Dynamical system

Modelo matemático de la dependencia temporal de un punto en el espacio.

The Lorenz attractor arises in the study of the Lorenz oscillator, a dynamical system.

In mathematics, a dynamical system is a system in which a function describes the time dependence of a point in an ambient space, such as in a parametric curve. Examples include the mathematical models that describe the swinging of a clock pendulum, the flow of water in a pipe, the random motion of particles in the air, and the number of fish each springtime in a lake. The most general definition unifies several concepts in mathematics such as ordinary differential equations and ergodic theory by allowing different choices of the space and how time is measured.^{[citation needed]} Time can be measured by integers, by real or complex numbers or can be a more general algebraic object, losing the memory of its physical origin, and the space may be a manifold or simply a set, without the need of a smooth space-time structure defined on it.

At any given time, a dynamical system has a state representing a point in an appropriate state space. This state is often given by a tuple of real numbers or by a vector in a geometrical manifold. The evolution rule of the dynamical system is a function that describes what future states follow from the current state. Often the function is deterministic, that is, for a given time interval only one future state follows from the current state.^[1][2] However, some systems are stochastic, in that random events also affect the evolution of the state variables.

In physics, a dynamical system is described as a "particle or ensemble of particles whose state varies over time and thus obeys differential equations involving time derivatives".^[3] In order to make a prediction about the system's future behavior, an analytical solution of such equations or their integration over time through computer simulation is realized.

El estudio de los sistemas dinámicos es el foco de la teoría de sistemas dinámicos , que tiene aplicaciones en una amplia variedad de campos como matemáticas, física, ^{[4] [5]} biología , ^[6] química , ingeniería , ^[7] economía , ^{[8 ]} historia y medicina . Los sistemas dinámicos son parte fundamental de la teoría del caos , la dinámica de mapas logísticos , la teoría de la bifurcación , los procesos de autoensamblaje y autoorganización y el concepto del borde del caos .

Descripción general

El concepto de sistema dinámico tiene su origen en la mecánica newtoniana . Allí, como en otras ciencias naturales y disciplinas de la ingeniería, la regla de evolución de los sistemas dinámicos es una relación implícita que proporciona el estado del sistema sólo durante un corto período de tiempo en el futuro. (La relación es una ecuación diferencial , una ecuación en diferencias u otra escala de tiempo ). Para determinar el estado de todos los tiempos futuros es necesario iterar la relación muchas veces; cada avance es un pequeño paso. El procedimiento de iteración se conoce como resolución del sistema o integración del sistema . Si el sistema puede resolverse, entonces, dado un punto inicial, es posible determinar todas sus posiciones futuras, un conjunto de puntos conocido como trayectoria u órbita .

Antes de la llegada de las computadoras , encontrar una órbita requería técnicas matemáticas sofisticadas y sólo podía lograrse para una pequeña clase de sistemas dinámicos. Los métodos numéricos implementados en computadoras electrónicas han simplificado la tarea de determinar las órbitas de un sistema dinámico.

Para sistemas dinámicos simples, conocer la trayectoria suele ser suficiente, pero la mayoría de los sistemas dinámicos son demasiado complicados para entenderlos en términos de trayectorias individuales. Las dificultades surgen porque:

• Es posible que los sistemas estudiados sólo se conozcan aproximadamente: es posible que los parámetros del sistema no se conozcan con precisión o que falten términos en las ecuaciones. Las aproximaciones utilizadas ponen en duda la validez o relevancia de las soluciones numéricas. Para abordar estas cuestiones se han introducido varias nociones de estabilidad en el estudio de sistemas dinámicos, como la estabilidad de Lyapunov o la estabilidad estructural . La estabilidad del sistema dinámico implica que existe una clase de modelos o condiciones iniciales para los cuales las trayectorias serían equivalentes. La operación de comparar órbitas para establecer su equivalencia cambia con las diferentes nociones de estabilidad.
• El tipo de trayectoria puede ser más importante que una trayectoria en particular. Algunas trayectorias pueden ser periódicas, mientras que otras pueden recorrer muchos estados diferentes del sistema. Las aplicaciones a menudo requieren enumerar estas clases o mantener el sistema dentro de una clase. La clasificación de todas las trayectorias posibles ha llevado al estudio cualitativo de los sistemas dinámicos, es decir, propiedades que no cambian ante cambios de coordenadas. Los sistemas dinámicos lineales y los sistemas que tienen dos números que describen un estado son ejemplos de sistemas dinámicos donde se comprenden las posibles clases de órbitas.
• El comportamiento de las trayectorias en función de un parámetro puede ser lo que se necesita para una aplicación. A medida que se varía un parámetro, los sistemas dinámicos pueden tener puntos de bifurcación donde cambia el comportamiento cualitativo del sistema dinámico. Por ejemplo, puede pasar de tener sólo movimientos periódicos a un comportamiento aparentemente errático, como en la transición a la turbulencia de un fluido .
• Las trayectorias del sistema pueden parecer erráticas, como aleatorias. En estos casos puede ser necesario calcular promedios utilizando una trayectoria muy larga o muchas trayectorias diferentes. Los promedios están bien definidos para los sistemas ergódicos y se ha logrado una comprensión más detallada para los sistemas hiperbólicos . Comprender los aspectos probabilísticos de los sistemas dinámicos ha ayudado a establecer las bases de la mecánica estadística y del caos .

