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Espacio vectorial topológico localmente convexo

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , los espacios vectoriales topológicos localmente convexos ( LCTVS ) o los espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos (TVS) que generalizan espacios normados . Pueden definirse como espacios vectoriales topológicos cuya topología se genera por traslaciones de conjuntos convexos absorbentes y balanceados . Alternativamente , pueden definirse como un espacio vectorial con una familia de seminormas , y una topología puede definirse en términos de esa familia. Aunque en general tales espacios no son necesariamente normables , la existencia de una base local convexa para el vector cero es lo suficientemente fuerte para que se cumpla el teorema de Hahn-Banach , lo que produce una teoría suficientemente rica de funcionales lineales continuos .

Los espacios de Fréchet son espacios vectoriales topológicos localmente convexos que son completamente metrizables (con la posibilidad de elegir una métrica completa). Son generalizaciones de los espacios de Banach , que son espacios vectoriales completos con respecto a una métrica generada por una norma .

Historia

Las topologías metrizables en espacios vectoriales han sido estudiadas desde su introducción en la tesis doctoral de Maurice Fréchet de 1902 Sur quelques points du calcul fonctionnel (donde se introdujo por primera vez la noción de métrica ). Después de que Felix Hausdorff definiera la noción de espacio topológico general en 1914, [1] aunque algunos matemáticos utilizaban implícitamente topologías localmente convexas, hasta 1934 solo John von Neumann parece haber definido explícitamente la topología débil en espacios de Hilbert y la topología fuerte de operadores en espacios de Hilbert. [2] [3] Finalmente, en 1935 von Neumann introdujo la definición general de un espacio localmente convexo (al que él llamó espacio convexo ). [4] [5]

Un ejemplo notable de un resultado que tuvo que esperar hasta el desarrollo y la difusión de espacios localmente convexos generales (entre otras nociones y resultados, como las redes , la topología del producto y el teorema de Tichonoff ) para ser demostrado en su total generalidad, es el teorema de Banach-Alaoglu que Stefan Banach estableció por primera vez en 1932 mediante un argumento diagonal elemental para el caso de espacios normados separables [6] (en cuyo caso la bola unidad del dual es metrizable ).

Definición

Supongamos que es un espacio vectorial sobre un subcuerpo de números complejos (normalmente él mismo o ). Un espacio localmente convexo se define en términos de conjuntos convexos o, equivalentemente, en términos de seminormas.

Definición mediante conjuntos convexos

Un espacio vectorial topológico (TVS) se denominalocalmente convexo si tiene unabase de vecindad(es decir, una base local) en el origen que consiste enconjuntos convexos.[7]El términoEl espacio vectorial topológico localmente convexo a veces se abrevia comoespacio localmente convexo oTelevisores LCD .

Un subconjunto en se llama

  1. Convexo si para todos y En otras palabras, contiene todos los segmentos de línea entre puntos en
  2. En un círculo si para todos y escalares si entonces Si esto significa que es igual a su reflexión a través del origen. Porque significa que para cualquier contiene el círculo a través de centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por
  3. Equilibrado si para todos y escalares si entonces Si esto significa que si entonces contiene el segmento de línea entre y Para significa que para cualquier contiene el disco con en su límite, centrado en el origen, en el subespacio complejo unidimensional generado por De manera equivalente, un conjunto equilibrado es un "cono en un círculo" [ cita requerida ] . Nótese que en el TVS , pertenece a la bola centrada en el origen de radio , pero no pertenece; de ​​hecho, C no es un cono , pero está equilibrado.
  4. Un cono (cuando el campo subyacente está ordenado ) si para todos y
  5. Absorbente o absorbente si para cada existe tal que para todo lo que satisface El conjunto se puede escalar mediante cualquier valor "grande" para absorber cada punto en el espacio.
    • En cualquier TVS, cada vecindario del origen es absorbente. [7]
  6. Absolutamente convexo o undisco si es equilibrado y convexo. Esto es equivalente a que esté cerrado bajo combinaciones lineales cuyos coeficientes suman absolutamente; un conjunto de este tipo es absorbente si abarca todos los

