Valoración (teoría de la medida)

En la teoría de la medida , o al menos en la aproximación a ella a través de la teoría del dominio , una valoración es una aplicación de la clase de conjuntos abiertos de un espacio topológico al conjunto de números reales positivos , incluido el infinito , con ciertas propiedades. Es un concepto estrechamente relacionado con el de medida y, como tal, encuentra aplicaciones en la teoría de la medida, la teoría de la probabilidad y la informática teórica .

Definición de teoría de dominio/medida

Sea un espacio topológico: una valoración es cualquier función de conjunto que satisface las siguientes tres propiedades ${\displaystyle \scriptstyle (X,{\mathcal {T}})}$ $${\displaystyle v:{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{+\infty \}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{lll}v(\varnothing )=0&&\scriptstyle {\text{Strictness property}}\\v(U)\leq v(V)&{\mbox{if}}~U\subseteq V\quad U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Monotonicity property}}\\v(U\cup V)+v(U\cap V)=v(U)+v(V)&\forall U,V\in {\mathcal {T}}&\scriptstyle {\text{Modularity property}}\,\end{array}}}$$

La definición muestra inmediatamente la relación entre una valoración y una medida: las propiedades de los dos objetos matemáticos suelen ser muy similares, si no idénticas, con la única diferencia de que el dominio de una medida es el álgebra de Borel del espacio topológico dado, mientras que el dominio de una valoración es la clase de conjuntos abiertos. Se pueden encontrar más detalles y referencias en Alvarez-Manilla, Edalat y Saheb-Djahromi 2000 y Goubault-Larrecq 2005.

Valoración continua

Se dice que una valoración (tal como se define en la teoría del dominio/teoría de la medida) es continua si para cada familia dirigida de conjuntos abiertos (es decir, una familia indexada de conjuntos abiertos que también está dirigida en el sentido de que para cada par de índices y pertenecientes al conjunto de índices , existe un índice tal que y ) se cumple la siguiente igualdad : ${\displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \scriptstyle U_{i}\subseteq U_{k}}$ ${\displaystyle \scriptstyle U_{j}\subseteq U_{k}}$ $${\displaystyle v\left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}v(U_{i}).}$$

Esta propiedad es análoga a la τ-aditividad de las medidas.

Valoración simple

Se dice que una valoración (tal como se define en la teoría de dominios/teoría de medidas) es simple si es una combinación lineal finita con coeficientes no negativos de valoraciones de Dirac, es decir, donde siempre es mayor o al menos igual a cero para todos los índices . Las valoraciones simples son obviamente continuas en el sentido anterior. El supremo de una familia dirigida de valoraciones simples (es decir, una familia indexada de valoraciones simples que también está dirigida en el sentido de que para cada par de índices y pertenecientes al conjunto de índices , existe un índice tal que y ) se denomina valoración cuasi-simple. $${\displaystyle v(U)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta _{x_{i}}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{i}(U)\leq v_{k}(U)\!}$ ${\displaystyle \scriptstyle v_{j}(U)\leq v_{k}(U)\!}$ $${\displaystyle {\bar {v}}(U)=\sup _{i\in I}v_{i}(U)\quad \forall U\in {\mathcal {T}}.\,}$$

Véase también

• El problema de extensión para una valoración dada (en el sentido de la teoría del dominio/teoría de la medida) consiste en encontrar bajo qué tipo de condiciones puede extenderse a una medida en un espacio topológico propio, que puede o no ser el mismo espacio en el que está definida: los artículos Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 y Goubault-Larrecq 2005 en la sección de referencias están dedicados a este objetivo y dan también varios detalles históricos.
• Los conceptos de valoración en conjuntos convexos y valoración en variedades son una generalización de la valoración en el sentido de la teoría de dominio /medida. Se permite que una valoración en conjuntos convexos asuma valores complejos , y el espacio topológico subyacente es el conjunto de subconjuntos compactos convexos no vacíos de un espacio vectorial de dimensión finita : una valoración en variedades es una medida finitamente aditiva de valor complejo definida en un subconjunto propio de la clase de todas las subvariedades compactas de las variedades dadas . ^[a]

Ejemplos

Valoración de Dirac

Sea un espacio topológico y sea un punto de : el mapa es una valoración en la teoría del dominio/teoría de la medida, en el sentido llamado valoración de Dirac . Este concepto tiene su origen en la teoría de la distribución , ya que es una transposición obvia a la teoría de valoración de la distribución de Dirac : como se vio anteriormente, las valoraciones de Dirac son los " ladrillos " de los que están hechas las valoraciones simples. ${\displaystyle \scriptstyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}~x\notin U\\1&{\mbox{if}}~x\in U\end{cases}}\quad {\text{ for all }}U\in {\mathcal {T}}}$$

Véase también

• Valoración (geometría)  – en geometríaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Se pueden encontrar detalles en varios artículos de arXiv del profesor Semyon Alesker.

Obras citadas

• Alvarez-Manilla, Maurizio; Edalat, Abbas; Saheb-Djahromi, Nasser (2000), "Un resultado de extensión para valoraciones continuas", Journal of the London Mathematical Society , 61 (2): 629–640, CiteSeerX  10.1.1.23.9676 , doi :10.1112/S0024610700008681.
• Goubault-Larrecq, Jean (2005), "Extensiones de valoraciones", Estructuras matemáticas en informática , 15 (2): 271–297, doi :10.1017/S096012950400461X

Enlaces externos

• Alesker, Semyon, " varios trabajos preliminares sobre valoraciones ", servidor de preimpresiones de arXiv , sitio principal en la Universidad de Cornell . Varios artículos que tratan sobre valoraciones en conjuntos convexos, valoraciones en variedades y temas relacionados.
• La página de nLab sobre valoraciones