Anillo ideal principal

Anillo en el que todo ideal es principal

En matemáticas , un anillo ideal principal derecho (izquierdo) es un anillo R en el que cada ideal derecho (izquierdo) es de la forma xR ( Rx ) para algún elemento x de R . (Los ideales derecho e izquierdo de esta forma, generados por un elemento, se denominan ideales principales ). Cuando esto se satisface tanto para los ideales izquierdos como para los derechos, como en el caso en el que R es un anillo conmutativo , R puede denominarse anillo ideal principal o, simplemente, anillo principal .

Si sólo los ideales rectos finitamente generados de R son principales, entonces R se denomina anillo de Bézout recto . Los anillos de Bézout izquierdos se definen de manera similar. Estas condiciones se estudian en dominios como dominios de Bézout .

Un anillo ideal principal que también es un dominio integral se denomina dominio ideal principal (PID). En este artículo nos centraremos en el concepto más general de anillo ideal principal que no es necesariamente un dominio.

Propiedades generales

Si R es un anillo ideal recto principal, entonces es ciertamente un anillo noetheriano recto , ya que todo ideal recto es finitamente generado. También es un anillo de Bézout recto, ya que todos los ideales rectos finitamente generados son principales. De hecho, está claro que los anillos ideales rectos principales son exactamente los anillos que son tanto Bézout rectos como noetherianos rectos.

Los anillos ideales rectos principales son cerrados bajo productos directos finitos . Si , entonces cada ideal recto de R es de la forma , donde cada uno es un ideal recto de R _i . Si todos los R _i son anillos ideales rectos principales, entonces A _i = x _i R _i , y entonces se puede ver que . Sin mucho más esfuerzo, se puede demostrar que los anillos de Bézout rectos también son cerrados bajo productos directos finitos. ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$ ${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})R=A}$

Los anillos ideales rectos principales y los anillos de Bézout rectos también son cerrados bajo cocientes, es decir, si I es un ideal propio del anillo ideal recto principal R , entonces el anillo cociente R/I es también un anillo ideal recto principal. Esto se deduce fácilmente de los teoremas de isomorfismo para anillos.

Todas las propiedades anteriores también tienen análogos izquierdos.

Ejemplos conmutativos

1. El anillo de números enteros : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2. Los números enteros módulo n : . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

3. Sean anillos y . Entonces R es un anillo principal si y solo si R _i es un anillo principal para todo i . ${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$ ${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

4. La localización de un anillo principal en cualquier subconjunto multiplicativo es a su vez un anillo principal. De manera similar, cualquier cociente de un anillo principal es a su vez un anillo principal.

5. Sea R un dominio de Dedekind e I un ideal distinto de cero de R . Entonces el cociente R / I es un anillo principal. De hecho, podemos factorizar I como un producto de potencias primos: , y por el Teorema del Resto Chino , por lo que basta con ver que cada uno es un anillo principal. Pero es isomorfo al cociente del anillo de valoración discreto y, al ser un cociente de un anillo principal, es en sí mismo un anillo principal. ${\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}}$ ${\displaystyle R_{P_{i}}}$

6. Sea k un cuerpo finito y pongamos , y . Entonces R es un anillo local finito que no es principal. ${\displaystyle A=k[x,y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}}$

7. Sea X un conjunto finito. Entonces forma un anillo de ideales principales conmutativos con la unidad, donde representa la diferencia simétrica del conjunto y representa el conjunto potencia de X . Si X tiene al menos dos elementos, entonces el anillo también tiene divisores de cero. Si I es un ideal, entonces . Si en cambio X es infinito, el anillo no es principal: tomemos el ideal generado por los subconjuntos finitos de X , por ejemplo. ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle I=(\bigcup I)}$

8. Los anillos de Galois son PIR locales conmutativos. Se construyen a partir de los números enteros módulo esencialmente de la misma manera que las extensiones de campo finito de los números enteros módulo , y el ideal máximo se genera mediante ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Teoría de la estructura para PIR conmutativos

Los anillos principales construidos en el Ejemplo 5 anterior son siempre anillos artinianos ; en particular, son isomorfos a un producto directo finito de anillos artinianos locales principales. Un anillo principal artiniano local se denomina anillo principal especial y tiene una estructura ideal extremadamente simple: solo hay un número finito de ideales, cada uno de los cuales es una potencia del ideal máximo. Por esta razón, los anillos principales especiales son ejemplos de anillos uniseriales .

El siguiente resultado proporciona una clasificación completa de los anillos principales en términos de anillos principales especiales y dominios ideales principales.

Teorema de Zariski-Samuel : Sea R un anillo principal. Entonces R puede escribirse como un producto directo , donde cada R _i es un dominio ideal principal o un anillo principal especial. ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

La prueba aplica el teorema del resto chino a una descomposición primaria mínima del ideal cero.

También existe el siguiente resultado, debido a Hungerford:

Teorema (Hungerford): Sea R un anillo principal. Entonces R puede escribirse como un producto directo , donde cada R _i es un cociente de un dominio ideal principal. ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}}$

La prueba del teorema de Hungerford emplea los teoremas de estructura de Cohen para anillos locales completos.

Argumentando como en el Ejemplo 3. anterior y utilizando el teorema de Zariski-Samuel, es fácil comprobar que el teorema de Hungerford es equivalente a la afirmación de que cualquier anillo principal especial es el cociente de un anillo de valoración discreto.

Ejemplos no conmutativos

Todo anillo semisimple R que no sea simplemente un producto de cuerpos es un anillo ideal principal derecho e izquierdo no conmutativo (no necesita ser un dominio, como lo muestra el ejemplo de matrices nxn sobre un cuerpo). Todo ideal derecho e izquierdo es un sumando directo de R y, por lo tanto, tiene la forma eR o Re , donde e es un idempotente de R. Siguiendo este ejemplo, se observa que los anillos regulares de von Neumann son anillos de Bézout tanto derechos como izquierdos.

Si D es un anillo de división y es un endomorfismo de anillo que no es un automorfismo , entonces se sabe que el anillo de polinomios oblicuos es un dominio ideal izquierdo principal que no es noetheriano derecho y, por lo tanto, no puede ser un anillo ideal derecho principal. Esto demuestra que incluso para los dominios, los anillos ideales izquierdos principales y derechos principales son diferentes. ^[1] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D[x,\sigma ]}$

Referencias

1. Lam 2001, pág. 21.

• Hungerford, T. (1968), "Sobre la estructura de los anillos ideales principales", Pacific Journal of Mathematics , 25 (3): 543–547, doi : 10.2140/pjm.1968.25.543
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, Sr.  1838439
• Páginas 86 y 146-155 de Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera edición), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Zariski, O .; Samuel, P. (1975), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 28, 29, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag