principio de hamilton

Formulación del principio de acción estacionaria.

A medida que el sistema evoluciona, q traza un camino a través del espacio de configuración (sólo se muestran algunas). El camino tomado por el sistema (rojo) tiene una acción estacionaria (δ S = 0) ante pequeños cambios en la configuración del sistema (δ q ). ^[1]

En física , el principio de Hamilton es la formulación del principio de acción estacionaria de William Rowan Hamilton . Afirma que la dinámica de un sistema físico está determinada por un problema variacional para un funcional basado en una sola función, la lagrangiana , que puede contener toda la información física relativa al sistema y a las fuerzas que actúan sobre él. El problema variacional es equivalente y permite derivar las ecuaciones diferenciales de movimiento del sistema físico. Aunque formulado originalmente para la mecánica clásica , el principio de Hamilton también se aplica a campos clásicos como los campos electromagnético y gravitacional , y juega un papel importante en la mecánica cuántica , la teoría cuántica de campos y las teorías de criticidad.

formulación matemática

El principio de Hamilton establece que la verdadera evolución q ( t ) de un sistema descrito por N coordenadas generalizadas q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ) entre dos estados específicos q ₁ = q ( t ₁ ) y q ₂ = q ( t ₂ ) en dos momentos especificados t ₁ y t ₂ es un punto estacionario (un punto donde la variación es cero) de la acción funcional donde es la función lagrangiana para el sistema. En otras palabras, cualquier perturbación de primer orden de la verdadera evolución da como resultado (como máximo) cambios de segundo orden en . La acción es funcional , es decir, algo que toma como entrada una función y devuelve un único número, un escalar . En términos de análisis funcional , el principio de Hamilton establece que la verdadera evolución de un sistema físico es una solución de la ecuación funcional $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt}$$ ${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

principio de hamilton

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.}$

Es decir, el sistema toma un camino en el espacio de configuración para el cual la acción es estacionaria, con condiciones de contorno fijas al principio y al final del camino.

Ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas de la integral de acción

Requerir que la trayectoria verdadera q ( t ) sea un punto estacionario de la acción funcional es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales para q ( t ) (las ecuaciones de Euler-Lagrange ), que pueden derivarse de la siguiente manera. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Sea q ( t ) la verdadera evolución del sistema entre dos estados especificados q ₁ = q ( t ₁ ) y q ₂ = q ( t ₂ ) en dos momentos especificados t ₁ y t ₂ , y sea ε ( t ) una pequeña perturbación que es cero en los puntos finales de la trayectoria $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$

De primer orden en la perturbación ε ( t ) , el cambio en el funcional de acción sería donde hemos expandido la L lagrangiana a primer orden en la perturbación ε ( t ) . ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

Aplicar la integración por partes al último término da como resultado $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

Las condiciones de contorno hacen que el primer término desaparezca. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

El principio de Hamilton requiere que este cambio de primer orden sea cero para todas las posibles perturbaciones ε ( t ) , es decir, que el camino verdadero sea un punto estacionario de la acción funcional (ya sea un mínimo, un máximo o un punto de silla). Este requisito puede satisfacerse si y sólo si ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0}$

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema variacional.

Momentos canónicos y constantes de movimiento.

El momento conjugado p _k para una coordenada generalizada q _k está definido por la ecuación $${\displaystyle p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.}$$

Un caso especial importante de la ecuación de Euler-Lagrange ocurre cuando L no contiene una coordenada generalizada q _k explícitamente, es decir, el momento conjugado es una constante del movimiento . $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,}$$

En tales casos, la coordenada q _k se llama coordenada cíclica . Por ejemplo, si usamos las coordenadas polares t , r , θ para describir el movimiento plano de una partícula, y si L no depende de θ , el momento conjugado es el momento angular conservado.

Ejemplo: partícula libre en coordenadas polares

Los ejemplos triviales ayudan a apreciar el uso del principio de acción mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange. Una partícula libre (masa m y velocidad v ) en el espacio euclidiano se mueve en línea recta. Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, esto se puede mostrar en coordenadas polares de la siguiente manera. En ausencia de un potencial, el lagrangiano es simplemente igual a la energía cinética en coordenadas ortonormales ( x , y ), donde el punto representa la diferenciación con respecto al parámetro de la curva (generalmente el tiempo, t ). Por lo tanto, tras la aplicación de las ecuaciones de Euler-Lagrange, $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0}$$

Y lo mismo para y . Por tanto, la formulación de Euler-Lagrange puede utilizarse para derivar las leyes de Newton.

En coordenadas polares ( r , φ ) la energía cinética y por tanto la lagrangiana se convierte en $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$$

Los componentes radiales r y φ de las ecuaciones de Euler-Lagrange se convierten, respectivamente $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.}$$

recordando que r también depende del tiempo y que se necesita la regla del producto para calcular la derivada del tiempo total . ${\textstyle {\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}}$

La solución de estas dos ecuaciones viene dada por para un conjunto de constantes a , b , c , d determinadas por las condiciones iniciales. Así, de hecho, la solución es una línea recta dada en coordenadas polares: a es la velocidad, c es la distancia de máxima aproximación al origen y d es el ángulo de movimiento. $${\displaystyle r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}}$$ $${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d}$$

Aplicado a cuerpos deformables.

