Función continua

Función matemática sin cambios bruscos.

En matemáticas , una función continua es una función tal que una pequeña variación del argumento induce una pequeña variación del valor de la función. Esto implica que no hay cambios bruscos de valor, conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su valor restringiéndolos a cambios suficientemente pequeños de su argumento. Una función discontinua es una función que no es continua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaban en gran medida en nociones intuitivas de continuidad y consideraban únicamente funciones continuas. La definición épsilon-delta de límite se introdujo para formalizar la definición de continuidad.

La continuidad es uno de los conceptos centrales del cálculo y análisis matemático , donde los argumentos y valores de funciones son números reales y complejos . El concepto se ha generalizado a funciones entre espacios métricos y entre espacios topológicos. Estas últimas son las funciones continuas más generales y su definición es la base de la topología .

Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . En la teoría del orden , especialmente en la teoría de dominios , un concepto relacionado de continuidad es la continuidad de Scott .

Como ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el momento t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua ya que "salta" en cada momento en el que se deposita o retira dinero.

Historia

Bernard Bolzano dio por primera vez una forma de definición de continuidad épsilon-delta en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño de la variable dependiente y ( véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , pág. Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad es muy paralela a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme fueron dadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Al igual que Bolzano, ^[1] Karl Weierstrass ^[2] negó la continuidad de una función en un punto c a menos que estuviera definida en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat ^[3] permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan ^[4] lo permitió incluso si la función estaba definida solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía están en uso. ^[5] Eduard Heine proporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. ^[6] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$

Funciones reales

Definición

La función es continua en su dominio ( ), pero es discontinua cuando se la considera como una función parcial definida sobre los reales. ^[7] . ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x=0,}$

Una función real que es una función de números reales a números reales se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; dicha función es continua si, en términos generales, la gráfica es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es toda la recta real. A continuación se ofrece una definición matemáticamente más rigurosa. ^[8]

La continuidad de funciones reales suele definirse en términos de límites . Una función f con variable x es continua en el número real c , si el límite de cuando x tiende a c , es igual a ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(c).}$

Existen varias definiciones diferentes de la continuidad (global) de una función, que dependen de la naturaleza de su dominio .

Una función es continua en un intervalo abierto si el intervalo está contenido en el dominio de la función y la función es continua en cada punto del intervalo. Una función que es continua en el intervalo (toda la recta real ) a menudo se denomina simplemente función continua; también se dice que tal función es continua en todas partes . Por ejemplo, todas las funciones polinomiales son continuas en todas partes. ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

Una función es continua en un intervalo semiabierto o cerrado ; si el intervalo está contenido en el dominio de la función, la función es continua en cada punto interior del intervalo, y el valor de la función en cada punto final que pertenece al intervalo es el límite de los valores de la función cuando la variable tiende al punto final desde el interior del intervalo. Por ejemplo, la función es continua en todo su dominio, que es el intervalo cerrado ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle [0,+\infty ).}$

Muchas funciones que se encuentran comúnmente son funciones parciales que tienen un dominio formado por todos los números reales, excepto algunos puntos aislados . Los ejemplos incluyen la función recíproca y la función tangente. Cuando son continuas en su dominio, se dice, en algunos contextos, que son continuas, aunque no lo son en todas partes. En otros contextos, sobre todo cuando nos interesamos por su comportamiento cerca de los puntos excepcionales, se dice que son discontinuos. ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto \tan x.}$

Una función parcial es discontinua en un punto si el punto pertenece al cierre topológico de su dominio y el punto no pertenece al dominio de la función o la función no es continua en el punto. Por ejemplo, las funciones y son discontinuas en 0 y permanecen discontinuas independientemente del valor que se elija para definirlas en 0 . Un punto donde una función es discontinua se llama discontinuidad . ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ ${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$

Utilizando la notación matemática, existen varias formas de definir funciones continuas en los tres sentidos mencionados anteriormente.

