Péndulo esférico

Péndulo esférico: ángulos y velocidades.

En física , un péndulo esférico es un análogo de dimensiones superiores del péndulo . Consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad .

Debido a la geometría esférica del problema, se utilizan coordenadas esféricas para describir la posición de la masa en términos de , donde r se fija de manera que . ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle r=l}$

Mecánica lagrangiana

Rutinariamente, para escribir las partes cinética y potencial del lagrangiano en coordenadas generalizadas arbitrarias, la posición de la masa se expresa a lo largo de ejes cartesianos. Aquí, siguiendo las convenciones que se muestran en el diagrama, ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$.

A continuación, se toman las derivadas temporales de estas coordenadas para obtener velocidades a lo largo de los ejes.

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$.

De este modo,

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

y

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

El lagrangiano, sin partes constantes, es ^[1]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

La ecuación de Euler-Lagrange que involucra el ángulo polar ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

da

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

y

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

Cuando la ecuación se reduce a la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo de gravedad simple . ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$

De manera similar, la ecuación de Euler-Lagrange que involucra el azimut , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

da

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0}$.

La última ecuación muestra que se conserva el momento angular alrededor del eje vertical . El factor desempeñará un papel en la formulación hamiltoniana siguiente. ${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle ml^{2}\sin ^{2}\theta }$

La ecuación diferencial de segundo orden que determina la evolución de es, por tanto, ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta }$.

El azimut , al estar ausente en el lagrangiano, es una coordenada cíclica , lo que implica que su momento conjugado es una constante de movimiento . ${\displaystyle \phi }$

El péndulo cónico se refiere a soluciones especiales donde y es una constante que no depende del tiempo. ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

Mecánica hamiltoniana

El hamiltoniano es

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

donde los momentos conjugados son

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}$

y

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}}$.

En términos de coordenadas y momentos se lee

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$$

Las ecuaciones de Hamilton darán la evolución temporal de las coordenadas y los momentos en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden.

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

El momento es una constante de movimiento. Esto es consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical. ^{[ dudoso – discutir ]} ${\displaystyle P_{\phi }}$

Trayectoria

Trayectoria de un péndulo esférico.

La trayectoria de la masa en la esfera se puede obtener a partir de la expresión de la energía total.

${\displaystyle E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}}$

al observar que la componente horizontal del momento angular es una constante de movimiento, independiente del tiempo. ^[1] Esto es cierto porque ni la gravedad ni la reacción de la esfera actúan en direcciones que afectarían este componente del momento angular. ${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$

Por eso

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

lo que conduce a una integral elíptica de primer tipo ^[1] para ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

y una integral elíptica de tercer tipo para ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.

El ángulo se encuentra entre dos círculos de latitud, ^[1] donde ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$.

Ver también

• Péndulo de Foucault
• Péndulo cónico
• Las tres leyes del movimiento de Newton
• Péndulo
• Péndulo (matemáticas)
• Mecánica rutina

Referencias

1. Landau, Lev Davidovich; Evgenii Mijáilovich Lifshitz (1976). Curso de Física Teórica: Volumen 1 Mecánica . Butterworth-Heinenann. págs. 33–34. ISBN 0750628960.

Otras lecturas

• Weinstein, Alejandro (1942). "El péndulo esférico y la integración compleja". El Mensual Matemático Estadounidense . 49 (8): 521–523. doi :10.1080/00029890.1942.11991275.
• Kohn, Walter (1946). "Integración del contorno en la teoría del péndulo esférico y la peonza simétrica pesada". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 59 (1): 107-131. doi : 10.2307/1990314 . JSTOR  1990314.
• Olsson, MG (1981). "Péndulo esférico revisado". Revista Estadounidense de Física . 49 (6): 531–534. Código bibliográfico : 1981AmJPh..49..531O. doi :10.1119/1.12666.
• Horózov, Emil (1993). "Sobre la no degeneración isoenergética del péndulo esférico". Letras de Física A. 173 (3): 279–283. Código bibliográfico : 1993PhLA..173..279H. doi :10.1016/0375-9601(93)90279-9.
• Richter, Peter H.; Dullin, Holger R.; Waalkens, Holger; Wiersig, enero (1996). "Péndulo esférico, acciones y giro". J. Física. química . 100 (49): 19124-19135. doi : 10.1021/jp9617128. S2CID  18023607.
• Shiriaev, AS; Ludvigsen, H.; Egeland, O. (2004). "Hacer oscilar el péndulo esférico mediante la estabilización de sus primeras integrales". Automática . 40 : 73–85. doi :10.1016/j.automatica.2003.07.009.
• Essen, Hanno; Apazidis, Nicolás (2009). "Puntos de inflexión del péndulo esférico y la proporción áurea". Revista Europea de Física . 30 (2): 427–432. Código Bib : 2009EJPh...30..427E. doi :10.1088/0143-0807/30/2/021. S2CID  121216295.
• Dullin, Holger R. (2013). "Invariantes simplécticas semiglobales del péndulo esférico". Revista de Ecuaciones Diferenciales . 254 (7): 2942–2963. arXiv : 1108.4962 . Código Bib : 2013JDE...254.2942D. doi : 10.1016/j.jde.2013.01.018 .