Los campos electromagnéticos permanecen iguales bajo la transformación de calibre.

Un ejemplo: Escalar O(norte) teoría de calibre

El resto de esta sección requiere cierta familiaridad con la teoría de campos clásica o cuántica y el uso de lagrangianos .

Definiciones en esta sección: grupo de gauge , campo de gauge , lagrangiano de interacción , bosón de gauge .

Lo siguiente ilustra cómo la invariancia de calibre local puede ser "motivada" heurísticamente a partir de propiedades de simetría global, y cómo conduce a una interacción entre campos originalmente no interactuantes.

Consideremos un conjunto de campos escalares reales que no interactúan , con masas iguales m . Este sistema se describe mediante una acción que es la suma de la acción (habitual) para cada campo escalar. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

El lagrangiano (densidad) se puede escribir de forma compacta como

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

introduciendo un vector de campos

${\displaystyle \ \Phi ^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})}$

El término es la derivada parcial de la dimensión . ${\displaystyle \partial _{\mu }\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mu }$

Ahora es transparente que el lagrangiano es invariante bajo la transformación

${\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }$

siempre que G sea una matriz constante perteneciente al grupo ortogonal n por n O( n ). Se observa que esto preserva el lagrangiano, ya que la derivada de se transforma de manera idéntica a y ambas cantidades aparecen dentro de productos escalares en el lagrangiano (las transformaciones ortogonales preservan el producto escalar). ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }$

Esto caracteriza la simetría global de este lagrangiano particular, y el grupo de simetría a menudo se denomina grupo de calibración ; el término matemático es grupo de estructura , especialmente en la teoría de las G-estructuras . Por cierto, el teorema de Noether implica que la invariancia bajo este grupo de transformaciones conduce a la conservación de las corrientes.

${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

donde las matrices T ^a son generadores del grupo SO( n ). Hay una corriente conservada para cada generador.

Ahora bien, exigir que este lagrangiano tenga invariancia local O( n ) requiere que se permita que las matrices G (que antes eran constantes) se conviertan en funciones de las coordenadas del espacio-tiempo x .

En este caso, las matrices G no "pasan por" las derivadas, cuando G = G ( x ),

${\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )}$

El hecho de que la derivada no conmute con "G" introduce un término adicional (de acuerdo con la regla del producto), que estropea la invariancia del lagrangiano. Para corregir esto, definimos un nuevo operador de derivada tal que la derivada de se transforme nuevamente de manera idéntica con ${\displaystyle \Phi '}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }$

Esta nueva "derivada" se llama derivada covariante (de calibre) y toma la forma

${\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}$

donde g se denomina constante de acoplamiento, una cantidad que define la fuerza de una interacción. Después de un cálculo simple, podemos ver que el campo de calibración A ( x ) debe transformarse de la siguiente manera

${\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}}$

El campo de calibre es un elemento del álgebra de Lie y, por lo tanto, se puede expandir como

${\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}$

Por lo tanto, hay tantos campos de calibración como generadores del álgebra de Lie.

Finalmente, ahora tenemos un lagrangiano invariante de calibre local.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}}\Phi }$

Pauli utiliza el término transformación de calibre del primer tipo para referirse a la transformación de , mientras que la transformación compensatoria en se denomina transformación de calibre del segundo tipo . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle A}$

Diagrama de Feynman de bosones escalares que interactúan a través de un bosón de calibre

Se considera que la diferencia entre este lagrangiano y el lagrangiano original , globalmente invariante en cuanto a calibre, es el lagrangiano de interacción.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}A_{\mu }^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu }\Phi +i{\frac {g}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}}A^{\mu }\Phi }$

Este término introduce interacciones entre los n campos escalares simplemente como consecuencia de la demanda de invariancia de calibración local. Sin embargo, para que esta interacción sea física y no completamente arbitraria, el mediador A ( x ) necesita propagarse en el espacio. Esto se aborda en la siguiente sección añadiendo otro término, , al lagrangiano. En la versión cuantizada de la teoría clásica de campos obtenida , los cuantos del campo de calibración A ( x ) se denominan bosones de calibración . La interpretación del lagrangiano de interacción en la teoría cuántica de campos es la de bosones escalares que interactúan mediante el intercambio de estos bosones de calibración. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}$

