grupo parcialmente ordenado

Grupo con un pedido parcial compatible

En álgebra abstracta , un grupo parcialmente ordenado es un grupo ( G , +) equipado con un orden parcial "≤" que es invariante a la traducción ; en otras palabras, "≤" tiene la propiedad de que, para todos a , b y g en G , si a ≤ b entonces a + g ≤ b + g y g + a ≤ g + b .

Un elemento x de G se llama positivo si 0 ≤ x . El conjunto de elementos 0 ≤ x a menudo se denota con G ⁺ y se denomina cono positivo de G.

Por invariancia de traducción, tenemos a ≤ b si y sólo si 0 ≤ - a + b . Entonces podemos reducir el orden parcial a una propiedad monádica: a ≤ b si y solo si - a + b ∈ G ⁺ .

Para el grupo general G , la existencia de un cono positivo especifica un orden en G. Un grupo G es un grupo parcialmente ordenable si y sólo si existe un subconjunto H (que es G ⁺ ) de G tal que:

• 0 ∈ H
• si a ∈ H y b ∈ H entonces a + b ∈ H
• si a ∈ H entonces - x + a + x ∈ H para cada x de G
• si a ∈ H y - a ∈ H entonces a = 0

Un grupo G parcialmente ordenado con cono positivo G ⁺ se dice que no está perforado si n · g ∈ G ⁺ para algún entero positivo n implica g ∈ G ⁺ . Al no estar perforado significa que no hay "espacio" en el cono positivo G ⁺ .

Si el orden del grupo es lineal , entonces se dice que es un grupo linealmente ordenado . Si el orden del grupo es un orden reticular , es decir, dos elementos cualesquiera tienen un límite superior mínimo, entonces es un grupo ordenado reticular (abreviadamente l-group , aunque generalmente se escribe con una escritura l: ℓ-group).

Un grupo de Riesz es un grupo parcialmente ordenado no perforado con una propiedad ligeramente más débil que ser un grupo ordenado en celosía. Es decir, un grupo de Riesz satisface la propiedad de interpolación de Riesz : si x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ son elementos de G y x _i ≤ y _j , entonces existe z ∈ G tal que x _i ≤ z ≤ y _j .

Si G y H son dos grupos parcialmente ordenados, una aplicación de G a H es un morfismo de grupos parcialmente ordenados si es a la vez un homomorfismo de grupo y una función monótona . Los grupos parcialmente ordenados, junto con esta noción de morfismo, forman una categoría .

En la definición de valoraciones de campos se utilizan grupos parcialmente ordenados .

Ejemplos

• Los números enteros con su orden habitual.
• Un espacio vectorial ordenado es un grupo parcialmente ordenado.
• Un espacio de Riesz es un grupo ordenado en red
• Un ejemplo típico de un grupo parcialmente ordenado es Z ⁿ , donde la operación del grupo es una suma de componentes, y escribimos ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) si y sólo si a _i ≤ b _i (en el orden habitual de los números enteros) para todo i = 1,..., n .
• De manera más general, si G es un grupo parcialmente ordenado y X es algún conjunto, entonces el conjunto de todas las funciones de X a G es nuevamente un grupo parcialmente ordenado: todas las operaciones se realizan por componentes. Además, cada subgrupo de G es un grupo parcialmente ordenado: hereda el orden de G.
• Si A es un álgebra C* de dimensión aproximadamente finita , o más generalmente, si A es un álgebra C* unital finita estable, entonces K 0 ( A ) es un grupo abeliano parcialmente ordenado . (Elliot, 1976)

Propiedades

Arquímedes

La propiedad de Arquímedes de los números reales se puede generalizar a grupos parcialmente ordenados.

Propiedad: Un grupo parcialmente ordenado se llama Arquímedes cuando para cualquiera , si y para todos, entonces . De manera equivalente, cuando , entonces para cualquiera , existe algo tal que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle e\leq a\leq b}$ ${\displaystyle a^{n}\leq b}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle a\neq e}$ ${\displaystyle b\in G}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b<a^{n}}$

Integralmente cerrado

Un grupo G parcialmente ordenado se llama integralmente cerrado si para todos los elementos a y b de G , si a ⁿ ≤ b para todos los n naturales, entonces a ≤ 1. ^[1]

Esta propiedad es algo más fuerte que el hecho de que un grupo parcialmente ordenado sea de Arquímedes , aunque para un grupo ordenado en red sea integralmente cerrado y sea de Arquímedes es equivalente. ^[2] Existe el teorema de que todo grupo dirigido integralmente cerrado ya es abeliano . Esto tiene que ver con el hecho de que un grupo dirigido es integrable en un grupo ordenado en red completo si y sólo si está integralmente cerrado. ^[1]

Ver también

• Grupo ordenado cíclicamente  : grupo con un orden cíclico respetado por la operación del grupo
• Grupo linealmente ordenado  : grupo con orden total traslacionalmente invariante; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb
• Campo ordenado  : objeto algebraico con una estructura ordenada
• Anillo pedido  – anillo con un pedido total compatiblePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  : espacio vectorial con orden parcial
• Anillo parcialmente pedido  – Anillo con pedido parcial compatible
• Espacio parcialmente ordenado  - Espacio topológico parcialmente ordenado

Nota

1. Vidrio (1999)
2. Birkhoff (1942)

Referencias

• M. Anderson y T. Feil, Grupos ordenados en celosía: una introducción , D. Reidel, 1988.
• Birkhoff, Garrett (1942). "Grupos ordenados en celosía". Los Anales de las Matemáticas . 43 (2): 313. doi : 10.2307/1968871. ISSN  0003-486X.
• MR Darnel, La teoría de los grupos ordenados en celosía , Apuntes de conferencias sobre matemáticas puras y aplicadas 187, Marcel Dekker, 1995.
• L. Fuchs, Sistemas algebraicos parcialmente ordenados , Pergamon Press, 1963.
• Vidrio, AMW (1982). Grupos de permutaciones ordenadas . doi :10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908.
• Vidrio, AMW (1999). Grupos parcialmente ordenados. ISBN 981449609X.
• VM Kopytov y AI Kokorin (traducción de D. Louvish), Grupos completamente ordenados , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• VM Kopytov y N. Ya. Medvedev, Grupos ordenados por derechas , Escuela Siberiana de Álgebra y Lógica, Oficina de Consultores, 1996.
• Kopytov, VM; Medvedev, N. Ya. (1994). La teoría de los grupos ordenados en celosía . doi :10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7.
• RB Mura y A. Rhemtulla, Grupos ordenables , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
• Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Texto universitario. 2005. doi : 10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5., cap. 9.
• Elliott, George A. (1976). "Sobre la clasificación de límites inductivos de secuencias de álgebras semisimples de dimensión finita". Revista de Álgebra . 38 : 29–44. doi :10.1016/0021-8693(76)90242-8.

Otras lecturas

Everett, CJ; Ulam, S. (1945). "Sobre grupos ordenados". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 57 (2): 208–216. doi : 10.2307/1990202 . JSTOR  1990202.

enlaces externos

• Kopytov, VM (2001) [1994], "Grupo parcialmente ordenado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kopytov, VM (2001) [1994], "Grupo ordenado en celosía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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