Historia

Mucha gente considera al matemático francés Henri Poincaré como el fundador de los sistemas dinámicos. ^[9] Poincaré publicó dos monografías ahora clásicas, "Nuevos métodos de mecánica celeste" (1892-1899) y "Conferencias sobre mecánica celeste" (1905-1910). En ellos, aplicó con éxito los resultados de su investigación al problema del movimiento de tres cuerpos y estudió en detalle el comportamiento de las soluciones (frecuencia, estabilidad, asintótica, etc.). Estos artículos incluían el teorema de recurrencia de Poincaré , que establece que ciertos sistemas, después de un tiempo suficientemente largo pero finito, volverán a un estado muy cercano al estado inicial.

Aleksandr Lyapunov desarrolló muchos métodos de aproximación importantes. Sus métodos, que desarrolló en 1899, permiten definir la estabilidad de conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Creó la teoría moderna de la estabilidad de un sistema dinámico.

En 1913, George David Birkhoff demostró el " Último Teorema Geométrico " de Poincaré , un caso especial del problema de los tres cuerpos , resultado que le hizo mundialmente famoso. En 1927 publicó sus Sistemas dinámicos . El resultado más duradero de Birkhoff ha sido su descubrimiento en 1931 de lo que ahora se llama el teorema ergódico . Combinando conocimientos de la física sobre la hipótesis ergódica con la teoría de la medida , este teorema resolvió, al menos en principio, un problema fundamental de la mecánica estadística . El teorema ergódico también ha tenido repercusiones en la dinámica.

Stephen Smale también hizo avances significativos. Su primera contribución fue la herradura Smale que impulsó una importante investigación en sistemas dinámicos. También esbozó un programa de investigación llevado a cabo por muchos otros.

Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desarrolló el teorema de Sharkovsky sobre los períodos de sistemas dinámicos discretos en 1964. Una de las implicaciones del teorema es que si un sistema dinámico discreto en la recta real tiene un punto periódico del período 3, entonces debe tener puntos periódicos de cada otro periodo.

A finales del siglo XX, la perspectiva del sistema dinámico para las ecuaciones diferenciales parciales comenzó a ganar popularidad. El ingeniero mecánico palestino Ali H. Nayfeh aplicó la dinámica no lineal en sistemas mecánicos y de ingeniería . ^[10] Su trabajo pionero en dinámica no lineal aplicada ha sido influyente en la construcción y mantenimiento de máquinas y estructuras que son comunes en la vida diaria, como barcos , grúas , puentes , edificios , rascacielos , motores a reacción , motores de cohetes , aviones y naves espaciales. . ^[11]

Definicion formal

En el sentido más general, ^{[12] [13]} un sistema dinámico es una tupla ( T , X , Φ) donde T es un monoide , escrito de forma aditiva, X es un conjunto no vacío y Φ es una función

${\displaystyle \Phi :U\subseteq (T\times X)\to X}$

con

${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}(U)=X}$ (¿Dónde está el segundo mapa de proyección ?) ${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}}$

y para cualquier x en X :

${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),}$

para y , donde hemos definido el conjunto para cualquier x en X . ${\displaystyle \,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)}$ ${\displaystyle \ t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))}$ ${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$

En particular, en el caso de que tengamos para cada x en X eso y por tanto que Φ define una acción monoide de T sobre X . ${\displaystyle U=T\times X}$ ${\displaystyle I(x)=T}$

La función Φ( t , x ) se llama función de evolución del sistema dinámico: asocia a cada punto x del conjunto X una imagen única, dependiendo de la variable t , llamada parámetro de evolución . A X se le llama espacio de fases o espacio de estados , mientras que la variable x representa un estado inicial del sistema.

A menudo escribimos

${\displaystyle \Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)}$

${\displaystyle \Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)}$

si tomamos una de las variables como constante. La función

${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to X}$

se llama flujo a través de x y su gráfica se llama trayectoria a través de x . El conjunto

${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$

se llama órbita que pasa por x . La órbita que pasa por x es la imagen del flujo que pasa por x . Un subconjunto S del espacio de estados X se llama Φ- invariante si para todo x en S y todo t en T

${\displaystyle \Phi (t,x)\in S.}$

Así, en particular, si S es Φ- invariante , para todo x en S. Es decir, el flujo a través de x debe definirse en todo momento para cada elemento de S. ${\displaystyle I(x)=T}$

Más comúnmente hay dos clases de definiciones para un sistema dinámico: una está motivada por ecuaciones diferenciales ordinarias y es de tipo geométrico; y el otro está motivado por la teoría ergódica y tiene un sabor teórico de la medida.

Definición geométrica

En la definición geométrica, un sistema dinámico es la tupla . es el dominio del tiempo; hay muchas opciones, generalmente reales o enteros, posiblemente restringidas a no negativas. es una variedad , es decir, localmente un espacio de Banach o un espacio euclidiano, o en el caso discreto un gráfico . f es una regla de evolución t  →  f ^t (con ) tal que f  ^t es un difeomorfismo de la variedad consigo mismo. Entonces, f es un mapeo "suave" del dominio del tiempo en el espacio de difeomorfismos de la variedad consigo mismo. En otros términos, f ( t ) es un difeomorfismo, para cada tiempo t en el dominio . ${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Sistema dinámico real

Un sistema dinámico real , un sistema dinámico en tiempo real , un sistema dinámico de tiempo continuo o un flujo es una tupla ( T , M , Φ) con T un intervalo abierto en los números reales R , M una variedad localmente difeomorfa a un espacio de Banach , y Φ una función continua . Si Φ es continuamente diferenciable decimos que el sistema es un sistema dinámico diferenciable . Si la variedad M es localmente difeomorfa a R ⁿ , el sistema dinámico es de dimensión finita ; si no, el sistema dinámico es de dimensión infinita . Esto no supone una estructura simpléctica . Cuando se toma a T como los reales, el sistema dinámico se llama global o flujo ; y si T está restringido a los reales no negativos, entonces el sistema dinámico es un semiflujo .

