Mecánica analítica

Descripción general de la mecánica basada en el principio de mínima acción

En física teórica y física matemática , la mecánica analítica o mecánica teórica es una colección de formulaciones estrechamente relacionadas de la mecánica clásica . La mecánica analítica utiliza propiedades escalares del movimiento que representan el sistema como un todo, generalmente su energía cinética y energía potencial . Las ecuaciones de movimiento se derivan de la cantidad escalar mediante algún principio subyacente sobre la variación del escalar .

La mecánica analítica fue desarrollada por muchos científicos y matemáticos durante el siglo XVIII en adelante, después de la mecánica newtoniana . La mecánica newtoniana considera cantidades vectoriales de movimiento, particularmente aceleraciones , momentos y fuerzas de los constituyentes del sistema; también puede llamarse mecánica vectorial . ^[1] Un escalar es una cantidad, mientras que un vector se representa por cantidad y dirección. Los resultados de estos dos enfoques diferentes son equivalentes, pero el enfoque de la mecánica analítica tiene muchas ventajas para problemas complejos.

La mecánica analítica aprovecha las restricciones de un sistema para resolver problemas. Las restricciones limitan los grados de libertad que puede tener el sistema y se pueden utilizar para reducir el número de coordenadas necesarias para resolver el movimiento. El formalismo se adapta bien a elecciones arbitrarias de coordenadas, conocidas en el contexto como coordenadas generalizadas . Las energías cinética y potencial del sistema se expresan utilizando estas coordenadas generalizadas o momentos, y las ecuaciones de movimiento se pueden establecer fácilmente, por lo que la mecánica analítica permite resolver numerosos problemas mecánicos con mayor eficiencia que los métodos completamente vectoriales. No siempre funciona para fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas como la fricción , en cuyo caso se puede recurrir a la mecánica newtoniana.

Dos ramas dominantes de la mecánica analítica son la mecánica lagrangiana (que utiliza coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas correspondientes en el espacio de configuración ) y la mecánica hamiltoniana (que utiliza coordenadas y momentos correspondientes en el espacio de fases ). Ambas formulaciones son equivalentes por una transformación de Legendre sobre las coordenadas generalizadas, las velocidades y los momentos; por lo tanto, ambas contienen la misma información para describir la dinámica de un sistema. Existen otras formulaciones como la teoría de Hamilton-Jacobi , la mecánica routhiana y la ecuación de movimiento de Appell . Todas las ecuaciones de movimiento para partículas y campos, en cualquier formalismo, pueden derivarse del resultado ampliamente aplicable llamado principio de mínima acción . Un resultado es el teorema de Noether , un enunciado que conecta las leyes de conservación con sus simetrías asociadas .

La mecánica analítica no introduce nuevos principios físicos y no es más general que la mecánica newtoniana. Más bien, es una colección de formalismos equivalentes que tienen una amplia aplicación. De hecho, los mismos principios y formalismos pueden emplearse en la mecánica relativista y la relatividad general y, con algunas modificaciones, en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos .

La mecánica analítica se utiliza ampliamente, desde la física fundamental hasta las matemáticas aplicadas , particularmente la teoría del caos .

Los métodos de la mecánica analítica se aplican a partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad. Pueden modificarse para describir campos o fluidos continuos, que tienen infinitos grados de libertad. Las definiciones y ecuaciones tienen una estrecha analogía con las de la mecánica.

Motivación para la mecánica analítica

El objetivo de la teoría mecánica es resolver problemas mecánicos, como los que surgen en física e ingeniería. A partir de un sistema físico, como un mecanismo o un sistema estelar, se desarrolla un modelo matemático en forma de ecuación diferencial. El modelo se puede resolver numérica o analíticamente para determinar el movimiento del sistema.

El enfoque vectorial de Newton para la mecánica describe el movimiento con la ayuda de magnitudes vectoriales como fuerza , velocidad y aceleración . Estas magnitudes caracterizan el movimiento de un cuerpo idealizado como un "punto de masa" o una " partícula " entendida como un único punto al que se une una masa. El método de Newton se ha aplicado con éxito a una amplia gama de problemas físicos, incluido el movimiento de una partícula en el campo gravitatorio de la Tierra y el movimiento de los planetas alrededor del Sol. En este enfoque, las leyes de Newton describen el movimiento mediante una ecuación diferencial y luego el problema se reduce a la solución de esa ecuación.