El lagrangiano de Yang-Mills para el campo de calibración

La imagen de una teoría de calibración clásica desarrollada en la sección anterior está casi completa, excepto por el hecho de que para definir las derivadas covariantes D , uno necesita conocer el valor del campo de calibración en todos los puntos del espacio-tiempo. En lugar de especificar manualmente los valores de este campo, se puede dar como la solución a una ecuación de campo. Además, requiriendo que el lagrangiano que genera esta ecuación de campo también sea localmente invariante de calibración, una forma posible para el lagrangiano del campo de calibración es ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}}$

donde se obtienen a partir de potenciales , siendo los componentes de , por ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ ${\displaystyle A(x)}$

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$

y son las constantes de estructura del álgebra de Lie de los generadores del grupo de calibración. Esta formulación del lagrangiano se denomina acción de Yang-Mills . También existen otras acciones invariantes de calibración (por ejemplo, electrodinámica no lineal , acción de Born-Infeld , modelo de Chern-Simons , término theta , etc.). ${\displaystyle f^{abc}}$

En este término lagrangiano no hay ningún cuerpo cuya transformación contrarreste la de . La invariancia de este término bajo transformaciones de norma es un caso particular de simetría clásica (geométrica) a priori . Esta simetría debe restringirse para realizar la cuantificación, el procedimiento se denomina fijación de norma , pero incluso después de la restricción, las transformaciones de norma pueden ser posibles. ^[12] ${\displaystyle A}$

El lagrangiano completo para la teoría de calibre es ahora

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}}_{\text{global}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}}$

Un ejemplo: la electrodinámica

Como una aplicación simple del formalismo desarrollado en las secciones anteriores, considere el caso de la electrodinámica , con solo el campo electrónico . La acción básica que genera la ecuación de Dirac del campo electrónico es

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}$

La simetría global para este sistema es

${\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }$

El grupo de calibre aquí es U(1) , solo rotaciones del ángulo de fase del campo, con la rotación particular determinada por la constante θ .

"Localizar" esta simetría implica reemplazar θ por θ ( x ) . Una derivada covariante apropiada es entonces

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}$

La identificación de la "carga" e (que no debe confundirse con la constante matemática e en la descripción de la simetría) con la carga eléctrica habitual (este es el origen del uso del término en las teorías de calibración), y el campo de calibración A ( x ) con el potencial de cuatro vectores del campo electromagnético da como resultado un lagrangiano de interacción.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

donde es el vector de corriente eléctrica cuatro en el campo de Dirac . Por lo tanto, se considera que el principio de calibración introduce de manera natural el denominado acoplamiento mínimo del campo electromagnético al campo electrónico. ${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$

Añadiendo un Lagrangiano para el campo de calibre en términos del tensor de intensidad de campo exactamente como en la electrodinámica, se obtiene el Lagrangiano utilizado como punto de partida en la electrodinámica cuántica . ${\displaystyle A_{\mu }(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

Formalismo matemático

Las teorías de gauge suelen analizarse en el lenguaje de la geometría diferencial . Matemáticamente, un gauge es simplemente una elección de una sección (local) de algún fibrado principal . Una transformación de gauge es simplemente una transformación entre dos de esas secciones.

Aunque la teoría de gauge está dominada por el estudio de las conexiones (principalmente porque es estudiada principalmente por físicos de alta energía ), la idea de una conexión no es central para la teoría de gauge en general. De hecho, un resultado en la teoría de gauge general muestra que las representaciones afines (es decir, módulos afines ) de las transformaciones de gauge pueden clasificarse como secciones de un haz de jets que satisfacen ciertas propiedades. Hay representaciones que se transforman de manera covariante puntual (llamadas por los físicos transformaciones de gauge del primer tipo), representaciones que se transforman como una forma de conexión (llamadas por los físicos transformaciones de gauge del segundo tipo, una representación afín) y otras representaciones más generales, como el campo B en la teoría BF . Hay representaciones no lineales más generales (realizaciones), pero son extremadamente complicadas. Aún así, los modelos sigma no lineales se transforman de manera no lineal, por lo que existen aplicaciones.

