En física , el espacio-tiempo es un modelo matemático que fusiona las tres dimensiones del espacio y la única dimensión del tiempo en un único continuo de cuatro dimensiones . Los diagramas de espacio-tiempo son útiles para visualizar y comprender efectos relativistas, como cómo los diferentes observadores perciben dónde y cuándo ocurren los eventos.
Hasta principios del siglo XX, se suponía que la geometría tridimensional del universo (su descripción en términos de ubicaciones, formas, distancias y direcciones) era distinta del tiempo (la medición de cuándo ocurren los eventos dentro del universo). ). Sin embargo, el espacio y el tiempo adquirieron nuevos significados con la transformación de Lorentz y la teoría especial de la relatividad .
En 1908, Hermann Minkowski presentó una interpretación geométrica de la relatividad especial que fusionaba el tiempo y las tres dimensiones espaciales del espacio en un único continuo de cuatro dimensiones conocido ahora como espacio de Minkowski . Esta interpretación resultó vital para la teoría general de la relatividad , según la cual el espacio-tiempo está curvado por la masa y la energía .
La mecánica clásica no relativista trata el tiempo como una cantidad de medida universal que es uniforme en todo el espacio y está separada del espacio. La mecánica clásica supone que el tiempo tiene un ritmo de paso constante, independiente del estado de movimiento del observador o de cualquier cosa externa. [1] Se supone que el espacio es euclidiano : se supone que el espacio sigue la geometría del sentido común. [2]
En el contexto de la relatividad especial , el tiempo no se puede separar de las tres dimensiones del espacio, porque la velocidad observada a la que pasa el tiempo para un objeto depende de la velocidad del objeto en relación con el observador. [3] : 214–217 La relatividad general proporciona una explicación de cómo los campos gravitacionales pueden ralentizar el paso del tiempo para un objeto visto por un observador fuera del campo.
En el espacio ordinario, una posición está especificada por tres números, conocidos como dimensiones . En el sistema de coordenadas cartesiano , se denominan x, y y z. Una posición en el espacio-tiempo se llama evento y requiere que se especifiquen cuatro números: la ubicación tridimensional en el espacio, más la posición en el tiempo (Fig. 1). Un evento está representado por un conjunto de coordenadas x , y , z y t . [4] El espacio-tiempo es, por tanto, de cuatro dimensiones .
A diferencia de las analogías utilizadas en los escritos populares para explicar eventos, como petardos o chispas, los eventos matemáticos tienen duración cero y representan un único punto en el espacio-tiempo. [5] Aunque es posible estar en movimiento en relación con el estallido de un petardo o una chispa, no es posible que un observador esté en movimiento en relación con un evento.
El camino de una partícula a través del espacio-tiempo puede considerarse una sucesión de acontecimientos. La serie de eventos se puede vincular para formar una línea que representa el progreso de una partícula a través del espacio-tiempo. Esa línea se llama línea mundial de la partícula . [6] : 105
Matemáticamente, el espacio-tiempo es múltiple , es decir, aparece localmente "plano" cerca de cada punto de la misma manera que, a escalas suficientemente pequeñas, la superficie de un globo parece plana. [7] Un factor de escala (convencionalmente llamado velocidad de la luz ) relaciona distancias medidas en el espacio con distancias medidas en el tiempo. La magnitud de este factor de escala (casi 300.000 kilómetros o 190.000 millas en el espacio equivalen a un segundo en el tiempo), junto con el hecho de que el espacio-tiempo es múltiple, implica que a velocidades ordinarias, no relativistas y a escala humana ordinaria distancias, hay poco que los humanos podrían observar que sea notablemente diferente de lo que podrían observar si el mundo fuera euclidiano. Sólo con la llegada de mediciones científicas sensibles a mediados del siglo XIX, como el experimento de Fizeau y el experimento de Michelson-Morley , comenzaron a notarse discrepancias desconcertantes entre la observación y las predicciones basadas en el supuesto implícito del espacio euclidiano. [8]
En la relatividad especial, un observador se referirá, en la mayoría de los casos, a un marco de referencia desde el cual se mide un conjunto de objetos o eventos. Este uso difiere significativamente del significado ordinario del término en inglés. Los marcos de referencia son construcciones inherentemente no locales y, según este uso del término, no tiene sentido hablar de un observador como si tuviera una ubicación. [9]
En la figura 1-1, imaginemos que el marco considerado está equipado con una densa red de relojes, sincronizados dentro de este marco de referencia, que se extiende indefinidamente a lo largo de las tres dimensiones del espacio. Cualquier ubicación específica dentro de la red no es importante. La celosía de los relojes se utiliza para determinar la hora y la posición de los eventos que tienen lugar dentro del marco completo. El término observador se refiere al conjunto completo de relojes asociados con un sistema de referencia inercial. [9] : 17-22
En este caso idealizado, cada punto en el espacio tiene un reloj asociado y, por lo tanto, los relojes registran cada evento instantáneamente, sin demora entre un evento y su registro. Un observador real verá un retraso entre la emisión de una señal y su detección debido a la velocidad de la luz. Para sincronizar los relojes, en la reducción de datos después de un experimento, la hora en que se recibe una señal se corregirá para reflejar su hora real si hubiera sido registrada por una red idealizada de relojes. [9] : 17-22
En muchos libros sobre relatividad especial, especialmente los más antiguos, la palabra "observador" se utiliza en el sentido más común de la palabra. Por lo general, del contexto queda claro qué significado se ha adoptado.
Los físicos distinguen entre lo que uno mide u observa , después de haber descartado los retrasos en la propagación de la señal, y lo que uno ve visualmente sin tales correcciones. No comprender la diferencia entre lo que uno mide/observa y lo que ve es la fuente de muchos errores entre los estudiantes principiantes de la relatividad. [10]
A mediados del siglo XIX, se consideró que varios experimentos, como la observación de la mancha de Arago y las mediciones diferenciales de la velocidad de la luz en el aire versus el agua, habían demostrado la naturaleza ondulatoria de la luz en contraposición a una teoría corpuscular . [11] Se suponía entonces que la propagación de ondas requería la existencia de un medio ondulatorio ; en el caso de las ondas luminosas, se consideraba que se trataba de un hipotético éter luminífero . [nota 1] Los diversos intentos de establecer las propiedades de este medio hipotético arrojaron resultados contradictorios. Por ejemplo, el experimento de Fizeau de 1851, realizado por el físico francés Hippolyte Fizeau , demostró que la velocidad de la luz en el agua corriente era menor que la suma de la velocidad de la luz en el aire más la velocidad del agua en una cantidad que dependía de la velocidad del agua. índice de refracción. [12]
Entre otras cuestiones, la dependencia del arrastre parcial del éter implicado en este experimento del índice de refracción (que depende de la longitud de onda) llevó a la desagradable conclusión de que el éter fluye simultáneamente a diferentes velocidades para diferentes colores de luz. [13] El famoso experimento de Michelson-Morley de 1887 (Fig. 1-2) no mostró ninguna influencia diferencial de los movimientos de la Tierra a través del hipotético éter sobre la velocidad de la luz, y la explicación más probable, el arrastre total del éter, estaba en conflicto con la Observación de la aberración estelar . [8]
George Francis FitzGerald en 1889, [14] y Hendrik Lorentz en 1892, propusieron de forma independiente que los cuerpos materiales que viajaban a través del éter fijo se veían físicamente afectados por su paso, contrayéndose en la dirección del movimiento en una cantidad que era exactamente la necesaria para explicar la Resultados negativos del experimento de Michelson-Morley. No se producen cambios de longitud en direcciones transversales a la dirección del movimiento.
En 1904, Lorentz había ampliado su teoría de tal manera que había llegado a ecuaciones formalmente idénticas a las que Einstein derivaría más tarde, es decir, la transformación de Lorentz . [15] Como teoría de la dinámica (el estudio de fuerzas y pares y su efecto sobre el movimiento), su teoría asumió deformaciones físicas reales de los constituyentes físicos de la materia. [16] : 163–174 Las ecuaciones de Lorentz predijeron una cantidad que llamó tiempo local , con la que podía explicar la aberración de la luz , el experimento de Fizeau y otros fenómenos.
Henri Poincaré fue el primero en combinar el espacio y el tiempo en el espaciotiempo. [17] [18] : 73–80, 93–95 Argumentó en 1898 que la simultaneidad de dos eventos es una cuestión de convención. [19] [nota 2] En 1900, reconoció que la "hora local" de Lorentz es en realidad lo que indican los relojes en movimiento aplicando una definición explícitamente operativa de sincronización del reloj suponiendo una velocidad de la luz constante. [nota 3] En 1900 y 1904, sugirió la inherente indetectabilidad del éter al enfatizar la validez de lo que llamó el principio de relatividad . En 1905/1906 [20] perfeccionó matemáticamente la teoría de los electrones de Lorentz para adaptarla al postulado de la relatividad.
Mientras discutía varias hipótesis sobre la gravitación invariante de Lorentz, introdujo el concepto innovador de un espacio-tiempo de 4 dimensiones al definir varios cuatro vectores , a saber, cuatro posiciones , cuatro velocidades y cuatro fuerzas . [21] [22] Sin embargo, no siguió el formalismo tetradimensional en artículos posteriores, afirmando que esta línea de investigación parecía "implicar un gran dolor para obtener ganancias limitadas", concluyendo finalmente "que el lenguaje tridimensional parece el más adecuado". a la descripción de nuestro mundo". [22] Incluso en 1909, Poincaré continuó describiendo la interpretación dinámica de la transformada de Lorentz. [16] : 163-174
En 1905, Albert Einstein analizó la relatividad especial en términos de cinemática (el estudio de cuerpos en movimiento sin referencia a fuerzas) en lugar de dinámica. Sus resultados fueron matemáticamente equivalentes a los de Lorentz y Poincaré. Los obtuvo al reconocer que toda la teoría puede construirse sobre dos postulados: el principio de la relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz. Su trabajo estaba lleno de imágenes vívidas que involucraban el intercambio de señales luminosas entre relojes en movimiento, mediciones cuidadosas de las longitudes de varillas en movimiento y otros ejemplos similares. [23] [nota 4]
En 1905, Einstein reemplazó los intentos anteriores de una relación electromagnética masa -energía al introducir la equivalencia general de masa y energía , lo que fue fundamental para su posterior formulación del principio de equivalencia en 1907, que declara la equivalencia de la masa inercial y gravitacional. Al utilizar la equivalencia masa-energía, Einstein demostró que la masa gravitacional de un cuerpo es proporcional a su contenido de energía, lo que fue uno de los primeros resultados en el desarrollo de la relatividad general . Si bien parece que al principio no pensó geométricamente sobre el espacio-tiempo, [3] : 219 en el desarrollo posterior de la relatividad general, Einstein incorporó plenamente el formalismo del espacio-tiempo.
Cuando Einstein publicó en 1905, otro de sus competidores, su antiguo profesor de matemáticas Hermann Minkowski , también había llegado a la mayoría de los elementos básicos de la relatividad especial. Max Born relató un encuentro que había tenido con Minkowski, buscando ser alumno/colaborador de Minkowski: [25]
Fui a Colonia, conocí a Minkowski y escuché su célebre conferencia "Espacio y tiempo" pronunciada el 2 de septiembre de 1908. [...] Me dijo más tarde que se llevó una gran sorpresa cuando Einstein publicó su artículo en el que la equivalencia de las diferentes horas locales de los observadores que se mueven entre sí; porque había llegado a las mismas conclusiones de forma independiente pero no las publicó porque deseaba primero resolver la estructura matemática en todo su esplendor. Nunca hizo un reclamo de prioridad y siempre le dio a Einstein toda su participación en el gran descubrimiento.
Minkowski había estado preocupado por el estado de la electrodinámica después de los disruptivos experimentos de Michelson al menos desde el verano de 1905, cuando Minkowski y David Hilbert dirigieron un seminario avanzado al que asistieron físicos notables de la época para estudiar los artículos de Lorentz, Poincaré et al. Minkowski vio el trabajo de Einstein como una extensión del de Lorentz y estuvo influenciado más directamente por Poincaré. [26]
El 5 de noviembre de 1907 (poco más de un año antes de su muerte), Minkowski presentó su interpretación geométrica del espacio-tiempo en una conferencia en la Sociedad Matemática de Göttingen con el título El principio de la relatividad ( Das Relativitätsprinzip ). [nota 5] El 21 de septiembre de 1908, Minkowski presentó su famosa charla, Espacio y tiempo ( Raum und Zeit ), [27] ante la Sociedad Alemana de Científicos y Médicos. Las palabras iniciales de Espacio y tiempo incluyen la famosa declaración de Minkowski de que "de ahora en adelante, el espacio para sí mismo y el tiempo para sí mismo se reducirán por completo a una mera sombra, y sólo algún tipo de unión de los dos preservará la independencia". Espacio y Tiempo incluyó la primera presentación pública de diagramas de espacio-tiempo (Fig. 1-4), e incluyó una notable demostración de que el concepto de intervalo invariante (que se analiza más adelante), junto con la observación empírica de que la velocidad de la luz es finita, permite derivación de la totalidad de la relatividad especial. [nota 6]
El concepto de espacio-tiempo y el grupo de Lorentz están estrechamente relacionados con ciertos tipos de geometrías esféricas , hiperbólicas o conformes y sus grupos de transformación ya desarrollados en el siglo XIX, en los que se utilizan intervalos invariantes análogos al intervalo de espacio-tiempo . [nota 7]
Einstein, por su parte, inicialmente desdeñó la interpretación geométrica de Minkowski de la relatividad especial, considerándola como überflüssige Gelehrsamkeit (conocimiento superfluo). Sin embargo, para completar su búsqueda de la relatividad general iniciada en 1907, la interpretación geométrica de la relatividad resultó vital. En 1916, Einstein reconoció plenamente su deuda con Minkowski, cuya interpretación facilitó enormemente la transición a la relatividad general. [16] : 151–152 Dado que existen otros tipos de espaciotiempo, como el espaciotiempo curvo de la relatividad general, el espaciotiempo de la relatividad especial se conoce hoy como espaciotiempo de Minkowski.
