Mecánica de Routh

Formulación de la mecánica clásica

Edward John Routh , 1831-1907

En mecánica clásica, el procedimiento de Routh o mecánica routhiana es una formulación híbrida de la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana desarrollada por Edward John Routh . En consecuencia, la función routhiana es la que reemplaza tanto a la función lagrangiana como a la hamiltoniana . Aunque la mecánica routhiana es equivalente a la mecánica lagrangiana y a la hamiltoniana, y no introduce ninguna nueva física, ofrece una forma alternativa de resolver problemas mecánicos.

Definiciones

El routhiano, al igual que el hamiltoniano, se puede obtener a partir de una transformada de Legendre del lagrangiano y tiene una forma matemática similar a la del hamiltoniano, pero no es exactamente el mismo. La diferencia entre las funciones lagrangiana, hamiltoniana y routhiana son sus variables. Para un conjunto dado de coordenadas generalizadas que representan los grados de libertad del sistema, el lagrangiano es una función de las coordenadas y las velocidades, mientras que el hamiltoniano es una función de las coordenadas y los momentos.

La función routhiana se diferencia de estas funciones en que se eligen algunas coordenadas para que tengan velocidades generalizadas correspondientes y el resto para que tengan momentos generalizados correspondientes. Esta elección es arbitraria y se puede hacer para simplificar el problema. También tiene la consecuencia de que las ecuaciones routhianas son exactamente las ecuaciones hamiltonianas para algunas coordenadas y momentos correspondientes, y las ecuaciones lagrangianas para el resto de las coordenadas y sus velocidades. En cada caso, las funciones lagrangianas y hamiltonianas se reemplazan por una sola función, la routhiana. El conjunto completo tiene, por tanto, las ventajas de ambos conjuntos de ecuaciones, con la conveniencia de dividir un conjunto de coordenadas en ecuaciones de Hamilton y el resto en ecuaciones lagrangianas.

En el caso de la mecánica lagrangiana, las coordenadas generalizadas q ₁ , q ₂ , ... y las velocidades correspondientes dq ₁ / dt , dq ₂ / dt , ... , y posiblemente el tiempo ^{[nb 1]} t , entran en el lagrangiano,

${\displaystyle L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,t)\,,\quad {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,,}$

donde los puntos sobre el eje indican derivadas temporales .

En la mecánica hamiltoniana, las coordenadas generalizadas q ₁ , q ₂ , ... y los momentos generalizados correspondientes p ₁ , p ₂ , ..., y posiblemente el tiempo, entran en el hamiltoniano,

${\displaystyle H(q_{1},q_{2},\ldots ,p_{1},p_{2},\ldots ,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1}(p_{1}),{\dot {q}}_{2}(p_{2}),\ldots ,t)\,,\quad p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$

donde la segunda ecuación es la definición del momento generalizado p _i correspondiente a la coordenada q _i ( las derivadas parciales se denotan utilizando ∂ ). Las velocidades dq _i / dt se expresan como funciones de sus momentos correspondientes invirtiendo su relación definitoria. En este contexto, se dice que p _i es el momento "canónicamente conjugado" de q _i .

El routhiano es intermedio entre L y H ; algunas coordenadas q ₁ , q ₂ , ..., q _n se eligen para tener momentos generalizados correspondientes p ₁ , p ₂ , ..., p _n , el resto de las coordenadas ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _s para tener velocidades generalizadas dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _s / dt , y el tiempo puede aparecer explícitamente; ^{[1] [2]}

Routhiano ( n + s grados de libertad)

${\displaystyle R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(p_{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(p_{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,}$

donde nuevamente la velocidad generalizada dq _i / dt se debe expresar como una función del momento generalizado p _i a través de su relación definitoria. La elección de qué n coordenadas tendrán momentos correspondientes, de las n + s coordenadas, es arbitraria.