Sistema dinámico discreto

Un sistema dinámico discreto , un sistema dinámico de tiempo discreto es una tupla ( T , M , Φ), donde M es una variedad localmente difeomorfa a un espacio de Banach , y Φ es una función. Cuando se toma T como números enteros, es una cascada o un mapa . Si T se restringe a los números enteros no negativos, llamamos al sistema una semicascada . ^[14]

autómata celular

Un autómata celular es una tupla ( T , M , Φ), siendo T una red como los números enteros o una cuadrícula de enteros de dimensiones superiores , M es un conjunto de funciones de una red de números enteros (de nuevo, con una o más dimensiones) a un conjunto finito, y Φ una función de evolución (definida localmente). Como tales, los autómatas celulares son sistemas dinámicos. La red en M representa la red "espacial", mientras que la de T representa la red "tiempo".

Generalización multidimensional

Los sistemas dinámicos generalmente se definen sobre una única variable independiente, considerada como tiempo. Una clase más general de sistemas se define sobre múltiples variables independientes y, por lo tanto, se denominan sistemas multidimensionales . Estos sistemas son útiles para modelar, por ejemplo, el procesamiento de imágenes .

Compactificación de un sistema dinámico.

Dado un sistema dinámico global ( R , X , Φ ) en un espacio topológico de Hausdorff X localmente compacto , a menudo es útil estudiar la extensión continua Φ* de Φ a la compactación de un punto X* de X . Aunque perdemos la estructura diferencial del sistema original, ahora podemos usar argumentos de compacidad para analizar el nuevo sistema ( R , X* , Φ*).

En los sistemas dinámicos compactos, el conjunto límite de cualquier órbita no está vacío , es compacto y simplemente está conectado .

Medida definición teórica

Un sistema dinámico puede definirse formalmente como una transformación que preserva la medida de un espacio de medidas , el triplete ( T , ( X , Σ, μ ), Φ). Aquí, T es un monoide (normalmente los enteros no negativos), X es un conjunto y ( X , Σ, μ ) es un espacio de probabilidad , lo que significa que Σ es un álgebra sigma en X y μ es una medida finita en ( X , Σ). Se dice que un mapa Φ: X → X es Σ-medible si y sólo si, para cada σ en Σ, se tiene . Se dice que un mapa Φ conserva la medida si y sólo si, para cada σ en Σ, se tiene . Combinando lo anterior, se dice que un mapa Φ es una transformación de X que preserva la medida , si es un mapa de X a sí mismo, es Σ-medible y preserva la medida. El triplete ( T , ( X , Σ, μ ), Φ), para tal Φ, se define entonces como un sistema dinámico . ${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

El mapa Φ representa la evolución temporal del sistema dinámico. Así, para sistemas dinámicos discretos se estudian las iteraciones para cada número entero n . Para sistemas dinámicos continuos, el mapa Φ se entiende como un mapa de evolución en tiempo finito y la construcción es más complicada. ${\displaystyle \Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi }$

Relación con la definición geométrica

La definición teórica de la medida supone la existencia de una transformación que preserva la medida. Se pueden asociar muchas medidas invariantes diferentes a cualquier regla de evolución. Si el sistema dinámico está dado por un sistema de ecuaciones diferenciales se debe determinar la medida adecuada. Esto dificulta el desarrollo de la teoría ergódica a partir de ecuaciones diferenciales, por lo que resulta conveniente tener una definición motivada por sistemas dinámicos dentro de la teoría ergódica que evite la elección de la medida y asuma que la elección ya se ha hecho. Una construcción simple (a veces llamada teorema de Krylov-Bogolyubov ) muestra que para una gran clase de sistemas siempre es posible construir una medida de modo que la regla de evolución del sistema dinámico sea una transformación que preserve la medida. En la construcción se suma una medida dada del espacio de estados para todos los puntos futuros de una trayectoria, asegurando la invariancia.

Algunos sistemas tienen una medida natural, como la medida de Liouville en los sistemas hamiltonianos , elegida sobre otras medidas invariantes, como las medidas sustentadas en órbitas periódicas del sistema hamiltoniano. Para sistemas disipativos caóticos, la elección de la medida invariante es técnicamente más desafiante. La medida debe apoyarse en el atractor , pero los atractores tienen medida de Lebesgue cero y las medidas invariantes deben ser singulares con respecto a la medida de Lebesgue. Una pequeña región del espacio de fases se reduce con la evolución del tiempo.

Para sistemas dinámicos hiperbólicos, las medidas Sinaí-Ruelle-Bowen parecen ser la elección natural. Están construidos sobre la estructura geométrica de variedades estables e inestables del sistema dinámico; se comportan físicamente ante pequeñas perturbaciones; y explican muchas de las estadísticas observadas de los sistemas hiperbólicos.

