En el electromagnetismo clásico , el potencial vectorial magnético (a menudo llamado A ) es la cantidad vectorial definida de modo que su rotacional sea igual al campo magnético : . Junto con el potencial eléctrico φ , el potencial vectorial magnético también se puede utilizar para especificar el campo eléctrico E. Por lo tanto, muchas ecuaciones de electromagnetismo se pueden escribir en términos de los campos E y B , o equivalentemente en términos de los potenciales φ y A. En teorías más avanzadas, como la mecánica cuántica , la mayoría de las ecuaciones utilizan potenciales en lugar de campos.
Si los campos eléctricos y magnéticos se definen como se ha indicado anteriormente a partir de potenciales, satisfacen automáticamente dos de las ecuaciones de Maxwell : la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday . Por ejemplo, si es continua y está bien definida en todas partes, entonces se garantiza que no dará lugar a monopolos magnéticos . (En la teoría matemática de monopolos magnéticos, se permite que sea indefinida o de múltiples valores en algunos lugares; consulte monopolo magnético para obtener más detalles).
Comenzando con las definiciones anteriores y recordando que la divergencia del rizo es cero y el rizo del gradiente es el vector cero:
Alternativamente, la existencia de y se garantiza a partir de estas dos leyes utilizando el teorema de Helmholtz . Por ejemplo, dado que el campo magnético no presenta divergencia (ley de Gauss para el magnetismo; es decir, ), siempre existe que satisface la definición anterior.
Aunque el campo magnético, , es un pseudovector (también llamado vector axial ), el potencial vectorial, , es un vector polar . [4] Esto significa que si la regla de la mano derecha para productos cruzados se reemplazara por una regla de la mano izquierda, pero sin cambiar ninguna otra ecuación o definición, entonces cambiaría de signo, pero A no cambiaría. Este es un ejemplo de un teorema general: el rotacional de un vector polar es un pseudovector, y viceversa. [4]
Opciones de calibre
La definición anterior no define el potencial vectorial magnético de manera única porque, por definición, podemos agregar arbitrariamente componentes libres de rizo al potencial magnético sin cambiar el campo magnético observado. Por lo tanto, hay un grado de libertad disponible al elegir . Esta condición se conoce como invariancia de calibre .
En otros calibres, las fórmulas para y son diferentes; por ejemplo, consulte el calibre de Coulomb para conocer otra posibilidad.
Dominio del tiempo
Usando la definición anterior de los potenciales y aplicándola a las otras dos ecuaciones de Maxwell (las que no se satisfacen automáticamente) se obtiene una ecuación diferencial complicada que se puede simplificar usando el calibre de Lorenz donde se elige para satisfacer: [3]
Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz (ver Feynman [3] y Jackson [5] ) con la condición de contorno de que ambos potenciales llegan a cero suficientemente rápido a medida que se acercan al infinito se denominan potenciales retardados , que son el potencial vectorial magnético y el potencial escalar eléctrico debido a una distribución de corriente de densidad de corriente , densidad de carga y volumen , dentro de la cual y son distintos de cero al menos algunas veces y en algunos lugares):
Soluciones
donde los campos en el vector de posición y el tiempo se calculan a partir de fuentes en una posición distante en un tiempo anterior . La ubicación es un punto de origen en la distribución de carga o corriente (también la variable de integración, dentro del volumen ). El tiempo anterior se denomina tiempo retardado y se calcula como
La posición de , el punto en el que se encuentran los valores de y , solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar de a La dirección de a no entra en la ecuación. Lo único que importa sobre un punto de origen es qué tan lejos está.
El integrando utiliza tiempo retardado . Esto refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz. Por lo tanto, las densidades de carga y corriente que afectan el potencial eléctrico y magnético en y desde una ubicación remota también deben estar en algún momento anterior.
La ecuación para es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se divide en tres ecuaciones escalares: [6] De esta forma, es evidente que el componente de en una dirección dada depende únicamente de los componentes de que están en la misma dirección. Si la corriente circula por un cable recto, apunta en la misma dirección que el cable.
Dominio de frecuencia
Las ecuaciones del dominio del tiempo anteriores se pueden expresar en el dominio de la frecuencia. [7] : 139
Hay algunas cosas destacables sobre este método de cálculo:
Se satisface la condición de calibre de Lorenz : esto implica que el potencial eléctrico del dominio de frecuencia, , se puede calcular completamente a partir de la distribución de densidad de corriente, .
La posición del punto en el que se encuentran los valores de y solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar de a La dirección de a no entra en la ecuación. Lo único que importa sobre un punto de origen es qué tan lejos está.
El integrando utiliza el término de desplazamiento de fase , que desempeña un papel equivalente al tiempo retardado . Esto refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz; el retardo de propagación en el dominio del tiempo es equivalente a un desplazamiento de fase en el dominio de la frecuencia.
La ecuación para es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se divide en tres ecuaciones escalares: [6] De esta forma, es evidente que el componente de en una dirección dada depende únicamente de los componentes de que están en la misma dirección. Si la corriente circula por un cable recto, apunta en la misma dirección que el cable.
Representación del campo A
Véase Feynman [8] para la representación del campo alrededor de un solenoide largo y delgado .
Dado que
se suponen condiciones cuasiestáticas, es decir
y ,
Las líneas y contornos de se relacionan con como las líneas y contornos de se relacionan con Por lo tanto, una representación del campo alrededor de un bucle de flujo (como se produciría en un inductor toroidal ) es cualitativamente la misma que el campo alrededor de un bucle de corriente.
La figura de la derecha es una representación artística del campo. Las líneas más gruesas indican trayectorias de mayor intensidad media (las trayectorias más cortas tienen mayor intensidad, por lo que la integral de la trayectoria es la misma). Las líneas se dibujan para transmitir (estéticamente) el aspecto general del campo.
El dibujo supone tácitamente que es cierto bajo cualquiera de los siguientes supuestos:
Se supone que el calibre de Lorenz es una frecuencia distinta de cero, pero aún así se supone que es lo suficientemente baja como para descuidar el término.
Una de las razones para hacerlo es que el potencial cuatridimensional es un vector matemático cuatridimensional . Por lo tanto, si se utilizan las reglas de transformación de cuatro vectores estándar, si se conocen los potenciales eléctrico y magnético en un sistema de referencia inercial, se pueden calcular de manera sencilla en cualquier otro sistema de referencia inercial.
^ Neumann, Franz Ernst (1 de enero de 1846). "Allgemeine Gesetze der induzirten elektrischen Ströme (Leyes generales de las corrientes eléctricas inducidas)". Annalen der Physik . 143 (11): 31–34. doi : 10.1002/andp.18461430103.
^ Yang, ChenNing (2014). "Los orígenes conceptuales de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de gauge". Physics Today . 67 (11): 45–51. Bibcode :2014PhT....67k..45Y. doi :10.1063/PT.3.2585.
^ abcd Feynman (1964), pág. 15
^ ab Fitzpatrick, Richard. "Tensores y pseudotensores" (notas de clase). Austin, TX: Universidad de Texas .