En tres dimensiones, la distancia entre dos puntos se puede definir mediante el teorema de Pitágoras :
Aunque dos espectadores pueden medir la posición x , y y z de los dos puntos usando diferentes sistemas de coordenadas, la distancia entre los puntos será la misma para ambos, asumiendo que están midiendo usando las mismas unidades. La distancia es "invariante".
En la relatividad especial, sin embargo, la distancia entre dos puntos ya no es la misma si la miden dos observadores diferentes, cuando uno de los observadores se está moviendo, debido a la contracción de Lorentz . La situación es aún más complicada si los dos puntos están separados tanto en el tiempo como en el espacio. Por ejemplo, si un observador ve dos eventos que ocurren en el mismo lugar, pero en diferentes momentos, una persona que se mueve con respecto al primer observador verá los dos eventos que ocurren en diferentes lugares, porque, desde su punto de vista, son estacionarios. , y la posición del evento se aleja o se acerca. Por tanto, se debe utilizar una medida diferente para medir la "distancia" efectiva entre dos eventos. [31] : 48–50, 100–102
En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, la analogía de la distancia es el intervalo. Aunque el tiempo aparece como una cuarta dimensión, se trata de manera diferente a las dimensiones espaciales. Por tanto, el espacio de Minkowski difiere en aspectos importantes del espacio euclidiano de cuatro dimensiones . La razón fundamental para fusionar el espacio y el tiempo en el espacio-tiempo es que el espacio y el tiempo por separado no son invariantes, lo que quiere decir que, bajo las condiciones adecuadas, diferentes observadores no estarán de acuerdo sobre la duración del tiempo entre dos eventos (debido a la dilatación del tiempo ) o la distancia entre los dos eventos (debido a la contracción de la longitud ). La relatividad especial proporciona una nueva invariante, llamada intervalo espacio-temporal , que combina distancias en el espacio y en el tiempo. Todos los observadores que miden el tiempo y la distancia entre dos eventos terminarán calculando el mismo intervalo espacio-temporal. Supongamos que un observador mide dos eventos separados en el tiempo por y una distancia espacial. Entonces el intervalo espacio-temporal al cuadrado entre los dos eventos que están separados por una distancia en el espacio y por en la coordenada es: [32]
o para tres dimensiones espaciales,
La constante de la velocidad de la luz convierte unidades de tiempo (como segundos) en unidades de espacio (como metros). El intervalo al cuadrado es una medida de separación entre eventos A y B que están separados en el tiempo y además en el espacio, ya sea porque hay dos objetos separados que experimentan eventos o porque un solo objeto en el espacio se mueve inercialmente entre sus eventos. El intervalo de separación se obtiene elevando al cuadrado la distancia espacial que separa el evento B del evento A y restándola del cuadrado de la distancia espacial recorrida por una señal luminosa en ese mismo intervalo de tiempo . Si la separación de eventos se debe a una señal luminosa, entonces esta diferencia desaparece y .
Cuando los eventos considerados son infinitamente cercanos entre sí, entonces podemos escribir
En un marco inercial diferente, digamos con coordenadas , el intervalo de espacio-tiempo se puede escribir de la misma forma que arriba. Debido a la constancia de la velocidad de la luz, los eventos de luz en todos los sistemas inerciales pertenecen al intervalo cero . Para cualquier otro evento infinitesimal en el que se pueda probar lo que a su vez conduce a la integración . [33] : 2 La invariancia del intervalo de cualquier evento entre todos los marcos de referencia interciales es uno de los resultados fundamentales de la teoría de la relatividad especial.
Aunque por razones de brevedad, con frecuencia se ven expresiones de intervalo expresadas sin deltas, incluso en la mayor parte de la siguiente discusión, debe entenderse que en general, significa , etc. Siempre nos preocupan las diferencias de valores de coordenadas espaciales o temporales que pertenecen a dos eventos, y dado que no existe un origen preferido, los valores de coordenadas únicas no tienen un significado esencial.
La ecuación anterior es similar al teorema de Pitágoras, excepto que tiene un signo menos entre los términos y . El intervalo espacio-temporal es la cantidad, no en sí misma. La razón es que, a diferencia de las distancias en la geometría euclidiana, los intervalos en el espacio-tiempo de Minkowski pueden ser negativos. En lugar de ocuparse de las raíces cuadradas de números negativos, los físicos suelen considerarlo como un símbolo distinto en sí mismo, en lugar del cuadrado de algo. [3] : 217
En general se puede asumir cualquier valor de número real. Si es positivo, el intervalo espacio-temporal se denomina temporal . Dado que la distancia espacial recorrida por cualquier objeto masivo es siempre menor que la distancia recorrida por la luz durante el mismo intervalo de tiempo, los intervalos positivos siempre son temporales. Si es negativo, se dice que el intervalo espacio-temporal es espacial . Los intervalos de espacio-tiempo son iguales a cero cuando. En otras palabras, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos en la línea del mundo de algo que se mueve a la velocidad de la luz es cero. Tal intervalo se denomina ligero o nulo . Un fotón que llega a nuestro ojo procedente de una estrella lejana no habrá envejecido, a pesar de haber pasado (desde nuestra perspectiva) años en su paso. [31] : 48–50
Un diagrama de espacio-tiempo generalmente se dibuja con un solo espacio y una sola coordenada de tiempo. La figura 2-1 presenta un diagrama espacio-temporal que ilustra las líneas mundiales (es decir, los caminos en el espacio-tiempo) de dos fotones, A y B, que se originan en el mismo evento y van en direcciones opuestas. Además, C ilustra la línea mundial de un objeto más lento que la velocidad de la luz. La coordenada de tiempo vertical se escala para que tenga las mismas unidades (metros) que la coordenada de espacio horizontal. Como los fotones viajan a la velocidad de la luz, sus líneas mundiales tienen una pendiente de ±1. [31] : 23–25 En otras palabras, cada metro que un fotón recorre hacia la izquierda o hacia la derecha requiere aproximadamente 3,3 nanosegundos de tiempo.
Para obtener información sobre cómo se comparan entre sí las coordenadas espacio-temporales medidas por observadores en diferentes marcos de referencia , es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar. Con cuidado, esto permite simplificar las matemáticas sin perder generalidad en las conclusiones a las que se llega. En la Fig. 2-2 se muestran dos sistemas de referencia galileanos (es decir, sistemas convencionales de tres espacios) en movimiento relativo. El cuadro S pertenece a un primer observador O, y el cuadro S′ (pronunciado "S primo") pertenece a un segundo observador O′.
La figura 2-3a vuelve a dibujar la figura 2-2 con una orientación diferente. La figura 2-3b ilustra un diagrama espacio-temporal relativista desde el punto de vista del observador O. Dado que S y S′ están en configuración estándar, sus orígenes coinciden en los momentos t = 0 en el marco S y t ′ = 0 en el marco S′. El eje ct ′ pasa por los eventos en el marco S′ que tienen x ′ = 0. Pero los puntos con x ′ = 0 se mueven en la dirección x del marco S con velocidad v , de modo que no coinciden con el ct eje en cualquier momento distinto de cero. Por lo tanto, el eje ct ′ está inclinado con respecto al eje ct en un ángulo θ dado por [31] : 23-31
El eje x ′ también está inclinado con respecto al eje x . Para determinar el ángulo de esta inclinación, recordemos que la pendiente de la línea universal de un pulso de luz es siempre ±1. La figura 2-3c presenta un diagrama espacio-temporal desde el punto de vista del observador O′. El evento P representa la emisión de un pulso de luz en x ′ = 0, ct ′ = − a . El pulso se refleja en un espejo situado a una distancia a de la fuente de luz (evento Q) y regresa a la fuente de luz en x ′ = 0, ct ′ = a (evento R).
Los mismos eventos P, Q, R se representan en la figura 2-3b en el marco del observador O. Las trayectorias de luz tienen pendientes = 1 y −1, de modo que △PQR forma un triángulo rectángulo con PQ y QR ambos a 45 grados. a los ejes x y ct . Como OP = OQ = OR, el ángulo entre x ′ y x también debe ser θ . [6] : 113-118
Mientras que el marco en reposo tiene ejes de espacio y tiempo que se encuentran en ángulo recto, el marco en movimiento se dibuja con ejes que se encuentran en un ángulo agudo. Los marcos son en realidad equivalentes. [31] : 23–31 La asimetría se debe a distorsiones inevitables en cómo las coordenadas espacio-temporales pueden mapearse en un plano cartesiano , y no debe considerarse más extraña que la manera en que, en una proyección de Mercator de la Tierra, los tamaños relativos de la Tierra Las masas cercanas a los polos (Groenlandia y la Antártida) son muy exageradas en relación con las masas terrestres cercanas al ecuador.
En la figura 2-4, el evento O está en el origen de un diagrama espacio-temporal, y las dos líneas diagonales representan todos los eventos que tienen un intervalo espacio-temporal cero con respecto al evento origen. Estas dos líneas forman lo que se llama el cono de luz del evento O, ya que al agregar una segunda dimensión espacial (Fig. 2-5) se crea la apariencia de dos conos circulares rectos que se encuentran con sus vértices en O. Un cono se extiende hacia el futuro. (t>0), el otro al pasado (t<0).
Un cono de luz (doble) divide el espacio-tiempo en regiones separadas con respecto a su vértice. El interior del futuro cono de luz consta de todos los eventos que están separados del vértice por más tiempo (distancia temporal) del necesario para cruzar su distancia espacial a la velocidad de la luz; estos eventos comprenden el futuro temporal del evento O. Asimismo, el pasado temporal comprende los eventos interiores del cono de luz pasado. Entonces, en intervalos temporales, Δ ct es mayor que Δ x , lo que hace que los intervalos temporales sean positivos. [3] : 220
La región exterior al cono de luz consta de eventos que están separados del evento O por más espacio del que se puede cruzar a la velocidad de la luz en el tiempo dado . Estos eventos comprenden la llamada región espacial del evento O, denominada "en otro lugar" en la figura 2-4. Se dice que los eventos en el cono de luz son similares a la luz (o separados nulamente ) de O. Debido a la invariancia del intervalo de espacio-tiempo, todos los observadores asignarán el mismo cono de luz a cualquier evento dado y, por lo tanto, estarán de acuerdo en esta división del espacio-tiempo. . [3] : 220
El cono de luz tiene un papel esencial dentro del concepto de causalidad . Es posible que una señal que no sea más rápida que la velocidad de la luz viaje desde la posición y el tiempo de O hasta la posición y el tiempo de D (figura 2-4). Por lo tanto, es posible que el evento O tenga una influencia causal sobre el evento D. El cono de luz futuro contiene todos los eventos que podrían ser influenciados causalmente por O. Del mismo modo, es posible que una señal que no sea más rápida que la velocidad de la luz viajar desde la posición y el tiempo de A, a la posición y el tiempo de O. El cono de luz pasado contiene todos los eventos que podrían tener una influencia causal en O. Por el contrario, suponiendo que las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, cualquier Un evento, como por ejemplo B o C, en la región espacial (En otro lugar), no puede afectar al evento O, ni puede verse afectado por el evento O que emplea tal señalización. Bajo esta suposición se excluye cualquier relación causal entre el evento O y cualquier evento en la región espacial de un cono de luz. [35]
Todos los observadores estarán de acuerdo en que para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz futuro del evento dado ocurre después del evento dado. Del mismo modo, para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz pasado del evento dado ocurre antes del evento dado. La relación antes-después observada para eventos separados en el tiempo permanece sin cambios sin importar cuál sea el marco de referencia del observador, es decir, sin importar cómo se esté moviendo el observador. La situación es bastante diferente para los eventos separados en forma espacial. La figura 2-4 se extrajo del sistema de referencia de un observador que se mueve en v = 0. Desde este sistema de referencia, se observa que el evento C ocurre después del evento O, y se observa que el evento B ocurre antes del evento O. [36]
Desde un marco de referencia diferente, el orden de estos eventos no relacionados causalmente se puede invertir. En particular, se observa que si dos eventos son simultáneos en un marco de referencia particular, están necesariamente separados por un intervalo espacial y, por lo tanto, no están relacionados causalmente. La observación de que la simultaneidad no es absoluta, sino que depende del marco de referencia del observador, se denomina relatividad de la simultaneidad . [36]
La figura 2-6 ilustra el uso de diagramas espacio-temporales en el análisis de la relatividad de la simultaneidad. Los eventos en el espacio-tiempo son invariantes, pero los marcos de coordenadas se transforman como se analizó anteriormente en la figura 2-3. Los tres eventos (A, B, C) son simultáneos desde el sistema de referencia de un observador que se mueve en v = 0. Desde el sistema de referencia de un observador que se mueve en v = 0,3 c , los eventos parecen ocurrir en el orden C, B , A. Desde el sistema de referencia de un observador que se mueve en v = −0,5 c , los eventos parecen ocurrir en el orden A, B, C . La línea blanca representa un plano de simultaneidad que se mueve desde el pasado del observador hacia el futuro del observador, resaltando los eventos que residen en él. La zona gris es el cono de luz del observador, que permanece invariante.