Landau y Lifshitz y Goldstein utilizan lo anterior . Algunos autores pueden definir el routhiano como la versión negativa de la definición anterior. ^[3]

Dada la longitud de la definición general, una notación más compacta es utilizar negrita para las tuplas (o vectores) de las variables, así q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n ) , ζ = ( ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _s ) , p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) , y d ζ / dt = ( dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _s / dt ) , de modo que

${\displaystyle R(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)\,,}$

donde · es el producto escalar definido en las tuplas, para el ejemplo específico que aparece aquí:

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,.}$

Ecuaciones de movimiento

Como referencia, las ecuaciones de Euler-Lagrange para s grados de libertad son un conjunto de s ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden acopladas en las coordenadas

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\,,}$

donde j = 1, 2, ..., s , y las ecuaciones hamiltonianas para n grados de libertad son un conjunto de 2 n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden acopladas en las coordenadas y momentos

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$

A continuación, las ecuaciones de movimiento de Routh se obtienen de dos maneras, en el proceso se encuentran otras derivadas útiles que se pueden utilizar en otros lugares.

Dos grados de libertad

Consideremos el caso de un sistema con dos grados de libertad , q y ζ , con velocidades generalizadas dq / dt y dζ / dt , y el lagrangiano depende del tiempo. (La generalización a cualquier número de grados de libertad sigue exactamente el mismo procedimiento que con dos). ^[4] El lagrangiano del sistema tendrá la forma

${\displaystyle L(q,\zeta ,{\dot {q}},{\dot {\zeta }},t)}$

La diferencial de L es

${\displaystyle dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

Ahora cambiamos las variables del conjunto ( q , ζ , dq / dt , dζ / dt ) a ( q , ζ , p , dζ / dt ), simplemente cambiando la velocidad dq / dt por el momento p . Este cambio de variables en las diferenciales es la transformación de Legendre . La diferencial de la nueva función que reemplaza a L será una suma de las diferenciales en dq , dζ , dp , d ( dζ / dt ) y dt . Usando la definición de momento generalizado y la ecuación de Lagrange para la coordenada q :

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,,\quad {\dot {p}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}}$

tenemos

${\displaystyle dL={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +pd{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}$

y para reemplazar pd ( dq / dt ) por ( dq / dt ) dp , recordemos la regla del producto para diferenciales, ^{[nb 2]} y sustituyamos

${\displaystyle pd{\dot {q}}=d({\dot {q}}p)-{\dot {q}}dp}$

para obtener la diferencial de una nueva función en términos del nuevo conjunto de variables:

${\displaystyle d(L-p{\dot {q}})={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta -{\dot {q}}dp+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

Presentando el Routhian

${\displaystyle R(q,\zeta ,p,{\dot {\zeta }},t)=p{\dot {q}}(p)-L}$

donde nuevamente la velocidad dq / dt es una función del momento p , tenemos

${\displaystyle dR=-{\dot {p}}dq-{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$

pero de la definición anterior, la diferencial del routhiano es

${\displaystyle dR={\frac {\partial R}{\partial q}}dq+{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial R}{\partial p}}dp+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial R}{\partial t}}dt\,.}$

Comparando los coeficientes de las diferenciales dq , dζ , dp , d ( dζ / dt ) y dt , los resultados son las ecuaciones de Hamilton para la coordenada q ,

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial R}{\partial p}}\,,\quad {\dot {p}}=-{\frac {\partial R}{\partial q}}\,,}$

y la ecuación de Lagrange para la coordenada ζ

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta }}}$

que se desprenden de

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \zeta }}=-{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}\,,}$

y tomando la derivada temporal total de la segunda ecuación y equiparándola con la primera. Observe que la función routhiana reemplaza a las funciones hamiltoniana y lagrangiana en todas las ecuaciones de movimiento.

La ecuación restante establece que las derivadas de tiempo parcial de L y R son negativas .