Si existe un fibrado principal P cuyo espacio base es el espacio o el espaciotiempo y el grupo de estructura es un grupo de Lie, entonces las secciones de P forman un espacio homogéneo principal del grupo de transformaciones de gauge.

Las conexiones (conexión de calibración) definen este fibrado principal, produciendo una derivada covariante ∇ en cada fibrado vectorial asociado . Si se elige un sistema local (una base local de secciones), entonces esta derivada covariante se representa por la forma de conexión A , una 1-forma valorada en el álgebra de Lie , que se denomina potencial de calibración en física . Evidentemente, no se trata de una cantidad intrínseca sino dependiente del sistema. La forma de curvatura F , una 2-forma valorada en el álgebra de Lie que es una cantidad intrínseca, se construye a partir de una forma de conexión mediante

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

donde d representa la derivada exterior y representa el producto cuña . ( es un elemento del espacio vectorial abarcado por los generadores , por lo que los componentes de no conmutan entre sí. Por lo tanto, el producto cuña no se desvanece). ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

Las transformaciones de calibre infinitesimales forman un álgebra de Lie, que se caracteriza por un escalar de valor de álgebra de Lie suave , ε. Bajo una transformación de calibre infinitesimal de este tipo,

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }$

¿Dónde está el corchete de Lie? ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

Una cosa buena es que si , entonces donde D es la derivada covariante ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X}$ ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX}$

${\displaystyle DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X}$

Además, , lo que significa que se transforma covariantemente. ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =[\varepsilon ,\mathbf {F} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

No todas las transformaciones de calibre pueden generarse mediante transformaciones de calibre infinitesimales en general. Un ejemplo es cuando la variedad base es una variedad compacta sin borde , de modo que la clase de homotopía de las aplicaciones de esa variedad al grupo de Lie no es trivial. Véase el ejemplo de instantón .

La acción de Yang-Mills ahora está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}$

donde * representa el dual de Hodge y la integral se define como en geometría diferencial .

Una cantidad que es invariante respecto del calibre (es decir, invariante bajo transformaciones de calibre) es el bucle de Wilson , que se define sobre cualquier trayectoria cerrada, γ, de la siguiente manera:

${\displaystyle \chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)}$

donde χ es el carácter de una representación compleja ρ y representa el operador ordenado por trayectoria. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

El formalismo de la teoría de gauge se traslada a un contexto general. Por ejemplo, basta con pedir que un fibrado vectorial tenga una conexión métrica ; al hacerlo, se descubre que la conexión métrica satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills.

Cuantización de las teorías de calibre

Las teorías de gauge pueden cuantificarse mediante la especialización de métodos que son aplicables a cualquier teoría cuántica de campos . Sin embargo, debido a las sutilezas impuestas por las restricciones de gauge (véase la sección sobre formalismo matemático, más arriba), hay muchos problemas técnicos por resolver que no surgen en otras teorías de campos. Al mismo tiempo, la estructura más rica de las teorías de gauge permite la simplificación de algunos cálculos: por ejemplo, las identidades de Ward conectan diferentes constantes de renormalización .

Métodos y objetivos

La primera teoría de gauge que se cuantizó fue la electrodinámica cuántica (EDQ). Los primeros métodos desarrollados para ello implicaban la fijación de gauge y la posterior aplicación de la cuantización canónica . El método Gupta-Bleuler también se desarrolló para abordar este problema. En la actualidad, las teorías de gauge no abelianas se abordan por diversos medios. Los métodos de cuantización se tratan en el artículo sobre cuantización .