Un intervalo de espacio-tiempo similar al espacio da la misma distancia que mediría un observador si los eventos que se miden fueran simultáneos para el observador. Por lo tanto, un intervalo de espacio-tiempo similar a un espacio proporciona una medida de la distancia adecuada , es decir, la distancia verdadera = Asimismo, un intervalo de espacio-tiempo similar a un tiempo proporciona la misma medida de tiempo que presentaría el tictac acumulativo de un reloj que se mueve a lo largo de una línea mundial determinada. Por lo tanto, un intervalo espacio-temporal similar al tiempo proporciona una medida del tiempo adecuado = [3] : 220–221
En el espacio euclidiano (que tiene dimensiones espaciales únicamente), el conjunto de puntos equidistantes (usando la métrica euclidiana) de algún punto forman un círculo (en dos dimensiones) o una esfera (en tres dimensiones). En el espacio-tiempo de Minkowski (1 + 1) dimensional (que tiene una dimensión temporal y una espacial), los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante lejos del origen (usando la métrica de Minkowski) forman curvas dadas por las dos ecuaciones.
con alguna constante real positiva. Estas ecuaciones describen dos familias de hipérbolas en un diagrama espacio-temporal x – ct , que se denominan hipérbolas invariantes .
En la figura 2-7a, cada hipérbola magenta conecta todos los eventos que tienen alguna separación espacial fija desde el origen, mientras que las hipérbolas verdes conectan eventos con igual separación temporal.
Las hipérbolas magenta, que cruzan el eje x , son curvas temporales, es decir, estas hipérbolas representan caminos reales que pueden ser recorridos por partículas (en constante aceleración) en el espacio-tiempo: entre dos eventos cualesquiera en una hipérbola es posible una relación de causalidad, porque la inversa de la pendiente (que representa la velocidad necesaria) para todas las secantes es menor que . Por otro lado, las hipérbolas verdes, que cruzan el eje ct , son curvas espaciales porque todos los intervalos a lo largo de estas hipérbolas son intervalos espaciales: no es posible causalidad entre dos puntos cualesquiera de una de estas hipérbolas, porque todas las secantes representan velocidades mayores que .
La figura 2-7b refleja la situación en el espacio-tiempo de Minkowski (1+2)dimensional (una dimensión temporal y dos espaciales) con los hiperboloides correspondientes. Las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos espaciales desde el origen generan hiperboloides de una hoja, mientras que las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos temporales desde el origen generan hiperboloides de dos hojas.
El límite dimensional (1+2) entre los hiperboloides espaciales y temporales, establecido por los eventos que forman un intervalo espaciotemporal cero hasta el origen, se forma degenerando los hiperboloides hasta el cono de luz. En dimensiones (1+1), las hipérbolas degeneran a las dos líneas grises de 45° representadas en la figura 2-7a.
La figura 2-8 ilustra la hipérbola invariante para todos los eventos a los que se puede llegar desde el origen en un tiempo adecuado de 5 metros (aproximadamente1,67 × 10 −8 s ). Las diferentes líneas del mundo representan relojes que se mueven a diferentes velocidades. Un reloj que está estacionario con respecto al observador tiene una línea mundial que es vertical y el tiempo transcurrido medido por el observador es el mismo que el tiempo adecuado. Para un reloj que avanza a 0,3 c , el tiempo transcurrido medido por el observador es 5,24 metros (1,75 × 10 −8 s ), mientras que para un reloj que avanza a 0,7 c , el tiempo transcurrido medido por el observador es 7,00 metros (2,34 × 10 −8 s ). [3] : 220–221
Esto ilustra el fenómeno conocido como dilatación del tiempo . Los relojes que viajan más rápido tardan más (en el marco del observador) en marcar la misma cantidad de tiempo adecuado, y viajan más a lo largo del eje x dentro de ese tiempo adecuado de lo que lo harían sin la dilatación del tiempo. [3] : 220–221 La medición de la dilatación del tiempo por dos observadores en diferentes marcos de referencia inerciales es mutua. Si el observador O mide que los relojes del observador O′ funcionan más lento en su marco, el observador O′ a su vez medirá que los relojes del observador O funcionan más lento.
La contracción de la longitud , al igual que la dilatación del tiempo, es una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. La medición de la longitud requiere la medición del intervalo espacio-temporal entre dos eventos que son simultáneos en el marco de referencia de cada uno. Pero los acontecimientos que son simultáneos en un marco de referencia, en general, no lo son en otros marcos de referencia.
La figura 2-9 ilustra los movimientos de una varilla de 1 m que se desplaza a 0,5 c a lo largo del eje x . Los bordes de la banda azul representan las líneas mundiales de los dos puntos finales de la varilla. La hipérbola invariante ilustra eventos separados del origen por un intervalo espacial de 1 m. Los puntos finales O y B medidos cuando t ′ = 0 son eventos simultáneos en el marco S′. Pero para un observador en el cuadro S, los eventos O y B no son simultáneos. Para medir la longitud, el observador en el cuadro S mide los puntos finales de la varilla proyectada sobre el eje x a lo largo de sus líneas universales. La proyección de la lámina universal de la varilla sobre el eje x produce la longitud escorzada OC. [6] : 125
(no ilustrado) Dibujar una línea vertical que pase por A de manera que corte el eje x ′ demuestra que, así como OB está escorzado desde el punto de vista del observador O, OA también está escorzado desde el punto de vista del observador O′. De la misma manera que cada observador mide que los relojes del otro están lentos, cada observador mide que los gobernantes del otro están contraídos.
Con respecto a la contracción mutua de longitud, la figura 2-9 ilustra que los marcos preparados y no preparados giran mutuamente en un ángulo hiperbólico (análogo a los ángulos ordinarios en la geometría euclidiana). [nota 8] Debido a esta rotación, la proyección de una regla métrica no cebada sobre el eje x no cebado se escorza, mientras que la proyección de una regla métrica no cebada sobre el eje x′ cebado también se escorza.
La dilatación mutua del tiempo y la contracción de la longitud tienden a parecer conceptos inherentemente contradictorios a los principiantes. Si un observador en el marco S mide un reloj, en reposo en el marco S', corriendo más lento que el suyo', mientras que S' se mueve a una velocidad v en S, entonces el principio de relatividad requiere que un observador en el marco S' mida de la misma manera un reloj en el cuadro S, que se mueve a una velocidad − v en S', corre más lento que el de ella. Cómo dos relojes pueden funcionar más lento que el otro es una cuestión importante que "llega al corazón de la comprensión de la relatividad especial". [3] : 198
Esta aparente contradicción surge de no tener en cuenta correctamente los diferentes ajustes de las mediciones necesarias y relacionadas. Estos escenarios permiten una explicación consistente de la única contradicción aparente . No se trata del tictac abstracto de dos relojes idénticos, sino de cómo medir en un cuadro la distancia temporal de dos tictac de un reloj en movimiento. Resulta que al observar mutuamente la duración entre los tics de los relojes, cada uno de los cuales se mueve en el cuadro respectivo, deben participar diferentes conjuntos de relojes. Para medir en el cuadro S la duración del tic de un reloj en movimiento W′ (en reposo en S′), se utilizan dos relojes sincronizados adicionales W 1 y W 2 en reposo en dos puntos arbitrariamente fijos en S con la distancia espacial d .
Por el contrario, para juzgar en el cuadro S′ la distancia temporal de dos eventos en un reloj en movimiento W (en reposo en S), se necesitan dos relojes en reposo en S′.
Las grabaciones necesarias para las dos sentencias, con "un reloj en movimiento" y "dos relojes en reposo" respectivamente en S o S′, implican dos conjuntos diferentes, cada uno con tres relojes. Dado que hay diferentes conjuntos de relojes involucrados en las mediciones, no existe una necesidad inherente de que las mediciones sean recíprocamente "consistentes" de modo que, si un observador mide que el reloj en movimiento es lento, el otro observador mide que el reloj de uno está rápido. [3] : 198-199
La figura 2-10 ilustra la discusión previa sobre la dilatación mutua del tiempo con diagramas de Minkowski. La imagen superior refleja las medidas vistas desde el cuadro S "en reposo" con ejes rectangulares no preparados, y el cuadro S′ "moviéndose con v > 0", coordinado por ejes oblicuos preparados, inclinados hacia la derecha; la imagen inferior muestra el cuadro S′ "en reposo" con coordenadas rectangulares preparadas, y el cuadro S "moviéndose con − v < 0", con ejes oblicuos no preparados, inclinados hacia la izquierda.
Cada línea trazada paralela a un eje espacial ( x , x ′) representa una línea de simultaneidad. Todos los eventos en dicha línea tienen el mismo valor de tiempo ( ct , ct ′). Asimismo, cada línea trazada paralela a un eje temporal ( ct , ct′ ) representa una línea de valores de coordenadas espaciales iguales ( x , x ′).
Para mostrar la dilatación mutua del tiempo inmediatamente en la imagen superior, el evento D puede construirse como el evento en x ′ = 0 (la ubicación del reloj W′ en S′), es decir, simultáneo a C ( OC tiene el mismo intervalo de espacio-tiempo que OA ) en S′. Esto muestra que el intervalo de tiempo OD es más largo que OA , lo que muestra que el reloj "en movimiento" funciona más lento. [6] : 124
En la imagen inferior, el marco S se mueve con velocidad − v en el marco S′ en reposo. La línea mundial del reloj W es el eje ct (inclinado hacia la izquierda), la línea mundial de W′ 1 es el eje vertical ct ′ y la línea mundial de W′ 2 es el evento vertical pasante C , con coordenada ct ′ D . La hipérbola invariante a través del evento C escala el intervalo de tiempo OC a OA , que es más corto que OD ; Además, B se construye (similar a D en las imágenes superiores) como simultáneo a A en S, en x = 0. El resultado OB > OC corresponde nuevamente a lo anterior.
La palabra "medida" es importante. En la física clásica, un observador no puede afectar un objeto observado, pero el estado de movimiento del objeto puede afectar las observaciones del objeto por parte del observador.
Muchas introducciones a la relatividad especial ilustran las diferencias entre la relatividad galileana y la relatividad especial planteando una serie de "paradojas". Estas paradojas son, de hecho, problemas mal planteados, resultantes de nuestra falta de familiaridad con velocidades comparables a la velocidad de la luz. El remedio es resolver muchos problemas de la relatividad especial y familiarizarse con sus llamadas predicciones contraintuitivas. El enfoque geométrico para estudiar el espacio-tiempo se considera uno de los mejores métodos para desarrollar la intuición moderna. [37]
La paradoja de los gemelos es un experimento mental en el que participan gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad y, al regresar a casa, descubre que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo observa al otro gemelo moverse, por lo que, a primera vista, parecería que cada uno debería encontrar que el otro ha envejecido menos. La paradoja de los gemelos elude la justificación de la dilatación mutua del tiempo presentada anteriormente al evitar el requisito de un tercer reloj. [3] : 207 Sin embargo, la paradoja de los gemelos no es una verdadera paradoja porque se entiende fácilmente en el contexto de la relatividad especial.
La impresión de que existe una paradoja surge de una mala comprensión de lo que afirma la relatividad especial. La relatividad especial no declara que todos los sistemas de referencia sean equivalentes, sólo los sistemas inerciales. El cuerpo del gemelo viajero no es inercial durante los períodos en los que acelera. Además, la diferencia entre los gemelos es detectable mediante la observación: el gemelo que viaja necesita disparar sus cohetes para poder regresar a casa, mientras que el gemelo que se queda en casa no. [38] [nota 9]
Estas distinciones deberían dar como resultado una diferencia en las edades de los gemelos. El diagrama espacio-temporal de la figura 2-11 presenta el caso simple de un gemelo que avanza en línea recta a lo largo del eje x e inmediatamente regresa. Desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa, la paradoja de los gemelos no tiene nada de desconcertante. El tiempo adecuado medido a lo largo de la línea mundial del gemelo viajero de O a C, más el tiempo adecuado medido de C a B, es menor que el tiempo adecuado del gemelo que se queda en casa medido de O a A y B. Las trayectorias más complejas requieren integrar el tiempo adecuado entre los eventos respectivos a lo largo de la curva (es decir, la integral de trayectoria ) para calcular la cantidad total de tiempo adecuado experimentado por el gemelo viajero. [38]
Surgen complicaciones si se analiza la paradoja de los gemelos desde el punto de vista del gemelo viajero.
De aquí en adelante se utiliza la nomenclatura de Weiss, que designa al gemelo que se queda en casa como Terence y al gemelo que viaja como Stella. [38]
Stella no está en un sistema inercial. Dado este hecho, a veces se afirma incorrectamente que la resolución total de la paradoja de los gemelos requiere la relatividad general: [38]
Un análisis SR puro sería el siguiente: Analizada en el marco de reposo de Stella, ella permanece inmóvil durante todo el viaje. Cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, experimenta una pseudofuerza que se asemeja a una fuerza gravitacional. [38] Higos. 2-6 y 2-11 ilustran el concepto de líneas (planos) de simultaneidad: Las líneas paralelas al eje x del observador ( plano xy ) representan conjuntos de eventos que son simultáneos en el marco del observador. En la figura 2-11, las líneas azules conectan eventos en la línea mundial de Terence que, desde el punto de vista de Stella , son simultáneos con eventos en su línea mundial. (Terence, a su vez, observaría un conjunto de líneas horizontales de simultaneidad). A lo largo de los tramos de ida y vuelta del viaje de Stella, ella mide que los relojes de Terence van más lento que el suyo. Pero durante el cambio (es decir, entre las líneas azules en negrita de la figura), se produce un cambio en el ángulo de sus líneas de simultaneidad, correspondiente a un rápido salto de los eventos en la línea mundial de Terence que Stella considera simultáneos con su propio. Por lo tanto, al final de su viaje, Stella descubre que Terence ha envejecido más que ella. [38]
Aunque no se requiere la relatividad general para analizar la paradoja de los gemelos, la aplicación del Principio de Equivalencia de la relatividad general proporciona información adicional sobre el tema. Stella no está estacionaria en un sistema inercial. Analizada en el estado de reposo de Stella, ella permanece inmóvil durante todo el viaje. Cuando está avanzando, su sistema de reposo es inercial y el reloj de Terence parecerá ir lento. Pero cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, su marco de reposo es un marco acelerado y experimenta una fuerza que la empuja como si estuviera en un campo gravitacional. Terence parecerá estar en lo alto de ese campo y, debido a la dilatación gravitacional del tiempo , su reloj parecerá correr más rápido, hasta el punto de que el resultado neto será que Terence habrá envejecido más que Stella cuando vuelvan a estar juntos. [38] Los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no son exclusivos de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predecirá la dilatación del tiempo gravitacional si respeta el principio de equivalencia, incluida la teoría de Newton. [3] : 16
Esta sección introductoria se ha centrado en el espacio-tiempo de la relatividad especial, ya que es el más fácil de describir. El espacio-tiempo de Minkowski es plano, no tiene en cuenta la gravedad, es uniforme en todas partes y no sirve más que como fondo estático para los acontecimientos que en él tienen lugar. La presencia de la gravedad complica enormemente la descripción del espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo ya no es un fondo estático, sino que interactúa activamente con los sistemas físicos que contiene. El espacio-tiempo se curva en presencia de materia, puede propagar ondas, desviar la luz y exhibir una serie de otros fenómenos. [3] : 221 Algunos de estos fenómenos se describen en las secciones posteriores de este artículo.
