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Establecer función

En matemáticas, especialmente en teoría de la medida , una función de conjunto es una función cuyo dominio es una familia de subconjuntos de un conjunto dado y que (normalmente) toma sus valores en la línea de números reales extendida que consta de los números reales y

Una función de conjunto generalmente tiene como objetivo medir subconjuntos de alguna manera. Las medidas son ejemplos típicos de funciones de conjunto de "medición". Por lo tanto, el término "función de conjunto" se utiliza a menudo para evitar la confusión entre el significado matemático de "medida" y su significado en el lenguaje común.

Definiciones

Si es una familia de conjuntos sobre (lo que significa que donde denota el conjunto potencia ), entonces una función de conjunto sobre es una función con dominio y codominio o, a veces, el codominio es en cambio algún espacio vectorial , como con las medidas vectoriales , las medidas complejas y las medidas con valores de proyección . El dominio de una función de conjunto puede tener cualquier número de propiedades; las propiedades y categorías de familias que se encuentran comúnmente se enumeran en la siguiente tabla.

En general, se suele suponer que siempre está bien definido para todos o, equivalentemente, que no toma como valores tanto y . En este artículo se supondrá de este modo; aunque, como alternativa, todas las definiciones que aparecen a continuación podrían calificarse con afirmaciones como "siempre que se defina la suma/serie". Esto se hace a veces con resta, como con el siguiente resultado, que se cumple siempre que sea finitamente aditivo:

Fórmula de diferencia de conjuntos :se define consatisfaccióny

Conjuntos nulos

Un conjunto se llamaconjunto nulo (con respecto a) o simplementenull si Wheneverno es idénticamente igual a ninguno de los dosoentonces normalmente también se supone que:

Variación y masa

ElLa variación total de un conjunto es dondedenota elvalor absoluto(o más generalmente, denota lanormaoseminormasitiene un valor vectorial en unespaciosemi)). Suponiendo queentoncesse llamaLa variación total deyse llamamasa de

Una función de conjunto se llamafinito si para cadavaloresfinito (que por definición significa quey; unvalor infinito es aquel que es igual ao). Toda función de conjunto finito debe tener una masa finita.

Propiedades comunes de las funciones de conjunto

Se dice que una función de conjunto es [1]

Sumas arbitrarias

Como se describe en la sección de este artículo sobre series generalizadas , para cualquier familia de números reales indexados por un conjunto de indexación arbitrario es posible definir su suma como el límite de la red de sumas parciales finitas donde el dominio está dirigido por Siempre que esta red converge, entonces su límite se denota por los símbolos mientras que si esta red en cambio diverge a entonces esto se puede indicar escribiendo Cualquier suma sobre el conjunto vacío se define como cero; es decir, si entonces por definición.

Por ejemplo, si para cada entonces Y se puede demostrar que Si entonces la serie generalizada converge en si y solo si converge incondicionalmente (o equivalentemente, converge absolutamente ) en el sentido usual. Si una serie generalizada converge en entonces tanto y también convergen a elementos de y el conjunto es necesariamente numerable (es decir, finito o numerablemente infinito ); esto sigue siendo cierto si se reemplaza con cualquier espacio normado . [prueba 1] De ello se deduce que para que una serie generalizada converja en o es necesario que todos excepto como máximo numerablemente muchos sean iguales a lo que significa que es una suma de como máximo numerablemente muchos términos distintos de cero. Dicho de otra manera, si es incontable entonces la serie generalizada no converge.

En resumen, debido a la naturaleza de los números reales y su topología, cada serie generalizada de números reales (indexada por un conjunto arbitrario) que converge puede reducirse a una serie ordinaria absolutamente convergente de un número contable de números reales. Por lo tanto, en el contexto de la teoría de la medida, hay poco beneficio obtenido al considerar un número incontable de conjuntos y series generalizadas. En particular, esta es la razón por la que la definición de "contablemente aditivo" rara vez se extiende desde un número contable de conjuntos en (y la serie contable habitual ) a un número arbitrario de conjuntos (y la serie generalizada ).

Medidas internas, medidas externas y otras propiedades

Se dice que una función de conjunto satisface [1]

Si se define una operación binaria , entonces se dice que una función de conjunto es

Definiciones relacionadas con la topología

Si es una topología en entonces se dice que una función de conjunto es:

Relaciones entre funciones de conjuntos

Si y son dos funciones de conjunto entonces:

Ejemplos

Algunos ejemplos de funciones de conjunto incluyen:

La medida de Jordan es una función de conjunto definida en el conjunto de todos los subconjuntos medibles de Jordan y envía un conjunto medible de Jordan a su medida de Jordan.