De hecho, cada TVS localmente convexo tiene una base de vecindad del origen que consiste enconjuntos absolutamente convexos (es decir, discos), donde esta base de vecindad puede además elegirse para que también consista enteramente de conjuntos abiertos o enteramente de conjuntos cerrados.[8] Cada TVS tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos balanceados, pero solo un TVS localmente convexo tiene una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos que son tanto balanceadoscomoconvexos. Es posible que un TVS tengaalgunasvecindades del origen que sean convexas y, sin embargo, no sean localmente convexos porque no tiene una base de vecindad en el origen que consista enteramente de conjuntos convexos (es decir, cada base de vecindad en el origen contiene algún conjunto no convexo); por ejemplo, cada TVS no localmente convexose tiene a sí mismo (es decir,) como una vecindad convexa del origen.

Como la traslación es continua (por definición del espacio vectorial topológico ), todas las traslaciones son homeomorfismos , por lo que cada base para los vecindarios del origen se puede traducir a una base para los vecindarios de cualquier vector dado.

Definición por seminormas

Una seminorma en es un mapa tal que

  1. es semidefinido no negativo o positivo: ;
  2. es homogéneo positivo o escalable positivo: para cada escalar Entonces, en particular, ;
  3. es subaditivo. Satisface la desigualdad triangular:

Si satisface la definitividad positiva, que establece que si entonces entonces es una norma . Si bien en general las seminormas no necesitan ser normas, existe un análogo de este criterio para las familias de seminormas, la separatividad, definida a continuación.

Si es un espacio vectorial y es una familia de seminormas en entonces un subconjunto de se llama base de seminormas para si para todo existe un y un real tal que [9]

Definición (segunda versión): Un espacio localmente convexo se define como un espacio vectorial junto con una familia de seminomas en

Topología seminorma

Supongamos que es un espacio vectorial sobre donde son los números reales o complejos. Una familia de seminormas en el espacio vectorial induce una topología de espacio vectorial canónico en , llamada topología inicial inducida por las seminormas, lo que lo convierte en un espacio vectorial topológico (TVS). Por definición, es la topología más burda en para la cual todas las funciones en son continuas.

Es posible que una topología localmente convexa en un espacio sea inducida por una familia de normas pero que no sea normable ( es decir, que su topología sea inducida por una única norma).

Bases y subbases

Un conjunto abierto en tiene la forma , donde es un número real positivo. La familia de preimágenes como rangos sobre una familia de seminormas y rangos sobre los números reales positivos es una subbase en el origen para la topología inducida por . Estos conjuntos son convexos, como se deduce de las propiedades 2 y 3 de las seminormas. Las intersecciones de un número finito de tales conjuntos son entonces también convexas, y dado que la colección de todas esas intersecciones finitas es una base en el origen, se deduce que la topología es localmente convexa en el sentido de la primera definición dada anteriormente.

Recordemos que la topología de un TVS es invariante en la traducción, es decir, si es cualquier subconjunto de que contenga el origen, entonces para cualquier es un entorno del origen si y sólo si es un entorno de ; por lo tanto, basta con definir la topología en el origen. Una base de entornos de para esta topología se obtiene de la siguiente manera: para cada subconjunto finito de y cada sea

Bases de seminomas y familias saturadas

Si es un espacio localmente convexo y si es una colección de seminormas continuas en , entonces se llama una base de seminormas continuas si es una base de seminormas para la colección de todas las seminormas continuas en . [9] Explícitamente, esto significa que para todas las seminormas continuas en , existe un y un real tal que [9] Si es una base de seminormas continuas para un TVS localmente convexo , entonces la familia de todos los conjuntos de la forma como varía con y varía con los números reales positivos, es una base de vecindades del origen en (no solo una subbase, por lo que no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de tales conjuntos). [9] [prueba 1]

Una familia de seminormas en un espacio vectorial se denomina saturada si para cualquier y en la seminorma definida por pertenece a

Si es una familia saturada de seminormas continuas que induce la topología en entonces la colección de todos los conjuntos de la forma como rangos sobre y rangos sobre todos los números reales positivos, forma una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos abiertos convexos; [9] Esto forma una base en el origen en lugar de simplemente una subbase de modo que, en particular, no hay necesidad de tomar intersecciones finitas de tales conjuntos. [9]