Un objetivo básico es poder comparar las mediciones realizadas por observadores en movimiento relativo. Si hay un observador O en el cuadro S que ha medido las coordenadas temporales y espaciales de un evento, asignando a este evento tres coordenadas cartesianas y el tiempo medido en su red de relojes sincronizados ( x , y , z , t ) (ver Fig. 1-1). Un segundo observador O′ en un marco diferente S′ mide el mismo evento en su sistema de coordenadas y su red de relojes sincronizados ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Con marcos inerciales, ningún observador está bajo aceleración, y un conjunto simple de ecuaciones nos permite relacionar las coordenadas ( x , y , z , t ) con ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Dado que los dos sistemas de coordenadas están en configuración estándar, lo que significa que están alineados con coordenadas paralelas ( x , y , z ) y que t = 0 cuando t ′ = 0 , la transformación de coordenadas es la siguiente: [39] [40]
La figura 3-1 ilustra que en la teoría de Newton el tiempo es universal, no la velocidad de la luz. [41] : 36–37 Considere el siguiente experimento mental: la flecha roja ilustra un tren que se mueve a 0,4 c con respecto al andén. Dentro del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad de 0,4 c en el marco del tren. La flecha azul ilustra que una persona parada en las vías del tren mide la bala viajando a 0,8 c. Esto está de acuerdo con nuestras ingenuas expectativas.
De manera más general, suponiendo que el marco S′ se mueve a una velocidad v con respecto al marco S, entonces dentro del marco S′, el observador O′ mide un objeto que se mueve con velocidad u ′ . La velocidad u con respecto al marco S, ya que x = ut , x ′ = x − vt y t = t ′ , se puede escribir como x ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ' . Esto lleva a u ′ = x ′ / t ′ y finalmente
que es la ley galileana de sentido común para la suma de velocidades .
La composición de las velocidades es bastante diferente en el espacio-tiempo relativista. Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, introducimos una abreviatura común para la relación entre la velocidad de un objeto y la luz,
La figura 3-2a ilustra un tren rojo que avanza a una velocidad dada por v / c = β = s / a . Desde el marco preparado del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad dada por u ′ / c = β ′ = n / m , donde la distancia se mide a lo largo de una línea paralela al eje x ′ rojo en lugar de paralela al eje x negro . ¿Cuál es la velocidad compuesta u de la bala con respecto a la plataforma, representada por la flecha azul? Con referencia a la figura 3-2b:
La fórmula relativista para la suma de velocidades presentada anteriormente presenta varias características importantes:
Es sencillo obtener expresiones cuantitativas para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. La Fig. 3-3 es una imagen compuesta que contiene fotogramas individuales tomados de dos animaciones anteriores, simplificada y reetiquetada para los fines de esta sección.
Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, existe una variedad de notaciones abreviadas diferentes para ct :
En la figura 3-3a, los segmentos OA y OK representan intervalos espacio-temporales iguales. La dilatación del tiempo está representada por la relación OB / OK . La hipérbola invariante tiene la ecuación w = √ x 2 + k 2 donde k = OK , y la línea roja que representa la línea mundial de una partícula en movimiento tiene la ecuación w = x / β = xc / v . Un poco de manipulación algebraica produce
La expresión que involucra el símbolo de la raíz cuadrada aparece con mucha frecuencia en la relatividad, y una encima de la expresión se llama factor de Lorentz, denotado por la letra griega gamma : [42]
Si v es mayor o igual que c , la expresión for deja de tener sentido físicamente, lo que implica que c es la velocidad máxima posible en la naturaleza. Para cualquier v mayor que cero, el factor de Lorentz será mayor que uno, aunque la forma de la curva es tal que para velocidades bajas, el factor de Lorentz es extremadamente cercano a uno.
En la figura 3-3b, los segmentos OA y OK representan intervalos espacio-temporales iguales. La contracción de longitud está representada por la relación OB / OK . La hipérbola invariante tiene la ecuación x = √ w 2 + k 2 , donde k = OK , y los bordes de la banda azul que representan las líneas universales de los puntos finales de una varilla en movimiento tienen pendiente 1/ β = c / v . El evento A tiene coordenadas ( x , w ) = ( γk , γβk ). Dado que la recta tangente que pasa por A y B tiene la ecuación w = ( x − OB )/ β , tenemos γβk = ( γk − OB )/ β y
Las transformaciones galileanas y su consiguiente ley de sentido común de suma de velocidades funcionan bien en nuestro mundo ordinario de aviones, automóviles y pelotas de baja velocidad. Sin embargo, a partir de mediados del siglo XIX, la instrumentación científica sensible comenzó a encontrar anomalías que no encajaban bien con la suma ordinaria de velocidades.
Las transformaciones de Lorentz se utilizan para transformar las coordenadas de un evento de un cuadro a otro en la relatividad especial.
El factor de Lorentz aparece en las transformaciones de Lorentz:
Las transformaciones inversas de Lorentz son:
Cuando v ≪ c y x es lo suficientemente pequeño, los términos v 2 / c 2 y vx / c 2 se acercan a cero, y las transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo.
etc., la mayoría de las veces realmente significan etc. Aunque por brevedad las ecuaciones de transformación de Lorentz se escriben sin deltas, x significa Δ x , etc. En general, siempre nos preocupan las diferencias de espacio y tiempo entre eventos.
Llamar a un conjunto de transformaciones transformaciones de Lorentz normales y al otro transformaciones inversas es engañoso, ya que no existe una diferencia intrínseca entre los marcos. Diferentes autores denominan a uno u otro conjunto de transformaciones conjunto "inverso". Las transformaciones directa e inversa están trivialmente relacionadas entre sí, ya que el marco S solo puede moverse hacia adelante o hacia atrás con respecto a S ′ . Entonces, invertir las ecuaciones simplemente implica cambiar las variables primadas y no primadas y reemplazar v con − v . [43] : 71–79
Ejemplo: Terence y Stella están en una carrera espacial de la Tierra a Marte. Terence es oficial en la línea de salida, mientras que Stella es participante. En el momento t = t ′ = 0 , la nave espacial de Stella acelera instantáneamente a una velocidad de 0,5 c . La distancia de la Tierra a Marte es de 300 segundos luz (aproximadamente90,0 × 10 6 km ). Terence observa a Stella cruzar la línea de meta en t = 600.00 s . Pero Stella observa el tiempo en el cronómetro de su barco cuando pasa la línea de meta, y calcula la distancia entre las líneas de salida y meta, medida en su marco, en 259,81 segundos luz (aproximadamente77,9 × 10 6 km ). 1).
Ha habido muchas docenas de derivaciones de las transformaciones de Lorentz desde el trabajo original de Einstein en 1905, cada una con su enfoque particular. Aunque la derivación de Einstein se basó en la invariancia de la velocidad de la luz, existen otros principios físicos que pueden servir como puntos de partida. En definitiva, estos puntos de partida alternativos pueden considerarse diferentes expresiones del principio subyacente de localidad , que establece que la influencia que una partícula ejerce sobre otra no puede transmitirse instantáneamente. [44]
La derivación dada aquí e ilustrada en la Fig. 3-5 se basa en una presentada por Bais [41] : 64-66 y hace uso de resultados previos de las secciones de Composición Relativista de Velocidades, Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitud. El evento P tiene coordenadas ( w , x ) en el "sistema de reposo" negro y coordenadas ( w ′ , x ′ ) en el marco rojo que se mueve con el parámetro de velocidad β = v / c . Para determinar w ′ y x ′ en términos de w y x (o al revés), al principio es más fácil derivar la transformación inversa de Lorentz.
Las ecuaciones anteriores son expresiones alternativas para las ecuaciones t y x de la transformación inversa de Lorentz, como se puede ver al sustituir ct por w , ct ′ por w ′ y v / c por β . A partir de la transformación inversa, las ecuaciones de la transformación directa se pueden derivar resolviendo t ′ y x ′ .
Las transformaciones de Lorentz tienen una propiedad matemática llamada linealidad, ya que x ′ y t ′ se obtienen como combinaciones lineales de x y t , sin potencias superiores involucradas. La linealidad de la transformación refleja una propiedad fundamental del espacio-tiempo que se asumió tácitamente en la derivación, a saber, que las propiedades de los sistemas de referencia inerciales son independientes de la ubicación y el tiempo. En ausencia de gravedad, el espacio-tiempo parece igual en todas partes. [41] : 67 Todos los observadores inerciales estarán de acuerdo en lo que constituye un movimiento acelerado y no acelerado. [43] : 72–73 Cualquier observador puede utilizar sus propias medidas del espacio y el tiempo, pero no hay nada absoluto en ellas. Las convenciones de otros observadores servirán igual de bien. [3] : 190
Un resultado de la linealidad es que si se aplican dos transformaciones de Lorentz secuencialmente, el resultado también es una transformación de Lorentz.
Ejemplo: Terence observa que Stella se aleja rápidamente de él a 0,500 c y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,500 para relacionar las medidas de Stella con las suyas. Stella, en su cuadro, observa a Úrsula alejándose de ella a 0,250 c y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,250 para relacionar las medidas de Úrsula con las suyas. Debido a la linealidad de las transformaciones y la composición relativista de las velocidades, Terence puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0,666 para relacionar las mediciones de Úrsula con las suyas.
El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia o longitud de onda de una onda para un receptor y una fuente en movimiento relativo. Para simplificar, consideramos aquí dos escenarios básicos: (1) Los movimientos de la fuente y/o del receptor son exactamente a lo largo de la línea que los conecta (efecto Doppler longitudinal), y (2) los movimientos son en ángulo recto con respecto a dicha línea ( efecto Doppler transversal ). Estamos ignorando escenarios en los que se mueven en ángulos intermedios.
El análisis Doppler clásico se ocupa de ondas que se propagan en un medio, como ondas sonoras o ondas de agua, y que se transmiten entre fuentes y receptores que se acercan o se alejan entre sí. El análisis de dichas ondas depende de si la fuente, el receptor o ambos se mueven con respecto al medio. Dado el escenario en el que el receptor está estacionario con respecto al medio y la fuente se aleja directamente del receptor a una velocidad de v s para un parámetro de velocidad de β s , la longitud de onda aumenta y se da la frecuencia observada f . por
Por otro lado, dado el escenario en el que la fuente está estacionaria y el receptor se aleja directamente de la fuente a una velocidad de v r para un parámetro de velocidad de β r , la longitud de onda no cambia, pero sí la velocidad de transmisión de las ondas. relativa al receptor disminuye, y la frecuencia observada f viene dada por
La luz, a diferencia del sonido o las ondas del agua, no se propaga a través de un medio y no hay distinción entre una fuente que se aleja del receptor o un receptor que se aleja de la fuente. La figura 3-6 ilustra un diagrama espacio-temporal relativista que muestra una fuente separándose del receptor con un parámetro de velocidad de modo que la separación entre la fuente y el receptor en el tiempo es . Debido a la dilatación del tiempo, dado que la pendiente del rayo de luz verde es −1, el efecto Doppler relativista viene dado por [41] : 58–59
Supongamos que una fuente y un receptor, ambos acercándose entre sí en un movimiento inercial uniforme a lo largo de líneas que no se cruzan, están en su punto más cercano entre sí. Parecería que el análisis clásico predice que el receptor no detecta ningún desplazamiento Doppler. Debido a sutilezas en el análisis, esa expectativa no es necesariamente cierta. Sin embargo, cuando se define adecuadamente, el desplazamiento Doppler transversal es un efecto relativista que no tiene un análogo clásico. Las sutilezas son estas: [45] : 541–543
Otros dos escenarios se examinan comúnmente en las discusiones sobre el desplazamiento Doppler transversal:
En el escenario (a), el punto de máxima aproximación es independiente del cuadro y representa el momento en el que no hay cambios en la distancia versus el tiempo (es decir, dr/dt = 0 donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) y, por lo tanto, no hay Doppler longitudinal. cambio. La fuente observa que el receptor está iluminado por una luz de frecuencia f ′ , pero también observa que el receptor tiene un reloj dilatado en el tiempo. Por lo tanto, en el cuadro S, el receptor está iluminado por una luz desplazada hacia el azul de frecuencia
En el escenario (b), la ilustración muestra el receptor iluminado por la luz del momento en que la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya movido. Debido a que los relojes de la fuente están dilatados en el tiempo como se midió en el cuadro S, y dado que dr/dt era igual a cero en este punto, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza al rojo con la frecuencia.