Sea una función definida sobre un subconjunto del conjunto de números reales. $${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Este subconjunto es el dominio de f . Algunas opciones posibles incluyen ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$: es decir, es el conjunto completo de números reales. o, para a y b números reales, ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$: es un intervalo cerrado , o ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}}$: es un intervalo abierto . ${\displaystyle D}$

En el caso de que el dominio se defina como un intervalo abierto, y no pertenecen a , y los valores de y no importan para la continuidad en . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle D}$

Definición en términos de límites de funciones.

La función f es continua en algún punto c de su dominio si el límite de cuando x se acerca a c a través del dominio de f , existe y es igual a ^[9] En notación matemática, esto se escribe como En detalle, esto significa tres condiciones: primero , f tiene que definirse en c (garantizado por el requisito de que c esté en el dominio de f ). En segundo lugar, el límite de esa ecuación tiene que existir. En tercer lugar, el valor de este límite debe ser igual ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(c).}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$ ${\displaystyle f(c).}$

(Aquí hemos supuesto que el dominio de f no tiene puntos aislados ).

Definición en términos de barrios.

Una vecindad de un punto c es un conjunto que contiene, al menos, todos los puntos dentro de una distancia fija de c . Intuitivamente, una función es continua en un punto c si el rango de f sobre la vecindad de c se reduce a un solo punto a medida que el ancho de la vecindad alrededor de c se reduce a cero. Más precisamente, una función f es continua en un punto c de su dominio si, para cualquier vecindad hay una vecindad en su dominio tal que siempre que ${\displaystyle f(c)}$ ${\displaystyle N_{1}(f(c))}$ ${\displaystyle N_{2}(c)}$ ${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$ ${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

Como las vecindades se definen en cualquier espacio topológico , esta definición de función continua se aplica no solo a funciones reales sino también cuando el dominio y el codominio son espacios topológicos y, por lo tanto, es la definición más general. De ello se deduce que una función es automáticamente continua en cada punto aislado de su dominio. Por ejemplo, toda función de valor real sobre números enteros es continua.

Definición en términos de límites de secuencias.

La secuencia exp(1/ n ) converge a exp(0) = 1

En cambio, se puede exigir que para cualquier secuencia de puntos en el dominio que converja a c , la secuencia correspondiente converja a En notación matemática, ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f(c).}$ $${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

Definiciones de Weierstrass y Jordan (épsilon-delta) de funciones continuas

Ilustración de la definición ε - δ : en x = 2 , cualquier valor δ ≤ 0,5 satisface la condición de la definición para ε = 0,5 .

Al incluir explícitamente la definición del límite de una función, obtenemos una definición autónoma: Dada una función como la anterior y un elemento del dominio , se dice que es continua en el punto cuando se cumple lo siguiente: Sin embargo, para cualquier número real positivo pequeño, existe algún número real positivo tal que para todos en el dominio de con el valor de satisface ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

Escrito alternativamente, continuidad de at significa que para cada existe un tal que para todos : ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in D}$ $${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

De manera más intuitiva, podemos decir que si queremos que todos los valores permanezcan en algún vecindario pequeño alrededor, debemos elegir un vecindario lo suficientemente pequeño para los valores alrededor. Si podemos hacer eso, no importa cuán pequeño sea el vecindario, entonces es continuo. en ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

En términos modernos, esto se generaliza mediante la definición de continuidad de una función con respecto a una base de la topología , aquí la topología métrica .

Weierstrass había exigido que el intervalo estuviera enteramente dentro del dominio , pero Jordan eliminó esa restricción. ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$ ${\displaystyle D}$

Definición en términos de control del resto

En pruebas y análisis numéricos, a menudo necesitamos saber qué tan rápido convergen los límites o, en otras palabras, el control del resto. Podemos formalizar esto en una definición de continuidad. Una función se llama función de control si ${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• C no es decreciente
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

Una función es C -continua en si existe una vecindad tal que ${\displaystyle f:D\to R}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\textstyle N(x_{0})}$ $${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})}$$

Una función es continua si es C -continua para alguna función de control C . ${\displaystyle x_{0}}$

Este enfoque conduce naturalmente a refinar la noción de continuidad restringiendo el conjunto de funciones de control admisibles. Para un conjunto dado de funciones de control, una función es continua si es continua para algunas. Por ejemplo, las funciones continuas de Lipschitz y Hölder del exponente α a continuación están definidas por el conjunto de funciones de control respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}.}$$

Definición usando oscilación

El hecho de que una función no sea continua en un punto se cuantifica por su oscilación .