Fundamento de las normas

El siguiente teorema implica que si es un espacio localmente convexo entonces la topología de puede ser definida por una familia de normas continuas en (una norma es una seminorma donde implica ) si y solo si existe al menos una norma continua en . [10] Esto se debe a que la suma de una norma y una seminorma es una norma, por lo que si un espacio localmente convexo está definido por alguna familia de seminormas (cada una de las cuales es necesariamente continua), entonces la familia de normas (también continuas) obtenida al agregar alguna norma continua dada a cada elemento, será necesariamente una familia de normas que define esta misma topología localmente convexa. Si existe una norma continua en un espacio vectorial topológico, entonces es necesariamente Hausdorff, pero la recíproca no es cierta en general (ni siquiera para espacios localmente convexos o espacios de Fréchet ).

Teorema [11]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre el cuerpo Entonces los siguientes son equivalentes:

  1. no admite una norma continua (es decir , cualquier seminorma continua no puede ser una norma).
  2. contiene un subespacio vectorial que es TVS-isomorfo a
  3. contiene un subespacio vectorial complementado que es TVS-isomorfo a
Redes

Supóngase que la topología de un espacio localmente convexo es inducida por una familia de seminormas continuas en . Si y si es una red en , entonces en si y sólo si para todo [12] Además, si es Cauchy en , entonces también lo es para todo [12]

Equivalencia de definiciones

Aunque la definición en términos de una base de vecindad ofrece una mejor imagen geométrica, la definición en términos de seminormas es más fácil de usar en la práctica. La equivalencia de las dos definiciones se desprende de una construcción conocida como funcional de Minkowski o calibre de Minkowski. La característica clave de las seminormas que garantiza la convexidad de sus bolas es la desigualdad triangular .

Para un conjunto absorbente tal que si entonces siempre que se defina el funcional de Minkowski de ser

De esta definición se sigue que es una seminorma si es equilibrada y convexa (también es absorbente por supuesto). Por el contrario, dada una familia de seminormas, los conjuntos forman una base de conjuntos equilibrados absorbentes convexos.

Formas de definir una topología localmente convexa

Teorema [7]  —  Supóngase que es un espacio vectorial (real o complejo) y sea una base de filtros de subconjuntos de tales que:

  1. Todo es convexo , equilibrado y absorbente ;
  2. Para cada uno existe algo realmente satisfactorio tal que

Entonces, hay una base de vecindad en 0 para una topología TVS localmente convexa en

Teorema [7]  —  Supóngase que es un espacio vectorial (real o complejo) y sea una colección no vacía de subconjuntos convexos, equilibrados y absorbentes de Entonces el conjunto de todos los múltiplos escalares positivos de intersecciones finitas de conjuntos en forma una base de vecindad en el origen para una topología TVS localmente convexa en


Ejemplo: espacios normados auxiliares

Si es convexo y absorbente en entonces el conjunto simétrico será convexo y equilibrado (también conocido como un conjunto absolutamente convexo o un disco ) además de ser absorbente en Esto garantiza que el funcional de Minkowski de será una seminorma en por lo que se convierte en un espacio seminormado que lleva su topología pseudometrizable canónica . El conjunto de múltiplos escalares como rangos sobre (o sobre cualquier otro conjunto de escalares distintos de cero que tengan como punto límite) forma una base de vecindad de discos absorbentes en el origen para esta topología localmente convexa. Si es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo es también un subconjunto acotado de entonces el disco absorbente también estará acotado, en cuyo caso será una norma y formará lo que se conoce como un espacio normado auxiliar . Si este espacio normado es un espacio de Banach entonces se llama disco de Banach .

Otras definiciones

Condiciones suficientes

Finca de ampliación Hahn–Banach

Sea un TVS. Digamos que un subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en puede extenderse a un funcional lineal continuo en . [13] Digamos que tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach ( HBEP ) si cada subespacio vectorial de tiene la propiedad de extensión. [13]

El teorema de Hahn-Banach garantiza que todo espacio localmente convexo de Hausdorff tiene el HBEP. Para los TVS metrizables completos existe una recíproca:

Teorema [13]  (Kalton)  :  Todo TVS metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.

