En matemáticas , una estructura algebraica consiste en un conjunto no vacío A (llamado conjunto subyacente , conjunto portador o dominio ), una colección de operaciones sobre A (normalmente operaciones binarias como la suma y la multiplicación) y un conjunto finito de identidades (conocidas como axiomas ) que estas operaciones deben satisfacer.
Una estructura algebraica puede estar basada en otras estructuras algebraicas con operaciones y axiomas que involucran varias estructuras. Por ejemplo, un espacio vectorial involucra una segunda estructura llamada cuerpo y una operación llamada multiplicación escalar entre elementos del cuerpo (llamados escalares ) y elementos del espacio vectorial (llamados vectores ).
Álgebra abstracta es el nombre que comúnmente se da al estudio de las estructuras algebraicas. La teoría general de las estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal . La teoría de categorías es otra formalización que incluye también otras estructuras matemáticas y funciones entre estructuras del mismo tipo ( homomorfismos ).
En álgebra universal, una estructura algebraica se denomina álgebra ; [ 1] este término puede ser ambiguo, ya que, en otros contextos, un álgebra es una estructura algebraica que es un espacio vectorial sobre un cuerpo o un módulo sobre un anillo conmutativo .
El conjunto de todas las estructuras de un tipo dado (mismas operaciones y mismas leyes) se denomina variedad en álgebra universal; este término también se utiliza con un significado completamente diferente en geometría algebraica , como abreviatura de variedad algebraica . En teoría de categorías, el conjunto de todas las estructuras de un tipo dado y los homomorfismos entre ellas forman una categoría concreta .
La suma y la multiplicación son ejemplos prototípicos de operaciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercer elemento del mismo conjunto. Estas operaciones obedecen a varias leyes algebraicas. Por ejemplo, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a ( bc ) = ( ab ) c son leyes asociativas , y a + b = b + a y ab = ba son leyes conmutativas . Muchos sistemas estudiados por matemáticos tienen operaciones que obedecen algunas, pero no necesariamente todas, de las leyes de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, los posibles movimientos de un objeto en el espacio tridimensional se pueden combinar realizando un primer movimiento del objeto y luego un segundo movimiento desde su nueva posición. Tales movimientos, formalmente llamados movimientos rígidos , obedecen la ley asociativa, pero no satisfacen la ley conmutativa.
Los conjuntos con una o más operaciones que obedecen a leyes específicas se denominan estructuras algebraicas . Cuando un nuevo problema involucra las mismas leyes que una estructura algebraica de este tipo, todos los resultados que se han demostrado utilizando únicamente las leyes de la estructura se pueden aplicar directamente al nuevo problema.
En términos generales, las estructuras algebraicas pueden implicar un conjunto arbitrario de operaciones, incluidas las operaciones que combinan más de dos elementos ( operaciones de aridad superior ) y las operaciones que solo toman un argumento ( operaciones unarias ) o incluso cero argumentos ( operaciones nulares ). Los ejemplos que se enumeran a continuación no son de ninguna manera una lista completa, pero incluyen las estructuras más comunes que se enseñan en los cursos de pregrado.
Un axioma de una estructura algebraica suele tener la forma de una identidad , es decir, una ecuación tal que los dos lados del signo igual son expresiones que involucran operaciones de la estructura algebraica y variables . Si las variables en la identidad se reemplazan por elementos arbitrarios de la estructura algebraica, la igualdad debe seguir siendo verdadera. A continuación se presentan algunos ejemplos comunes.
Algunos axiomas comunes contienen una cláusula existencial . En general, dicha cláusula se puede evitar introduciendo más operaciones y reemplazando la cláusula existencial por una identidad que involucre la nueva operación. Más precisamente, consideremos un axioma de la forma "para todo X existe y tal que ", donde X es una k - tupla de variables. La elección de un valor específico de y para cada valor de X define una función que puede verse como una operación de aridad k , y el axioma se convierte en la identidad
La introducción de esta operación auxiliar complica ligeramente el enunciado de un axioma, pero tiene algunas ventajas. Dada una estructura algebraica específica, la prueba de que se satisface un axioma existencial consiste generalmente en la definición de la función auxiliar, completada con verificaciones sencillas. Además, cuando se calcula en una estructura algebraica, generalmente se utilizan explícitamente las operaciones auxiliares. Por ejemplo, en el caso de los números , el inverso aditivo lo proporciona la operación unaria menos
Además, en álgebra universal , una variedad es una clase de estructuras algebraicas que comparten las mismas operaciones y los mismos axiomas, con la condición de que todos los axiomas sean identidades. Lo que precede muestra que los axiomas existenciales de la forma anterior se aceptan en la definición de una variedad.
A continuación se presentan algunos de los axiomas existenciales más comunes.
Los axiomas de una estructura algebraica pueden ser cualquier fórmula de primer orden , es decir, una fórmula que involucra conectivos lógicos (como "y" , "o" y "no" ) y cuantificadores lógicos ( ) que se aplican a elementos (no a subconjuntos) de la estructura.