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial R}{\partial t}}\,.}$

Cualquier número de grados de libertad

Para las coordenadas n + s definidas anteriormente, con Routhian

${\displaystyle R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L}$

Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar mediante una transformación de Legendre de este routhiano como en la sección anterior, pero otra forma es simplemente tomar las derivadas parciales de R con respecto a las coordenadas q _i y ζ _j , momentos p _i y velocidades dζ _j / dt , donde i = 1, 2, ..., n , y j = 1, 2, ..., s . Las derivadas son

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{j}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,.}$

Las dos primeras son idénticas a las ecuaciones hamiltonianas. Al igualar la derivada total del tiempo del cuarto conjunto de ecuaciones con la tercera (para cada valor de j ) se obtienen las ecuaciones lagrangianas. La quinta es simplemente la misma relación entre las derivadas parciales del tiempo que antes. Para resumir ^[5]

Ecuaciones de movimiento de Routh ( n + s grados de libertad)

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.}$

El número total de ecuaciones es 2 n + s , hay 2 n ecuaciones hamiltonianas más s ecuaciones de Lagrange.

Energía

Dado que el lagrangiano tiene las mismas unidades que la energía , las unidades del routhiano también son energía. En unidades del SI, esta es el julio .

Tomando la derivada del tiempo total del Lagrangiano se llega al resultado general

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\right)\,.}$

Si el Lagrangiano es independiente del tiempo, la derivada parcial del tiempo del Lagrangiano es cero, ∂ L /∂ t = 0 , por lo que la cantidad bajo la derivada total del tiempo entre paréntesis debe ser una constante, es la energía total del sistema ^[6]

${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\,.}$

(Si hay campos externos que interactúan con los constituyentes del sistema, estos pueden variar en el espacio pero no en el tiempo). Esta expresión requiere las derivadas parciales de L con respecto a todas las velocidades dq _i / dt y dζ _j / dt . Bajo la misma condición de que R sea independiente del tiempo, la energía en términos del routhiano es un poco más simple, sustituyendo la definición de R y las derivadas parciales de R con respecto a las velocidades dζ _j / dt ,

${\displaystyle E=R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,.}$

Nótese que sólo se necesitan las derivadas parciales de R con respecto a las velocidades dζ _j / dt . En el caso de que s = 0 y el routhiano sea explícitamente independiente del tiempo, entonces E = R , es decir, el routhiano es igual a la energía del sistema. La misma expresión para R en cuando s = 0 es también el hamiltoniano, por lo que en todos los casos E = R = H .

Si la ecuación de Routh tiene una dependencia temporal explícita, la energía total del sistema no es constante. El resultado general es

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}={\dfrac {d}{dt}}\left(R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\right)\,,}$

que puede derivarse de la derivada temporal total de R de la misma manera que para L.

Coordenadas cíclicas

A menudo, el enfoque de Routh puede no ofrecer ninguna ventaja, pero un caso notable en el que es útil es cuando un sistema tiene coordenadas cíclicas (también llamadas "coordenadas ignorables"), por definición, aquellas coordenadas que no aparecen en el lagrangiano original. Las ecuaciones lagrangianas son resultados poderosos, utilizados con frecuencia en la teoría y la práctica, ya que las ecuaciones de movimiento en las coordenadas son fáciles de establecer. Sin embargo, si aparecen coordenadas cíclicas, todavía habrá ecuaciones para resolver para todas las coordenadas, incluidas las coordenadas cíclicas a pesar de su ausencia en el lagrangiano. Las ecuaciones hamiltonianas son resultados teóricos útiles, pero menos útiles en la práctica porque las coordenadas y los momentos están relacionados entre sí en las soluciones: después de resolver las ecuaciones, las coordenadas y los momentos deben eliminarse entre sí. Sin embargo, las ecuaciones hamiltonianas son perfectamente adecuadas para las coordenadas cíclicas porque las ecuaciones en las coordenadas cíclicas desaparecen trivialmente, dejando solo las ecuaciones en las coordenadas no cíclicas.

El enfoque de Routh ofrece lo mejor de ambos enfoques, ya que las coordenadas cíclicas se pueden separar en ecuaciones hamiltonianas y eliminar, dejando atrás las coordenadas no cíclicas para resolver a partir de las ecuaciones de Lagrange. En general, se deben resolver menos ecuaciones en comparación con el enfoque de Lagrange.

