Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

Función de distribución de Wigner en física en contraposición al procesamiento de señales

Función de Wigner de un llamado estado de gato

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner (también llamada función de Wigner o distribución de Wigner–Ville , en honor a Eugene Wigner y Jean-André Ville ) es una distribución de cuasiprobabilidad . Fue introducida por Eugene Wigner en 1932 ^[1] para estudiar las correcciones cuánticas a la mecánica estadística clásica . El objetivo era vincular la función de onda que aparece en la ecuación de Schrödinger con una distribución de probabilidad en el espacio de fases .

Es una función generadora para todas las funciones de autocorrelación espacial de una función de onda mecánica cuántica dada ψ ( x ) . Por lo tanto, se asigna ^[2] a la matriz de densidad cuántica en el mapa entre funciones de espacio de fase reales y operadores hermíticos introducidos por Hermann Weyl en 1927, ^[3] en un contexto relacionado con la teoría de la representación en matemáticas (véase cuantificación de Weyl ). En efecto, es la transformada de Wigner-Weyl de la matriz de densidad, por lo que la realización de ese operador en el espacio de fase. Posteriormente fue derivada por Jean Ville en 1948 como una representación cuadrática (en señal) de la energía local de tiempo-frecuencia de una señal , ^[4] efectivamente un espectrograma .

En 1949, José Enrique Moyal , quien la había derivado independientemente, la reconoció como la funcional generadora de momentos cuánticos , ^[5] y, por lo tanto, como la base de una codificación elegante de todos los valores esperados cuánticos, y por lo tanto de la mecánica cuántica, en el espacio de fases (ver Formulación del espacio de fases ). Tiene aplicaciones en mecánica estadística , química cuántica , óptica cuántica , óptica clásica y análisis de señales en diversos campos, como ingeniería eléctrica , sismología , análisis tiempo-frecuencia para señales musicales , espectrogramas en biología y procesamiento del habla, y diseño de motores .

Relación con la mecánica clásica

Una partícula clásica tiene una posición y un momento definidos, y por lo tanto se representa mediante un punto en el espacio de fases. Dada una colección ( conjunto ) de partículas, la probabilidad de encontrar una partícula en una posición determinada en el espacio de fases se especifica mediante una distribución de probabilidad, la densidad de Liouville. Esta interpretación estricta falla para una partícula cuántica, debido al principio de incertidumbre . En cambio, la distribución de Wigner de cuasiprobabilidad anterior desempeña un papel análogo, pero no satisface todas las propiedades de una distribución de probabilidad convencional; y, a la inversa, satisface propiedades de acotación que no están disponibles para las distribuciones clásicas.

Por ejemplo, la distribución de Wigner puede y normalmente toma valores negativos para estados que no tienen un modelo clásico, y es un indicador conveniente de interferencia mecánico-cuántica. (Véase más abajo una caracterización de estados puros cuyas funciones de Wigner no son negativas). Suavizar la distribución de Wigner a través de un filtro de tamaño mayor que ħ (por ejemplo, convolucionando con una gaussiana de espacio de fase, una transformada de Weierstrass , para producir la representación de Husimi, más abajo), da como resultado una función semidefinida positiva, es decir, se puede pensar que se ha convertido en una función semiclásica. ^[a]

Se puede demostrar (mediante la convolución con una gaussiana pequeña) que las regiones de ese valor negativo son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidas por el principio de incertidumbre , que no permite una ubicación precisa dentro de regiones del espacio de fases menores que ħ y, por lo tanto, hace que esas " probabilidades negativas " sean menos paradójicas.

Definición y significado

La distribución de Wigner W ( x , p ) de un estado puro se define como

${\displaystyle W(x,p)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$

donde ψ es la función de onda, y x y p son la posición y el momento, pero podría ser cualquier par de variables conjugadas (por ejemplo, partes reales e imaginarias del campo eléctrico o frecuencia y tiempo de una señal). Nótese que puede tener soporte en x incluso en regiones donde ψ no tiene soporte en x ("pulsaciones").

Es simétrico en x y p :

${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq,}$

donde φ es la función de onda del espacio-momento normalizada, proporcional a la transformada de Fourier de ψ .