Un axioma típico de este tipo es la inversión en cuerpos . Este axioma no puede reducirse a axiomas de tipos anteriores. (De ello se deduce que los cuerpos no forman una variedad en el sentido del álgebra universal ). Puede afirmarse: "Todo elemento distinto de cero de un cuerpo es invertible ;" o, equivalentemente: la estructura tiene una operación unaria inv tal que
La operación inv puede verse como una operación parcial que no está definida para x = 0 ; o como una función ordinaria cuyo valor en 0 es arbitrario y no debe utilizarse.
Estructuras simples : sin operación binaria :
Estructuras de tipo grupo : una operación binaria. La operación binaria puede indicarse con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición), como se hace para la multiplicación ordinaria de números reales.
Estructuras en forma de anillo o ringoides : dos operaciones binarias, a menudo llamadas adición y multiplicación , en las que la multiplicación se distribuye sobre la adición.
Estructuras reticulares : dos o más operaciones binarias, incluidas las operaciones llamadas encuentro y unión , conectadas por la ley de absorción . [2]
Las estructuras algebraicas también pueden coexistir con estructuras añadidas de naturaleza no algebraica, como un orden parcial o una topología . La estructura añadida debe ser compatible, en algún sentido, con la estructura algebraica.
Las estructuras algebraicas se definen a través de diferentes configuraciones de axiomas . El álgebra universal estudia de forma abstracta dichos objetos. Una dicotomía importante es entre las estructuras que están axiomatizadas completamente por identidades y las estructuras que no lo están. Si todos los axiomas que definen una clase de álgebras son identidades, entonces esta clase es una variedad (que no debe confundirse con las variedades algebraicas de la geometría algebraica ).
Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando únicamente las operaciones que permite la estructura y variables que están cuantificadas universalmente de forma tácita en el universo relevante . Las identidades no contienen conectivos , variables cuantificadas existencialmente ni relaciones de ningún tipo que no sean las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante del álgebra universal . Una estructura algebraica en una variedad puede entenderse como el álgebra cociente del álgebra de términos (también llamada " álgebra absolutamente libre ") dividida por las relaciones de equivalencia generadas por un conjunto de identidades. Por lo tanto, una colección de funciones con firmas dadas genera un álgebra libre, el álgebra de términos T. Dado un conjunto de identidades ecuacionales (los axiomas), se puede considerar su clausura transitiva simétrica E. El álgebra cociente T / E es entonces la estructura o variedad algebraica. Así, por ejemplo, los grupos tienen una signatura que contiene dos operadores: el operador de multiplicación m , que toma dos argumentos, y el operador inverso i , que toma un argumento, y el elemento identidad e , una constante, que puede considerarse un operador que toma cero argumentos. Dado un conjunto (contable) de variables x , y , z , etc., el término álgebra es la colección de todos los términos posibles que involucran m , i , e y las variables; así, por ejemplo, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) sería un elemento del término álgebra. Uno de los axiomas que definen un grupo es la identidad m ( x , i ( x )) = e ; otro es m ( x , e ) = x . Los axiomas pueden representarse como árboles. Estas ecuaciones inducen clases de equivalencia en el álgebra libre; el álgebra del cociente tiene entonces la estructura algebraica de un grupo.
Algunas estructuras no forman variedades porque:
Las estructuras cuyos axiomas incluyen inevitablemente no identidades se encuentran entre las más importantes en matemáticas, por ejemplo, los cuerpos y los anillos de división . Las estructuras con no identidades presentan desafíos que las variedades no presentan. Por ejemplo, el producto directo de dos cuerpos no es un cuerpo, porque , pero los cuerpos no tienen divisores de cero .
La teoría de categorías es otra herramienta para estudiar las estructuras algebraicas (véase, por ejemplo, Mac Lane 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados. Cada estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo , es decir, cualquier función compatible con la(s) operación(es) que definen la estructura. De esta manera, cada estructura algebraica da lugar a una categoría . Por ejemplo, la categoría de grupos tiene todos los grupos como objetos y todos los homomorfismos de grupo como morfismos. Esta categoría concreta puede verse como una categoría de conjuntos con una estructura de teoría de categorías añadida. Del mismo modo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupo continuos) es una categoría de espacios topológicos con estructura extra. Un funtor olvidadizo entre categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.
Hay varios conceptos en la teoría de categorías que intentan capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo
En un ligero abuso de notación , la palabra "estructura" también puede referirse sólo a las operaciones sobre una estructura, en lugar del conjunto subyacente en sí. Por ejemplo, la oración, "Hemos definido una estructura de anillo sobre el conjunto ", significa que hemos definido operaciones de anillo sobre el conjunto . Otro ejemplo: el grupo puede verse como un conjunto que está equipado con una estructura algebraica, a saber, la operación .