La formulación de Routh es útil para sistemas con coordenadas cíclicas , porque por definición esas coordenadas no entran en L y, por lo tanto, en R. Las derivadas parciales correspondientes de L y R con respecto a esas coordenadas son cero, lo que equivale a que los momentos generalizados correspondientes se reducen a constantes. Para concretar esto, si las q _i son todas coordenadas cíclicas y las ζ _j son todas no cíclicas, entonces

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad p_{i}=\alpha _{i}\,,}$

donde los α _i son constantes. Con estas constantes sustituidas en la ecuación de Routh, R es una función únicamente de las coordenadas y velocidades no cíclicas (y en general también del tiempo).

${\displaystyle R(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\dot {q}}_{i}(\alpha _{i})-L(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(\alpha _{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(\alpha _{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,}$

La ecuación hamiltoniana 2n en las coordenadas cíclicas desaparece automáticamente,

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial \alpha _{i}}}=f_{i}(\zeta _{1}(t),\ldots ,\zeta _{s}(t),{\dot {\zeta }}_{1}(t),\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s}(t),\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},t)\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\,,}$

y las ecuaciones lagrangianas están en coordenadas no cíclicas

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.}$

De este modo, el problema se ha reducido a resolver las ecuaciones de Lagrange en coordenadas no cíclicas, con la ventaja de que las ecuaciones de Hamilton eliminan claramente las coordenadas cíclicas. Con esas soluciones, las ecuaciones para se pueden integrar para calcular . ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}(t)}$

Si nos interesa saber cómo cambian las coordenadas cíclicas con el tiempo, se pueden integrar las ecuaciones para las velocidades generalizadas correspondientes a las coordenadas cíclicas.

Ejemplos

El procedimiento de Routh no garantiza que las ecuaciones de movimiento sean simples, pero conducirá a menos ecuaciones.

Potencial central en coordenadas esféricas

Una clase general de sistemas mecánicos con coordenadas cíclicas son aquellos con potenciales centrales , porque los potenciales de esta forma solo dependen de las separaciones radiales y no de los ángulos.

Consideremos una partícula de masa m bajo la influencia de un potencial central V ( r ) en coordenadas polares esféricas ( r , θ , φ )

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+{r}^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.}$

Observe que φ es cíclico, porque no aparece en el lagrangiano. El momento conjugado a φ es la constante

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,,}$

en la que r y dφ / dt pueden variar con el tiempo, pero el momento angular p _φ es constante. La ecuación de Routh puede tomarse como

${\displaystyle {\begin{aligned}R(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\,.\end{aligned}}}$

Podemos resolver r y θ usando las ecuaciones de Lagrange, y no necesitamos resolver φ ya que se elimina con las ecuaciones de Hamilton. La ecuación r es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad -m{\ddot {r}}=-{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{3}\sin ^{2}\theta }}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,}$

y la ecuación θ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{mr^{2}\sin ^{3}\theta }}\,.}$

El enfoque routhiano ha obtenido dos ecuaciones no lineales acopladas. Por el contrario, el enfoque lagrangiano conduce a tres ecuaciones no lineales acopladas, mezclando la primera y la segunda derivada temporal de φ en todas ellas, a pesar de su ausencia en el lagrangiano.

La ecuación r es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+mr\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,}$

La ecuación θ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }}=r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}\,,}$

La ecuación φ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}+2r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.}$

Sistemas mecánicos simétricos

Péndulo esférico

Péndulo esférico: ángulos y velocidades

Consideremos el péndulo esférico , una masa m (conocida como "cuerpo del péndulo") unida a una varilla rígida de longitud l de masa despreciable, sujeta a un campo gravitacional local g . El sistema gira con una velocidad angular dφ / dt que no es constante. El ángulo entre la varilla y la vertical es θ y no es constante.

