Teoría de anillos

En álgebra , la teoría de anillos es el estudio de los anillos ^[1] — estructuras algebraicas en las que se definen la adición y la multiplicación y tienen propiedades similares a las operaciones definidas para los números enteros . La teoría de anillos estudia la estructura de los anillos, sus representaciones o, en un lenguaje diferente, módulos , clases especiales de anillos ( anillos de grupo , anillos de división , álgebras envolventes universales ), así como una serie de propiedades que demostraron ser de interés tanto dentro de la teoría misma como para sus aplicaciones, como las propiedades homológicas y las identidades polinómicas .

Los anillos conmutativos se entienden mucho mejor que los no conmutativos. La geometría algebraica y la teoría algebraica de números , que proporcionan muchos ejemplos naturales de anillos conmutativos, han impulsado gran parte del desarrollo de la teoría de anillos conmutativos, que ahora es, bajo el nombre de álgebra conmutativa , un área importante de las matemáticas modernas. Debido a que estos tres campos (geometría algebraica, teoría algebraica de números y álgebra conmutativa) están tan íntimamente conectados, suele ser difícil y sin sentido decidir a qué campo pertenece un resultado particular. Por ejemplo, el Nullstellensatz de Hilbert es un teorema que es fundamental para la geometría algebraica, y se enuncia y se demuestra en términos del álgebra conmutativa. De manera similar, el último teorema de Fermat se enuncia en términos de aritmética elemental , que es parte del álgebra conmutativa, pero su demostración involucra resultados profundos tanto de la teoría algebraica de números como de la geometría algebraica.

Los anillos no conmutativos tienen un sabor bastante diferente, ya que pueden surgir comportamientos más inusuales. Si bien la teoría se ha desarrollado por sí misma, una tendencia bastante reciente ha buscado seguir el desarrollo conmutativo mediante la construcción de la teoría de ciertas clases de anillos no conmutativos de manera geométrica como si fueran anillos de funciones en "espacios no conmutativos" (inexistentes). Esta tendencia comenzó en la década de 1980 con el desarrollo de la geometría no conmutativa y con el descubrimiento de los grupos cuánticos . Ha llevado a una mejor comprensión de los anillos no conmutativos, especialmente los anillos noetherianos no conmutativos . ^[2]

Para conocer las definiciones de anillo y los conceptos básicos y sus propiedades, consulte Anillo (matemáticas) . Las definiciones de los términos utilizados en la teoría de anillos se pueden encontrar en Glosario de teoría de anillos .

Anillos conmutativos

Un anillo se llama conmutativo si su multiplicación es conmutativa . Los anillos conmutativos se parecen a los sistemas numéricos familiares, y varias definiciones de anillos conmutativos están diseñadas para formalizar las propiedades de los números enteros . Los anillos conmutativos también son importantes en geometría algebraica . En la teoría de anillos conmutativos, los números a menudo se reemplazan por ideales , y la definición del ideal primo intenta capturar la esencia de los números primos . Los dominios integrales , anillos conmutativos no triviales donde no hay dos elementos distintos de cero que se multipliquen para dar cero, generalizan otra propiedad de los números enteros y sirven como el ámbito adecuado para estudiar la divisibilidad. Los dominios ideales principales son dominios integrales en los que cada ideal puede generarse por un solo elemento, otra propiedad compartida por los números enteros. Los dominios euclidianos son dominios integrales en los que se puede llevar a cabo el algoritmo euclidiano . Se pueden construir ejemplos importantes de anillos conmutativos como anillos de polinomios y sus anillos factoriales. Resumen: Dominio euclidiano ⊂ dominio ideal principal ⊂ dominio de factorización única ⊂ dominio integral ⊂ anillo conmutativo .

Geometría algebraica

La geometría algebraica es en muchos sentidos la imagen especular del álgebra conmutativa. Esta correspondencia comenzó con el Nullstellensatz de Hilbert que establece una correspondencia biunívoca entre los puntos de una variedad algebraica y los ideales máximos de su anillo de coordenadas . Esta correspondencia se ha ampliado y sistematizado para traducir (y demostrar) la mayoría de las propiedades geométricas de las variedades algebraicas en propiedades algebraicas de anillos conmutativos asociados. Alexander Grothendieck completó esto introduciendo esquemas , una generalización de las variedades algebraicas, que se pueden construir a partir de cualquier anillo conmutativo. Más precisamente, el espectro de un anillo conmutativo es el espacio de sus ideales primos equipados con la topología de Zariski y aumentados con un haz de anillos. Estos objetos son los "esquemas afines" (generalización de variedades afines ), y un esquema general se obtiene entonces "pegando juntos" (por métodos puramente algebraicos) varios de estos esquemas afines, en analogía a la forma de construir una variedad pegando juntos los gráficos de un atlas .