Sin embargo, cuando un sistema mecánico contiene muchas partículas (como un mecanismo complejo o un fluido ), el enfoque de Newton es difícil de aplicar. Es posible utilizar un enfoque newtoniano, si se toman las precauciones adecuadas, es decir, aislando cada partícula de las demás y determinando todas las fuerzas que actúan sobre ella. Este tipo de análisis es complicado incluso en sistemas relativamente simples. Newton pensó que su tercera ley "acción es igual a reacción" se ocuparía de todas las complicaciones. ^{[ cita requerida ]} Esto es falso incluso para sistemas tan simples como las rotaciones de un cuerpo sólido . ^{[ aclaración necesaria ]} En sistemas más complicados, el enfoque vectorial no puede dar una descripción adecuada.

El enfoque analítico simplifica los problemas al tratar los sistemas mecánicos como conjuntos de partículas que interactúan entre sí, en lugar de considerar cada partícula como una unidad aislada. En el enfoque vectorial, las fuerzas deben determinarse individualmente para cada partícula, mientras que en el enfoque analítico es suficiente conocer una única función que contiene implícitamente todas las fuerzas que actúan sobre y en el sistema. Esta simplificación se realiza a menudo utilizando ciertas condiciones cinemáticas que se establecen a priori . Sin embargo, el tratamiento analítico no requiere el conocimiento de estas fuerzas y da por sentadas estas condiciones cinemáticas. ^{[ cita requerida ]}

Sin embargo, la derivación de las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico complicado requiere una base unificadora de la que se desprendan. ^{[ aclaración necesaria ]} Esto se proporciona mediante varios principios variacionales : detrás de cada conjunto de ecuaciones hay un principio que expresa el significado de todo el conjunto. Dada una cantidad fundamental y universal llamada acción , el principio de que esta acción sea estacionaria bajo una pequeña variación de alguna otra cantidad mecánica genera el conjunto requerido de ecuaciones diferenciales. La declaración del principio no requiere ningún sistema de coordenadas especial , y todos los resultados se expresan en coordenadas generalizadas . Esto significa que las ecuaciones analíticas de movimiento no cambian con una transformación de coordenadas , una propiedad de invariancia que falta en las ecuaciones vectoriales de movimiento. ^[2]

No está del todo claro qué se entiende por "resolver" un conjunto de ecuaciones diferenciales. Se considera que un problema está resuelto cuando las coordenadas de las partículas en el instante t se expresan como funciones simples de t y de parámetros que definen las posiciones y velocidades iniciales. Sin embargo, "función simple" no es un concepto bien definido : hoy en día, una función f ( t ) no se considera una expresión formal en t ( función elemental ) como en la época de Newton, sino más generalmente como una cantidad determinada por t , y no es posible trazar una línea clara entre funciones "simples" y "no simples". Si uno habla simplemente de "funciones", entonces todo problema mecánico se resuelve tan pronto como se ha planteado correctamente en ecuaciones diferenciales, porque dadas las condiciones iniciales y t determinan las coordenadas en t . Esto es un hecho especialmente en la actualidad con los métodos modernos de modelado informático que proporcionan soluciones aritméticas a los problemas mecánicos con cualquier grado deseado de precisión, reemplazando las ecuaciones diferenciales por ecuaciones en diferencias .

Sin embargo, aunque no se dispone de definiciones precisas, es obvio que el problema de los dos cuerpos tiene una solución sencilla, mientras que el de los tres no. El problema de los dos cuerpos se resuelve mediante fórmulas que incluyen parámetros; sus valores se pueden cambiar para estudiar la clase de todas las soluciones, es decir, la estructura matemática del problema. Además, se puede hacer una imagen mental o dibujada precisa del movimiento de dos cuerpos, y puede ser tan real y precisa como los cuerpos reales en movimiento e interacción. En el problema de los tres cuerpos, también se pueden asignar valores específicos a los parámetros; sin embargo, la solución con estos valores asignados o una colección de tales soluciones no revela la estructura matemática del problema. Como en muchos otros problemas, la estructura matemática solo se puede dilucidar examinando las ecuaciones diferenciales mismas.