La continuidad también se puede definir en términos de oscilación : una función f es continua en un punto si y sólo si su oscilación en ese punto es cero; ^[10] en símbolos, un beneficio de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación indica en qué medida la función es discontinua en un punto. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos (los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que (de ahí un conjunto )) y proporciona una prueba rápida de una dirección de Lebesgue. condición de integrabilidad . ^[11] ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

La oscilación es equivalente a la definición mediante una simple reordenación y usando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un determinado no hay ningún que satisfaga la definición, entonces la oscilación es al menos y a la inversa, si para cada uno se desea, la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico . ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0},}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta ,}$

Definición usando los hiperreales

Cauchy definió la continuidad de una función en los siguientes términos intuitivos: un cambio infinitesimal en la variable independiente corresponde a un cambio infinitesimal de la variable dependiente (ver Cours d'analyse , página 34). El análisis no estándar es una forma de hacer esto matemáticamente riguroso. La línea real se aumenta sumando números infinitos e infinitesimales para formar los números hiperreales . En un análisis no estándar, la continuidad se puede definir de la siguiente manera.

Una función f de valor real es continua en x si su extensión natural a los hiperreales tiene la propiedad de que para todo dx infinitesimal , es infinitesimal ^[12] ${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$

(ver microcontinuidad ). En otras palabras, un incremento infinitesimal de la variable independiente siempre produce un cambio infinitesimal de la variable dependiente, dando una expresión moderna a la definición de continuidad de Augustin-Louis Cauchy .

Construcción de funciones continuas.

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni huecos. La función es continua.

La verificación de la continuidad de una función determinada se puede simplificar verificando una de las propiedades definitorias anteriores para los componentes básicos de la función determinada. Es sencillo demostrar que la suma de dos funciones, continua en algún dominio, también lo es en ese dominio. Dado entonces, la suma de funciones continuas (definidas por para todos ) es continua en $${\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle s=f+g}$$ ${\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle D.}$

Lo mismo se aplica al producto de funciones continuas , (definidas por para todos ) es continuo en $${\displaystyle p=f\cdot g}$$ ${\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle D.}$

Combinando las preservaciones anteriores de continuidad y la continuidad de funciones constantes y de la función identidad en , se llega a la continuidad de todas las funciones polinómicas en , como (en la foto de la derecha). ${\displaystyle I(x)=x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}$$

La gráfica de una función racional continua . La función no está definida para Las líneas verticales y horizontales son asíntotas . ${\displaystyle x=-2.}$

De la misma manera, se puede demostrar que el recíproco de una función continua (definida por para todos tal que ) es continua en $${\displaystyle r=1/f}$$ ${\displaystyle r(x)=1/f(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}.}$

Esto implica que, excluyendo las raíces del cociente de funciones continuas (definidas por para todos , tales que ) también es continua en . ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle q=f/g}$$ ${\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ ${\displaystyle D\setminus \{x:g(x)=0\}}$

Por ejemplo, la función (en la imagen) está definida para todos los números reales y es continua en cada uno de esos puntos. Por tanto, es una función continua. La cuestión de la continuidad en no surge ya que no está en el dominio de No existe una función continua que concuerde con para todos $${\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}$$ ${\displaystyle x\neq -2}$ ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle x=-2}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle x\neq -2.}$

Las funciones sinc y cos

Dado que la función seno es continua en todos los reales, la función sinc está definida y es continua para todos los reales. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, G se puede extender a una función continua en todos los números reales, definiendo el valor como 1, que es el límite de cuando x se acerca a 0, es decir, ${\displaystyle G(x)=\sin(x)/x,}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle G(0)}$ ${\displaystyle G(x),}$ $${\displaystyle G(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$

Así, al establecer

${\displaystyle G(x)={\begin{cases}{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{ if }}x\neq 0\\1&{\text{ if }}x=0,\end{cases}}}$

la función sinc se convierte en una función continua en todos los números reales. El término singularidad removible se usa en casos en los que (re)definir valores de una función para que coincidan con los límites apropiados hace que una función sea continua en puntos específicos.