Si un espacio vectorial tiene dimensión incontable y si lo dotamos de la topología vectorial más fina , entonces se trata de un TVS con el HBEP que no es ni localmente convexo ni metrizable. [13]

Propiedades


En general, es una familia de seminomas continuas que generan la topología de

Cierre topológico

Si y entonces si y sólo si para cada colección finita existe alguna tal que [14] La clausura de en es igual a [15]

Topología de espacios localmente convexos de Hausdorff

Todo espacio localmente convexo de Hausdorff es homeomorfo a un subespacio vectorial de un producto de espacios de Banach . [16] El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto de un número contable de copias de (este homeomorfismo no necesita ser una función lineal ). [17]

Propiedades de los subconjuntos convexos

Propiedades algebraicas de los subconjuntos convexos

Un subconjunto es convexo si y solo si para todos [18] o equivalentemente, si y solo si para todos los números reales positivos [19] donde debido a que siempre se cumple, el signo igual se puede reemplazar con Si es un conjunto convexo que contiene el origen, entonces tiene forma de estrella en el origen y para todos los números reales no negativos.

La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos es convexa; además, el múltiplo escalar de un conjunto convexo es nuevamente convexo. [20]

Propiedades topológicas de los subconjuntos convexos

Propiedades de las envolturas convexas

Para cualquier subconjunto de un TVS, la envoltura convexa (respectivamente, envoltura convexa cerrada , envoltura equilibrada , envoltura convexa equilibrada ) denotada por (respectivamente, ), es el subconjunto convexo (respectivamente, convexo cerrado, equilibrado, convexo equilibrado) más pequeño de que contiene

Ejemplos y no ejemplos

Topología convexa local más fina y más gruesa

Topología vectorial más burda

Cualquier espacio vectorial dotado de la topología trivial (también llamada topología indiscreta ) es un TVS localmente convexo (y, por supuesto, es la topología más burda de este tipo). Esta topología es de Hausdorff si y solo La topología indiscreta convierte cualquier espacio vectorial en un TVS localmente convexo pseudometrizable completo .

Por el contrario, la topología discreta forma una topología vectorial en si y sólo Esto se deduce del hecho de que cada espacio vectorial topológico es un espacio conexo .

La mejor topología convexa local

Si es un espacio vectorial real o complejo y si es el conjunto de todas las seminormas en entonces la topología TVS localmente convexa, denotada por que induce en se llamatopología localmente convexa más fina en[37] Esta topología también puede describirse como la topología TVS en quetiene como base de vecindad en el origen el conjunto de todoslos discosabsorbentesen[37] Cualquier topología TVS localmente convexa enes necesariamente un subconjunto deesHausdorff.[15] Cada aplicación lineal deen otro TVS localmente convexo es necesariamente continua.[15]En particular, cada funcional lineal enes continuo y cada subespacio vectorial dees cerrado en;[15] por lo tanto, sies de dimensión infinita entoncesno es pseudometrizable (y por lo tanto no metrizable).[37] Además,es laúnicatopología localmente convexa de Hausdorff encon la propiedad de que cualquier aplicación lineal de ella en cualquier espacio localmente convexo de Hausdorff es continua.[38]El espacioes unespacio bornológico.[39]

Ejemplos de espacios localmente convexos

Todo espacio normado es un espacio localmente convexo de Hausdorff, y gran parte de la teoría de espacios localmente convexos generaliza partes de la teoría de espacios normados. La familia de seminormas puede considerarse como la norma única. Todo espacio de Banach es un espacio localmente convexo de Hausdorff completo; en particular, los espacios con son localmente convexos.

En términos más generales, todo espacio de Fréchet es localmente convexo. Un espacio de Fréchet puede definirse como un espacio localmente convexo completo con una familia numerable separada de seminormas.