Construcción de sistemas dinámicos.

El concepto de evolución en el tiempo es central en la teoría de los sistemas dinámicos, como se vio en las secciones anteriores: la razón básica de este hecho es que la motivación inicial de la teoría fue el estudio del comportamiento temporal de los sistemas mecánicos clásicos . Pero un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias debe resolverse antes de que se convierta en un sistema dinámico. Por ejemplo, considere un problema de valor inicial como el siguiente:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$

dónde

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$representa la velocidad del punto material x
• M es una variedad de dimensión finita
• v : T × M → TM es un campo vectorial en R ⁿ o C ⁿ y representa el cambio de velocidad inducido por las fuerzas conocidas que actúan sobre el punto material dado en el espacio de fase M . El cambio no es un vector en el espacio de fase  M , sino que está en el espacio tangente TM .

No hay necesidad de derivadas de orden superior en la ecuación, ni del parámetro t en v ( t , x ), porque pueden eliminarse considerando sistemas de dimensiones superiores.

Dependiendo de las propiedades de este campo vectorial, el sistema mecánico se llama

• autónomo , cuando v ( t , x ) = v ( x )
• homogéneo cuando v ( t , 0 ) = 0 para todo t

La solución se puede encontrar utilizando técnicas EDO estándar y se denota como la función de evolución ya presentada anteriormente.

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$

El sistema dinámico es entonces ( T , M , Φ).

Alguna manipulación formal del sistema de ecuaciones diferenciales mostrado arriba proporciona una forma más general de ecuaciones que un sistema dinámico debe satisfacer.

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$

donde es un funcional del conjunto de funciones de evolución al campo de los números complejos. ${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$

Esta ecuación es útil al modelar sistemas mecánicos con restricciones complicadas.

Muchos de los conceptos de los sistemas dinámicos se pueden extender a variedades de dimensión infinita (aquellas que son localmente espacios de Banach ), en cuyo caso las ecuaciones diferenciales son ecuaciones diferenciales parciales .

Ejemplos

• El mapa del gato de Arnold
• El mapa de Baker es un ejemplo de un mapa lineal caótico por partes.
• Billar y billar exterior.
• Dinámica del rebote de la pelota
• mapa circular
• Polinomio cuadrático complejo
• Péndulo doble
• Transformación diádica
• mapa de Henon
• Rotación irracional
• Mapa de Kaplan-Yorke
• Lista de mapas caóticos
• sistema lorenz
• Sistema de simulación de mapas cuadráticos.
• mapa de Rössler
• Balanceando la máquina de Atwood
• Mapa de la tienda

Sistemas dinámicos lineales

Los sistemas dinámicos lineales se pueden resolver en términos de funciones simples y clasificar el comportamiento de todas las órbitas. En un sistema lineal, el espacio de fases es el espacio euclidiano de N dimensiones, por lo que cualquier punto en el espacio de fases puede representarse mediante un vector con N números. El análisis de sistemas lineales es posible porque satisfacen un principio de superposición : si u ( t ) y w ( t ) satisfacen la ecuación diferencial para el campo vectorial (pero no necesariamente la condición inicial), entonces también lo hará u ( t ) +  w. ( t ).

Flujos

Para un flujo , el campo vectorial v( x ) es una función afín de la posición en el espacio de fase, es decir,

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$

con A una matriz, b un vector de números yx el vector de posición. La solución a este sistema se puede encontrar utilizando el principio de superposición (linealidad). El caso b  ≠ 0 con A  = 0 es simplemente una línea recta en la dirección de  b :

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$

Cuando b es cero y A  ≠ 0 el origen es un punto de equilibrio (o singular) del flujo, es decir, si x ₀  = 0, entonces la órbita permanece allí. Para otras condiciones iniciales, la ecuación de movimiento viene dada por la exponencial de una matriz : para un punto inicial x ₀ ,

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$

Cuando b = 0, los valores propios de A determinan la estructura del espacio de fase. A partir de los valores propios y los vectores propios de A es posible determinar si un punto inicial convergerá o divergirá hacia el punto de equilibrio en el origen.

La distancia entre dos condiciones iniciales diferentes en el caso A  ≠ 0 cambiará exponencialmente en la mayoría de los casos, ya sea convergiendo exponencialmente rápido hacia un punto o divergiendo exponencialmente rápido. Los sistemas lineales muestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales en el caso de divergencia. Para los sistemas no lineales, esta es una de las condiciones (necesarias pero no suficientes) para el comportamiento caótico .

Campos vectoriales lineales y algunas trayectorias.

Mapas

Un sistema dinámico afín y de tiempo discreto tiene la forma de una ecuación en diferencias matricial :

${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$

con A una matriz y b un vector. Como en el caso continuo, el cambio de coordenadas x  →  x  + (1 −  A )  ^–1 b elimina el término b de la ecuación. En el nuevo sistema de coordenadas , el origen es un punto fijo del mapa y las soluciones son del sistema ^lineal An x ₀ . Las soluciones para el mapa ya no son curvas, sino puntos que saltan en el espacio de fases. Las órbitas están organizadas en curvas o fibras, que son conjuntos de puntos que se mapean sobre sí mismos bajo la acción del mapa. 