En 3D,

${\displaystyle W({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$

En el caso general, que incluye estados mixtos, es la transformada de Wigner de la matriz de densidad : donde ⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x ) . Esta transformación (o mapa) de Wigner es la inversa de la transformada de Weyl , que mapea funciones del espacio de fases a operadores del espacio de Hilbert , en la cuantificación de Weyl . $${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x-y|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$$

Por tanto, la función de Wigner es la piedra angular de la mecánica cuántica en el espacio de fases .

En 1949, José Enrique Moyal dilucidó cómo la función de Wigner proporciona la medida de integración (análoga a una función de densidad de probabilidad ) en el espacio de fases, para producir valores esperados a partir de funciones de números c en el espacio de fases g ( x ,  p ) asociadas únicamente a operadores adecuadamente ordenados Ĝ a través de la transformada de Weyl (véase la transformada de Wigner-Weyl y la propiedad 7 a continuación), de una manera que evoca la teoría de la probabilidad clásica .

Específicamente, el valor esperado Ĝ de un operador es un "promedio del espacio de fase" de la transformada de Wigner de ese operador: $${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int dx\,dp\,W(x,p)g(x,p).}$$

Propiedades matemáticas

La función de Wigner para los estados numéricos a) n  = 0, b) n  = 1 y c) n  = 19. Las distribuciones marginales para x y p se recuperan integrando sobre p y x respectivamente.

1. W ( x ,  p ) es una función de valor real.

2. Las distribuciones de probabilidad x y p están dadas por los marginales :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$Si el sistema puede describirse mediante un estado puro , se obtiene ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$Si el sistema puede describirse mediante un estado puro , se tiene ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}).}$

Normalmente, la traza de la matriz de densidad es igual a 1. ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

3. W ( x , p ) tiene las siguientes simetrías de reflexión:

• Simetría temporal: ${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\to W(x,-p).}$
• Simetría espacial: ${\displaystyle \psi (x)\to \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\to W(-x,-p).}$

4. W ( x , p ) es covariante de Galileo :

${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\to W(x+y,p).}$

No es covariante de Lorentz .

5. La ecuación de movimiento para cada punto en el espacio de fases es clásica en ausencia de fuerzas:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$

De hecho, es clásico incluso en presencia de fuerzas armónicas.

6. La superposición de estados se calcula como

${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$

7. Los valores esperados del operador (promedios) se calculan como promedios del espacio de fase de las respectivas transformadas de Wigner:

${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$

8. Para que W ( x , p ) represente matrices de densidad físicas (positivas), debe satisfacer

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0}$

para todos los estados puros |θ⟩.

9. En virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , para un estado puro, está obligado a estar acotado:

${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

Este límite desaparece en el límite clásico, ħ → 0. En este límite, W ( x ,  p ) se reduce a la densidad de probabilidad en el espacio de coordenadas x , normalmente muy localizada, multiplicada por las funciones δ en el momento: el límite clásico es "puntiagudo". Por lo tanto, este límite mecánico-cuántico excluye una función de Wigner que sea una función δ perfectamente localizada en el espacio de fases, como reflejo del principio de incertidumbre. ^[6]

10. La transformación de Wigner es simplemente la transformada de Fourier de las antidiagonales de la matriz de densidad, cuando esa matriz se expresa en base a una posición. ^[7]

Ejemplos

Sea el -ésimo estado de Fock de un oscilador armónico cuántico . Groenewold (1946) descubrió su función de Wigner asociada, en variables adimensionales: ${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}{\big (}2(p^{2}+x^{2}){\big )},}$

donde denota el -ésimo polinomio de Laguerre . ${\displaystyle L_{m}(x)}$ ${\displaystyle m}$

Esto puede derivarse de la expresión para las funciones de onda de estados propios estáticos,

${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2},}$

donde es el polinomio de Hermite -ésimo . De la definición anterior de la función de Wigner, al cambiar las variables de integración, ${\displaystyle H_{m}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta \,e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$

La expresión se deduce entonces de la relación integral entre los polinomios de Hermite y Laguerre. ^[8]

Ecuación de evolución de la función de Wigner

La transformación de Wigner es una transformación invertible general de un operador Ĝ en un espacio de Hilbert a una función g ( x ,  p ) en el espacio de fases y está dada por

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{ips/\hbar }\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {s}{2}}\right\rangle .}$

Los operadores hermíticos se traducen en funciones reales. La transformación inversa, del espacio de fases al espacio de Hilbert, se denomina transformación de Weyl :

${\displaystyle \langle x|{\hat {G}}|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{h}}e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({\frac {x+y}{2}},p\right)}$

(no debe confundirse con la transformación de Weyl distinta en geometría diferencial ).

