Medida interior

En matemáticas , en particular en la teoría de la medida , una medida interna es una función del conjunto potencia de un conjunto dado , con valores en los números reales extendidos , que satisface ciertas condiciones técnicas. Intuitivamente, la medida interna de un conjunto es un límite inferior del tamaño de ese conjunto.

Definición

Una medida interna es una función de conjunto definida en todos los subconjuntos de un conjunto que satisface las siguientes condiciones: $${\displaystyle \varphi :2^{X}\to [0,\infty ],}$$ ${\displaystyle X,}$

• Conjunto vacío nulo: El conjunto vacío tiene medida interna cero ( ver también: medida cero ); es decir, $${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$$
• Superaditivo : Para cualquier conjunto disjunto y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).}$$
• Límites de torres decrecientes: Para cualquier secuencia de conjuntos tales que para cada y ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \varphi (A_{1})<\infty }$ $${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$$
• Si la medida no es finita, es decir, si existen conjuntos con , entonces se debe aproximar a este infinito. Más precisamente, si para un conjunto entonces para cada número real positivo existe alguno tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$ ${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ $${\displaystyle r\leq \varphi (B)<\infty .}$$

La medida interna inducida por una medida

Sea una σ-álgebra sobre un conjunto y una medida en Entonces la medida interna inducida por está definida por ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \mu _{*}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma {\text{ and }}S\subseteq T\}.}$$

Básicamente, proporciona un límite inferior del tamaño de cualquier conjunto al garantizar que sea al menos tan grande como la medida de cualquiera de sus subconjuntos medibles. Aunque la función de conjunto normalmente no es una medida, comparte las siguientes propiedades con las medidas: ${\displaystyle \mu _{*}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu _{*}}$ ${\displaystyle \mu _{*}}$

1. ${\displaystyle \mu _{*}(\varnothing )=0,}$
2. ${\displaystyle \mu _{*}}$no es negativo,
3. Si entonces ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle \mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F).}$

Finalización de la medida

Las medidas internas inducidas se utilizan a menudo en combinación con medidas externas para extender una medida a un σ-álgebra más grande. Si es una medida finita definida en un σ-álgebra sobre y y son medidas internas y externas inducidas correspondientes, entonces los conjuntos tales que forman un σ-álgebra con . ^[1] La función de conjunto definida por para todos es una medida en conocida como la completitud de ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu _{*}}$ ${\displaystyle T\in 2^{X}}$ ${\displaystyle \mu _{*}(T)=\mu ^{*}(T)}$ ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ $${\displaystyle {\hat {\mu }}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)}$$ ${\displaystyle T\in {\hat {\Sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}}$ ${\displaystyle \mu .}$

Véase también

• Conjunto medible de Lebesgue  – Concepto de área en cualquier dimensiónPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Halmos 1950, § 14, Teorema F

• Halmos, Paul R., Teoría de la medida , D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, págs. 58.
• AN Kolmogorov y SV Fomin, traducidos por Richard A. Silverman, Introducción al análisis real , Dover Publications, Nueva York, 1970, ISBN  0-486-61226-0 (Capítulo 7)