El lagrangiano es ^{[nb 3]}

${\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m\ell ^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})+mg\ell \cos \theta \,,}$

y φ es la coordenada cíclica del sistema con momento constante

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,.}$

que nuevamente es físicamente el momento angular del sistema respecto a la vertical. El ángulo θ y la velocidad angular dφ / dt varían con el tiempo, pero el momento angular es constante. La ecuación de Routh es

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \end{aligned}}}$

La ecuación θ se obtiene a partir de las ecuaciones de Lagrangian

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }}+mg\ell \sin \theta \,,}$

o simplificando introduciendo las constantes

${\displaystyle a={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}\ell ^{4}}}\,,\quad b={\frac {g}{\ell }}\,,}$

da

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=a{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}-b\sin \theta \,.}$

Esta ecuación se asemeja a la ecuación simple del péndulo no lineal , porque puede oscilar a través del eje vertical, con un término adicional para tener en cuenta la rotación sobre el eje vertical (la constante a está relacionada con el momento angular p _φ ).

Aplicando el enfoque lagrangiano hay dos ecuaciones acopladas no lineales para resolver.

La ecuación θ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=m\ell ^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-mg\ell \sin \theta \,,}$

y la ecuación φ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.}$

Parte superior pesada y simétrica

Parte superior simétrica pesada en términos de los ángulos de Euler

El tope pesado simétrico de masa M tiene Lagrangiano ^{[7] [8]}

${\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\psi }},{\dot {\phi }})={\frac {I_{1}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+{\frac {I_{3}}{2}}({\dot {\psi }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\cos \theta -Mg\ell \cos \theta }$

donde ψ , φ , θ son los ángulos de Euler , θ es el ángulo entre el eje z vertical y el eje z ′ de la peonza , ψ es la rotación de la peonza sobre su propio eje z ′ y φ el acimut del eje z ′ de la peonza alrededor del eje z vertical . Los momentos de inercia principales son I ₁ sobre el propio eje x ′ de la peonza , I _{2 sobre el propio eje} y ′ de la peonza , e I ₃ sobre el propio eje z ′ de la peonza . Dado que la peonza es simétrica sobre su eje z ′ , I ₁ = I ₂ . Aquí se utiliza la sencilla relación para la energía potencial gravitatoria local V = Mgl cos θ donde g es la aceleración debida a la gravedad, y el centro de masas de la peonza está a una distancia l desde su punta a lo largo de su eje z ′ .

Los ángulos ψ y φ son cíclicos. Los momentos constantes son los momentos angulares del trompo respecto de su eje y su precesión respecto de la vertical, respectivamente:

${\displaystyle p_{\psi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=I_{3}{\dot {\psi }}+I_{3}{\dot {\phi }}\cos \theta }$

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\dot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}\cos \theta }$

De estos, eliminando dψ / dt :

${\displaystyle p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta =I_{1}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta }$

tenemos

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,}$

y para eliminar dφ / dt , sustituya este resultado en p _ψ y resuelva para dψ / dt para encontrar

${\displaystyle {\dot {\psi }}={\frac {p_{\psi }}{I_{3}}}-\cos \theta \left({\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\right)\,.}$

El routhiano puede ser considerado como

${\displaystyle R(\theta ,{\dot {\theta }})=p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }}-L={\frac {1}{2}}(p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }})-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta }$

y desde entonces

${\displaystyle {\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}={\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,}$

${\displaystyle {\frac {p_{\psi }{\dot {\psi }}}{2}}={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}}$

tenemos

${\displaystyle R={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta \,.}$

El primer término es constante y puede ignorarse ya que sólo las derivadas de R entrarán en las ecuaciones de movimiento. La ecuación de Routh simplificada, sin pérdida de información, es entonces

${\displaystyle R={\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-2p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta \right]-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta }$

La ecuación de movimiento para θ es, por cálculo directo,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad }$

${\displaystyle -I_{1}{\ddot {\theta }}=-{\frac {\cos \theta }{I_{1}\sin ^{3}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\cos \theta \right]+{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[-2p_{\psi }^{2}\cos \theta \sin \theta +{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\sin \theta \right]-Mg\ell \sin \theta \,,}$

o introduciendo las constantes

${\displaystyle a={\frac {p_{\psi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad b={\frac {p_{\phi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad c={\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2I_{1}^{2}}}\,,\quad k={\frac {Mg\ell }{I_{1}}}\,,}$

Se obtiene una forma más simple de la ecuación

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}(a\cos ^{2}\theta +b-c\cos \theta )+{\frac {1}{2\sin \theta }}(2a\cos \theta -c)+k\sin \theta \,.}$

Aunque la ecuación es altamente no lineal, solo hay una ecuación para resolver, se obtuvo directamente y las coordenadas cíclicas no están involucradas.