Una construcción más complicada de funciones continuas es la composición de funciones . Dadas dos funciones continuas , su composición, denotada como y definida por, es continua. $${\displaystyle g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} \quad {\text{ and }}\quad f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g},}$$ ${\displaystyle c=g\circ f:D_{f}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle c(x)=g(f(x)),}$

Esta construcción permite afirmar, por ejemplo, que es continua para todos $${\displaystyle e^{\sin(\ln x)}}$$ ${\displaystyle x>0.}$

Ejemplos de funciones discontinuas

Trama de la función signum. Muestra que . Por tanto, la función signum es discontinua en 0 (ver sección 2.1.3). ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

Un ejemplo de función discontinua es la función escalonada de Heaviside , definida por ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

Elija por ejemplo . Entonces no hay ninguna vecindad alrededor , es decir, ningún intervalo abierto con que obligue a todos los valores a estar dentro de la vecindad de , es decir, dentro . Intuitivamente, podemos pensar en este tipo de discontinuidad como un salto repentino en los valores de una función. ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle H(0)}$ ${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

De manera similar, el signum o función del signo es discontinuo pero continuo en todos los demás. Otro ejemplo más: la función es continua en todas partes excepto . $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

Gráfico de puntos de la función de Thomae en el intervalo (0,1). El punto más alto en el medio muestra f(1/2) = 1/2.

Además de continuidades y discontinuidades plausibles como las anteriores, también hay funciones con un comportamiento, a menudo denominado patológico , por ejemplo, la función de Thomae , que es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales. De manera similar, la función de Dirichlet , la función indicadora para el conjunto de números racionales, no es continua en ninguna parte. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$

Propiedades

Un lema útil

Sea una función que sea continua en un punto y tenga un valor tal Entonces en alguna vecindad de ^[13] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Prueba: Por la definición de continuidad, tome , entonces existe tal que Supongamos que hay un punto en la vecindad para el cual tenemos la contradicción ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ $${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle f(x)=y_{0};}$ $${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio es un teorema de existencia , basado en la propiedad de completitud de los números reales , y establece:

Si la función de valor real f es continua en el intervalo cerrado y k es algún número entre y entonces hay algún número tal que ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b),}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)=k.}$

Por ejemplo, si un niño crece de 1 ma 1,5 m entre las edades de dos y seis años, entonces, en algún momento entre los dos y los seis años de edad, la altura del niño debe haber sido de 1,25 m.

Como consecuencia, si f es continua en y y difieren en signo , entonces, en algún punto debe ser igual a cero . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle c\in [a,b],}$ ${\displaystyle f(c)}$

Teorema del valor extremo

El teorema del valor extremo establece que si una función f se define en un intervalo cerrado (o cualquier conjunto cerrado y acotado) y es continua allí, entonces la función alcanza su máximo, es decir, existe con para todos. Lo mismo ocurre con el mínimo de F. ​Estas afirmaciones no son, en general, ciertas si la función se define en un intervalo abierto (o cualquier conjunto que no sea cerrado ni acotado), como, por ejemplo, la función continua definida en el intervalo abierto (0,1), no alcanza un máximo, siendo ilimitado arriba. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle c\in [a,b]}$ ${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b].}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$

Relación con la diferenciabilidad y la integrabilidad.