El espacio de sucesiones de valores reales con la familia de seminormas dada por es localmente convexo. La familia numerable de seminormas es completa y separable, por lo que se trata de un espacio de Fréchet, que no es normable. Esta es también la topología límite de los espacios incluidos en de forma natural, completando sucesiones finitas con un número infinito de

Dado cualquier espacio vectorial y una colección de funcionales lineales en él, se puede convertir en un espacio vectorial topológico localmente convexo dándole la topología más débil, haciendo que todos los funcionales lineales sean continuos. Esto se conoce como la topología débil o la topología inicial determinada por La colección puede ser el dual algebraico de o cualquier otra colección. La familia de seminormas en este caso está dada por para todos en

Los espacios de funciones diferenciables dan otros ejemplos no normalizables. Consideremos el espacio de funciones suaves tales que donde y son multiíndices . La familia de seminormas definidas por está separada, es contable y el espacio es completo, por lo que este espacio metrizable es un espacio de Fréchet. Se lo conoce como el espacio de Schwartz o el espacio de funciones de decrecimiento rápido, y su espacio dual es el espacio de distribuciones templadas .

Un espacio de funciones importante en el análisis funcional es el espacio de funciones suaves con soporte compacto en Se necesita una construcción más detallada para la topología de este espacio porque el espacio no es completo en la norma uniforme. La topología en se define de la siguiente manera: para cualquier conjunto compacto fijo, el espacio de funciones con es un espacio de Fréchet con una familia numerable de seminormas (en realidad, estas son normas, y la completitud del espacio con la norma es un espacio de Banach ). Dada cualquier colección de conjuntos compactos, dirigida por inclusión y tal que su unión sea igual a la forma un sistema directo , y se define como el límite de este sistema. Tal límite de espacios de Fréchet se conoce como espacio LF . Más concretamente, es la unión de todos los con la topología localmente convexa más fuerte que hace que cada mapa de inclusión sea continuo. Este espacio es localmente convexo y completo. Sin embargo, no es metrizable, por lo que no es un espacio de Fréchet. El espacio dual de es el espacio de distribuciones en

De manera más abstracta, dado un espacio topológico, el espacio de funciones continuas (no necesariamente acotadas) en puede recibir la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos. Esta topología se define mediante seminormas (ya que varía sobre el conjunto dirigido de todos los subconjuntos compactos de ). Cuando es localmente compacto (por ejemplo, un conjunto abierto en ), se aplica el teorema de Stone-Weierstrass : en el caso de funciones de valores reales, cualquier subálgebra de que separe puntos y contenga las funciones constantes (por ejemplo, la subálgebra de polinomios) es densa .

Ejemplos de espacios que carecen de convexidad local

Muchos espacios vectoriales topológicos son localmente convexos. Algunos ejemplos de espacios que carecen de convexidad local son los siguientes:

Ambos ejemplos tienen la propiedad de que cualquier aplicación lineal continua de los números reales es En particular, su espacio dual es trivial, es decir, contiene sólo el funcional cero.

Mapeos continuos

Teorema [40]  —  Sea un operador lineal entre sistemas de sucesión temporal donde es localmente convexo (nótese que no necesita ser localmente convexo). Entonces es continuo si y solo si para cada seminorma continua en , existe una seminorma continua en tal que

Dado que los espacios localmente convexos son espacios topológicos y también espacios vectoriales, las funciones naturales a considerar entre dos espacios localmente convexos son las aplicaciones lineales continuas . Utilizando las seminormas, se puede dar un criterio necesario y suficiente para la continuidad de una aplicación lineal que se asemeja mucho a la condición de acotación más familiar encontrada para los espacios de Banach.

Dados espacios localmente convexos y con familias de seminormas y respectivamente, una función lineal es continua si y sólo si para cada existen y tales que para todo

En otras palabras, cada seminorma del rango de está acotada por encima por una suma finita de seminormas en el dominio . Si la familia es una familia dirigida, y siempre se puede elegir que sea dirigida como se explicó anteriormente, entonces la fórmula se vuelve aún más simple y más familiar:

La clase de todos los espacios vectoriales topológicos localmente convexos forma una categoría con mapas lineales continuos como morfismos .