Anillos no conmutativos

Los anillos no conmutativos se parecen a los anillos de matrices en muchos aspectos. Siguiendo el modelo de la geometría algebraica , recientemente se han hecho intentos de definir la geometría no conmutativa basada en anillos no conmutativos. Los anillos no conmutativos y las álgebras asociativas (anillos que también son espacios vectoriales ) se estudian a menudo a través de sus categorías de módulos. Un módulo sobre un anillo es un grupo abeliano sobre el que el anillo actúa como un anillo de endomorfismos , muy similar a la forma en que los cuerpos (dominios integrales en los que cada elemento distinto de cero es invertible) actúan sobre espacios vectoriales. Ejemplos de anillos no conmutativos son los anillos de matrices cuadradas o, de manera más general, los anillos de endomorfismos de grupos abelianos o módulos, y los anillos monoides .

Teoría de la representación

La teoría de la representación es una rama de las matemáticas que se basa en gran medida en anillos no conmutativos. Estudia las estructuras algebraicas abstractas al representar sus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales y estudia los módulos sobre estas estructuras algebraicas abstractas. En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y las operaciones algebraicas en términos de adición de matrices y multiplicación de matrices , que es no conmutativa. Los objetos algebraicos susceptibles de tal descripción incluyen grupos , álgebras asociativas y álgebras de Lie . La más destacada de estas (e históricamente la primera) es la teoría de la representación de grupos , en la que los elementos de un grupo se representan mediante matrices invertibles de tal manera que la operación de grupo es la multiplicación de matrices.

Algunos teoremas relevantes

General

Teoremas de estructura

El teorema de Artin-Wedderburn determina la estructura de los anillos semisimples
El teorema de densidad de Jacobson determina la estructura de los anillos primitivos
El teorema de Goldie determina la estructura de los anillos de Goldie semiprimos
El teorema de Zariski-Samuel determina la estructura de un anillo ideal principal conmutativo
El teorema de Hopkins-Levitzki proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo noetheriano sea un anillo artiniano.
La teoría de Morita consiste en teoremas que determinan cuándo dos anillos tienen categorías de módulo "equivalentes"
El teorema de Cartan-Brauer-Hua proporciona información sobre la estructura de los anillos de división
El pequeño teorema de Wedderburn establece que los dominios finitos son campos

Otro

El teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de anillos simples

Estructuras e invariantes de anillos

Dimensión de un anillo conmutativo

En esta sección, R denota un anillo conmutativo. La dimensión de Krull de R es el supremo de las longitudes n de todas las cadenas de ideales primos . Resulta que el anillo polinómico sobre un cuerpo k tiene dimensión n . El teorema fundamental de la teoría de la dimensión establece que los siguientes números coinciden para un anillo local noetheriano : ^[3] ${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$ $k[t_{1},\cdots ,t_{n}]$ $(R,{\mathfrak {m}})$

La dimensión de Krull de R .
El número mínimo de generadores de los ideales -primarios. ${\mathfrak {m}}$
La dimensión del anillo graduado (equivalentemente, 1 más el grado de su polinomio de Hilbert ). $\textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}$

Se dice que un anillo conmutativo R es catenario si para cada par de ideales primos , existe una cadena finita de ideales primos que es máxima en el sentido de que es imposible insertar un ideal primo adicional entre dos ideales en la cadena, y todas esas cadenas máximas entre y tienen la misma longitud. Prácticamente todos los anillos noetherianos que aparecen en aplicaciones son catenarios. Ratliff demostró que un dominio integral local noetheriano R es catenario si y solo si para cada ideal primo , ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}'$ ${\mathfrak {p}}$

\operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}

¿Dónde está la altura de ? ^[4] $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {p}}$

Si R es un dominio integral que es un k -álgebra finitamente generada, entonces su dimensión es el grado de trascendencia de su campo de fracciones sobre k . Si S es una extensión integral de un anillo conmutativo R , entonces S y R tienen la misma dimensión.