La función de Wigner W ( x , p ) analizada aquí se ve así como la transformada de Wigner del operador de matriz de densidad ρ̂ . Por lo tanto, la traza de un operador con la transformada de Wigner de la matriz de densidad es la superposición integral del espacio de fase equivalente de g ( x ,  p ) con la función de Wigner.

La transformada de Wigner de la ecuación de evolución de von Neumann de la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger es la ecuación de evolución de Moyal para la función de Wigner:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

donde H ( x , p ) es el hamiltoniano y {{⋅, ⋅}} es el corchete de Moyal . En el límite clásico, ħ → 0 , el corchete de Moyal se reduce al corchete de Poisson , mientras que esta ecuación de evolución se reduce a la ecuación de Liouville de la mecánica estadística clásica.

Formalmente, la ecuación clásica de Liouville se puede resolver en términos de las trayectorias de las partículas en el espacio de fases, que son soluciones de las ecuaciones clásicas de Hamilton. Esta técnica de resolución de ecuaciones diferenciales parciales se conoce como el método de las características . Este método se traslada a los sistemas cuánticos, donde las "trayectorias" de las características determinan ahora la evolución de las funciones de Wigner. La solución de la ecuación de evolución de Moyal para la función de Wigner se representa formalmente como

${\displaystyle W(x,p,t)=W{\big (}\star {\big (}x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p){\big )},0{\big )},}$

donde y son las trayectorias características sujetas a las ecuaciones cuánticas de Hamilton con condiciones iniciales y , y donde la composición del producto se entiende para todas las funciones de argumento. ${\displaystyle x_{t}(x,p)}$ ${\displaystyle p_{t}(x,p)}$ ${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$ ${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$ ${\displaystyle \star }$

Dado que la composición de funciones es completamente no local (el "fluido de probabilidad cuántica" se difunde, como observó Moyal), los vestigios de trayectorias locales en los sistemas cuánticos son apenas discernibles en la evolución de la función de distribución de Wigner. ^[b] En la representación integral de los productos, las operaciones sucesivas de ellos se han adaptado a una integral de trayectorias en el espacio de fases, para resolver la ecuación de evolución de la función de Wigner ^[9] (véase también ^{[10] [11] [12]} ). Esta característica no local de la evolución temporal de Moyal ^[13] se ilustra en la galería siguiente, para hamiltonianos más complejos que el oscilador armónico. En el límite clásico, la naturaleza de trayectoria de la evolución temporal de las funciones de Wigner se vuelve cada vez más clara. En ħ  = 0, las trayectorias de las características se reducen a las trayectorias clásicas de partículas en el espacio de fases. ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$

Ejemplos de evoluciones temporales de la función de Wigner

• Estado puro en un potencial de Morse . Las líneas discontinuas verdes representan el conjunto de niveles del hamiltoniano .
• Estado puro en un potencial cuártico. Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano.
• Tunelización de un paquete de ondas a través de una barrera de potencial. Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano.
• Evolución a largo plazo de un estado mixto ρ en un pozo de potencial anarmónico. Los valores marginales se representan a la derecha ( p ) y en la parte superior ( x ).
• 
  Un estado mixto de equilibrio ρ (evoluciona hacia sí mismo), en el mismo potencial anarmónico.

Evolución temporal del oscilador armónico

Sin embargo, en el caso especial del oscilador armónico cuántico , la evolución es simple y parece idéntica al movimiento clásico: una rotación rígida en el espacio de fases con una frecuencia dada por la frecuencia del oscilador. Esto se ilustra en la galería siguiente. Esta misma evolución temporal ocurre con los estados cuánticos de los modos de luz , que son osciladores armónicos.