Toda función diferenciable es continua, como se puede demostrar. Lo contrario no se cumple: por ejemplo, la función de valor absoluto $${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

es continuo en todas partes. Sin embargo, no es diferenciable en (pero lo es en todas partes). La función de Weierstrass también es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte. ${\displaystyle x=0}$

La derivada f′ ( x ) de una función diferenciable f ( x ) no tiene por qué ser continua. Si f′ ( x ) es continua, se dice que f ( x ) es continuamente diferenciable . El conjunto de tales funciones se denota. De manera más general, se denota el conjunto de funciones (desde un intervalo abierto (o subconjunto abierto de ) hasta los reales) tal que f es multiplicable y tal que la -ésima derivada de f es continua. Ver diferenciabilidad clase . En el campo de los gráficos por computadora, las propiedades relacionadas (pero no idénticas) a veces se denominan (continuidad de posición), (continuidad de tangencia) y (continuidad de curvatura); ver Suavidad de curvas y superficies . ${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$ $${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$ ${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Toda función continua es integrable (por ejemplo en el sentido de la integral de Riemann ). Lo contrario no se cumple, como lo muestra la función de signo (integrable pero discontinua) . $${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$

Límites puntuales y uniformes

Una secuencia de funciones continuas cuya función límite (puntual) es discontinua. La convergencia no es uniforme. ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Dada una secuencia de funciones tal que el límite existe para todos , la función resultante se conoce como el límite puntual de la secuencia de funciones. La función límite puntual no necesita ser continua, incluso si todas las funciones son continuas, como se muestra en la animación de la derecha. muestra. Sin embargo, f es continua si todas las funciones son continuas y la secuencia converge uniformemente , según el teorema de la convergencia uniforme . Este teorema se puede utilizar para demostrar que las funciones exponenciales , los logaritmos , la función de raíz cuadrada y las funciones trigonométricas son continuas. $${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$ ${\displaystyle x\in D,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$

Direccional y semicontinua.

• 
  Una función continua por la derecha
• 
  Una función continua por la izquierda

Las funciones discontinuas pueden ser discontinuas de forma restringida, dando lugar al concepto de continuidad direccional (o funciones continuas derecha e izquierda) y semicontinuidad . En términos generales, una función es continua hacia la derecha si no se produce ningún salto cuando se acerca al punto límite desde la derecha. Formalmente, se dice que f es continua por la derecha en el punto c si se cumple lo siguiente: Para cualquier número por pequeño que sea, existe algún número tal que para todo x en el dominio con el valor de satisfará ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon .}$$

Esta es la misma condición que las funciones continuas, excepto que se requiere que se cumpla para x estrictamente mayor que c únicamente. En cambio, requerirlo para todo x con produce la noción de funciones continuas por la izquierda . Una función es continua si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda. ${\displaystyle c-\delta <x<c}$

Una función f es semicontinua inferior si, aproximadamente, los saltos que puedan ocurrir solo bajan, pero no suben. Es decir, para cualquiera existe algún número tal que para todo x en el dominio con el valor de satisface la condición inversa es semicontinuidad superior . ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\epsilon .}$$

Funciones continuas entre espacios métricos.

El concepto de funciones continuas de valores reales se puede generalizar a funciones entre espacios métricos . Un espacio métrico es un conjunto equipado con una función (llamada métrica ) que puede considerarse como una medida de la distancia de dos elementos cualesquiera en X. Formalmente, la métrica es una función que satisface una serie de requisitos, en particular la desigualdad triangular . Dados dos espacios métricos yy una función es continua en el punto (con respecto a las métricas dadas) si para cualquier número real positivo existe un número real positivo tal que todo lo que satisfaga también lo satisfará. Como en el caso de las funciones reales anteriores, esto es equivalente a la condición de que para cada secuencia convergente con límite tenemos La última condición se puede debilitar de la siguiente manera: es continua en el punto si y sólo si para cada secuencia convergente con límite , la secuencia es una secuencia de Cauchy , y es en el dominio de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{X},}$ $${\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$ $${\displaystyle f:X\to Y}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$ ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

El conjunto de puntos en los que una función entre espacios métricos es continua es un conjunto  ; esto se desprende de la definición de continuidad. ${\displaystyle G_{\delta }}$ ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

Esta noción de continuidad se aplica, por ejemplo, en el análisis funcional . Una afirmación clave en esta área dice que un operador lineal entre espacios vectoriales normados y (que son espacios vectoriales equipados con una norma compatible , denotada ) es continuo si y sólo si está acotado , es decir, hay una constante tal que para todos $${\displaystyle T:V\to W}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$ ${\displaystyle x\in V.}$

Continuidad uniforme, Hölder y Lipschitz

Para una función continua de Lipschitz, hay un cono doble (que se muestra en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo de la gráfica de modo que la gráfica siempre permanezca completamente fuera del cono.