Conceptos estrechamente relacionados son los de profundidad y dimensión global . En general, si R es un anillo local noetheriano, entonces la profundidad de R es menor o igual que la dimensión de R. Cuando se cumple la igualdad, R se denomina anillo de Cohen-Macaulay . Un anillo local regular es un ejemplo de anillo de Cohen-Macaulay. Es un teorema de Serre que R es un anillo local regular si y solo si tiene dimensión global finita y en ese caso la dimensión global es la dimensión de Krull de R. La importancia de esto es que una dimensión global es una noción homológica .

Equivalencia de Morita

Se dice que dos anillos R , S son equivalentes de Morita si la categoría de módulos izquierdos sobre R es equivalente a la categoría de módulos izquierdos sobre S . De hecho, dos anillos conmutativos que son equivalentes de Morita deben ser isomorfos, por lo que la noción no agrega nada nuevo a la categoría de anillos conmutativos. Sin embargo, los anillos conmutativos pueden ser equivalentes de Morita a anillos no conmutativos, por lo que la equivalencia de Morita es más burda que el isomorfismo. La equivalencia de Morita es especialmente importante en topología algebraica y análisis funcional.

Módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo y un grupo de Picard

Sea R un anillo conmutativo y el conjunto de clases de isomorfismo de módulos proyectivos finitamente generados sobre R ; sean también subconjuntos que consisten en aquellos con rango constante n . (El rango de un módulo M es la función continua . ^[5] ) se denota usualmente por Pic( R ). Es un grupo abeliano llamado grupo de Picard de R . ^[6] Si R es un dominio integral con el cuerpo de fracciones F de R , entonces hay una secuencia exacta de grupos: ^[7] $\mathbf {P} (R)$ $\mathbf {P} _{n}(R)$ $\operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ $\mathbf {P} _{1}(R)$

1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1

donde es el conjunto de ideales fraccionarios de R . Si R es un dominio regular (es decir, regular en cualquier ideal primo), entonces Pic(R) es precisamente el grupo de clases divisorias de R . ^[8] $\operatorname {Cart} (R)$

Por ejemplo, si R es un dominio ideal principal, entonces Pic( R ) se anula. En la teoría de números algebraicos, R se tomará como el anillo de números enteros , que es Dedekind y, por lo tanto, regular. De ello se deduce que Pic( R ) es un grupo finito ( finitud del número de clase ) que mide la desviación del anillo de números enteros de ser un PID.

También se puede considerar la compleción del grupo de ; esto da como resultado un anillo conmutativo K ₀ (R). Nótese que K ₀ (R) = K ₀ (S) si dos anillos conmutativos R , S son equivalentes de Morita. $\mathbf {P} (R)$

Estructura de anillos no conmutativos

La estructura de un anillo no conmutativo es más complicada que la de un anillo conmutativo. Por ejemplo, existen anillos simples que no contienen ideales propios (bilaterales) no triviales, pero que contienen ideales propios izquierdos o derechos no triviales. Existen varios invariantes para anillos conmutativos, mientras que los invariantes de anillos no conmutativos son difíciles de encontrar. Por ejemplo, el radical nil de un anillo , el conjunto de todos los elementos nilpotentes, no es necesariamente un ideal a menos que el anillo sea conmutativo. Específicamente, el conjunto de todos los elementos nilpotentes en el anillo de todas las matrices n × n sobre un anillo de división nunca forma un ideal, independientemente del anillo de división elegido. Sin embargo, existen análogos del radical nil definido para anillos no conmutativos, que coinciden con el radical nil cuando se supone la conmutatividad.

El concepto de radical de Jacobson de un anillo, es decir, la intersección de todos los aniquiladores derechos (izquierdos) de módulos derechos (izquierdos) simples sobre un anillo, es un ejemplo. El hecho de que el radical de Jacobson pueda verse como la intersección de todos los ideales derechos (izquierdos) máximos en el anillo, muestra cómo la estructura interna del anillo se refleja en sus módulos. También es un hecho que la intersección de todos los ideales derechos máximos en un anillo es la misma que la intersección de todos los ideales izquierdos máximos en el anillo, en el contexto de todos los anillos; independientemente de si el anillo es conmutativo.

