Submódulo singular

En las ramas del álgebra abstracta conocidas como teoría de anillos y teoría de módulos , cada módulo R derecho (resp. izquierdo) M tiene un submódulo singular que consta de elementos cuyos aniquiladores son ideales esenciales derechos (resp. izquierdo) en R. En notación de conjuntos generalmente se denota como . Para anillos generales , es una buena generalización del submódulo de torsión tors ( M ) que se define con mayor frecuencia para dominios . En el caso de que R sea un dominio conmutativo, . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)}$

Si R es cualquier anillo, se define considerando a R como un módulo recto, y en este caso es un ideal bilateral de R llamado ideal singular derecho de R. El análogo zurdo se define de manera similar. Es posible para . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$

Definiciones

Aquí hay varias definiciones utilizadas al estudiar submódulos singulares e ideales singulares. En lo siguiente, M es un R -módulo:

• M se llama módulo singular si . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$
• M se llama módulo no singular si . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$
• R se llama no singular derecho si . Un anillo no singular izquierdo se define de manera similar, utilizando el ideal singular izquierdo, y es completamente posible que un anillo sea no singular derecho pero no izquierdo. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$

En anillos con unidad siempre ocurre que , por lo que el "anillo singular derecho" no suele definirse de la misma manera que los módulos singulares. Algunos autores han utilizado "anillo singular" para significar "tiene un ideal singular distinto de cero", sin embargo, este uso no es coherente con el uso de adjetivos para módulos. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$

Propiedades

Algunas propiedades generales del submódulo singular incluyen:

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,}$donde denota el zócalo de . ${\displaystyle \mathrm {soc} (M_{R})\,}$ ${\displaystyle R_{R}}$
• Si f es un homomorfismo de R -módulos de M a N , entonces . ${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$
• Si N es un submódulo de M , entonces . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$
• Las propiedades "singular" y "no singular" son propiedades invariantes de Morita .
• Los ideales singulares de un anillo contienen elementos nilpotentes centrales del anillo. En consecuencia, el ideal singular de un anillo conmutativo contiene el radical nil del anillo.
• Una propiedad general del submódulo de torsión es que , pero esto no necesariamente se cumple para el submódulo singular. Sin embargo, si R es un anillo no singular derecho, entonces . ${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$
• Si N es un submódulo esencial de M (ambos módulos derechos), entonces M / N es singular. Si M es un módulo libre , o si R es no singular derecho, entonces ocurre lo contrario.
• Un módulo semisimple es no singular si y sólo si es un módulo proyectivo .
• Si R es un anillo autoinyectivo derecho , entonces , donde J( R ) es el radical de Jacobson de R. ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$

Ejemplos

Los anillos no singulares derechos son una clase muy amplia, que incluye anillos reducidos , anillos (semi)hereditarios derechos , anillos regulares de von Neumann , dominios , anillos semisimples , anillos de Baer y anillos de Rickart derechos .

Para los anillos conmutativos, ser no singular equivale a ser un anillo reducido.

Teoremas importantes

El teorema de Johnson (debido a RE Johnson (Lam 1999, p. 376)) contiene varias equivalencias importantes. Para cualquier anillo R , los siguientes son equivalentes:

1. R es no singular derecho.
2. El casco inyectivo E( R _R ) es un módulo R derecho no singular .
3. El anillo de endomorfismo es un anillo semiprimitivo (es decir, ). ${\displaystyle S=\mathrm {End} (E(R_{R}))\,}$ ${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$
4. El anillo máximo derecho de cocientes es regular de von Neumann. ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$

La no singularidad derecha también tiene una fuerte interacción con los anillos autoinyectivos derechos.

Teorema: Si R es un anillo autoinyectivo derecho, entonces las siguientes condiciones en R son equivalentes: derecho no singular, regular de von Neumann, semihereditario derecho, Rickart derecho, Baer, ​​semiprimitivo. (Lam 1999, pág. 262)

El artículo (Zelmanowitz 1983) utilizó módulos no singulares para caracterizar la clase de anillos cuyo anillo derecho máximo de cocientes tiene una determinada estructura.

Teorema: Si R es un anillo, entonces es un anillo lineal completo recto si y sólo si R tiene un módulo uniforme , fiel y no singular . Además, es un producto directo finito de anillos lineales completos si y solo si R tiene un módulo fiel no singular con dimensión uniforme finita . ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$ ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$

Libros de texto

• Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos: anillos y módulos no singulares , Matemáticas puras y aplicadas, n.º 33, Nueva York: Marcel Dekker Inc., págs. viii+206, MR  0429962
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de Graduado en Matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, señor  1653294

Fuentes primarias

• Zelmanowitz, JM (1983), "La estructura de anillos con módulos fieles no singulares", Trans. América. Matemáticas. Soc. , 278 (1): 347–359, doi : 10.2307/1999320 , ISSN  0002-9947, SEÑOR  0697079