Teorema de Goldie

Resultado en la teoría de anillos

En matemáticas , el teorema de Goldie es un resultado estructural básico en la teoría de anillos , demostrado por Alfred Goldie durante la década de 1950. Lo que ahora se denomina un anillo de Goldie recto es un anillo R que tiene una dimensión uniforme finita ("rango finito") como módulo recto sobre sí mismo y satisface la condición de cadena ascendente en aniquiladores derechos de subconjuntos de R.

El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie rectos semiprimos son precisamente aquellos que tienen un anillo de cocientes recto clásico artiniano semisimple . La estructura de este anillo de cocientes queda entonces completamente determinada por el teorema de Artin-Wedderburn .

En particular, el teorema de Goldie se aplica a anillos noetherianos rectos semiprimos , ya que por definición los anillos noetherianos rectos tienen la condición de cadena ascendente en todos los ideales rectos. Esto es suficiente para garantizar que un anillo noetheriano recto es Goldie recto. La inversa no se cumple: todo dominio de Ore recto es un dominio de Goldie recto y, por lo tanto, también lo es todo dominio integral conmutativo .

Una consecuencia del teorema de Goldie, también debida a Goldie, es que todo anillo ideal recto principal semiprimo es isomorfo a una suma directa finita de anillos ideales rectos principales primos . Todo anillo ideal recto principal primo es isomorfo a un anillo matricial sobre un dominio de Ore recto .

Bosquejo de la prueba

Este es un esbozo de la caracterización mencionada en la introducción. Puede encontrarse en (Lam 1999, p.324).

• Si R es un anillo Goldie recto semiprimo, entonces es un orden recto en un anillo semisimple:
  • Los ideales rectos esenciales de R son exactamente aquellos que contienen un elemento regular .
  • No hay ideales nil distintos de cero en R.
  • R es un anillo no singular recto . ^[1]
  • De las observaciones anteriores, R es un anillo de Ore recto , y por lo tanto existe su anillo clásico recto de cocientes Q ^r . También de las observaciones anteriores, Q ^r es un anillo semisimple . Por lo tanto, R es un orden recto en Q ^r .
• Si R es un orden correcto en un anillo semisimple Q , entonces es semiprimo derecho Goldie:
  • Cualquier orden correcto en un anillo noetheriano (como Q ) es correcto, Goldie.
  • Cualquier orden correcto en un anillo semiprimo noetheriano (como Q ) es en sí mismo semiprimo.
  • Por lo tanto, R es semiprimo derecho Goldie.

Referencias

1. Esto puede deducirse de un teorema de Mewborn y Winton, que si un anillo satisface la condición máxima de aniquiladores rectos, entonces el ideal singular recto es nilpotente. (Lam 1999, p.252)

• Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). "La búsqueda de anillos cocientes (de anillos noetherianos no conmutativos". American Mathematical Monthly . 110 (4): 298–313. CiteSeerX  10.1.1.296.8947 . doi :10.2307/3647879. JSTOR  3647879.
• Goldie, AW (1958). "La estructura de los anillos primos en condiciones de cadena ascendente". Proc. London Math. Soc . 8 (4): 589–608. doi :10.1112/plms/s3-8.4.589.
• Goldie, AW (1960). "Anillos semiprimos con condiciones máximas". Proc. London Math. Soc . 10 : 201–220. doi :10.1112/plms/s3-10.1.201.
• Herstein, IN (1969). Temas de teoría de anillos . Conferencias de matemáticas en Chicago. Chicago, Ill.: Chicago Univ. Pr. pp. 61–86. ISBN 978-0-226-32802-7.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294

Enlaces externos

• Página de PlanetMath sobre el teorema de Goldie
• Página de PlanetMath sobre el anillo de Goldie