Medida de Lebesgue

La medida de Lebesgue es una función de conjunto que asigna un número real no negativo a cada conjunto de números reales que pertenece al álgebra de Lebesgue. [5]

Su definición comienza con el conjunto de todos los intervalos de números reales, que es una semiálgebra en La función que asigna a cada intervalo su es una función de conjunto finitamente aditiva (explícitamente, si tiene puntos finales entonces ). Esta función de conjunto se puede extender a la medida externa de Lebesgue en que es la función de conjunto invariante en traslación que envía un subconjunto al ínfimo La medida externa de Lebesgue no es contablemente aditiva (y por lo tanto no es una medida) aunque su restricción al 𝜎-álgebra de todos los subconjuntos que satisfacen el criterio de Carathéodory : es una medida que se llama medida de Lebesgue . Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos no medibles de números reales.

Espacio de dimensión infinita

Como se detalla en el artículo sobre la medida de Lebesgue de dimensión infinita , la única medida de Borel localmente finita e invariante en la traslación en un espacio normado separable de dimensión infinita es la medida trivial . Sin embargo, es posible definir medidas gaussianas en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita . El teorema de estructura para medidas gaussianas muestra que la construcción abstracta del espacio de Wiener es esencialmente la única forma de obtener una medida gaussiana estrictamente positiva en un espacio de Banach separable .

Funciones de conjunto invariantes en la traducción y finitamente aditivas

La única medida invariante en la traducción con dominio que es finito en cada subconjunto compacto de es la función de conjunto trivial que es idénticamente igual a (es decir, envía cada a ) [6] Sin embargo, si la aditividad contable se debilita a la aditividad finita, entonces existe una función de conjunto no trivial con estas propiedades y, además, algunas incluso se valoran en De hecho, tales funciones de conjunto no triviales existirán incluso si se reemplaza por cualquier otro grupo abeliano [7]

Teorema [8]  —  Si es cualquier grupo abeliano entonces existe una función de masa finitamente aditiva e invariante en la traducción [nota 1]

Ampliación de funciones de conjunto

Extendiendo de las semiálgebras a las álgebras

Supongamos que es una función de conjunto en una semiálgebra sobre y sea que es el álgebra sobre generada por El ejemplo arquetípico de una semiálgebra que no es también un álgebra es la familia sobre donde para todos [9] Es importante destacar que las dos desigualdades no estrictas en no se pueden reemplazar con desigualdades estrictas ya que las semiálgebras deben contener todo el conjunto subyacente , es decir, es un requisito de las semiálgebras (como es ).

Si es finitamente aditivo entonces tiene una extensión única a una función de conjunto definida enviando (donde indica que estos son disjuntos por pares ) a: [9] Esta extensión también será finitamente aditiva: para cualquier disjunto por pares [9]

Si además es real-valorado y monótono (lo que, en particular, será el caso si es no negativo), entonces será monótono y finitamente subaditivo: para cualquier tal que [9]

Extendiéndose desde los anillos hasta las σ-álgebras

Si es una premedida en un anillo de conjuntos (tal como un álgebra de conjuntos ) sobre entonces tiene una extensión a una medida en el σ-álgebra generada por Si es σ-finito entonces esta extensión es única.

Para definir esta extensión, primero extiéndala hasta una medida exterior en y luego restrinjala al conjunto de conjuntos -medibles (es decir, conjuntos -medibles de Carathéodory ), que es el conjunto de todos los tales que Es un -álgebra y es sigma-aditivo en ella, por el lema de Caratheodory.

Medidas externas restrictivas

Si es una medida exterior en un conjunto donde (por definición) el dominio es necesariamente el conjunto potencia de entonces un subconjunto se llama –medible o Carathéodory-medible si satisface el siguiente criterio de Carathéodory : donde es el complemento de

La familia de todos los subconjuntos mensurables es una σ-álgebra y la restricción de la medida externa a esta familia es una medida .

Véase también

Notas

  1. ^ desde Durrett 2019, págs. 1–37, 455–470.
  2. ^ Durrett 2019, págs. 466–470.
  3. ^ Royden y Fitzpatrick 2010, pág. 30.
  4. ^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
  5. ^ Kolmogorov y Fomin 1975
  6. ^ Rudin 1991, pág. 139.
  7. ^ Rudin 1991, págs. 139-140.
  8. ^ Rudin 1991, págs. 141-142.
  9. ^ abcd Durrett 2019, págs. 1–9.
  1. ^ El hecho de que la función sea invariante respecto a la traducción significa que para cada subconjunto

Pruebas

  1. ^ Supóngase que la red converge a algún punto en un espacio vectorial topológico metrizable (tal como o un espacio normado ), donde recordemos que el dominio de esta red es el conjunto dirigido Como toda red convergente, esta red convergente de sumas parciales es una red de Cauchy , lo que para esta red particular significa (por definición) que para cada vecindad del origen en existe un subconjunto finito de tal que para todos los superconjuntos finitos esto implica que para cada (tomando y ). Como es metrizable, tiene una base de vecindad contable en el origen, cuya intersección es necesariamente (ya que es un TVS de Hausdorff). Para cada entero positivo, elija un subconjunto finito tal que para cada Si pertenece a entonces pertenece a Por lo tanto, para cada índice que no pertenece al conjunto contable

Referencias

Lectura adicional