La mecánica analítica apunta a algo más: no a comprender la estructura matemática de un único problema mecánico, sino la de una clase de problemas tan amplia que abarca la mayor parte de la mecánica. Se concentra en sistemas a los que son aplicables las ecuaciones de movimiento lagrangianas o hamiltonianas y que incluyen una gama muy amplia de problemas. ^[3]

El desarrollo de la mecánica analítica tiene dos objetivos: (i) aumentar la gama de problemas solucionables mediante el desarrollo de técnicas estándar con un amplio rango de aplicabilidad, y (ii) comprender la estructura matemática de la mecánica. A largo plazo, sin embargo, (ii) puede ayudar (i) más que una concentración en problemas específicos para los cuales ya se han diseñado métodos.

Movimiento intrínseco

Coordenadas y restricciones generalizadas

En la mecánica newtoniana , se utilizan habitualmente las tres coordenadas cartesianas , u otro sistema de coordenadas 3D , para referirse a la posición de un cuerpo durante su movimiento. Sin embargo, en los sistemas físicos, alguna estructura u otro sistema suele restringir el movimiento del cuerpo para que no tome ciertas direcciones y trayectorias. Por lo tanto, a menudo no es necesario un conjunto completo de coordenadas cartesianas, ya que las restricciones determinan las relaciones evolutivas entre las coordenadas, relaciones que se pueden modelar mediante ecuaciones correspondientes a las restricciones. En los formalismos lagrangiano y hamiltoniano, las restricciones se incorporan a la geometría del movimiento, reduciendo el número de coordenadas al mínimo necesario para modelar el movimiento. Estas se conocen como coordenadas generalizadas , denotadas q _i ( i = 1, 2, 3...). ^{[4] : 231}

Diferencia entrecurvilíneoycoordenadas generalizadas

Las coordenadas generalizadas incorporan restricciones en el sistema. Hay una coordenada generalizada q _i para cada grado de libertad (por conveniencia etiquetada por un índice i = 1, 2... N ), es decir, cada forma en que el sistema puede cambiar su configuración ; como longitudes curvilíneas o ángulos de rotación. Las coordenadas generalizadas no son lo mismo que las coordenadas curvilíneas. El número de coordenadas curvilíneas es igual a la dimensión del espacio de posición en cuestión (generalmente 3 para el espacio 3d), mientras que el número de coordenadas generalizadas no es necesariamente igual a esta dimensión; las restricciones pueden reducir el número de grados de libertad (por lo tanto, el número de coordenadas generalizadas requeridas para definir la configuración del sistema), siguiendo la regla general: ^{[5] [ dudoso – discutir ]}

[ dimensión del espacio de posición (normalmente 3)] × [número de constituyentes del sistema ("partículas")] − (número de restricciones )

= (número de grados de libertad ) = (número de coordenadas generalizadas )

Para un sistema con N grados de libertad, las coordenadas generalizadas se pueden agrupar en una tupla N : y la derivada temporal (aquí indicada por un punto) de esta tupla da las velocidades generalizadas : $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=\left({\frac {dq_{1}}{dt}},{\frac {dq_{2}}{dt}},\dots ,{\frac {dq_{N}}{dt}}\right)\equiv \mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\dots ,{\dot {q}}_{N}).}$$

El principio del trabajo virtual de D'Alembert

El principio de D'Alembert establece que el trabajo virtual infinitesimal realizado por una fuerza a través de desplazamientos reversibles es cero, que es el trabajo realizado por una fuerza consistente con las restricciones ideales del sistema. La idea de una restricción es útil, ya que limita lo que el sistema puede hacer y puede proporcionar pasos para resolver el movimiento del sistema. La ecuación para el principio de D'Alembert es: ^{[6] : 265} donde son las fuerzas generalizadas (aquí se utiliza la letra Q en lugar de la Q ordinaria para evitar conflictos con las transformaciones canónicas a continuación) y q son las coordenadas generalizadas. Esto conduce a la forma generalizada de las leyes de Newton en el lenguaje de la mecánica analítica: $${\displaystyle \delta W={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\cdot \delta \mathbf {q} =0\,,}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}=({\mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots ,{\mathcal {Q}}_{N})}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {Q}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)-{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$$

donde T es la energía cinética total del sistema, y ​​la notación es una abreviatura útil (ver cálculo matricial para esta notación). $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}=\left({\frac {\partial }{\partial q_{1}}},{\frac {\partial }{\partial q_{2}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q_{N}}}\right)}$$