Ejemplos de evoluciones temporales de la función Wigner en un oscilador armónico cuántico

• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner de un estado coherente.
• Un estado de gato ; los marginales están trazados a la derecha ( p ) y debajo ( x ).
• Estados de gatos con 2, 3, 4 gatos. La separación entre gatos varía de 0,5, 1, 2, 4, mostrando una inferencia cada vez más nítida.
• Un estado con muchos felinos, con 10 gatos separados en . ${\displaystyle \alpha =10}$

Fock afirma

• Estados de Fock superpuestos, por ejemplo . ${\displaystyle (n,m)=(1,2)}$
• ${\displaystyle 0\leq n\leq m\leq 2}$.
• 
  ${\displaystyle 0\leq n\leq m\leq 4}$.

Estados comprimidos

• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner de estados comprimidos, para cantidades variables de desplazamiento y cambio de fase. Cuando el cambio de fase es cero (columna más a la izquierda), la amplitud de oscilación de pico a pico es menos incierta, pero la fase (el momento en el que cruza el punto medio) es más incierta. Lo opuesto es cierto cuando el cambio de fase es de medio ciclo (columna más a la derecha). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• Pureza variable, desde totalmente puro a totalmente mezclado.

Límite clásico

La función de Wigner permite estudiar el límite clásico , ofreciendo una comparación de la dinámica clásica y cuántica en el espacio de fases. ^{[14] [15]}

Se ha sugerido que el enfoque de la función de Wigner puede verse como una analogía cuántica de la formulación operacional de la mecánica clásica introducida en 1932 por Bernard Koopman y John von Neumann : la evolución temporal de la función de Wigner se acerca, en el límite ħ  → 0, a la evolución temporal de la función de onda de Koopman-von Neumann de una partícula clásica. ^[16]

Los momentos de la función de Wigner generan promedios de operadores simetrizados, en contraste con el orden normal y el orden antinormal generados por la representación P de Glauber-Sudarshan y la representación Q de Husimi respectivamente. Por lo tanto, la representación de Wigner es muy adecuada para realizar aproximaciones semiclásicas en óptica cuántica ^[17] y teoría de campos de condensados ​​de Bose-Einstein donde la ocupación de modos altos se acerca a un límite semiclásico. ^[18]

Positividad de la función de Wigner

Como ya se ha señalado, la función de Wigner del estado cuántico suele adoptar algunos valores negativos. De hecho, para un estado puro en una variable, si para todos y , entonces la función de onda debe tener la forma ${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$

para algunos números complejos con (teorema de Hudson ^[19] ). Nótese que se permite que sea complejo. En otras palabras, es un paquete de ondas gaussianas unidimensionales . Por lo tanto, los estados puros con funciones de Wigner no negativas no son necesariamente estados de incertidumbre mínima en el sentido de la fórmula de incertidumbre de Heisenberg ; más bien, dan igualdad en la fórmula de incertidumbre de Schrödinger , que incluye un término anticonmutador además del término conmutador. (Con una definición cuidadosa de las varianzas respectivas, todas las funciones de Wigner de estado puro conducen a la desigualdad de Heisenberg de todos modos). ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$ ${\displaystyle a}$

En dimensiones superiores, la caracterización de estados puros con funciones de Wigner no negativas es similar; la función de onda debe tener la forma

${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},}$

donde es una matriz compleja simétrica cuya parte real es definida positiva, es un vector complejo y c es un número complejo. ^[20] La función de Wigner de cualquier estado de este tipo es una distribución gaussiana en el espacio de fases. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$

Soto y Claverie ^[20] dan una prueba elegante de esta caracterización, utilizando la transformada de Segal-Bargmann . El razonamiento es el siguiente. La función Q de Husimi de puede calcularse como la magnitud al cuadrado de la transformada de Segal-Bargmann de , multiplicada por una gaussiana. Mientras tanto, la función Q de Husimi es la convolución de la función de Wigner con una gaussiana. Si la función de Wigner de es no negativa en todas partes del espacio de fases, entonces la función Q de Husimi será estrictamente positiva en todas partes del espacio de fases. Por lo tanto, la transformada de Segal-Bargmann de no será cero en ninguna parte. Por lo tanto, por un resultado estándar del análisis complejo, tenemos ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F(x+ip)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$

para alguna función holomorfa . Pero para pertenecer al espacio de Segal-Bargmann —es decir, para ser integrable al cuadrado con respecto a una medida gaussiana— debe tener como máximo un crecimiento cuadrático en el infinito. A partir de esto, se puede utilizar el análisis complejo elemental para demostrar que debe ser en realidad un polinomio cuadrático. Así, obtenemos una forma explícita de la transformada de Segal-Bargmann de cualquier estado puro cuya función de Wigner no sea negativa. A continuación, podemos invertir la transformada de Segal-Bargmann para obtener la forma reclamada de la función de onda de posición. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