Por el contrario, el enfoque lagrangiano conduce a tres ecuaciones acopladas no lineales para resolver, a pesar de la ausencia de las coordenadas ψ y φ en el lagrangiano.

La ecuación θ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad I_{1}{\ddot {\theta }}=(I_{1}-I_{3}){\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\sin \theta +Mg\ell \sin \theta \,,}$

La ecuación ψ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\psi }}+{\ddot {\phi }}\cos \theta -{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\sin \theta =0\,,}$

y la ecuación φ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+{\dot {\phi }}(I_{1}-I_{3})2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}+I_{3}{\ddot {\psi }}\cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}\sin \theta {\dot {\theta }}=0\,,}$

Potenciales dependientes de la velocidad

Partícula cargada clásica en un campo magnético uniforme

Partícula cargada clásica en un campo B uniforme , utilizando coordenadas cilíndricas. Arriba: Si la coordenada radial r y la velocidad angular dθ / dt varían, la trayectoria es un helicoide con un radio variable pero un movimiento uniforme en la dirección z . Abajo: R y dθ / dt constantes significan un helicoide con un radio constante.

Consideremos una partícula cargada clásica de masa m y carga eléctrica q en un campo magnético estático (independiente del tiempo) uniforme (constante en todo el espacio) B. ^[9] El lagrangiano para una partícula cargada en un campo electromagnético general dado por el potencial magnético A y el potencial eléctrico es ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,,}$

Es conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) , de modo que

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} =(v_{r},v_{\theta },v_{z})=({\dot {r}},r{\dot {\theta }},{\dot {z}})\,,}$

${\displaystyle \mathbf {B} =(B_{r},B_{\theta },B_{z})=(0,0,B)\,.}$

En este caso de ausencia de campo eléctrico, el potencial eléctrico es cero, y podemos elegir el calibre axial para el potencial magnético ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {A} =(A_{r},A_{\theta },A_{z})=(0,Br/2,0)\,,}$

y el Lagrangiano es

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {z}})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {qBr^{2}{\dot {\theta }}}{2}}\,.}$

Nótese que este potencial tiene una simetría efectivamente cilíndrica (aunque también depende de la velocidad angular), ya que la única dependencia espacial está en la longitud radial desde un eje cilíndrico imaginario.

Hay dos coordenadas cíclicas, θ y z . Los momentos canónicos conjugados a θ y z son las constantes

${\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}+{\frac {qBr^{2}}{2}}\,,\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}\,,}$

Entonces las velocidades son

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {1}{mr^{2}}}\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)\,,\quad {\dot {z}}={\frac {p_{z}}{m}}\,.}$

El momento angular sobre el eje z no es p _θ , sino la cantidad mr ² dθ / dt , que no se conserva debido a la contribución del campo magnético. El momento canónico p _θ es la cantidad conservada. Sigue siendo el caso que p _z es el momento lineal o de traslación a lo largo del eje z , que también se conserva.

La componente radial r y la velocidad angular dθ / dt pueden variar con el tiempo, pero p _θ es constante y, como p _z es constante, se deduce que dz / dt es constante. La ecuación de Routh puede adoptar la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}R(r,{\dot {r}})&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-L\\&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {p_{\theta }{\dot {\theta }}}{2}}-{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}-{\frac {1}{2}}qBr^{2}{\dot {\theta }}\\[6pt]&=(p_{\theta }-qBr^{2}){\frac {\dot {\theta }}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }-qBr^{2}\right)\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}\end{aligned}}}$

donde en la última línea, el término p _z ² /2 m es una constante y puede ignorarse sin pérdida de continuidad. Las ecuaciones hamiltonianas para θ y z se anulan automáticamente y no es necesario resolverlas. La ecuación lagrangiana en r