Restricciones

Si el sistema de coordenadas curvilíneas está definido por el vector de posición estándar r , y si el vector de posición puede escribirse en términos de las coordenadas generalizadas q y el tiempo t en la forma: y esta relación se cumple para todos los tiempos t , entonces q se denominan restricciones holonómicas . ^[7] El vector r depende explícitamente de t en los casos en que las restricciones varían con el tiempo, no solo debido a q ( t ) . Para situaciones independientes del tiempo, las restricciones también se denominan escleronómicas , para los casos dependientes del tiempo se denominan reonómicas . ^[5] $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (\mathbf {q} (t),t)}$$

Mecánica lagrangiana

La introducción de coordenadas generalizadas y la función lagrangiana fundamental:

${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

donde T es la energía cinética total y V es la energía potencial total de todo el sistema, entonces, ya sea siguiendo el cálculo de variaciones o usando la fórmula anterior, se llega a las ecuaciones de Euler-Lagrange ;

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

que son un conjunto de N ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden , una para cada q _i ( t ).

Esta formulación identifica la trayectoria real seguida por el movimiento como una selección de la trayectoria en la cual la integral temporal de la energía cinética es mínima, asumiendo que la energía total es fija y sin imponer condiciones al tiempo de tránsito.

La formulación lagrangiana utiliza el espacio de configuración del sistema, el conjunto de todas las posibles coordenadas generalizadas:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,,}$

donde es un espacio real N -dimensional (véase también la notación de constructor de conjuntos ). La solución particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange se denomina trayectoria o camino (de configuración) , es decir, un q ( t ) particular sujeto a las condiciones iniciales requeridas . Las soluciones generales forman un conjunto de posibles configuraciones en función del tiempo: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle \{\mathbf {q} (t)\in \mathbb {R} ^{N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {C}}\,,}$

El espacio de configuración se puede definir de forma más general, y de hecho más profunda, en términos de variedades topológicas y del fibrado tangente .

Mecánica hamiltoniana

La transformación de Legendre del Lagrangiano reemplaza las coordenadas y velocidades generalizadas ( q , q̇ ) por ( q , p ); las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados se conjugan a las coordenadas generalizadas:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}},{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{2}}},\cdots {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{N}}}\right)=(p_{1},p_{2}\cdots p_{N})\,,}$

e introduce el hamiltoniano (que está en términos de coordenadas y momentos generalizados):

${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$

donde denota el producto escalar , lo que también conduce a las ecuaciones de Hamilton : ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} =-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {q}} =+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\,,}$

que ahora son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, una para cada q _i ( t ) y p _i ( t ). Otro resultado de la transformación de Legendre relaciona las derivadas temporales del lagrangiano y el hamiltoniano:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,,}$

que a menudo se considera una de las ecuaciones de movimiento de Hamilton, además de las demás. Los momentos generalizados se pueden escribir en términos de las fuerzas generalizadas de la misma manera que la segunda ley de Newton:

${\displaystyle \mathbf {\dot {p}} ={\boldsymbol {\mathcal {Q}}}\,.}$

De manera análoga al espacio de configuración, el conjunto de todos los momentos es el espacio de momento generalizado :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{N}\}\,.}$

("El espacio de momento" también se refiere al " espacio k "; el conjunto de todos los vectores de onda (dados por las relaciones de De Broglie ) tal como se utilizan en la mecánica cuántica y la teoría de ondas )

El conjunto de todas las posiciones y momentos forman el espacio de fases :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\mathcal {C}}\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in \mathbb {R} ^{2N}\}\,,}$

es decir, el producto cartesiano del espacio de configuración y el espacio de momento generalizado.