Como en el caso continuo, los valores propios y vectores propios de A determinan la estructura del espacio de fases. Por ejemplo, si u ₁ es un vector propio de A , con un valor propio real menor que uno, entonces las rectas dadas por los puntos a lo largo de α  u ₁ , con α  ∈  R , es una curva invariante del mapa. Los puntos de esta línea recta llegan al punto fijo.

También existen muchos otros sistemas dinámicos discretos .

Dinámica local

Las propiedades cualitativas de los sistemas dinámicos no cambian bajo un cambio suave de coordenadas (esto a veces se toma como una definición de cualitativo): un punto singular del campo vectorial (un punto donde  v ( x ) = 0) seguirá siendo un punto singular bajo suaves transformaciones; una órbita periódica es un bucle en el espacio de fases y las deformaciones suaves del espacio de fases no pueden alterar que sea un bucle. Es en la vecindad de puntos singulares y órbitas periódicas donde se puede comprender bien la estructura de un espacio de fases de un sistema dinámico. En el estudio cualitativo de sistemas dinámicos, el enfoque es mostrar que hay un cambio de coordenadas (generalmente no especificado, pero computable) que hace que el sistema dinámico sea lo más simple posible.

Rectificación

Un flujo en la mayoría de los fragmentos pequeños del espacio de fase se puede hacer de manera muy simple. Si y es un punto donde el campo vectorial v ( y ) ≠ 0, entonces hay un cambio de coordenadas para una región alrededor de y donde el campo vectorial se convierte en una serie de vectores paralelos de la misma magnitud. Esto se conoce como teorema de la rectificación.

El teorema de la rectificación dice que lejos de puntos singulares la dinámica de un punto en una pequeña porción es una línea recta. A veces, el parche se puede ampliar uniendo varios parches, y cuando esto funciona en todo el espacio de fase M, el sistema dinámico es integrable . En la mayoría de los casos, el parche no se puede extender a todo el espacio de fase. Puede haber puntos singulares en el campo vectorial (donde v ( x ) = 0); o los parches pueden volverse cada vez más pequeños a medida que se acerca a algún punto. La razón más sutil es una restricción global, donde la trayectoria comienza en un parche y, después de visitar una serie de otros parches, regresa al original. Si la próxima vez la órbita gira alrededor del espacio de fases de una manera diferente, entonces será imposible rectificar el campo vectorial en toda la serie de parches.

Órbitas casi periódicas

En general, en las proximidades de una órbita periódica no se puede utilizar el teorema de la rectificación. Poincaré desarrolló un enfoque que transforma el análisis cerca de una órbita periódica en el análisis de un mapa. Elija un punto x ₀ en la órbita γ y considere los puntos en el espacio de fase en esa vecindad que son perpendiculares a v ( x ₀ ). Estos puntos son una sección de Poincaré S ( γ ,  x ₀ ), de la órbita. El flujo ahora define un mapa, el mapa de Poincaré F  :  S  →  S , para puntos que comienzan en S y regresan a  S . No todos estos puntos tardarán la misma cantidad de tiempo en regresar, pero los tiempos serán cercanos al tiempo que tarda  x ₀ .

La intersección de la órbita periódica con la sección de Poincaré es un punto fijo del mapa de Poincaré F. Mediante una traslación, se puede suponer que el punto está en x  = 0. La serie de Taylor del mapa es F ( x ) =  J  ·  x  + O ( x ² ), por lo que solo se puede esperar que un cambio de coordenadas h simplifique F a su parte lineal

${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$

This is known as the conjugation equation. Finding conditions for this equation to hold has been one of the major tasks of research in dynamical systems. Poincaré first approached it assuming all functions to be analytic and in the process discovered the non-resonant condition. If λ₁, ..., λ_ν are the eigenvalues of J they will be resonant if one eigenvalue is an integer linear combination of two or more of the others. As terms of the form λ_i – Σ (multiples of other eigenvalues) occurs in the denominator of the terms for the function h, the non-resonant condition is also known as the small divisor problem.

Conjugation results

The results on the existence of a solution to the conjugation equation depend on the eigenvalues of J and the degree of smoothness required from h. As J does not need to have any special symmetries, its eigenvalues will typically be complex numbers. When the eigenvalues of J are not in the unit circle, the dynamics near the fixed point x₀ of F is called hyperbolic and when the eigenvalues are on the unit circle and complex, the dynamics is called elliptic.

In the hyperbolic case, the Hartman–Grobman theorem gives the conditions for the existence of a continuous function that maps the neighborhood of the fixed point of the map to the linear map J · x. The hyperbolic case is also structurally stable. Small changes in the vector field will only produce small changes in the Poincaré map and these small changes will reflect in small changes in the position of the eigenvalues of J in the complex plane, implying that the map is still hyperbolic.

The Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) theorem gives the behavior near an elliptic point.

Bifurcation theory

When the evolution map Φ^t (or the vector field it is derived from) depends on a parameter μ, the structure of the phase space will also depend on this parameter. Small changes may produce no qualitative changes in the phase space until a special value μ₀ is reached. At this point the phase space changes qualitatively and the dynamical system is said to have gone through a bifurcation.

La teoría de la bifurcación considera una estructura en el espacio de fases (típicamente un punto fijo , una órbita periódica o un toro invariante ) y estudia su comportamiento en función del parámetro  μ . En el punto de bifurcación la estructura puede cambiar su estabilidad, dividirse en nuevas estructuras o fusionarse con otras estructuras. Utilizando aproximaciones de los mapas en series de Taylor y comprendiendo las diferencias que pueden eliminarse mediante un cambio de coordenadas, es posible catalogar las bifurcaciones de los sistemas dinámicos.