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}}$

es por cálculo directo

${\displaystyle -m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {-2}{r^{3}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}(-3qBr+2(qB)^{2}r^{3})\right]\,,}$

que después de recoger los términos es

${\displaystyle m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {2p_{\theta }^{2}}{r^{3}}}-(qB)^{2}r\right]\,,}$

y simplificando aún más introduciendo las constantes

${\displaystyle a={\frac {p_{\theta }^{2}}{m^{2}}}\,,\quad b=-{\frac {(qB)^{2}}{2m^{2}}}\,,}$

La ecuación diferencial es

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {a}{r^{3}}}+br}$

Para ver cómo cambia z con el tiempo, integre la expresión de momentos para p _z anterior

${\displaystyle z={\frac {p_{z}}{m}}t+c_{z}\,,}$

donde c _z es una constante arbitraria, el valor inicial de z debe especificarse en las condiciones iniciales .

El movimiento de la partícula en este sistema es helicoidal , con el movimiento axial uniforme (constante) pero los componentes radial y angular variando en espiral de acuerdo con la ecuación de movimiento derivada anteriormente. Las condiciones iniciales en r , dr / dt , θ , dθ / dt , determinarán si la trayectoria de la partícula tiene un r constante o un r variable . Si inicialmente r es distinto de cero pero dr / dt = 0 , mientras que θ y dθ / dt son arbitrarios, entonces la velocidad inicial de la partícula no tiene componente radial, r es constante, por lo que el movimiento será en una hélice perfecta. Si r es constante, la velocidad angular también es constante de acuerdo con la p _θ conservada .

Con el enfoque lagrangiano, la ecuación para r incluiría dθ / dt que debe eliminarse, y habría ecuaciones para θ y z para resolver.

La ecuación r es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+qBr{\dot {\theta }}\,,}$

La ecuación θ es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})+qBr{\dot {r}}=0\,,}$

y la ecuación z es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {\partial L}{\partial z}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {z}}=0\,.}$

La ecuación z es trivial de integrar, pero las ecuaciones r y θ no lo son, en cualquier caso las derivadas temporales se mezclan en todas las ecuaciones y deben eliminarse.

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Cálculo de variaciones
• Espacio de fases
• Espacio de configuración
• Problema de muchos cuerpos
• Mecánica del cuerpo rígido

Notas al pie

1. Las coordenadas son funciones del tiempo, por lo que el lagrangiano siempre tiene una dependencia temporal implícita a través de las coordenadas. Si el lagrangiano cambia con el tiempo independientemente de las coordenadas, generalmente debido a algún potencial dependiente del tiempo, entonces se dice que el lagrangiano tiene una dependencia temporal "explícita". Lo mismo ocurre con las funciones hamiltonianas y routhianas.
2. Para dos funciones u y v , la diferencial del producto es d ( uv ) = udv + vdu .
3. La energía potencial es en realidad

   ${\displaystyle V=mg\ell (1-\cos \theta )\,,}$

   pero como el primer término es constante, se puede ignorar en la ecuación de Lagrange (y de Routh), que solo dependen de las derivadas de las coordenadas y las velocidades. Restar esto de la energía cinética significa un signo más en la ecuación de Lagrange, no menos.

Notas

1. Goldstein 1980, pág. 352
2. Landau y Lifshitz 1976, pág. 134
3. Hand y Finch 1998, pág. 23
4. Landau y Lifshitz 1976, pág. 134
5. Goldstein 1980, pág. 352
6. Landau y Lifshitz 1976, pág. 134
7. Goldstein 1980, pág. 214
8. Kibble y Berkshire 2004, pág. 236
9. Kibble y Berkshire 2004, pág. 243

Referencias

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (15 de enero de 1976). Mecánica (3.ª ed.). Butterworth Heinemann. pág. 134. ISBN 9780750628969.
• Hand, LN; Finch, JD (13 de noviembre de 1998). Analytical Mechanics (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 23. ISBN 9780521575720.
• Kibble, TWB; Berkshire, FH (2004). Mecánica clásica (5.ª ed.). Imperial College Press. pág. 236. ISBN 9781860944352.
• Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. pp. 352–353. ISBN 0201029189.
• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3.ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. págs. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.