Una solución particular de las ecuaciones de Hamilton se denomina trayectoria de fase , una curva particular ( q ( t ), p ( t )) sujeta a las condiciones iniciales requeridas. El conjunto de todas las trayectorias de fase, la solución general de las ecuaciones diferenciales, es el retrato de fase :

${\displaystyle \{(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))\in \mathbb {R} ^{2N}\,:\,t\geq 0,t\in \mathbb {R} \}\subseteq {\mathcal {P}}\,,}$

El corchete de Poisson

Todas las variables dinámicas pueden derivarse de la posición q , el momento p y el tiempo t , y escribirse como una función de estos: A = A ( q , p , t ). Si A ( q , p , t ) y B ( q , p , t ) son dos variables dinámicas de valor escalar, el corchete de Poisson se define por las coordenadas y momentos generalizados:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&={\frac {\partial A}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial A}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial B}{\partial \mathbf {q} }}\\&\equiv \sum _{k}{\frac {\partial A}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}}}\,,\end{aligned}}}$

Calculando la derivada total de una de éstas, digamos A , y sustituyendo las ecuaciones de Hamilton en el resultado se llega a la evolución temporal de A :

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}\,.}$

Esta ecuación en A está estrechamente relacionada con la ecuación de movimiento en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica , en la que las variables dinámicas clásicas se convierten en operadores cuánticos (indicados por sombreros (^)), y el corchete de Poisson se reemplaza por el conmutador de operadores a través de la cuantificación canónica de Dirac :

${\displaystyle \{A,B\}\rightarrow {\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]\,.}$

Propiedades del lagrangiano y del hamiltoniano

A continuación se presentan propiedades superpuestas entre las funciones lagrangianas y hamiltonianas. ^{[5] [8]}

• Todas las coordenadas generalizadas individuales q _i ( t ), velocidades q̇ _i ( t ) y momentos p _i ( t ) para cada grado de libertad son mutuamente independientes. La dependencia temporal explícita de una función significa que la función en realidad incluye el tiempo t como variable además de q ( t ), p ( t ), no simplemente como un parámetro a través de q ( t ) y p ( t ), lo que significaría una independencia temporal explícita.
• El lagrangiano es invariante ante la suma de la derivada temporal total de cualquier función de q' y t , es decir: por lo tanto, cada lagrangiano L y L describe exactamente el mismo movimiento . En otras palabras, el lagrangiano de un sistema no es único. $${\displaystyle L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,}$$
• De manera análoga, el hamiltoniano es invariante ante la adición de la derivada parcial temporal de cualquier función de q , p y t , es decir: ( K es una letra de uso frecuente en este caso). Esta propiedad se utiliza en transformaciones canónicas (ver más abajo). $${\displaystyle K=H+{\frac {\partial }{\partial t}}G(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\,,}$$
• Si el lagrangiano es independiente de algunas coordenadas generalizadas, entonces los momentos generalizados conjugados a esas coordenadas son constantes del movimiento , es decir, se conservan , esto se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Lagrange: Tales coordenadas son " cíclicas " o "ignorables". Se puede demostrar que el hamiltoniano también es cíclico en exactamente las mismas coordenadas generalizadas. $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\,\rightarrow \,{\frac {dp_{j}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0}$$
• Si el lagrangiano es independiente del tiempo, el hamiltoniano también es independiente del tiempo (es decir, ambos son constantes en el tiempo).
• Si la energía cinética es una función homogénea de grado 2 de las velocidades generalizadas, y el lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo, entonces: donde λ es una constante, entonces el hamiltoniano será la energía total conservada , igual a las energías cinética y potencial totales del sistema: Esta es la base de la ecuación de Schrödinger , insertando operadores cuánticos directamente se obtiene. $${\displaystyle T((\lambda {\dot {q}}_{i})^{2},(\lambda {\dot {q}}_{j}\lambda {\dot {q}}_{k}),\mathbf {q} )=\lambda ^{2}T(({\dot {q}}_{i})^{2},{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\mathbf {q} )\,,\quad L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )\,,}$$ $${\displaystyle H=T+V=E\,.}$$

Principio de mínima acción

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (solo se muestran algunas). El camino que sigue el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q ). ^[9]

La acción es otra cantidad en mecánica analítica definida como funcional del Lagrangiano:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt\,.}$

Una forma general de encontrar las ecuaciones de movimiento a partir de la acción es el principio de mínima acción : ^[10]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)dt=0\,,}$

donde los tiempos de salida t ₁ y llegada t ₂ son fijos. ^[1] El término "camino" o "trayectoria" se refiere a la evolución temporal del sistema como un camino a través del espacio de configuración , en otras palabras q ( t ) trazando un camino en . El camino para el cual la acción es menor es el camino tomado por el sistema. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

A partir de este principio se pueden derivar todas las ecuaciones de movimiento en mecánica clásica. Este enfoque se puede extender a campos en lugar de a un sistema de partículas (ver más abajo), y es la base de la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica ^{[11] [12]} y se utiliza para calcular el movimiento geodésico en la relatividad general ^[13] .

