Medida localmente finita

En matemáticas , una medida localmente finita es una medida para la cual cada punto del espacio de medida tiene una vecindad de medida finita . ^{[1] [2]}

Definición

Sea un espacio topológico de Hausdorff y sea un -álgebra que contiene la topología (de modo que cada conjunto abierto sea un conjunto medible y sea al menos tan fino como el -álgebra de Borel ). Una medida/ medida con signo / medida compleja definida en se llama localmente finita si, para cada punto del espacio hay una vecindad abierta de tal que la medida de es finita. ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N_{p}}$

En notación más condensada, es localmente finita si y sólo si ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\text{for all }}p\in X,{\text{ there exists }}N_{p}\in T{\mbox{ such that }}p\in N_{p}{\mbox{ and }}\left|\mu \left(N_{p}\right)\right|<+\infty .}$$

Ejemplos

1. Cualquier medida de probabilidad es localmente finita, ya que asigna unidades de medida a todo el espacio. De manera similar, cualquier medida que asigne una medida finita a todo el espacio es localmente finita. ${\displaystyle X}$
2. La medida de Lebesgue en el espacio euclidiano es localmente finita.
3. Por definición, cualquier medida de radón es localmente finita.
4. La medida de conteo a veces es localmente finita y otras no: la medida de conteo de los números enteros con su topología discreta habitual es localmente finita, pero la medida de conteo en la línea real con su topología de Borel habitual no lo es.

Ver también

• Medida regular interna  : medida de borel cuyo valor en un conjunto de borel se determina como el mínimo de la medida de su superconjunto abiertoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Medida estrictamente positiva

Referencias

1. Bergé, Claude (1963). Espacios Topológicos . pag. 31.ISBN​ 0486696537.
2. Gemignani, Michael C. (1972). Topología elemental . pag. 228.ISBN​ 0486665224.