Los escenarios (c) y (d) pueden analizarse mediante argumentos simples de dilatación del tiempo. En (c), el receptor observa que la luz de la fuente está desplazada hacia el azul por un factor de , y en (d), la luz está desplazada hacia el rojo. La única complicación aparente es que los objetos en órbita están en movimiento acelerado. Sin embargo, si un observador inercial mira un reloj en aceleración, sólo la velocidad instantánea del reloj es importante al calcular la dilatación del tiempo. (Lo contrario, sin embargo, no es cierto.) [45] : 541–543 La mayoría de los informes sobre desplazamiento Doppler transversal se refieren al efecto como desplazamiento al rojo y analizan el efecto en términos de los escenarios (b) o (d). [nota 11]
En la mecánica clásica, el estado de movimiento de una partícula se caracteriza por su masa y su velocidad. El momento lineal , el producto de la masa y la velocidad de una partícula, es una cantidad vectorial que posee la misma dirección que la velocidad: p = m v . Es una cantidad conservada , lo que significa que si un sistema cerrado no se ve afectado por fuerzas externas, su momento lineal total no puede cambiar.
En mecánica relativista, el vector momento se extiende a cuatro dimensiones. Al vector de impulso se le suma un componente de tiempo que permite que el vector de impulso del espacio-tiempo se transforme como el vector de posición del espacio-tiempo . Al explorar las propiedades del momento del espacio-tiempo, comenzamos, en la figura 3-8a, examinando cómo se ve una partícula en reposo. En el marco de reposo, la componente espacial del impulso es cero, es decir, p = 0 , pero la componente temporal es igual a mc .
Podemos obtener los componentes transformados de este vector en el marco móvil usando las transformaciones de Lorentz, o podemos leerlo directamente de la figura porque sabemos que y , ya que los ejes rojos están reescalados por gamma. La figura 3-8b ilustra la situación tal como aparece en el marco móvil. Es evidente que los componentes de espacio y tiempo del impulso de cuatro llegan al infinito a medida que la velocidad del sistema en movimiento se aproxima a c . [41] : 84–87
Usaremos esta información en breve para obtener una expresión para el momento de cuatro .
Las partículas de luz, o fotones, viajan a la velocidad de c , la constante que convencionalmente se conoce como velocidad de la luz . Esta afirmación no es una tautología, ya que muchas formulaciones modernas de la relatividad no parten del postulado de la velocidad constante de la luz. Por lo tanto, los fotones se propagan a lo largo de una línea mundial similar a la luz y, en unidades apropiadas, tienen componentes de espacio y tiempo iguales para cada observador.
Una consecuencia de la teoría del electromagnetismo de Maxwell es que la luz transporta energía y momento, y que su relación es constante: . Reorganizando, y dado que para los fotones, los componentes de espacio y tiempo son iguales, E/c debe equipararse con el componente de tiempo del vector de momento espacio-temporal.
Los fotones viajan a la velocidad de la luz, pero tienen un impulso y una energía finitos. Para que esto sea así, el término de masa en γmc debe ser cero, lo que significa que los fotones son partículas sin masa . Infinito multiplicado por cero es una cantidad mal definida, pero E/c está bien definida.
Según este análisis, si la energía de un fotón es igual a E en el marco en reposo, es igual en un marco en movimiento. Este resultado puede derivarse de la inspección de la figura 3-9 o de la aplicación de las transformaciones de Lorentz, y es consistente con el análisis del efecto Doppler dado anteriormente. [41] : 88
La consideración de las interrelaciones entre los diversos componentes del vector de momento relativista llevó a Einstein a varias conclusiones famosas.
Otra forma de ver la relación entre masa y energía es considerar una expansión en serie de γmc 2 a baja velocidad:
El segundo término es sólo una expresión de la energía cinética de la partícula. De hecho, la masa parece ser otra forma de energía. [41] : 90–92 [43] : 129–130, 180
El concepto de masa relativista que Einstein introdujo en 1905, m rel , aunque ampliamente validado cada día en aceleradores de partículas de todo el mundo (o incluso en cualquier instrumentación cuyo uso dependa de partículas de alta velocidad, como los microscopios electrónicos, [46] anticuados televisores en color, etc.), no ha demostrado ser, sin embargo, un concepto fructífero en física en el sentido de que no haya servido de base para otros desarrollos teóricos. La masa relativista, por ejemplo, no desempeña ningún papel en la relatividad general.
Por esta razón, así como por cuestiones pedagógicas, la mayoría de los físicos prefieren actualmente una terminología diferente cuando se refieren a la relación entre masa y energía. [47] "Masa relativista" es un término en desuso. El término "masa" por sí solo se refiere a la masa en reposo o masa invariante , y es igual a la longitud invariante del vector momento relativista. Expresado como una fórmula,
Esta fórmula se aplica a todas las partículas, tanto masivas como sin masa. Para fotones donde m en reposo es igual a cero, se obtiene, . [41] : 90–92
Debido a la estrecha relación entre masa y energía, el cuatro momento (también llamado 4 momento) también se llama 4 vector energía-momento. Usando una P mayúscula para representar el impulso de cuatro y una p minúscula para denotar el impulso espacial, el impulso de cuatro se puede escribir como
En física, las leyes de conservación establecen que ciertas propiedades particulares mensurables de un sistema físico aislado no cambian a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. En 1915, Emmy Noether descubrió que detrás de cada ley de conservación hay una simetría fundamental de la naturaleza. [48] El hecho de que a los procesos físicos no les importe en qué lugar del espacio tienen lugar ( simetría de traslación espacial ) produce conservación del momento , el hecho de que a tales procesos no les importa cuándo tienen lugar ( simetría de traslación temporal ) produce conservación de energía , etcétera. En esta sección, examinamos los puntos de vista newtonianos sobre la conservación de la masa, el momento y la energía desde una perspectiva relativista.
Para comprender cómo es necesario modificar la visión newtoniana de la conservación del momento en un contexto relativista, examinamos el problema de dos cuerpos en colisión limitado a una sola dimensión.
En la mecánica newtoniana, se pueden distinguir dos casos extremos de este problema que producen matemáticas de complejidad mínima:
En ambos casos (1) y (2), se conservan el momento, la masa y la energía total. Sin embargo, la energía cinética no se conserva en casos de colisión inelástica. Una cierta fracción de la energía cinética inicial se convierte en calor.
En el caso (2), dos masas con momentos chocan para producir una sola partícula de masa conservada que viaja al centro de velocidad de masa del sistema original . El impulso total se conserva.
La figura 3-10 ilustra la colisión inelástica de dos partículas desde una perspectiva relativista. Los componentes de tiempo y suman el E/c total del vector resultante, lo que significa que la energía se conserva. Asimismo, los componentes espaciales y se suman para formar p del vector resultante. El impulso cuádruple es, como se esperaba, una cantidad conservada. Sin embargo, la masa invariante de la partícula fusionada, dada por el punto donde la hipérbola invariante del momento total cruza el eje de energía, no es igual a la suma de las masas invariantes de las partículas individuales que colisionaron. De hecho, es mayor que la suma de las masas individuales: . [41] : 94–97
Si observamos los acontecimientos de este escenario en secuencia inversa, vemos que la no conservación de la masa es un hecho común: cuando una partícula elemental inestable se desintegra espontáneamente en dos partículas más ligeras, la energía total se conserva, pero la masa no. Parte de la masa se convierte en energía cinética. [43] : 134-138
La libertad de elegir cualquier marco en el que realizar un análisis nos permite elegir uno que pueda resultar particularmente conveniente. Para el análisis de problemas de momento y energía, el marco más conveniente suele ser el " marco del centro de momento " (también llamado marco de momento cero o marco COM). Este es el marco en el que la componente espacial del momento total del sistema es cero. La figura 3-11 ilustra la ruptura de una partícula de alta velocidad en dos partículas hijas. En el marco del laboratorio, las partículas hijas se emiten preferentemente en una dirección orientada a lo largo de la trayectoria de la partícula original. Sin embargo, en el marco COM, las dos partículas hijas se emiten en direcciones opuestas, aunque sus masas y la magnitud de sus velocidades generalmente no son las mismas.
En un análisis newtoniano de partículas que interactúan, la transformación entre marcos es simple porque todo lo que se necesita es aplicar la transformación galileana a todas las velocidades. Desde entonces , el impulso . Si se observa que el momento total de un sistema de partículas en interacción se conserva en un marco, también se observará que se conserva en cualquier otro marco. [43] : 241–245
La conservación del impulso en el marco COM equivale al requisito de que p = 0 tanto antes como después de la colisión. En el análisis newtoniano, la conservación de la masa dicta que . En los escenarios unidimensionales simplificados que hemos estado considerando, sólo es necesaria una restricción adicional antes de que se puedan determinar los momentos de salida de las partículas: una condición de energía. En el caso unidimensional de una colisión completamente elástica sin pérdida de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan en el marco COM serán exactamente iguales y opuestas a sus velocidades de entrada. En el caso de una colisión completamente inelástica con pérdida total de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan serán cero. [43] : 241–245
Los momentos newtonianos, calculados como , no se comportan correctamente bajo la transformación de Lorentz. La transformación lineal de velocidades se reemplaza por la altamente no lineal, de modo que un cálculo que demuestre la conservación del momento en un cuadro no será válido en otros cuadros. Einstein se enfrentó a tener que abandonar la conservación del momento o cambiar la definición de momento. Esta segunda opción fue la que eligió. [41] : 104
La ley de conservación relativista de la energía y el momento reemplaza las tres leyes de conservación clásicas de la energía, el momento y la masa. La masa ya no se conserva de forma independiente, porque ha sido subsumida en la energía relativista total. Esto hace que la conservación relativista de la energía sea un concepto más simple que el de la mecánica no relativista, porque la energía total se conserva sin ninguna calificación. La energía cinética convertida en calor o energía potencial interna se manifiesta como un aumento de masa. [43] : 127
La figura 3-12a ilustra el diagrama de energía-momento para esta reacción de desintegración en el sistema de reposo del pión. Debido a su masa insignificante, un neutrino viaja casi a la velocidad de la luz. La expresión relativista para su energía, como la del fotón, es que también es el valor del componente espacial de su impulso. Para conservar el impulso, el muón tiene el mismo valor de la componente espacial del impulso del neutrino, pero en la dirección opuesta.
Los análisis algebraicos de la energética de esta reacción de desintegración están disponibles en línea, [49] por lo que la figura 3-12b presenta en su lugar una solución de calculadora gráfica. La energía del neutrino es 29,79 MeV y la energía del muón es 33,91 MeV − 29,79 MeV = 4,12 MeV . La mayor parte de la energía es absorbida por el neutrino de masa casi nula.Los temas de esta sección son de dificultad técnica significativamente mayor que los de las secciones anteriores y no son esenciales para comprender la Introducción al espacio-tiempo curvo.
Las transformaciones de Lorentz relacionan coordenadas de eventos en un sistema de referencia con las de otro sistema. La composición relativista de velocidades se utiliza para sumar dos velocidades. Las fórmulas para realizar estos últimos cálculos no son lineales, lo que las hace más complejas que las correspondientes fórmulas galileanas.
Esta no linealidad es un artefacto de nuestra elección de parámetros. [9] : 47–59 Anteriormente hemos observado que en un diagrama de espacio-tiempo x-ct , los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante desde el origen forman una hipérbola invariante. También hemos observado que los sistemas de coordenadas de dos sistemas de referencia espacio-temporales en configuración estándar están rotados hiperbólicamente entre sí.
Las funciones naturales para expresar estas relaciones son las análogas hiperbólicas de las funciones trigonométricas . La figura 4-1a muestra un círculo unitario con sen( a ) y cos( a ), la única diferencia entre este diagrama y el familiar círculo unitario de la trigonometría elemental es que a se interpreta, no como el ángulo entre el rayo y x. -eje , pero como el doble del área del sector barrido por el rayo del eje x . Numéricamente, las medidas del ángulo y 2 × área del círculo unitario son idénticas. La figura 4-1b muestra una hipérbola unitaria con senh( a ) y cosh( a ), donde a también se interpreta como el doble del área teñida. [50] La figura 4-2 presenta gráficos de las funciones sinh, cosh y tanh.
Para el círculo unitario, la pendiente del rayo está dada por
En el plano cartesiano, la rotación del punto ( x , y ) hacia el punto ( x ' , y ' ) mediante el ángulo θ viene dada por
En un diagrama de espacio-tiempo, el parámetro de velocidad es análogo a la pendiente. La rapidez , φ , está definida por [43] : 96–99
dónde
La rapidez definida anteriormente es muy útil en la relatividad especial porque muchas expresiones adoptan una forma considerablemente más simple cuando se expresan en términos de ella. Por ejemplo, la rapidez es simplemente aditiva en la fórmula colineal de suma de velocidades; [9] : 47–59
o en otras palabras,
Las transformaciones de Lorentz toman una forma simple cuando se expresan en términos de rapidez. El factor γ se puede escribir como
Las transformaciones que describen un movimiento relativo con velocidad uniforme y sin rotación de los ejes de coordenadas espaciales se denominan impulsos .