Mecánica hamiltoniana-jacobiana

Transformaciones canónicas

La invariancia del hamiltoniano (bajo la adición de la derivada temporal parcial de una función arbitraria de p , q y t ) permite que el hamiltoniano en un conjunto de coordenadas q y momentos p se transforme en un nuevo conjunto Q = Q ( q , p , t ) y P = P ( q , p , t ), de cuatro maneras posibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)\\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial }{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)\\\end{aligned}}}$

Con la restricción de P y Q tal que el sistema hamiltoniano transformado es:

${\displaystyle \mathbf {\dot {P}} =-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\,,\quad \mathbf {\dot {Q}} =+{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\,,}$

Las transformaciones anteriores se denominan transformaciones canónicas y cada función G _n se denomina función generadora de la " enésima clase" o "tipo n ". La transformación de coordenadas y momentos puede permitir la simplificación para resolver las ecuaciones de Hamilton para un problema dado.

La elección de Q y P es completamente arbitraria, pero no toda elección conduce a una transformación canónica. Un criterio simple para que una transformación q → Q y p → P sea canónica es que el corchete de Poisson sea la unidad.

${\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}=1}$

para todo i = 1, 2,... N . Si esto no se cumple, entonces la transformación no es canónica. ^[5]

La ecuación de Hamilton-Jacobi

Fijando el hamiltoniano transformado canónicamente K = 0 y la función generadora de tipo 2 igual a la función principal de Hamilton (también la acción ) más una constante arbitraria C : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,t)={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+C\,,}$

Los momentos generalizados se convierten en:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }}}$

y P es constante, entonces la ecuación de Hamiltonian-Jacobi (HJE) se puede derivar de la transformación canónica tipo 2:

${\displaystyle H=-{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial t}}}$

donde H es el hamiltoniano como antes:

${\displaystyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial {\mathcal {S}}}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}$

Otra función relacionada es la función característica de Hamilton.

${\displaystyle W(\mathbf {q} )={\mathcal {S}}(\mathbf {q} ,t)+Et}$

se utiliza para resolver la HJE mediante separación aditiva de variables para un hamiltoniano H independiente del tiempo .

El estudio de las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi conduce naturalmente al estudio de las variedades simplécticas y la topología simpléctica . ^{[14] [15]} En esta formulación, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son las curvas integrales de los campos vectoriales hamiltonianos .

Mecánica de Routh

La mecánica de Routh es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, poco utilizada pero especialmente útil para eliminar coordenadas cíclicas. ^{[ cita requerida ]} Si el lagrangiano de un sistema tiene s coordenadas cíclicas q = q ₁ , q ₂ , ... q _s con momentos conjugados p = p ₁ , p ₂ , ... p _s , con el resto de las coordenadas no cíclicas y denotadas ζ = ζ ₁ , ζ ₁ , ..., ζ _{N − s} , se pueden eliminar introduciendo el Routhiano :

${\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}})\,,}$

lo que conduce a un conjunto de 2 ecuaciones hamiltonianas para las coordenadas cíclicas q ,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=+{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {p} }}\,,\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial R}{\partial \mathbf {q} }}\,,}$

y ecuaciones lagrangianas N − s en las coordenadas no cíclicas ζ .

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\boldsymbol {\zeta }}}}}={\frac {\partial R}{\partial {\boldsymbol {\zeta }}}}\,.}$

Planteada de esta manera, aunque la routhiana tiene la forma de la hamiltoniana, puede considerarse una lagrangiana con N − s grados de libertad.

Las coordenadas q no tienen por qué ser cíclicas, la partición entre las coordenadas que entran en las ecuaciones hamiltonianas y las que entran en las ecuaciones lagrangianas es arbitraria. Es simplemente conveniente dejar que las ecuaciones hamiltonianas eliminen las coordenadas cíclicas, dejando las coordenadas no cíclicas para las ecuaciones lagrangianas de movimiento.