El concepto de continuidad de funciones entre espacios métricos se puede fortalecer de varias maneras limitando la forma en que depende de yc en la definición anterior. Intuitivamente, una función f como la anterior es uniformemente continua si no depende del punto c . Más precisamente, se requiere que para cada número real exista tal que para cada con tengamos que Por tanto, cualquier función uniformemente continua es continua. Lo contrario generalmente no se cumple, pero se cumple cuando el espacio de dominio X es compacto . Los mapas uniformemente continuos se pueden definir en la situación más general de espacios uniformes . ^[14] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle c,b\in X}$ ${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$ ${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}$

Una función es Hölder continua con exponente α (un número real) si existe una constante K tal que para todos se cumple la desigualdad . Cualquier función continua de Hölder es uniformemente continua. El caso particular se conoce como continuidad de Lipschitz . Es decir, una función es continua de Lipschitz si existe una constante K tal que la desigualdad se cumple para cualquier ^[15] La condición de Lipschitz ocurre, por ejemplo, en el teorema de Picard-Lindelöf relativo a las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias . ${\displaystyle b,c\in X,}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \alpha =1}$ $${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$ ${\displaystyle b,c\in X.}$

Funciones continuas entre espacios topológicos.

Otra noción de continuidad, más abstracta, es la continuidad de funciones entre espacios topológicos en los que generalmente no existe una noción formal de distancia, como sí la hay en el caso de los espacios métricos . Un espacio topológico es un conjunto X junto con una topología en X , que es un conjunto de subconjuntos de X que satisfacen algunos requisitos con respecto a sus uniones e intersecciones que generalizan las propiedades de las bolas abiertas en espacios métricos y al mismo tiempo permiten hablar. sobre las vecindades de un punto dado. Los elementos de una topología se denominan subconjuntos abiertos de X (con respecto a la topología).

Una función entre dos espacios topológicos X e Y es continua si para cada conjunto abierto la imagen inversa es un subconjunto abierto de X. Es decir, f es una función entre los conjuntos X e Y ( no sobre los elementos de la topología ), pero la continuidad de f depende de las topologías utilizadas sobre X e Y. $${\displaystyle f:X\to Y}$$ ${\displaystyle V\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$$ ${\displaystyle T_{X}}$

Esto equivale a la condición de que las preimágenes de los conjuntos cerrados (que son los complementos de los subconjuntos abiertos) en Y sean cerradas en X.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da una topología discreta (en la que cada subconjunto es abierto), todas las funciones de cualquier espacio topológico T son continuas. Por otro lado, si X está equipado con la topología indiscreta (en la que los únicos subconjuntos abiertos son el conjunto vacío y X ) y el conjunto espacial T es al menos T , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo codominio sea indiscreto es continua. $${\displaystyle f:X\to T}$$

continuidad en un punto

Continuidad en un punto: Para cada vecindad V de , existe una vecindad U de x tal que ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$

La traducción al lenguaje de vecindad de la definición de continuidad conduce a la siguiente definición de continuidad en un punto: ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$

Una función es continua en un punto si y sólo si para cualquier vecindad V de en Y , existe una vecindad U de tal que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V.}$

Esta definición es equivalente a la misma afirmación con barrios restringidos a barrios abiertos y puede reformularse de varias maneras utilizando preimágenes en lugar de imágenes.

Además, como todo conjunto que contiene una vecindad también es una vecindad y es el subconjunto más grande U de X , por lo que esta definición se puede simplificar en: ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$

Una función es continua en un punto si y sólo si es una vecindad de para cada vecindad V de en Y. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Como un conjunto abierto es un conjunto vecino de todos sus puntos, una función es continua en cada punto de X si y sólo si es una función continua. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Si X e Y son espacios métricos, equivale a considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centrado en x y f ( x ) en lugar de todas las vecindades. Esto devuelve la definición anterior de continuidad en el contexto de espacios métricos. En los espacios topológicos generales, no existe noción de cercanía o distancia. Sin embargo, si el espacio objetivo es un espacio de Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y sólo si el límite de f cuando x se acerca a a es f ( a ). En un punto aislado, toda función es continua. ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

Dado un mapa es continuo en si y solo si siempre hay un filtro en que converge a en lo cual se expresa escribiendo entonces necesariamente en Si denota el filtro de vecindad en entonces es continuo en si y solo si en ^[16] Además, esto sucede si y solo si el prefiltro es una base de filtro para el filtro de vecindad de en ^[16] ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y.}$

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica ; por tanto, existen varias formas equivalentes de definir una función continua.