Las bifurcaciones de un punto fijo hiperbólico x ₀ de una familia de sistemas F _μ pueden caracterizarse por los valores propios de la primera derivada del sistema DF _μ ( x ₀ ) calculados en el punto de bifurcación. Para un mapa, la bifurcación ocurrirá cuando haya valores propios de DF _μ en el círculo unitario. Para un flujo, ocurrirá cuando haya valores propios en el eje imaginario. Para obtener más información, consulte el artículo principal sobre Teoría de la bifurcación .

Algunas bifurcaciones pueden dar lugar a estructuras muy complicadas en el espacio de fases. Por ejemplo, el escenario Ruelle-Takens describe cómo una órbita periódica se bifurca en un toro y el toro en un atractor extraño . En otro ejemplo, la duplicación del período de Feigenbaum describe cómo una órbita periódica estable pasa por una serie de bifurcaciones que duplican el período .

Sistemas ergódicos

En muchos sistemas dinámicos, es posible elegir las coordenadas del sistema de modo que el volumen (en realidad un volumen de dimensión v) en el espacio de fase sea invariante. Esto sucede para los sistemas mecánicos derivados de las leyes de Newton siempre que las coordenadas sean la posición y el momento y el volumen se mida en unidades de (posición) × (momento). El flujo toma puntos de un subconjunto A en los puntos Φ ^t ( A ) y la invariancia del espacio de fase significa que 

${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$

En el formalismo hamiltoniano , dada una coordenada, es posible derivar el impulso apropiado (generalizado) de modo que el flujo conserve el volumen asociado. Se dice que el volumen se calcula mediante la medida de Liouville .

En un sistema hamiltoniano, no todas las configuraciones posibles de posición y momento pueden alcanzarse a partir de una condición inicial. Debido a la conservación de energía, sólo son accesibles los estados con la misma energía que la condición inicial. Los estados con la misma energía forman una capa de energía Ω, una subvariedad del espacio de fases. El volumen de la capa de energía, calculado mediante la medida de Liouville, se conserva durante la evolución.

Para sistemas donde el flujo preserva el volumen, Poincaré descubrió el teorema de recurrencia : suponga que el espacio de fases tiene un volumen de Liouville finito y sea F un mapa de conservación del volumen del espacio de fases y A un subconjunto del espacio de fases. Entonces casi todos los puntos de A regresan a A infinitamente veces. Zermelo utilizó el teorema de recurrencia de Poincaré para objetar la derivación de Boltzmann del aumento de entropía en un sistema dinámico de átomos en colisión.

Una de las cuestiones que planteó el trabajo de Boltzmann fue la posible igualdad entre los promedios temporales y los promedios espaciales, lo que llamó hipótesis ergódica . La hipótesis establece que el tiempo que pasa una trayectoria típica en una región A es vol( A )/vol(Ω).

La hipótesis ergódica resultó no ser la propiedad esencial necesaria para el desarrollo de la mecánica estadística y se introdujeron una serie de otras propiedades de tipo ergódico para capturar los aspectos relevantes de los sistemas físicos. Koopman abordó el estudio de los sistemas ergódicos mediante el uso del análisis funcional . Una a observable es una función que a cada punto del espacio de fase asocia un número (digamos presión instantánea o altura promedio). El valor de un observable se puede calcular en otro momento utilizando la función de evolución φ  ^t . Esto introduce un operador U ^t , el operador de transferencia , 

${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$

Al estudiar las propiedades espectrales del operador lineal U es posible clasificar las propiedades ergódicas de Φ ^t . Al utilizar el enfoque de Koopman de considerar la acción del flujo sobre una función observable, el problema no lineal de dimensión finita que involucra a Φ t ^se transforma en un problema lineal de dimensión infinita que involucra  a U.  

La medida de Liouville restringida a la superficie de energía Ω es la base para los promedios calculados en mecánica estadística de equilibrio . Un promedio en el tiempo a lo largo de una trayectoria es equivalente a un promedio en el espacio calculado con el factor de Boltzmann exp(−β H ) . Esta idea ha sido generalizada por Sinai, Bowen y Ruelle (SRB) a una clase más amplia de sistemas dinámicos que incluye sistemas disipativos. Las medidas SRB reemplazan al factor de Boltzmann y se definen sobre atractores de sistemas caóticos.

Sistemas dinámicos no lineales y caos.

Los sistemas dinámicos no lineales simples e incluso los sistemas lineales por partes pueden exhibir un comportamiento completamente impredecible, que podría parecer aleatorio, a pesar de que son fundamentalmente deterministas. Este comportamiento aparentemente impredecible se ha denominado caos . Los sistemas hiperbólicos son sistemas dinámicos definidos con precisión que exhiben las propiedades atribuidas a los sistemas caóticos. En los sistemas hiperbólicos el espacio tangente perpendicular a una trayectoria se puede separar bien en dos partes: una con los puntos que convergen hacia la órbita (la variedad estable ) y otra de los puntos que divergen de la órbita (la variedad inestable ).