Mecánica de Apellia

La ecuación de movimiento de Appell implica aceleraciones generalizadas, las derivadas del segundo tiempo de las coordenadas generalizadas:

${\displaystyle \alpha _{r}={\ddot {q}}_{r}={\frac {d^{2}q_{r}}{dt^{2}}}\,,}$

así como las fuerzas generalizadas mencionadas anteriormente en el principio de D'Alembert. Las ecuaciones son

${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{r}}}\,,\quad S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {a} _{k}={\ddot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}{dt^{2}}}}$

es la aceleración de la partícula k , la segunda derivada temporal de su vector de posición. Cada aceleración a _k se expresa en términos de las aceleraciones generalizadas α _r , de la misma manera cada r _k se expresa en términos de las coordenadas generalizadas q _r .

Teoría clásica de campos

Teoría de campos de Lagrange

Las coordenadas generalizadas se aplican a partículas discretas. Para N campos escalares φ _i ( r , t ) donde i = 1, 2, ... N , la densidad lagrangiana es una función de estos campos y sus derivadas espaciales y temporales, y posiblemente de las propias coordenadas espaciales y temporales: y las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un análogo para los campos: donde ∂ _μ denota el 4-gradiente y se ha utilizado la convención de suma . Para N campos escalares, estas ecuaciones de campo lagrangianas son un conjunto de N ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden en los campos, que en general estarán acopladas y no serán lineales. $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\dots ,\partial _{t}\phi _{1},\partial _{t}\phi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)\,.}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}\,,}$$

Esta formulación de campo escalar se puede extender a campos vectoriales , campos tensoriales y campos de espinor .

El lagrangiano es la integral de volumen de la densidad lagrangiana: ^{[12] [16]} $${\displaystyle L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}}\,dV\,.}$$

Desarrollada originalmente para campos clásicos, la formulación anterior es aplicable a todos los campos físicos en situaciones clásicas, cuánticas y relativistas: como la gravedad newtoniana , el electromagnetismo clásico , la relatividad general y la teoría cuántica de campos . Se trata de determinar la densidad lagrangiana correcta para generar la ecuación de campo correcta.

Teoría de campos hamiltoniana

Las densidades de campo de "momento" correspondientes conjugadas a los N campos escalares φ _i ( r , t ) son: ^[12] donde en este contexto el punto sobre el eje denota una derivada parcial del tiempo, no una derivada total del tiempo. La densidad hamiltoniana se define por analogía con la mecánica: $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,\quad {\dot {\phi }}_{i}\equiv {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {r} ,t)=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\phi }}_{i}(\mathbf {r} ,t)\pi _{i}(\mathbf {r} ,t)-{\mathcal {L}}\,.}$$

Las ecuaciones de movimiento son: donde se debe utilizar la derivada variacional en lugar de meras derivadas parciales. Para N campos, estas ecuaciones de campo hamiltonianas son un conjunto de 2 N ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, que en general estarán acopladas y no serán lineales. $${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}}$$

Nuevamente, la integral de volumen de la densidad hamiltoniana es el hamiltoniano $${\displaystyle H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}}\,dV\,.}$$

Simetría, conservación y teorema de Noether

Transformaciones de simetría en el espacio y el tiempo clásicos

Cada transformación puede ser descrita por un operador (es decir, una función que actúa sobre las variables posición r o momento p para cambiarlas). Los siguientes son los casos en los que el operador no cambia r o p , es decir, simetrías. ^[11]

donde R ( n̂ , θ) es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario n̂ y el ángulo θ.

Teorema de Noether

El teorema de Noether establece que una transformación de simetría continua de la acción corresponde a una ley de conservación , es decir, la acción (y por lo tanto el lagrangiano) no cambia bajo una transformación parametrizada por un parámetro s : el lagrangiano describe el mismo movimiento independientemente de s , que puede ser longitud, ángulo de rotación o tiempo. Los momentos correspondientes a q se conservarán. ^[5] $${\displaystyle L[q(s,t),{\dot {q}}(s,t)]=L[q(t),{\dot {q}}(t)]}$$

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Mecánica hamiltoniana
• Mecánica teórica
• Mecánica clásica
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Principio de Hamilton
• Cinemática
• Cinética (física)
• Mecánica no autónoma
• Ecuación de Udwadia-Kalaba ^{[ se discute su neutralidad ]}

Referencias y notas

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