No parece haber ninguna caracterización simple de estados mixtos con funciones de Wigner no negativas.

La función de Wigner en relación con otras interpretaciones de la mecánica cuántica

Se ha demostrado que la función de distribución de cuasiprobabilidad de Wigner puede considerarse como una deformación ħ de otra función de distribución del espacio de fases que describe un conjunto de trayectorias causales de De Broglie-Bohm . ^[21] Basil Hiley ha demostrado que la distribución de cuasiprobabilidad puede entenderse como la matriz de densidad reexpresada en términos de una posición media y un momento de una "celda" en el espacio de fases, y la interpretación de De Broglie-Bohm permite describir la dinámica de los centros de dichas "celdas". ^{[22] [23]}

Existe una estrecha conexión entre la descripción de estados cuánticos en términos de la función de Wigner y un método de reconstrucción de estados cuánticos en términos de bases mutuamente imparciales . ^[24]

Usos de la función de Wigner fuera de la mecánica cuántica

Diagrama de contorno de la distribución de Wigner-Ville para un pulso de luz con chirridos . El diagrama muestra claramente que la frecuencia es una función lineal del tiempo.

• En el modelado de sistemas ópticos como telescopios o dispositivos de telecomunicaciones de fibra, la función de Wigner se utiliza para salvar la brecha entre el simple trazado de rayos y el análisis de onda completa del sistema. Aquí p / ħ se reemplaza con k = | k | sen  θ ≈ | k | θ en la aproximación de ángulo pequeño (paraxial). En este contexto, la función de Wigner es lo más cercano que se puede llegar a la descripción del sistema en términos de rayos en la posición x y el ángulo θ mientras que todavía se incluyen los efectos de la interferencia. ^[25] Si se vuelve negativa en cualquier punto, entonces el simple trazado de rayos no será suficiente para modelar el sistema. Es decir, los valores negativos de esta función son un síntoma del límite de Gabor de la señal de luz clásica y no de las características cuánticas de la luz asociadas con ħ .
• En el análisis de señales , una señal eléctrica, vibración mecánica u onda sonora que varía con el tiempo se representa mediante una función de Wigner . En este caso, x se reemplaza por el tiempo y p / ħ se reemplaza por la frecuencia angular ω = 2π f , donde f es la frecuencia regular.
• En la óptica ultrarrápida , los pulsos láser cortos se caracterizan con la función de Wigner utilizando las mismas sustituciones f y t que se mencionaron anteriormente. Los defectos de pulso, como el chirrido (el cambio de frecuencia con el tiempo), se pueden visualizar con la función de Wigner. Véase la figura adyacente.
• En óptica cuántica, x y p / ħ se reemplazan por las cuadraturas X y P , los componentes real e imaginario del campo eléctrico (ver estado coherente ).

Medidas de la función de Wigner

• Tomografía cuántica
• Puerta óptica resuelta en frecuencia

Otras distribuciones de cuasiprobabilidad relacionadas

La distribución de Wigner fue la primera distribución de cuasiprobabilidad que se formuló, pero le siguieron muchas más, formalmente equivalentes y transformables a partir de ella (véase Transformación entre distribuciones en análisis de tiempo-frecuencia ). Como en el caso de los sistemas de coordenadas, debido a la variación de sus propiedades, varias de ellas presentan diversas ventajas para aplicaciones específicas:

• Representación de Glauber P
• Representación de Husimi Q

Sin embargo, en cierto sentido, la distribución de Wigner ocupa una posición privilegiada entre todas estas distribuciones, ya que es la única cuyo producto estrella requerido desaparece (se integra por partes hasta la unidad efectiva) en la evaluación de los valores esperados, como se ilustra arriba, y por eso puede visualizarse como una medida de cuasiprobabilidad análoga a las clásicas.