Esta rama de las matemáticas se ocupa del comportamiento cualitativo a largo plazo de los sistemas dinámicos. Aquí, la atención no se centra en encontrar soluciones precisas a las ecuaciones que definen el sistema dinámico (lo que a menudo es inútil), sino más bien en responder preguntas como "¿Se estabilizará el sistema en un estado estable a largo plazo y, de ser así, qué ocurrirá?". Cuáles son los posibles atractores ? o "¿El comportamiento a largo plazo del sistema depende de su condición inicial?"

El comportamiento caótico de sistemas complejos no es el problema. Se sabe desde hace años que la meteorología implica un comportamiento complejo, incluso caótico. La teoría del caos ha sido tan sorprendente porque el caos se puede encontrar dentro de sistemas casi triviales. El mapa logístico es sólo un polinomio de segundo grado; el mapa de herradura es lineal por partes.

Soluciones de duración finita

Para las EDO autónomas no lineales, es posible bajo algunas condiciones desarrollar soluciones de duración finita, ^[15] lo que significa aquí que, a partir de su propia dinámica, el sistema alcanzará el valor cero en un momento final y permanecerá allí en cero para siempre. Estas soluciones de duración finita no pueden ser funciones analíticas en toda la recta real y, debido a que son funciones que no son de Lipschitz en su tiempo final, no son soluciones únicas de ecuaciones diferenciales de Lipschitz.

Como ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Admite la solución de duración finita:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

Ver también

• Portal de ciencia de sistemas

• Modelado de comportamiento
• Modelado cognitivo
• Dinámica compleja
• Enfoque dinámico para el desarrollo de una segunda lengua.
• Pasivación de retroalimentación
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.
• Lista de temas del sistema dinámico.
• Oscilación
• Personas en sistemas y control.
• Teorema de Sharkovskii
• Teorema fundamental de los sistemas dinámicos de Conley
• Sistemas dinámicos
• Teoría de sistemas
• Principio de máximo calibre.

Referencias

1. Strogatz, SH (2001). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología y la química . Perseo.
2. Katok, A.; Hasselblatt, B. (1995). Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-34187-5.
3. "Naturaleza". Naturaleza Springer . Consultado el 17 de febrero de 2017 .
4. Melby, P.; et al. (2005). "Dinámica de Sistemas Autoajustables con Ruido". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 15 (3): 033902. Bibcode : 2005 Caos..15c3902M. doi :10.1063/1.1953147. PMID  16252993.
5. Gintautas, V.; et al. (2008). "Forzamiento resonante de grados seleccionados de libertad de dinámica de mapas caóticos multidimensionales". J. estadística. Física . 130 (3): 617. arXiv : 0705.0311 . Código Bib : 2008JSP...130..617G. doi :10.1007/s10955-007-9444-4. S2CID  8677631.
6. Jackson, T.; Radúnskaya, A. (2015). Aplicaciones de Sistemas Dinámicos en Biología y Medicina . Saltador.
7. Kreyszig, Erwin (2011). Matemáticas de Ingeniería Avanzada . Hoboken: Wiley. ISBN 978-0-470-64613-7.
8. Gandolfo, Giancarlo (2009) [1971]. Dinámica económica: métodos y modelos (Cuarta ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-642-13503-3.
9. Holmes, Felipe. "Poincaré, mecánica celeste, teoría de sistemas dinámicos y "caos"." Informes de física 193.3 (1990): 137–163.
10. Rega, Giuseppe (2019). "Homenaje a Ali H. Nayfeh (1933-2017)". Simposio de IUTAM sobre explotación de dinámica no lineal para sistemas de ingeniería. Saltador . págs. 1–2. ISBN 9783030236922.
11. "Ali Hasan Nayfeh". Premios del Instituto Franklin . El Instituto Franklin . 4 de febrero de 2014 . Consultado el 25 de agosto de 2019 .
12. Giunti M. y Mazzola C. (2012), "Sistemas dinámicos sobre monoides: hacia una teoría general de los sistemas deterministas y el movimiento". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, modelos, simulaciones y enfoques hacia una teoría general del cambio , págs. 173–185, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5 
13. Mazzola C. y Giunti M. (2012), "Dinámica reversible y direccionalidad del tiempo". En Minati G., Abram M., Pessa E. (eds.), Métodos, modelos, simulaciones y enfoques hacia una teoría general del cambio , págs. 161-171, Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4383-32-5 . 
14. En abundancia, Oded (2010). Sistemas dinámicos discretos . Saltador.
15. Vardia T. Haimo (1985). "Ecuaciones diferenciales de tiempo finito". 1985 24ª Conferencia del IEEE sobre Decisión y Control . págs. 1729-1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.

• Arnold, Vladimir I. (2006). "Conceptos fundamentales". Ecuaciones diferenciales ordinarias . Berlín: Springer Verlag. ISBN 3-540-34563-9.
• Chueshov, ID Introducción a la teoría de los sistemas disipativos de dimensión infinita .Versión en línea de la primera edición en el sitio de EMIS [1].
• Temam, Roger (1997) [1988]. Sistemas dinámicos de dimensiones infinitas en mecánica y física . Springer Verlag.

Otras lecturas

Obras de amplia cobertura:

• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden (1978). Fundamentos de la mecánica . Benjamín-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1. (disponible como reimpresión: ISBN 0-201-40840-6 ) 
• Encyclopaedia of Mathematical Sciences ( ISSN  0938-0396) tiene una subserie sobre sistemas dinámicos con reseñas de investigaciones actuales.
• Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana (2005). Dinámica más allá de la hiperbolicidad uniforme: una perspectiva geométrica y probabilística global . Saltador. ISBN 978-3-540-22066-4.
• Stephen Smale (1967). "Sistemas dinámicos diferenciables". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 73 (6): 747–817. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .

