En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas, los ideales semiprimos y los anillos semiprimos son generalizaciones de ideales primos y anillos primos . En álgebra conmutativa , los ideales semiprimos también se denominan ideales radicales y los anillos semiprimos son lo mismo que los anillos reducidos.
Por ejemplo, en el anillo de los números enteros , los ideales semiprimos son el ideal cero, junto con aquellos ideales de la forma donde n es un entero sin cuadrados . Entonces, es un ideal semiprimo de los números enteros (porque 30 = 2 × 3 × 5, sin factores primos repetidos), pero no lo es (porque 12 = 2 2 × 3, con un factor primo repetido).
La clase de anillos semiprimitivos incluye anillos semiprimitivos , anillos primarios y anillos reducidos .
La mayoría de las definiciones y afirmaciones de este artículo aparecen en (Lam 1999) y (Lam 2001).
Para un anillo conmutativo R , un ideal propio A es un ideal semiprimo si A satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
La última condición de que el complemento sea "cerrado bajo potencias" es análoga al hecho de que los complementos de ideales primos están cerrados bajo multiplicación.
Al igual que con los ideales primos, esto se extiende a los anillos no conmutativos "idealmente". Las siguientes condiciones son definiciones equivalentes para un ideal semiprimo A en un anillo R :
Aquí nuevamente hay un análogo no conmutativo de ideales primos como complementos de sistemas m . Un subconjunto no vacío S de un anillo R se llama sistema n si para cualquier s en S existe una r en R tal que srs está en S. Con esta noción, se podrá añadir un punto adicional equivalente a la lista anterior:
El anillo R se llama anillo semiprimo si el ideal cero es un ideal semiprimo. En el caso conmutativo, esto equivale a que R sea un anillo reducido , ya que R no tiene elementos nilpotentes distintos de cero. En el caso no conmutativo, el anillo simplemente no tiene ideales de derechos nilpotentes distintos de cero. Entonces, si bien un anillo reducido es siempre semiprimo, lo contrario no es cierto. [1]
Para empezar, está claro que los ideales primos son semiprimos y que, para los anillos conmutativos, un ideal primario semiprimo es primo.
Si bien la intersección de ideales primos no suele ser prima, es un ideal semiprimo. En breve se demostrará que lo contrario también es cierto: que todo ideal semiprimo es la intersección de una familia de ideales primos.
Para cualquier B ideal en un anillo R , podemos formar los siguientes conjuntos:
El conjunto es la definición del radical de B y es claramente un ideal semiprimo que contiene a B , y de hecho es el ideal semiprimo más pequeño que contiene a B. La inclusión anterior a veces es adecuada en el caso general, pero para anillos conmutativos se convierte en una igualdad.
Con esta definición, un A ideal es semiprimo si y sólo si . Llegados a este punto, también resulta evidente que todo ideal semiprimo es, de hecho, la intersección de una familia de ideales primos. Además, esto muestra que la intersección de dos ideales semiprimos cualesquiera es nuevamente semiprimo.
Por definición, R es semiprimo si y sólo si , es decir, la intersección de todos los ideales primos es cero. Este ideal también se denota y también se llama radical nil inferior de Baer o radical Baer-Mccoy o radical primo de R.
Un anillo Goldie derecho es un anillo que tiene una dimensión uniforme finita (también llamada rango finito ) como un módulo derecho sobre sí mismo y satisface la condición de cadena ascendente en los aniquiladores derechos de sus subconjuntos. El teorema de Goldie establece que los anillos de Goldie derechos semiprimos son precisamente aquellos que tienen un anillo de cocientes clásico derecho artiniano semisimple . El teorema de Artin-Wedderburn determina completamente la estructura de este anillo de cocientes.