Secuencias y redes

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . Esto suele lograrse especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia . Aún así, para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, se especifica también cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por un conjunto dirigido , conocido como redes . Una función es (Heine-)continua sólo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, también es suficiente la preservación de los límites; en este último, una función puede preservar todos los límites de las secuencias y aun así no ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función es secuencialmente continua si cada vez que una secuencia converge a un límite, la secuencia converge a. Por lo tanto, las funciones secuencialmente continuas "conservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Si es un primer espacio contable y se cumple la elección contable , entonces lo contrario también se cumple: cualquier función que preserve límites secuenciales es continua. En particular, si es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios que no son los primeros contables, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los cuales las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en espacios topológicos generales. Las funciones continuas preservan los límites de las redes y esta propiedad caracteriza a las funciones continuas. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Por ejemplo, considere el caso de funciones con valores reales de una variable real: ^[17]

Teorema  :  una función es continua en si y solo si es secuencialmente continua en ese punto. ${\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

Definiciones de operador de cierre y operador interior

En términos del operador interior , una función entre espacios topológicos es continua si y sólo si para cada subconjunto ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$ $${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {int} _{Y}B\right)~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(f^{-1}(B)\right).}$$

En términos del operador de cierre , es continuo si y sólo si para cada subconjunto Es decir, dado cualquier elemento que pertenezca al cierre de un subconjunto necesariamente pertenece al cierre de en Si declaramos que un punto está cerca de un subconjunto si entonces esta terminología permite una descripción sencilla de la continuidad: es continua si y sólo si para cada subconjunto mapea puntos que están cerca de puntos que están cerca de De manera similar, es continua en un punto fijo dado si y sólo si siempre está cerca a un subconjunto entonces está cerca de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

En lugar de especificar espacios topológicos por sus subconjuntos abiertos , cualquier topología puede ser determinada alternativamente por un operador de cierre o por un operador interior . En concreto, el mapa que envía un subconjunto de un espacio topológico a su cierre topológico satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Por el contrario, para cualquier operador de cierre existe una topología única en (específicamente, ) tal que para cada subconjunto es igual al cierre topológico de en Si los conjuntos y están asociados con operadores de cierre (ambos denotados por ), entonces un mapa es continuo si y sólo si para cada subconjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$

De manera similar, el mapa que envía un subconjunto de a su interior topológico define un operador interior . Por el contrario, cualquier operador interior induce una topología única en (específicamente, ) tal que para cada es igual al interior topológico de en Si los conjuntos y están asociados con operadores interiores (ambos denotados por ), entonces un mapa es continuo si y sólo si para cada subconjunto ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$ ${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {int} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y.}$

Filtros y prefiltros

La continuidad también se puede caracterizar en términos de filtros . Una función es continua si y sólo si cada vez que un filtro converge en un punto , entonces el prefiltro converge en Esta caracterización sigue siendo cierta si la palabra "filtro" se reemplaza por "prefiltro". ^[dieciséis] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x).}$

Propiedades

Si y son continuos, entonces también lo es la composición. Si es continuo y ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

• X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
• X es conexo , entonces f ( X ) es conexo.
• X está conectado por ruta , entonces f ( X ) está conectado por ruta.
• X es Lindelöf , entonces f ( X ) es Lindelöf.
• X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las topologías posibles en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : se dice que una topología es más burda que otra topología (notación: ) si todo subconjunto abierto con respecto a también está abierto con respecto a Entonces, el mapa de identidad es continuo si y sólo si (ver también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua permanece continua si la topología se reemplaza por una topología más burda y/o se reemplaza por una topología más fina . ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$ $${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:\left(X,\tau _{2}\right)\to \left(X,\tau _{1}\right)}$$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ $${\displaystyle \left(X,\tau _{X}\right)\to \left(Y,\tau _{Y}\right)}$$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle \tau _{X}}$