Textos introductorios con una perspectiva única:

• VI Arnold (1982). Métodos matemáticos de la mecánica clásica . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Jacob Palis y Welington de Melo (1982). Teoría geométrica de sistemas dinámicos: una introducción . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90668-3.
• David Ruelle (1989). Elementos de dinámica diferenciable y teoría de la bifurcación . Prensa académica. ISBN 978-0-12-601710-6.
• Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, eds. (1991). Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-853390-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ralph H. Abraham y Christopher D. Shaw (1992). Dinámica: la geometría del comportamiento, segunda edición . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-56716-8.

Libros de texto

• Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (2000). Caos. Una introducción a los sistemas dinámicos . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-94677-1.
• Oded Galor (2011).Sistemas dinámicos discretos. Saltador. ISBN 978-3-642-07185-0.
• Morris W. Hirsch , Stephen Smale y Robert L. Devaney (2003). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos e introducción al caos . Prensa académica. ISBN 978-0-12-349703-1.
• Anatole Katok; Boris Hasselblatt (1996). Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 978-0-521-57557-7.
• Stephen Lynch (2010). Sistemas Dinámicos con Aplicaciones utilizando Maple 2ª Ed . Saltador. ISBN 978-0-8176-4389-8.
• Stephen Lynch (2014). Sistemas Dinámicos con Aplicaciones usando MATLAB 2da Edición . Publicaciones internacionales Springer. ISBN 978-3319068190.
• Stephen Lynch (2017). Sistemas Dinámicos con Aplicaciones usando Mathematica 2da Ed . Saltador. ISBN 978-3-319-61485-4.
• Stephen Lynch (2018). Sistemas Dinámicos con Aplicaciones usando Python . Publicaciones internacionales Springer. ISBN 978-3-319-78145-7.
• James Meiss (2007). Sistemas Dinámicos Diferenciales . SIAM. ISBN 978-0-89871-635-1.
• David D. Nolte (2015). Introducción a la dinámica moderna: caos, redes, espacio y tiempo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0199657032.
• Julien Clinton Sprott (2003).Caos y análisis de series temporales.. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-850839-7.
• Steven H. Strogatz (1994). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a física, biología, química e ingeniería . Addison Wesley. ISBN 978-0-201-54344-5.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Stephen Wiggins (2003). Introducción a los Sistemas Dinámicos Aplicados y al Caos . Saltador. ISBN 978-0-387-00177-7.

Popularizaciones:

• Florin Diacu y Philip Holmes (1996). Encuentros Celestiales . Princeton. ISBN 978-0-691-02743-2.
• James Gleick (1988). Caos: haciendo una nueva ciencia . Pingüino. ISBN 978-0-14-009250-9.
• Ivar Ekeland (1990). Las matemáticas y lo inesperado (rústica) . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-19990-0.
• Ian Stewart (1997). ¿Dios juega a los dados? Las Nuevas Matemáticas del Caos . Pingüino. ISBN 978-0-14-025602-4.

enlaces externos

• El servidor de preimpresión Arxiv tiene envíos diarios de manuscritos (no arbitrados) en sistemas dinámicos.
• Enciclopedia de sistemas dinámicos Una parte de Scholarpedia : revisada por pares y escrita por expertos invitados.
• Dinámica no lineal. Modelos de bifurcación y caos de Elmer G. Wiens
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (septiembre de 2003) proporciona definiciones, explicaciones y recursos relacionados con la ciencia no lineal.

Libros en línea o apuntes de conferencias

• Teoría geométrica de sistemas dinámicos. Apuntes de clase de Nils Berglund para un curso en la ETH de nivel universitario avanzado.
• Sistemas dinámicos. El libro de George D. Birkhoff de 1927 ya adopta un enfoque moderno de los sistemas dinámicos.
• Caos: clásico y cuántico. Una introducción a los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la órbita periódica.
• Aprendizaje de sistemas dinámicos. Tutorial sobre el aprendizaje de sistemas dinámicos.
• Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Apuntes de conferencias de Gerald Teschl

Grupos de investigación

• Grupo de Sistemas Dinámicos Groningen, IWI, Universidad de Groningen.
• Caos @UMD. Se concentra en las aplicaciones de sistemas dinámicos.
• [2], SUNY Stony Brook. Listas de conferencias, investigadores y algunos problemas abiertos.
• Centro de Dinámica y Geometría, Penn State.
• Sistemas de control y dinámica, Caltech.
• Laboratorio de Sistemas No Lineales, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
• Centro de Sistemas Dinámicos, Universidad de Bremen
• Grupo de Análisis, Modelado y Predicción de Sistemas, Universidad de Oxford
• Grupo de Dinámica No Lineal, Instituto Superior Técnico, Universidad Técnica de Lisboa
• Sistemas dinámicos Archivado el 2 de junio de 2017 en Wayback Machine , IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada.
• Grupo de trabajo de dinámica no lineal, Instituto de Ciencias de la Computación, Academia Checa de Ciencias.
• Grupo de Sistemas Dinámicos de la UPC Barcelona, ​​Universidad Politécnica de Cataluña.
• Centro de Control, Sistemas Dinámicos y Computación, Universidad de California, Santa Bárbara.