El objetivo principal de la cuantificación es poder calcular amplitudes cuánticas para varios procesos permitidos por la teoría. Técnicamente, se reducen a los cálculos de ciertas funciones de correlación en el estado de vacío . Esto implica una renormalización de la teoría.

Cuando el acoplamiento de la teoría es lo suficientemente pequeño, todas las cantidades requeridas pueden calcularse en teoría de perturbaciones . Los esquemas de cuantificación destinados a simplificar tales cálculos (como la cuantificación canónica ) pueden llamarse esquemas de cuantificación perturbativa . En la actualidad, algunos de estos métodos conducen a las pruebas experimentales más precisas de las teorías de calibración.

Sin embargo, en la mayoría de las teorías de calibración, hay muchas cuestiones interesantes que no son perturbativas. Los esquemas de cuantificación adecuados para estos problemas (como la teoría de calibración reticular ) pueden llamarse esquemas de cuantificación no perturbativos . Los cálculos precisos en tales esquemas a menudo requieren supercomputación y, por lo tanto, actualmente están menos desarrollados que otros esquemas.

Anomalías

Se observa entonces que algunas de las simetrías de la teoría clásica no se cumplen en la teoría cuántica, fenómeno denominado anomalía . Entre las más conocidas se encuentran:

• La anomalía de escala , que da lugar a una constante de acoplamiento móvil . En la electrodinámica cuántica, esto da lugar al fenómeno del polo de Landau . En la cromodinámica cuántica (QCD), esto conduce a la libertad asintótica .
• La anomalía quiral en las teorías de campos quirales o vectoriales con fermiones. Tiene una estrecha relación con la topología a través de la noción de instantones . En la QCD, esta anomalía provoca la desintegración de un pión en dos fotones .
• La anomalía de gauge , que debe cancelarse en cualquier teoría física consistente. En la teoría electrodébil, esta cancelación requiere un número igual de quarks y leptones .

Calibre puro

Un calibre puro es el conjunto de configuraciones de campo obtenidas mediante una transformación de calibre sobre la configuración de campo nulo, es decir, una transformación de calibre de cero. Por lo tanto, es una "órbita de calibre" particular en el espacio de la configuración de campo.

Por lo tanto, en el caso abeliano, donde , el calibre puro es simplemente el conjunto de configuraciones de campo para todo f ( x ) . ${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }f(x)}$ ${\displaystyle A'_{\mu }(x)=\partial _{\mu }f(x)}$

Véase también

• Principio de calibre
• Efecto Aharonov-Bohm
• Calibre de Coulomb
• Teoría electrodébil
• Derivada covariante de calibre
• Fijación del calibre
• Teoría de la gravitación de calibre
• Grupo de calibres (matemáticas)
• Teoría de Kaluza-Klein
• Calibre de Lorenz
• Cromodinámica cuántica
• Campo de gluones
• Tensor de intensidad de campo de gluones
• Electrodinámica cuántica
• Electromagnético de cuatro potenciales
• Tensor electromagnético
• Teoría cuántica de campos
• Modelo estándar
• Modelo estándar (formulación matemática)
• Ruptura de simetría
• Simetría en física
• Carga (física)
• Simetría en la mecánica cuántica
• Simetría de Fock
• Identidades de los barrios
• Teoría de Yang-Mills
• Existencia de Yang-Mills y brecha de masa
• Documentos de ruptura de simetría PRL de 1964
• Teoría de calibre (matemáticas)

Referencias

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Bibliografía

Lectores generales

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Textos

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• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Teoría de calibre de la física de partículas elementales . Oxford University Press . ISBN 0-19-851961-3.
• Frampton, P. (2008). Teorías de campos de calibración (3.ª ed.). Wiley-VCH .
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Artículos

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• Svetlichny, George (1999). "Preparación para la teoría de calibres". arXiv : math-ph/9902027 .

Enlaces externos

• "Transformación de calibre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones de Yang-Mills en DispersiveWiki
• Teorías de calibre en Scholarpedia