Sustituyendo γ y γβ en las transformaciones presentadas anteriormente y reescribiendo en forma matricial, el impulso de Lorentz en la dirección x puede escribirse como
y el impulso de Lorentz inverso en la dirección x puede escribirse como
En otras palabras, los impulsos de Lorentz representan rotaciones hiperbólicas en el espacio-tiempo de Minkowski. [43] : 96–99
Las ventajas del uso de funciones hiperbólicas son tales que algunos libros de texto como los clásicos de Taylor y Wheeler introducen su uso desde una etapa muy temprana. [9] [51] [nota 12]
Los cuatro vectores se han mencionado anteriormente en el contexto del 4 vectores de energía-momento , pero sin mucho énfasis. De hecho, ninguna de las derivaciones elementales de la relatividad especial los requiere. Pero una vez entendidos, los 4 vectores , y más generalmente los tensores , simplifican enormemente la comprensión matemática y conceptual de la relatividad especial. Trabajar exclusivamente con tales objetos conduce a fórmulas que son manifiestamente relativistas invariantes, lo cual es una ventaja considerable en contextos no triviales. Por ejemplo, demostrar la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell en su forma habitual no es trivial, mientras que es simplemente un cálculo de rutina, en realidad no más que una observación, utilizando la formulación del tensor de intensidad de campo . [52]
Por otro lado, la relatividad general, desde el principio, se basa en gran medida en 4 vectores y, más generalmente, en tensores, que representan entidades físicamente relevantes. Relacionarlos mediante ecuaciones que no dependen de coordenadas específicas requiere tensores, capaces de conectar dichos 4 vectores incluso dentro de un espacio-tiempo curvo , y no solo dentro de uno plano como en la relatividad especial. El estudio de los tensores está fuera del alcance de este artículo, que proporciona sólo una discusión básica del espacio-tiempo.
Una tupla de 4 es un "vector de 4" si su componente Ai se transforma entre cuadros de acuerdo con la transformación de Lorentz.
Si se usan coordenadas, A es un vector de 4 si se transforma (en la dirección x ) de acuerdo con
que surge simplemente reemplazando ct con A 0 y x con A 1 en la presentación anterior de la transformación de Lorentz.
Como es habitual, cuando escribimos x , t , etc. generalmente nos referimos a Δx , Δt , etc.
Los últimos tres componentes de un vector de 4 deben ser un vector estándar en un espacio tridimensional. Por lo tanto, un vector de 4 debe transformarse como en las transformaciones de Lorentz y también en las rotaciones. [37] : 36–59
Como se esperaba, los componentes finales de los 4 vectores anteriores son todos 3 vectores estándar correspondientes al 3-momento espacial , 3-fuerza , etc. [43] : 178–181 [37] : 36–59
El primer postulado de la relatividad especial declara la equivalencia de todos los sistemas inerciales. Una ley física que se cumple en un marco debe aplicarse en todos los marcos, ya que de lo contrario sería posible diferenciar entre marcos. Los momentos newtonianos no se comportan adecuadamente bajo la transformación de Lorentz, y Einstein prefirió cambiar la definición de momento a una que involucrara 4 vectores en lugar de renunciar a la conservación del momento.
Las leyes físicas deben basarse en construcciones que sean independientes del marco. Esto significa que las leyes físicas pueden tomar la forma de ecuaciones que conectan escalares, que siempre son independientes del marco. Sin embargo, las ecuaciones que involucran 4 vectores requieren el uso de tensores con rango apropiado, que a su vez pueden considerarse construidos a partir de 4 vectores . [43] : 186
Es un error común pensar que la relatividad especial es aplicable sólo a sistemas inerciales y que es incapaz de manejar objetos en aceleración o sistemas de referencia en aceleración. En realidad, los objetos en aceleración generalmente se pueden analizar sin necesidad de tratar cuadros en aceleración. Sólo cuando la gravitación es significativa se requiere la relatividad general. [53]
Sin embargo, el manejo adecuado de cuadros en aceleración requiere cierto cuidado. La diferencia entre la relatividad especial y la general es que (1) En la relatividad especial, todas las velocidades son relativas, pero la aceleración es absoluta. (2) En la relatividad general, todo movimiento es relativo, ya sea inercial, acelerado o giratorio. Para dar cabida a esta diferencia, la relatividad general utiliza el espacio-tiempo curvo. [53]
En esta sección, analizamos varios escenarios que involucran sistemas de referencia acelerados.
La paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell ( paradoja de la nave espacial de Bell ) es un buen ejemplo de un problema en el que el razonamiento intuitivo sin la ayuda de la visión geométrica del enfoque del espacio-tiempo puede generar problemas.
En la figura 4-4, dos naves espaciales idénticas flotan en el espacio y están en reposo una respecto de la otra. Están conectados por una cuerda que sólo es capaz de estirarse un poco antes de romperse. En un instante dado en nuestro marco, el marco del observador, ambas naves espaciales aceleran en la misma dirección a lo largo de la línea entre ellas con la misma aceleración propia constante. [nota 13] ¿Se romperá la cuerda?
Cuando la paradoja era nueva y relativamente desconocida, incluso los físicos profesionales tuvieron dificultades para encontrar la solución. Dos líneas de razonamiento conducen a conclusiones opuestas. Ambos argumentos, que se presentan a continuación, son erróneos aunque uno de ellos dé la respuesta correcta. [43] : 106, 120-122
El problema con el primer argumento es que no existe una "estructura de las naves espaciales". No puede serlo, porque las dos naves espaciales miden una distancia cada vez mayor entre ambas. Como no existe una estructura común para las naves espaciales, la longitud de la cuerda no está bien definida. Sin embargo, la conclusión es correcta y el argumento es en gran medida correcto. El segundo argumento, sin embargo, ignora por completo la relatividad de la simultaneidad. [43] : 106, 120-122
Un diagrama espacio-temporal (figura 4-5) hace evidente casi de inmediato la solución correcta a esta paradoja. Dos observadores en el espacio-tiempo de Minkowski aceleran con una aceleración de magnitud constante durante el tiempo adecuado (aceleración y tiempo transcurrido medidos por los propios observadores, no por algún observador inercial). Son comomovientes e inerciales antes y después de esta fase. En geometría de Minkowski, la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad resulta ser mayor que la longitud a lo largo de la línea de simultaneidad .
El aumento de longitud se puede calcular con la ayuda de la transformación de Lorentz. Si, como se ilustra en la Fig. 4-5, la aceleración finaliza, los barcos permanecerán en un desplazamiento constante en algún cuadro. Si y son las posiciones de los barcos en las posiciones del cuadro son: [54]
La "paradoja", por así decirlo, proviene de la forma en que Bell construyó su ejemplo. En la discusión habitual sobre la contracción de Lorentz, la longitud en reposo es fija y la longitud en movimiento se acorta según se mide en el marco . Como se muestra en la figura 4-5, el ejemplo de Bell afirma que las longitudes en movimiento y medidas en el marco deben ser fijas, forzando así a que aumente la longitud del marco en reposo en el marco .
Ciertas configuraciones de problemas de relatividad especial pueden conducir a una comprensión de los fenómenos normalmente asociados con la relatividad general, como los horizontes de sucesos . En el texto que acompaña a la figura 2-7, las hipérbolas magenta representaban trayectorias reales que sigue un viajero en constante aceleración en el espacio-tiempo. Durante los períodos de aceleración positiva, la velocidad del viajero se acerca a la velocidad de la luz, mientras que, medida en nuestro marco, la aceleración del viajero disminuye constantemente.
La figura 4-6 detalla varias características de los movimientos del viajero con más especificidad. En cualquier momento dado, su eje espacial está formado por una línea que pasa por el origen y su posición actual en la hipérbola, mientras que su eje temporal es la tangente a la hipérbola en su posición. El parámetro de velocidad se acerca a un límite de uno a medida que aumenta. Asimismo, se acerca al infinito.
La forma de la hipérbola invariante corresponde a una trayectoria de aceleración propia constante. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
La figura 4-6 ilustra un escenario calculado específico. Terence (A) y Stella (B) inicialmente se encuentran juntos a 100 horas luz del origen. Stella despega en el tiempo 0 y su nave espacial acelera a 0,01 c por hora. Cada veinte horas, Terence envía por radio actualizaciones a Stella sobre la situación en casa (líneas verdes continuas). Stella recibe estas transmisiones regulares, pero la distancia cada vez mayor (compensada en parte por la dilatación del tiempo) hace que reciba las comunicaciones de Terence cada vez más tarde según lo medido en su reloj, y nunca recibe ninguna comunicación de Terence después de 100 horas en su reloj (línea verde discontinua). líneas). [41] : 110-113
Después de 100 horas según el reloj de Terence, Stella entra en una región oscura. Ha viajado fuera del futuro temporal de Terence. Por otro lado, Terence puede seguir recibiendo los mensajes de Stella indefinidamente. Sólo tiene que esperar lo suficiente. El espacio-tiempo se ha dividido en distintas regiones separadas por un aparente horizonte de sucesos. Mientras Stella siga acelerando, nunca podrá saber qué sucede detrás de este horizonte. [41] : 110-113
Las teorías de Newton asumían que el movimiento tiene lugar en el contexto de un rígido marco de referencia euclidiano que se extiende por todo el espacio y todo el tiempo. La gravedad está mediada por una fuerza misteriosa, que actúa instantáneamente a través de una distancia, cuyas acciones son independientes del espacio intermedio. [nota 14] Por el contrario, Einstein negó que exista algún marco de referencia euclidiano de fondo que se extienda por todo el espacio. Tampoco existe nada parecido a una fuerza de gravitación, sólo la estructura del espacio-tiempo mismo. [9] : 175-190
En términos de espacio-tiempo, la trayectoria de un satélite que orbita la Tierra no está dictada por las influencias distantes de la Tierra, la Luna y el Sol. En cambio, el satélite se mueve por el espacio sólo en respuesta a las condiciones locales. Dado que el espacio-tiempo es localmente plano en todas partes cuando se considera a una escala suficientemente pequeña, el satélite siempre sigue una línea recta en su marco inercial local. Decimos que el satélite siempre sigue el camino de una geodésica . No se puede descubrir evidencia de gravitación siguiendo los movimientos de una sola partícula. [9] : 175-190
En cualquier análisis del espacio-tiempo, la evidencia de la gravitación requiere que se observen las aceleraciones relativas de dos cuerpos o dos partículas separadas. En la figura 5-1, dos partículas separadas, en caída libre en el campo gravitacional de la Tierra, exhiben aceleraciones de marea debido a faltas de homogeneidad locales en el campo gravitacional, de modo que cada partícula sigue una trayectoria diferente a través del espacio-tiempo. Las aceleraciones de marea que exhiben estas partículas entre sí no requieren fuerzas para su explicación. Más bien, Einstein los describió en términos de la geometría del espacio-tiempo, es decir, la curvatura del espacio-tiempo. Estas aceleraciones de marea son estrictamente locales. Es el efecto total acumulativo de muchas manifestaciones locales de curvatura lo que da como resultado la aparición de una fuerza gravitacional que actúa a gran distancia de la Tierra. [9] : 175-190
Dos proposiciones centrales subyacen a la relatividad general.
Pasar de la descripción elemental anterior del espacio-tiempo curvo a una descripción completa de la gravitación requiere cálculo tensorial y geometría diferencial, temas que requieren un estudio considerable. Sin estas herramientas matemáticas, es posible escribir sobre la relatividad general, pero no es posible demostrar derivaciones no triviales.
En el debate sobre la relatividad especial, las fuerzas no jugaron más que un papel de fondo. La relatividad especial asume la capacidad de definir marcos inerciales que llenan todo el espacio-tiempo, cuyos relojes funcionan al mismo ritmo que el reloj en el origen. ¿Es esto realmente posible? En un campo gravitacional no uniforme, el experimento dicta que la respuesta es no. Los campos gravitacionales hacen imposible construir un marco inercial global . En regiones del espacio-tiempo suficientemente pequeñas, los marcos inerciales locales todavía son posibles. La relatividad general implica la unión sistemática de estos marcos locales en una imagen más general del espacio-tiempo. [37] : 118-126
Años antes de la publicación de la teoría general en 1916, Einstein utilizó el principio de equivalencia para predecir la existencia de corrimiento al rojo gravitacional en el siguiente experimento mental : (i) Suponga que se ha construido una torre de altura h (figura 5-3). (ii) Deje caer una partícula de masa en reposo m desde lo alto de la torre. Cae libremente con aceleración g y llega al suelo con velocidad v = (2 gh ) 1/2 , de modo que su energía total E , medida por un observador en el suelo, es (iii) Un convertidor masa-energía transforma el total energía de la partícula en un solo fotón de alta energía, que dirige hacia arriba. (iv) En lo alto de la torre, un convertidor de energía-masa transforma la energía del fotón E ' nuevamente en una partícula de masa en reposo m ' . [37] : 118-126
Debe ser que m = m ' , ya que de lo contrario se podría construir un dispositivo de movimiento perpetuo . Por lo tanto predecimos que E ' = m , de modo que
Un fotón que asciende en el campo gravitacional de la Tierra pierde energía y se desplaza al rojo. Los primeros intentos de medir este desplazamiento al rojo mediante observaciones astronómicas no fueron concluyentes, pero Pound y Rebka (1959) y más tarde Pound y Snider (1964) realizaron observaciones de laboratorio definitivas . [57]
La luz tiene una frecuencia asociada, y esta frecuencia puede usarse para controlar el funcionamiento de un reloj. El corrimiento al rojo gravitacional lleva a una conclusión importante sobre el tiempo mismo: la gravedad hace que el tiempo transcurra más lento. Supongamos que construimos dos relojes idénticos cuyas velocidades están controladas por alguna transición atómica estable. Coloca un reloj en la parte superior de la torre, mientras que el otro reloj permanece en el suelo. Un experimentador en lo alto de la torre observa que las señales del reloj terrestre tienen una frecuencia más baja que las del reloj que está al lado de ella en la torre. La luz que sube por la torre es sólo una ola, y es imposible que las crestas de las olas desaparezcan en el camino hacia arriba. A lo alto de la torre llegan exactamente tantas oscilaciones de luz como a lo bajo. El experimentador concluye que el reloj de la tierra está funcionando lento y puede confirmarlo bajando el reloj de la torre para compararlo uno al lado del otro con el reloj de la tierra. [3] : 16–18 Para una torre de 1 km, la discrepancia ascendería a aproximadamente 9,4 nanosegundos por día, fácilmente mensurable con instrumentación moderna.