El principio de Hamilton es un principio variacional importante en elastodinámica . A diferencia de un sistema compuesto por cuerpos rígidos, los cuerpos deformables tienen un número infinito de grados de libertad y ocupan regiones continuas del espacio; en consecuencia, el estado del sistema se describe mediante funciones continuas de espacio y tiempo. El principio de Hamilton extendido para tales cuerpos viene dado por donde T es la energía cinética, U es la energía elástica, We _es el trabajo realizado por cargas externas sobre el cuerpo y t ₁ , t ₂ los tiempos inicial y final. Si el sistema es conservador, el trabajo realizado por las fuerzas externas puede derivarse de un potencial escalar V. En este caso, esto se llama principio de Hamilton y es invariante ante transformaciones de coordenadas. $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0}$$ $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.}$$

Comparación con el principio de Maupertuis

El principio de Hamilton y el principio de Maupertuis se confunden ocasionalmente y ambos han sido llamados principio de mínima acción . Se diferencian en tres aspectos importantes:

• su definición de la acción ...
  El principio de Maupertuis utiliza una integral sobre las coordenadas generalizadas conocida como acción abreviada o acción reducida donde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _N ) son los momentos conjugados definidos anteriormente. Por el contrario, el principio de Hamilton utiliza la integral del lagrangiano en el tiempo. $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• la solución que ellos determinen...
  El principio de Hamilton determina la trayectoria q ( t ) en función del tiempo, mientras que el principio de Maupertuis determina sólo la forma de la trayectoria en las coordenadas generalizadas. Por ejemplo, el principio de Maupertuis determina la forma de la elipse sobre la que se mueve una partícula bajo la influencia de una fuerza central del cuadrado inverso como la gravedad , pero no describe per se cómo se mueve la partícula a lo largo de esa trayectoria. (Sin embargo, esta parametrización del tiempo podrá determinarse a partir de la propia trayectoria en cálculos posteriores utilizando la conservación de energía ). Por el contrario, el principio de Hamilton especifica directamente el movimiento a lo largo de la elipse en función del tiempo.
• ...y las limitaciones de la variación.
  El principio de Maupertuis requiere que se den los dos estados finales q ₁ y q ₂ y que la energía se conserve a lo largo de cada trayectoria (la misma energía para cada trayectoria). Esto obliga a variar también los tiempos de los puntos finales. Por el contrario, el principio de Hamilton no requiere la conservación de la energía, pero sí que se especifiquen los tiempos finales t ₁ y t ₂ , así como los estados finales q ₁ y q ₂ .

Principio de acción para los campos.

Teoría clásica de campos

El principio de acción se puede ampliar para obtener las ecuaciones de movimiento de campos , como el campo electromagnético o la gravedad .

La ecuación de Einstein utiliza la acción de Einstein-Hilbert restringida por un principio variacional .

La trayectoria de un cuerpo en un campo gravitacional (es decir, en caída libre en el espacio-tiempo, la llamada geodésica) se puede determinar mediante el principio de acción.

Mecánica cuántica y teoría cuántica de campos.

En mecánica cuántica , el sistema no sigue un único camino cuya acción sea estacionaria, sino que el comportamiento del sistema depende de todos los caminos imaginables y del valor de su acción. La acción correspondiente a los distintos caminos se utiliza para calcular la integral de camino , que proporciona las amplitudes de probabilidad de los distintos resultados.

Aunque equivalente en mecánica clásica a las leyes de Newton , el principio de acción se adapta mejor a las generalizaciones y desempeña un papel importante en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones de la ciencia física. En particular, se aprecia plenamente y se comprende mejor en la mecánica cuántica . La formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica de Richard Feynman se basa en un principio de acción estacionaria, utilizando integrales de trayectoria. Las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar como condiciones de acción estacionaria.

Ver también

• Mecánica analítica
• Espacio de configuración
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Espacio de fase
• Geodésicas como flujos hamiltonianos

Referencias

1. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. pag. 474.ISBN​ 978-0-679-77631-4.

• WR Hamilton, "Sobre un método general en dinámica", Transacciones filosóficas de la Royal Society Part II (1834) págs. Parte I (1835) págs. 95-144. ( De la colección Sir William Rowan Hamilton (1805–1865): Mathematical Papers editado por David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Irlanda. (2000); también revisado como On a General Method in Dynamics )
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2ª ed., Addison Wesley, págs. 35–69.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3º. ed., Prensa de Pérgamo. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda), págs.  
• Arnaldo VI. (1989) Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2ª ed., Springer Verlag, págs.
• Cassel, Kevin W.: Métodos variacionales con aplicaciones en ciencia e ingeniería, Cambridge University Press, 2013.
• Bedford A.: Principio de Hamilton en mecánica del continuo. Pitman, 1985. Springer 2001, ISBN 978-3-030-90305-3 ISBN 978-3-030-90306-0 (libro electrónico), https://doi.org/10.1007/978-3-030-90306-0