Homeomorfismos

Simétrico al concepto de mapa continuo es un mapa abierto , para el cual las imágenes de conjuntos abiertos están abiertas. Si una función abierta f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si una aplicación continua g tiene una función inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa no tiene por qué ser continua. Una función continua biyectiva con una función inversa continua se llama homeomorfismo . ${\displaystyle f^{-1}}$

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Definición de topologías mediante funciones continuas.

Dada una función donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define dejando que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cuales está abierto en X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más burda que la topología final en S. Por tanto, la topología final es la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología cociente bajo la relación de equivalencia definida por f . $${\displaystyle f:X\to S,}$$ ${\displaystyle f^{-1}(A)}$

Dualmente, para una función f de un conjunto S a un espacio topológico X , la topología inicial en S se define designando como conjunto abierto cada subconjunto A de S tal que para algún subconjunto abierto U de X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S. Por tanto, la topología inicial es la topología más burda en S que hace que f sea continua. Si f es inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología subespacial de S , vista como un subconjunto de X. ${\displaystyle A=f^{-1}(U)}$

Una topología en un conjunto S está determinada únicamente por la clase de todas las funciones continuas en todos los espacios topológicos X. Asimismo , se puede aplicar una idea similar a los mapas. ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle X\to S.}$

Nociones relacionadas

Si es una función continua de algún subconjunto de un espacio topológico , entonces una ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$extensión continua deaes cualquier función continuatal quepara cadacual es una condición que a menudo se escribe comoEn palabras, es cualquier función continuaquerestringeaesta noción se utiliza, por ejemplo, en elteorema de extensión de Tietzey elHahn-Banach.teorema. Sino es continuo, entonces no es posible que tenga una extensión continua. Sies unespacio de Hausdorffyes unsubconjunto densodeentonces una extensión continua dea, si existe, será única. Elteorema de Blumbergestablece que sies una función arbitraria, entonces existe un subconjunto densodetal que la restricciónes continua; en otras palabras, toda funciónpuede restringirse a algún subconjunto denso en el que sea continua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle f=F{\big \vert }_{S}.}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{D}:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Varios otros dominios matemáticos utilizan el concepto de continuidad en significados diferentes pero relacionados. Por ejemplo, en teoría del orden , una función que preserva el orden entre tipos particulares de conjuntos parcialmente ordenados y es continua si para cada subconjunto dirigido de tenemos Aquí está el supremo con respecto a los ordenamientos en y respectivamente. Esta noción de continuidad es la misma que la continuidad topológica cuando a los conjuntos parcialmente ordenados se les da la topología de Scott . ^{[19] [20]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sup f(A)=f(\sup A).}$ ${\displaystyle \,\sup \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

En teoría de categorías , un functor entre dos categorías se llama continuo si conmuta con límites pequeños . Es decir, para cualquier diagrama pequeño (es decir, indexado por un conjunto en lugar de una clase ) de objetos en . $${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$$ $${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}F(C_{i})\cong F\left(\varprojlim _{i\in I}C_{i}\right)}$$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Un espacio de continuidad es una generalización de espacios métricos y posets, ^{[21] [22]} que utiliza el concepto de cuantos , y que puede usarse para unificar las nociones de espacios y dominios métricos . ^[23]

Ver también

• Continuidad (matemáticas)
• Continuidad absoluta
• continuidad dini
• Equicontinuidad
• Continuidad geométrica
• Continuidad paramétrica
• Clasificación de discontinuidades
• función gruesa
• Función continua (teoría de conjuntos)
• Proceso estocástico continuo
• función normal
• Mapas abiertos y cerrados.
• Por partes
• Función simétricamente continua

• Función de conservación de dirección : análoga a una función continua en espacios discretos.

Referencias

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Bibliografía

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