No todos los relojes en un campo gravitacional funcionan al mismo ritmo. Experimentos como el de Pound-Rebka han establecido firmemente la curvatura del componente temporal del espacio-tiempo. El experimento de Pound-Rebka no dice nada sobre la curvatura del componente espacial del espacio-tiempo. Pero los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no dependen en absoluto de los detalles de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predecirá la dilatación del tiempo gravitacional si respeta el principio de equivalencia. [3] : 16 Esto incluye la gravitación newtoniana. Una demostración estándar en relatividad general es mostrar cómo, en el " límite newtoniano " (es decir, las partículas se mueven lentamente, el campo gravitacional es débil y el campo es estático), la curvatura del tiempo por sí sola es suficiente para derivar la ley de gravedad de Newton. . [58] : 101-106
La gravitación newtoniana es una teoría del tiempo curvo. La relatividad general es una teoría del tiempo curvo y del espacio curvo. Dado G como la constante gravitacional, M como la masa de una estrella newtoniana y cuerpos en órbita de masa insignificante a una distancia r de la estrella, el intervalo espacio-temporal para la gravitación newtoniana es uno para el cual solo el coeficiente de tiempo es variable: [3] : 229-232
El coeficiente delante de describe la curvatura del tiempo en la gravitación newtoniana, y esta curvatura explica completamente todos los efectos gravitacionales newtonianos. Como era de esperar, este factor de corrección es directamente proporcional a y , y debido a en el denominador, el factor de corrección aumenta a medida que uno se acerca al cuerpo gravitante, lo que significa que el tiempo es curvo.
Pero la relatividad general es una teoría del espacio curvo y del tiempo curvo, por lo que si hay términos que modifican los componentes espaciales del intervalo espacio-temporal presentado anteriormente, ¿no deberían verse sus efectos en, digamos, las órbitas planetarias y satelitales debido a los factores de corrección de curvatura aplicados? a los términos espaciales?
La respuesta es que se ven , pero los efectos son mínimos. La razón es que las velocidades planetarias son extremadamente pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, por lo que para los planetas y satélites del sistema solar, el término eclipsa los términos espaciales. [3] : 234–238
A pesar de la minuciosidad de los términos espaciales, los primeros indicios de que algo andaba mal con la gravitación newtoniana se descubrieron hace más de siglo y medio. En 1859, Urbain Le Verrier , en un análisis de las observaciones cronometradas disponibles de los tránsitos de Mercurio sobre el disco solar entre 1697 y 1848, informó que la física conocida no podía explicar la órbita de Mercurio, a menos que existiera posiblemente un planeta o un cinturón de asteroides dentro del mismo. órbita de Mercurio. El perihelio de la órbita de Mercurio exhibió una tasa de precesión excesiva respecto a la que podría explicarse por los tirones de los otros planetas. [59] La capacidad de detectar y medir con precisión el valor minuto de esta precesión anómala (sólo 43 segundos de arco por siglo tropical ) es testimonio de la sofisticación de la astrometría del siglo XIX .
Como el famoso astrónomo que anteriormente había descubierto la existencia de Neptuno "con la punta de su pluma" analizando las oscilaciones en la órbita de Urano, el anuncio de Le Verrier desencadenó un período de dos décadas de "vulcanomanía", tanto para profesionales como para aficionados. Los astrónomos buscaron por igual el hipotético nuevo planeta. Esta búsqueda incluyó varios avistamientos falsos de Vulcano. Finalmente se estableció que no existía tal planeta ni cinturón de asteroides. [60]
En 1916, Einstein demostró que esta precesión anómala de Mercurio se explica por los términos espaciales de la curvatura del espacio-tiempo. La curvatura en el término temporal, al ser simplemente una expresión de la gravitación newtoniana, no contribuye a explicar esta precesión anómala. El éxito de su cálculo fue una poderosa indicación para los compañeros de Einstein de que la teoría general de la relatividad podía ser correcta.
La más espectacular de las predicciones de Einstein fue su cálculo de que los términos de curvatura en los componentes espaciales del intervalo espacio-temporal podrían medirse en la curvatura de la luz alrededor de un cuerpo masivo. La luz tiene una pendiente de ±1 en un diagrama espacio-temporal. Su movimiento en el espacio es igual a su movimiento en el tiempo. Para la expresión de campo débil del intervalo invariante, Einstein calculó una curvatura de signo exactamente igual pero opuesta en sus componentes espaciales. [3] : 234–238
En la gravitación de Newton, el coeficiente delante de predice la curvatura de la luz alrededor de una estrella. En la relatividad general, el coeficiente delante de predice una duplicación de la flexión total. [3] : 234–238
La historia de la expedición del eclipse de Eddington de 1919 y el ascenso de Einstein a la fama está bien contada en otros lugares. [61]
En la teoría de la gravitación de Newton , la única fuente de fuerza gravitacional es la masa .
Por el contrario, la relatividad general identifica varias fuentes de curvatura del espacio-tiempo además de la masa. En las ecuaciones de campo de Einstein , las fuentes de gravedad se presentan en el lado derecho del tensor tensión-energía . [62]
La figura 5-5 clasifica las diversas fuentes de gravedad en el tensor tensión-energía:
Una conclusión importante que se deriva de las ecuaciones es que, coloquialmente hablando, la gravedad misma crea gravedad . [nota 15] La energía tiene masa. Incluso en la gravedad newtoniana, el campo gravitacional está asociado a una energía, llamada energía potencial gravitacional . En la relatividad general, la energía del campo gravitacional retroalimenta la creación del campo gravitacional. Esto hace que las ecuaciones no sean lineales y sean difíciles de resolver en otros casos que no sean campos débiles. [3] : 240 La relatividad numérica es una rama de la relatividad general que utiliza métodos numéricos para resolver y analizar problemas, empleando a menudo supercomputadoras para estudiar agujeros negros , ondas gravitacionales , estrellas de neutrones y otros fenómenos en el régimen de campo fuerte.
En la relatividad especial, la masa-energía está estrechamente relacionada con el impulso . Así como el espacio y el tiempo son aspectos diferentes de una entidad más integral llamada espacio-tiempo, la masa-energía y el momento son simplemente aspectos diferentes de una cantidad unificada de cuatro dimensiones llamada cuatro-momento . En consecuencia, si masa-energía es una fuente de gravedad, el momento también debe ser una fuente. La inclusión del impulso como fuente de gravedad lleva a la predicción de que masas en movimiento o en rotación pueden generar campos análogos a los campos magnéticos generados por cargas en movimiento, fenómeno conocido como gravitomagnetismo . [63]
Es bien sabido que la fuerza del magnetismo se puede deducir aplicando las reglas de la relatividad especial a cargas en movimiento. (Feynman presentó una demostración elocuente de esto en el volumen II, capítulos 13-6 de sus Lectures on Physics , disponible en línea). [64] Se puede utilizar una lógica análoga para demostrar el origen del gravitomagnetismo. [3] : 245-253
En la figura 5-7a, dos corrientes paralelas, infinitamente largas, de partículas masivas tienen velocidades iguales y opuestas − v y + v en relación con una partícula de prueba en reposo y centrada entre las dos. Debido a la simetría del montaje, la fuerza neta sobre la partícula central es cero. Supongamos que las velocidades son simplemente aditivas. La figura 5-7b muestra exactamente la misma configuración, pero en el marco de la corriente superior. La partícula de prueba tiene una velocidad de + v y la corriente del fondo tiene una velocidad de + 2v . Dado que la situación física no ha cambiado, sólo el marco en el que se observan las cosas, la partícula de prueba no debe ser atraída hacia ninguna de las corrientes. [3] : 245-253
No está del todo claro que las fuerzas ejercidas sobre la partícula de prueba sean iguales. (1) Dado que la corriente inferior se mueve más rápido que la superior, cada partícula en la corriente inferior tiene una energía de masa mayor que una partícula en la parte superior. (2) Debido a la contracción de Lorentz, hay más partículas por unidad de longitud en la corriente inferior que en la corriente superior. (3) Otra contribución a la masa gravitacional activa de la corriente de fondo proviene de un término de presión adicional que, en este momento, no tenemos suficientes antecedentes para discutir. Todos estos efectos juntos aparentemente exigirían que la partícula de prueba sea atraída hacia la corriente del fondo. [3] : 245-253
La partícula de prueba no es atraída hacia la corriente del fondo debido a una fuerza dependiente de la velocidad que sirve para repeler una partícula que se mueve en la misma dirección que la corriente del fondo. Este efecto gravitacional dependiente de la velocidad es el gravitomagnetismo. [3] : 245-253
Por lo tanto, la materia en movimiento a través de un campo gravitomagnético está sujeta a los llamados efectos de arrastre de cuadros, análogos a la inducción electromagnética . Se ha propuesto que tales fuerzas gravitomagnéticas subyacen a la generación de chorros relativistas (fig. 5-8) expulsados por algunos agujeros negros supermasivos en rotación . [65] [66]
Las cantidades que están directamente relacionadas con la energía y el impulso también deberían ser fuentes de gravedad, es decir, la presión interna y el estrés . En conjunto, masa-energía , impulso, presión y tensión sirven como fuentes de gravedad: colectivamente, son lo que le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.
La relatividad general predice que la presión actúa como una fuente gravitacional con exactamente la misma fuerza que la densidad de masa-energía. La inclusión de la presión como fuente de gravedad conduce a diferencias dramáticas entre las predicciones de la relatividad general y las de la gravitación newtoniana. Por ejemplo, el término presión fija un límite máximo a la masa de una estrella de neutrones . Cuanto más masiva es una estrella de neutrones, más presión se requiere para soportar su peso contra la gravedad. Sin embargo, el aumento de presión aumenta la gravedad que actúa sobre la masa de la estrella. Por encima de una determinada masa determinada por el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , el proceso se desboca y la estrella de neutrones colapsa en un agujero negro . [3] : 243, 280
Los términos de tensión se vuelven muy significativos cuando se realizan cálculos como simulaciones hidrodinámicas de supernovas de colapso del núcleo. [67]
Estas predicciones sobre el papel de la presión, el impulso y la tensión como fuentes de curvatura del espacio-tiempo son elegantes y desempeñan un papel importante en la teoría. En lo que respecta a la presión, el universo primitivo estaba dominado por la radiación, [68] y es muy poco probable que cualquiera de los datos cosmológicos relevantes (por ejemplo, abundancias de nucleosíntesis , etc.) pudiera reproducirse si la presión no contribuyera a la gravedad, o si sí lo hiciera. No tiene la misma fuerza como fuente de gravedad que masa-energía. Asimismo, la consistencia matemática de las ecuaciones de campo de Einstein se rompería si los términos de tensión no contribuyeran como fuente de gravedad.
Bondi distingue entre diferentes tipos posibles de masa: (1) masa activa ( ) es la masa que actúa como fuente de un campo gravitacional; (2) masa pasiva ( ) es la masa que reacciona ante un campo gravitacional; (3) masa inercial ( ) es la masa que reacciona a la aceleración. [69]
En la teoría newtoniana,
En la relatividad general,
El experimento clásico para medir la fuerza de una fuente gravitacional (es decir, su masa activa) fue realizado por primera vez en 1797 por Henry Cavendish (figura 5-9a). Dos bolas pequeñas pero densas están suspendidas de un alambre fino, formando una balanza de torsión . Al acercar dos grandes masas de prueba a las bolas se introduce un par detectable. Teniendo en cuenta las dimensiones del aparato y la constante elástica mensurable del alambre de torsión, se puede determinar la constante gravitacional G.
Estudiar los efectos de la presión comprimiendo las masas de prueba es imposible, porque las presiones alcanzables en el laboratorio son insignificantes en comparación con la masa-energía de una bola de metal.
Sin embargo, las presiones electromagnéticas repulsivas resultantes de la compresión intensa de los protones dentro de los núcleos atómicos suelen ser del orden de 10 28 atm ≈ 10 33 Pa ≈ 10 33 kg·s −2 m −1 . Esto equivale aproximadamente al 1% de la densidad de masa nuclear de aproximadamente 10 18 kg/m 3 (después de factorizar c 2 ≈ 9×10 16 m 2 s −2 ). [70]
Si la presión no actúa como fuente gravitacional, entonces la relación debería ser menor para los núcleos con mayor número atómico Z , en los que las presiones electrostáticas son mayores. LB Kreuzer (1968) hizo un experimento de Cavendish utilizando una masa de teflón suspendida en una mezcla de tricloroetileno y dibromoetano líquidos que tenían la misma densidad de flotación que el teflón (figura 5-9b). El flúor tiene número atómico Z = 9 , mientras que el bromo tiene Z = 35 . Kreuzer descubrió que reposicionar la masa de teflón no causaba ninguna deflexión diferencial de la barra de torsión, por lo que estableció que la masa activa y la masa pasiva eran equivalentes a una precisión de 5×10 −5 . [71]
Aunque Kreuzer originalmente consideró que este experimento era simplemente una prueba de la relación entre masa activa y masa pasiva, Clifford Will (1976) reinterpretó el experimento como una prueba fundamental del acoplamiento de fuentes a campos gravitacionales. [72]
En 1986, Bartlett y Van Buren notaron que el alcance del láser lunar había detectado un desplazamiento de 2 km entre el centro de la figura de la luna y su centro de masa. Esto indica una asimetría en la distribución de Fe (abundante en el núcleo de la Luna) y Al (abundante en su corteza y manto). Si la presión no contribuyera por igual a la curvatura del espacio-tiempo como lo hace la masa-energía, la Luna no estaría en la órbita predicha por la mecánica clásica. Utilizaron sus mediciones para ajustar los límites de cualquier discrepancia entre la masa activa y pasiva a aproximadamente 10 −12 . [73] Con décadas de datos adicionales de alcance del láser lunar, Singh et al. (2023) informaron una mejora en estos límites en un factor de aproximadamente 100. [74]
La existencia del gravitomagnetismo fue demostrada por Gravity Probe B (GP-B) , una misión satelital lanzada el 20 de abril de 2004. [75] La fase de vuelo espacial duró hasta. El objetivo de la misión era medir la curvatura del espacio-tiempo cerca de la Tierra, con especial énfasis en el gravitomagnetismo .