Los anillos no conmutativos son un área activa de investigación debido a su ubicuidad en las matemáticas. Por ejemplo, el anillo de matrices n por n sobre un cuerpo es no conmutativo a pesar de su ocurrencia natural en geometría , física y muchas partes de las matemáticas. De manera más general, los anillos de endomorfismo de los grupos abelianos rara vez son conmutativos; el ejemplo más simple es el anillo de endomorfismo del cuatrigrupo de Klein .

Uno de los anillos estrictamente no conmutativos más conocidos son los cuaterniones .

Aplicaciones

El anillo de números enteros de un cuerpo numérico

El anillo de coordenadas de una variedad algebraica

Si X es una variedad algebraica afín , entonces el conjunto de todas las funciones regulares en X forma un anillo llamado anillo de coordenadas de X. Para una variedad proyectiva , existe un anillo análogo llamado anillo de coordenadas homogéneas . Esos anillos son esencialmente lo mismo que las variedades: se corresponden de una manera esencialmente única. Esto se puede ver a través del Nullstellensatz de Hilbert o de construcciones de teoría de esquemas (es decir, Spec y Proj).

Anillo de invariantes

Una cuestión básica (y quizás la más fundamental) en la teoría clásica de invariantes es encontrar y estudiar polinomios en el anillo de polinomios que sean invariantes bajo la acción de un grupo finito (o más generalmente reductivo) G sobre V . El principal ejemplo es el anillo de polinomios simétricos : los polinomios simétricos son polinomios que son invariantes bajo la permutación de variable. El teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que este anillo es donde se encuentran los polinomios simétricos elementales. $k[V]$ $R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]$ $\sigma _{i}$

Historia

La teoría de anillos conmutativos se originó en la teoría de números algebraicos, la geometría algebraica y la teoría de invariantes . Los anillos de números enteros en cuerpos de números algebraicos y cuerpos de funciones algebraicas, y los anillos de polinomios en dos o más variables fueron fundamentales para el desarrollo de estas materias. La teoría de anillos no conmutativos comenzó con los intentos de extender los números complejos a varios sistemas de números hipercomplejos . La génesis de las teorías de anillos conmutativos y no conmutativos se remonta a principios del siglo XIX, mientras que su madurez se alcanzó recién en la tercera década del siglo XX.

Más precisamente, William Rowan Hamilton propuso los cuaterniones y bicuaterniones ; James Cockle presentó las tesarinas y cocuaterniones ; y William Kingdon Clifford era un entusiasta de los bicuaterniones divididos , a los que llamó motores algebraicos . Estas álgebras no conmutativas y las álgebras de Lie no asociativas se estudiaron dentro del álgebra universal antes de que el tema se dividiera en tipos particulares de estructura matemática . Una señal de reorganización fue el uso de sumas directas para describir la estructura algebraica.

Los diversos números hipercomplejos fueron identificados con anillos matriciales por Joseph Wedderburn (1908) y Emil Artin (1928). Los teoremas de estructura de Wedderburn fueron formulados para álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo , mientras que Artin los generalizó a anillos artinianos .

En 1920, Emmy Noether , en colaboración con W. Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de ideales en el que definían los ideales izquierdo y derecho en un anillo . Al año siguiente publicó un artículo fundamental llamado Idealtheorie in Ringbereichen , analizando las condiciones de la cadena ascendente con respecto a los ideales (matemáticos). El conocido algebrista Irving Kaplansky calificó este trabajo de "revolucionario"; ^[9] la publicación dio lugar al término " anillo noetheriano " y a varios otros objetos matemáticos que se denominan noetherianos . ^[9]^[10]

Notas

^ La teoría de anillos puede incluir también el estudio de los anillos aleatorios .
^ Goodearl y Warfield (1989).
^ Matsumura 1989, Teorema 13.4
^ Matsumura 1989, Teorema 31.4
^ Weibel 2013, Capítulo I, Definición 2.2.3
^ Weibel 2013, Definición que precede a la Proposición 3.2 en el Capítulo I
^ Weibel 2013, Capítulo I, Proposición 3.5
^ Weibel 2013, Cap. I, Corolario 3.8.1
^ desde Kimberling 1981, pág. 18.
^ Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882-1935 , traducido por Blocher, HI, Birkhäuser , ISBN 3-7643-3019-8, pág. 44–45.

Referencias

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