Funciones lineales

Teorema [40]  —  Si es un TVS (no necesariamente localmente convexo) y si es un funcional lineal en , entonces es continuo si y solo si existe una seminorma continua en tal que

Si es un espacio vectorial real o complejo, es un funcional lineal en , y es una seminorma en , entonces si y solo si [41] Si es un funcional lineal no 0 en un espacio vectorial real y si es una seminorma en , entonces si y solo si [15]

Mapas multilineales

Sea un entero, sea TVSs (no necesariamente localmente convexo), sea un TVS localmente convexo cuya topología está determinada por una familia de seminormas continuas, y sea un operador multilineal que es lineal en cada una de sus coordenadas. Los siguientes son equivalentes:

  1. es continua
  2. Para cada existen seminomas continuas en respectivamente, tales que para todo [15]
  3. Para cada uno existe algún vecindario del origen en el cual está limitado. [15]

Véase también

Notas

  1. ^ Hausdorff, F. Grundzüge der Mengenlehre (1914)
  2. ^ von Neumann, J. Obras completas . Vol. II. págs. 94-104
  3. ^ Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 1.
  4. ^ von Neumann, J. Obras completas . Vol. II. págs. 508–527
  5. ^ Dieudonne, J. Historia del análisis funcional Capítulo VIII. Sección 2.
  6. ^ Banach, S. Teoría de las operaciones lineales p. 75. Cap. VIII. Sec. 3. Teorema 4., traducido de Theorie des operations lineaires (1932)
  7. ^ abcdefgh Narici y Beckenstein 2011, págs. 67–113.
  8. ^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 83.
  9. ^ abcdef Narici y Beckenstein 2011, pág. 122.
  10. ^ Jarchow 1981, pág. 130.
  11. ^ Jarchow 1981, págs. 129-130.
  12. ^ desde Narici y Beckenstein 2011, pág. 126.
  13. ^ abcd Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.
  14. ^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 149.
  15. ^ abcdefg Narici y Beckenstein 2011, págs. 149-153.
  16. ^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 115–154.
  17. ^ Bessaga y Pełczyński 1975, pag. 189
  18. ^ Rudin 1991, pág. 6.
  19. ^ Rudin 1991, pág. 38.
  20. ^ abcdef Trèves 2006, p. 126.
  21. ^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 177–220.
  22. ^ desde Schaefer & Wolff 1999, pág. 38.
  23. ^ Jarchow 1981, págs. 101–104.
  24. ^ Conway 1990, pág. 102.
  25. ^ Trèves 2006, pág. 370.
  26. ^ desde Narici y Beckenstein 2011, págs. 155-176.
  27. ^ Rudin 1991, pág. 7.
  28. ^ Aliprantis y Frontera 2006, pag. 185.
  29. ^ Trèves 2006, pág. 67.
  30. ^ Trèves 2006, pág. 145.
  31. ^ desde Rudin 1991, págs. 72-73.
  32. ^ Trèves 2006, pág. 362.
  33. ^ desde Trèves 2006, pág. 68.
  34. ^ desde Narici y Beckenstein 2011, pág. 108.
  35. ^ desde Dunford 1988, pág. 415.
  36. ^ Rudin 1991, págs. 73–74.
  37. ^ abc Narici y Beckenstein 2011, págs. 125-126.
  38. ^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 476.
  39. ^ Narici y Beckenstein 2011, pág. 446.
  40. ^ desde Narici y Beckenstein 2011, págs. 126-128.
  41. ^ Narici y Beckenstein 2011, págs. 126-–128.
  1. ^ Sea la bola unitaria abierta asociada con la seminorma y observe que si es real entonces y por lo tanto Por lo tanto, un entorno abierto básico del origen inducido por es una intersección finita de la forma donde y son todos reales positivos. Sea que es una seminorma continua y además, Elija y tal que donde esta desigualdad se cumple si y solo si Por lo tanto, como se desea.
  2. ^ Arreglar de modo que queda por demostrar que pertenece a Reemplazando con si es necesario, podemos suponer sin pérdida de generalidad que y de modo que queda por demostrar que es un entorno del origen. Sea de modo que Dado que la multiplicación escalar por es un homeomorfismo lineal Dado que y se sigue que donde debido a que es abierto, existe algún que satisface Definir por que es un homeomorfismo porque El conjunto es, por tanto, un subconjunto abierto de que además contiene Si entonces dado que es convexo, y que prueba que Por tanto, es un subconjunto abierto de que contiene el origen y está contenido en QED

Referencias