Los resultados iniciales confirmaron el efecto geodésico relativamente grande (que se debe a la curvatura simple del espacio-tiempo y también se conoce como precesión de De Sitter) con una precisión de aproximadamente el 1%. El efecto de arrastre de cuadros , mucho más pequeño (que se debe al gravitomagnetismo y también se conoce como precesión de Lense-Thirring ) fue difícil de medir debido a efectos de carga inesperados que causaban una deriva variable en los giroscopios. Sin embargo, por, se confirmó que el efecto de arrastre de cuadros estaba dentro del 15% del resultado esperado, [76] mientras que se confirmó que el efecto geodésico era mejor que el 0,5%. [77] [78]
Las mediciones posteriores del arrastre de cuadros mediante observaciones con láser de los satélites LARES , LAGEOS -1 y LAGEOS-2 han mejorado con respecto a la medición GP-B , y los resultados (a partir de 2016) demuestran el efecto dentro del 5% de su valor teórico. [79] aunque ha habido cierto desacuerdo sobre la exactitud de este resultado. [80]
Otro esfuerzo, el experimento Giroscopios en Relatividad General (GINGER), busca utilizar tres láseres anulares de 6 m montados en ángulo recto entre sí a 1400 m por debajo de la superficie de la Tierra para medir este efecto. [81] [82]
En las opiniones convencionalistas de Poincaré , los criterios esenciales según los cuales se debería seleccionar una geometría euclidiana frente a una no euclidiana serían la economía y la simplicidad. Un realista diría que Einstein descubrió que el espacio-tiempo no era euclidiano. Un convencionalista diría que a Einstein simplemente le resultó más conveniente utilizar una geometría no euclidiana. El convencionalista mantendría que el análisis de Einstein no dice nada acerca de lo que es realmente la geometría del espacio-tiempo . [83]
Dicho esto,
En respuesta a la primera pregunta, varios autores, entre ellos Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc., han proporcionado diversas formulaciones de la gravitación como un campo en una variedad plana. Esas teorías se denominan de diversas formas " gravedad bimétrica ", "enfoque teórico de campo de la relatividad general", etc. [84] [85] [86] [87] Kip Thorne ha proporcionado una revisión popular de estas teorías. [88] : 397–403
El paradigma del espacio-tiempo plano postula que la materia crea un campo gravitacional que hace que las reglas se encojan cuando se giran de la orientación circunferencial a la radial, y eso hace que el tictac de los relojes se dilate. El paradigma del espacio-tiempo plano es totalmente equivalente al paradigma del espacio-tiempo curvo en el sentido de que ambos representan los mismos fenómenos físicos. Sin embargo, sus formulaciones matemáticas son completamente diferentes. Los físicos que trabajan alternan habitualmente entre el uso de técnicas de espacio-tiempo curvo y plano dependiendo de los requisitos del problema. El paradigma del espacio-tiempo plano es conveniente cuando se realizan cálculos aproximados en campos débiles. Por lo tanto, las técnicas de espacio-tiempo plano tienden a usarse para resolver problemas de ondas gravitacionales, mientras que las técnicas de espacio-tiempo curvo tienden a usarse en el análisis de agujeros negros. [88] : 397–403
El grupo de simetría del espacio-tiempo para la Relatividad Especial es el grupo de Poincaré , que es un grupo de diez dimensiones de tres impulsos de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espacio-tiempo. Es lógico preguntarse qué simetrías, si es que hay alguna, podrían aplicarse en la Relatividad General . Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espacio-tiempo vistas por observadores ubicados lejos de todas las fuentes del campo gravitacional. La ingenua expectativa de simetrías del espacio-tiempo asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espacio-tiempo plano de la relatividad especial, a saber. , el grupo Poincaré.
En 1962 Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner [89] y Rainer K. Sachs [90] abordaron este problema de simetría asintótica con el fin de investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales . Su primer paso fue decidir algunas condiciones de contorno físicamente sensibles para colocar en el campo gravitacional en el infinito parecido a la luz para caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer suposiciones a priori sobre la naturaleza del grupo de simetría asintótica, ni siquiera la suposición de que tal grupo existe. Luego, después de diseñar lo que consideraban las condiciones de contorno más sensibles, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintótica resultantes que dejan invariante la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitacionales asintóticamente planos. [91] : 35
Lo que descubrieron fue que las transformaciones de simetría asintóticas en realidad forman un grupo y la estructura de este grupo no depende del campo gravitacional particular que esté presente. Esto significa que, como era de esperar, es posible separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitacional al menos en el infinito espacial. La sorprendente sorpresa de 1962 fue el descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. Las transformaciones de Lorentz no solo son transformaciones de simetría asintótica, sino que también hay transformaciones adicionales que no son transformaciones de Lorentz sino transformaciones de simetría asintóticas. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformaciones conocidos como supertraducciones . Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (GR) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a largas distancias. [91] : 35
La geometría de Riemann es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades de Riemann , definidas como variedades suaves con una métrica de Riemann (un producto interno en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro). Esto proporciona, en particular, nociones locales de ángulo , longitud de curvas , área de superficie y volumen . A partir de ellos, se pueden derivar algunas otras cantidades globales integrando las contribuciones locales.
La geometría riemanniana se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría"). [92] Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial de superficies en R 3 . El desarrollo de la geometría de Riemann resultó en la síntesis de diversos resultados sobre la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas sobre ellas, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Permitió la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein , tuvo un profundo impacto en la teoría de grupos y la teoría de la representación , así como en el análisis , y estimuló el desarrollo de la topología algebraica y diferencial .Por razones físicas, un continuo espacio-tiempo se define matemáticamente como una variedad Lorentziana conectada, suave y de cuatro dimensiones . Esto significa que la métrica suave de Lorentz tiene firma . La métrica determina la geometría del espacio-tiempo , así como determinar lasgeodésicasde partículas y haces de luz. Acerca de cada punto (evento) en esta variedad,se utilizangráficos de coordenadasGeneralmentese utilizan coordenadas cartesianas. Además, en aras de la simplicidad, las unidades de medida suelen elegirse de modo que la velocidad de la luzsea igual a 1.[93]
Se puede identificar un marco de referencia (observador) con uno de estos gráficos de coordenadas; Cualquier observador de este tipo puede describir cualquier evento . Otro sistema de referencia puede identificarse mediante un segundo gráfico de coordenadas aproximadamente . Dos observadores (uno en cada sistema de referencia) pueden describir el mismo evento pero obtener descripciones diferentes. [93]
Por lo general, se necesitan muchos gráficos de coordenadas superpuestas para cubrir una variedad. Dados dos gráficos de coordenadas, uno que contiene (que representa a un observador) y otro que contiene (que representa a otro observador), la intersección de los gráficos representa la región del espacio-tiempo en la que ambos observadores pueden medir cantidades físicas y, por lo tanto, comparar resultados. La relación entre los dos conjuntos de medidas viene dada por una transformación de coordenadas no singulares en esta intersección. La idea de utilizar gráficos de coordenadas como observadores locales que pueden realizar mediciones en sus alrededores también tiene sentido desde el punto de vista físico, ya que así es como se recopilan datos físicos: localmente. [93]
Por ejemplo, dos observadores, uno de los cuales está en la Tierra, pero el otro está en un cohete rápido a Júpiter, pueden observar un cometa chocando contra Júpiter (este es el evento ). En general, no estarán de acuerdo sobre la ubicación exacta y el momento de este impacto, es decir, tendrán diferentes 4-tuplas (ya que utilizan diferentes sistemas de coordenadas). Aunque sus descripciones cinemáticas diferirán, las leyes dinámicas (físicas), como la conservación del momento y la primera ley de la termodinámica, seguirán siendo válidas. De hecho, la teoría de la relatividad requiere más que esto en el sentido de que estipula que estas (y todas las demás leyes físicas) deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. Esto introduce tensores en la relatividad, mediante los cuales se representan todas las cantidades físicas.
Se dice que las geodésicas son temporales, nulas o espaciales si el vector tangente a un punto de la geodésica es de esta naturaleza. Las trayectorias de partículas y haces de luz en el espacio-tiempo están representadas por geodésicas temporales y nulas (ligeras), respectivamente. [93]
Hay dos tipos de dimensiones: espacial (bidireccional) y temporal (unidireccional). [95] Sea el número de dimensiones espaciales N y el número de dimensiones temporales T . Que N = 3 y T = 1 , dejando de lado las dimensiones compactadas invocadas por la teoría de cuerdas e indetectables hasta la fecha, puede explicarse apelando a las consecuencias físicas de dejar que N difiera de 3 y T difiera de 1. El argumento es a menudo de un tipo carácter antrópico y posiblemente el primero de su tipo, aunque antes de que el concepto completo se pusiera de moda.
La noción implícita de que la dimensionalidad del universo es especial se atribuye por primera vez a Gottfried Wilhelm Leibniz , quien en el Discurso sobre la metafísica sugirió que el mundo es "aquel que es al mismo tiempo el más simple en hipótesis y el más rico en fenómenos". [96] Immanuel Kant argumentó que el espacio tridimensional era una consecuencia de la ley del cuadrado inverso de la gravitación universal . Si bien el argumento de Kant es históricamente importante, John D. Barrow dijo que "hace que el chiste vuelva al frente: es la tridimensionalidad del espacio lo que explica por qué vemos leyes de fuerza del cuadrado inverso en la naturaleza, y no al revés". (Barrow 2002:204). [nota 16]
En 1920, Paul Ehrenfest demostró que si hay una única dimensión temporal y más de tres dimensiones espaciales, la órbita de un planeta alrededor de su Sol no puede permanecer estable. Lo mismo ocurre con la órbita de una estrella alrededor del centro de su galaxia . [97] Ehrenfest también demostró que si hay un número par de dimensiones espaciales, entonces las diferentes partes de un impulso de onda viajarán a diferentes velocidades. Si hay dimensiones espaciales, donde k es un número entero positivo, entonces los impulsos ondulatorios se distorsionan. En 1922, Hermann Weyl afirmó que la teoría del electromagnetismo de Maxwell puede expresarse en términos de una acción sólo para una variedad de cuatro dimensiones. [98] Finalmente, Tangherlini demostró en 1963 que cuando hay más de tres dimensiones espaciales, los orbitales de los electrones alrededor de los núcleos no pueden ser estables; los electrones caerían en el núcleo o se dispersarían. [99]
Max Tegmark amplía el argumento anterior de la siguiente manera antrópica. [100] Si T difiere de 1, el comportamiento de los sistemas físicos no podría predecirse de manera confiable a partir del conocimiento de las ecuaciones diferenciales parciales relevantes . En un universo así no podría surgir vida inteligente capaz de manipular la tecnología. Además, si T > 1 , Tegmark sostiene que los protones y los electrones serían inestables y podrían descomponerse en partículas con mayor masa que ellos mismos. (Esto no es un problema si las partículas tienen una temperatura suficientemente baja.) [100] Por último, si N < 3 , la gravitación de cualquier tipo se vuelve problemática y el universo probablemente sería demasiado simple para contener observadores. Por ejemplo, cuando N < 3 , los nervios no pueden cruzarse sin cruzarse. [100] Por lo tanto, los argumentos antrópicos y otros descartan todos los casos excepto N = 3 y T = 1 , que describe el mundo que nos rodea.
Por otro lado, con vistas a crear agujeros negros a partir de un gas monoatómico ideal bajo su propia gravedad, Wei-Xiang Feng demostró que el espacio-tiempo (3 + 1) dimensional es la dimensionalidad marginal. Además, es la dimensionalidad única la que puede permitir una esfera de gas "estable" con una constante cosmológica "positiva" . Sin embargo, un gas autogravitante no puede unirse de manera estable si la esfera de masa es mayor que ~10 21 masas solares, debido a la pequeña positividad de la constante cosmológica observada. [101]
En 2019, James Scargill argumentó que la vida compleja puede ser posible con dos dimensiones espaciales. Según Scargill, una teoría de la gravedad puramente escalar puede permitir una fuerza gravitacional local, y las redes 2D pueden ser suficientes para redes neuronales complejas. [102] [103]
![{\displaystyle -\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2 }+(\Delta z)^{2}\derecha]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e004b8eb220d5cc0f0e835a4f9a584ebfdc3ef02)
![{\displaystyle \left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88b386b994cad15b04251eedd908b3828db4d66)
{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)...transcripción redactada de un curso impartido por el autor en Harvard en el semestre de primavera de 2016. Contiene una descripción pedagógica de los desarrollos recientes que conectan los temas de los teoremas blandos, el efecto memoria y las simetrías asintóticas en QED de cuatro dimensiones, la teoría del calibre nobeliano y gravedad con aplicaciones a los agujeros negros. Se publicará Princeton University Press, 158 páginas.
Medios relacionados con el espacio-tiempo en Wikimedia Commons