Nota histórica

Como se ha indicado, la fórmula de la función de Wigner se derivó de forma independiente varias veces en diferentes contextos. De hecho, aparentemente, Wigner no sabía que, incluso en el contexto de la teoría cuántica, ya la habían introducido previamente Heisenberg y Dirac ^{[26] [27]} , aunque de manera puramente formal: estos dos no comprendieron su importancia, ni la de sus valores negativos, ya que simplemente la consideraron como una aproximación a la descripción cuántica completa de un sistema como el átomo. (Por cierto, Dirac se convertiría más tarde en cuñado de Wigner, casándose con su hermana Manci ). Simétricamente, en la mayor parte de su legendaria correspondencia de 18 meses con Moyal a mediados de la década de 1940, Dirac no sabía que la función generadora de momentos cuánticos de Moyal era efectivamente la función de Wigner, y fue Moyal quien finalmente le llamó la atención al respecto. ^[28]

Véase también

• Grupo de Heisenberg
• Transformada de Wigner-Weyl
• Formulación del espacio de fases
• Soporte Moyal
• Probabilidad negativa
• Teorema de equivalencia óptica
• Función de distribución de Wigner modificada
• Función de distribución de clases de Cohen
• Función de distribución de Wigner
• Transformación entre distribuciones en análisis de tiempo-frecuencia
• Estado coherente comprimido
• Distribución bilineal de tiempo y frecuencia
• Información cuántica de variable continua

Notas al pie

1. En concreto, dado que esta convolución es invertible, de hecho, no se ha sacrificado ninguna información y la entropía cuántica completa aún no ha aumentado. Sin embargo, si esta distribución de Husimi resultante se utiliza como una medida simple en una evaluación integral del espacio de fases de los valores esperados sin el producto estrella requerido de la representación de Husimi , entonces, en esa etapa, se ha perdido la información cuántica y la distribución es, efectivamente, semiclásica . Es decir, dependiendo de su uso en la evaluación de los valores esperados, la misma distribución puede servir como una función de distribución cuántica o clásica .
2. Las características cuánticas no deben confundirse con las trayectorias de la integral de trayectoria de Feynman o las trayectorias de la teoría de De Broglie-Bohm . Esta triple ambigüedad permite comprender mejor la postura de Niels Bohr , quien se opuso enérgicamente, pero de manera contraproducente, a la noción de trayectoria en la física atómica. En la Conferencia de Pocono de 1948, por ejemplo, le dijo a Richard Feynman : "... no se podía hablar de la trayectoria de un electrón en el átomo, porque era algo no observable". ("The Beat of a Different Drum: The Life and Science of Richard Feynman", de Jagdish Mehra (Oxford, 1994, pp. 245-248)). Argumentos de este tipo fueron ampliamente utilizados en el pasado por Ernst Mach en su crítica de una teoría atómica de la física y más tarde, en la década de 1960, por Geoffrey Chew , Tullio Regge y otros para motivar la sustitución de la teoría cuántica de campos locales por la teoría de la matriz S. Hoy en día, la física estadística basada completamente en conceptos atomísticos se incluye en los cursos estándar, la teoría de la matriz S pasó de moda, mientras que el método de la integral de trayectorias de Feynman ha sido reconocido como el método más eficiente en las teorías de calibre .

Referencias

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2. HJ Groenewold (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode :1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
3. H. Weyl (1927). "Quantenmechanik und gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1. Bibcode : 1927ZPhy...46....1W. doi :10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.; H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel) (1928); H. Weyl, La teoría de los grupos y la mecánica cuántica (Dover, Nueva York, 1931).
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Lectura adicional

• M. Levanda y V. Fleurov, "Función de cuasi-distribución de Wigner para partículas cargadas en campos electromagnéticos clásicos", Annals of Physics , 292 , 199–231 (2001). arXiv :cond-mat/0105137.

Enlaces externos

• Implementación de la función Wigner en QuTiP.
• Galería de Óptica Cuántica.
• Software gratuito con licencia GPL para la distribución de archivos de señales de cuasiprobabilidad de Wigner.