Anillo de Baer

En álgebra abstracta y análisis funcional , los anillos de Baer , ​​los *anillos de Baer , ​​los anillos de Rickart , los *anillos de Rickart y las álgebras AW* son varios intentos de dar un análogo algebraico de las álgebras de von Neumann , usando axiomas sobre aniquiladores de varios conjuntos.

Cualquier álgebra de von Neumann es un *-anillo de Baer , ​​y gran parte de la teoría de proyecciones en las álgebras de von Neumann se puede extender a todos los *-anillos de Baer. Por ejemplo, los *-anillos de Baer se pueden dividir en los tipos I, II y III de la misma manera que las álgebras de von Neumann.

En la literatura, los anillos de Rickart izquierdos también se han denominado anillos PP izquierdos . ("Principal implica proyectivo": consulte las definiciones a continuación).

Definiciones

• Un elemento idempotente de un anillo es un elemento e que tiene la propiedad de que e ² = e .
• El aniquilador izquierdo de un conjunto es ${\displaystyle X\subseteq R}$ ${\displaystyle \{r\in R\mid rX=\{0\}\}}$
• Un anillo de Rickart (izquierda) es un anillo que satisface cualquiera de las siguientes condiciones:

1. El aniquilador izquierdo de cualquier elemento individual de R es generado (como un ideal izquierdo) por un elemento idempotente.
2. (Para anillos unitarios) el aniquilador izquierdo de cualquier elemento es un sumando directo de R.
3. Todos los ideales izquierdos principales (ideales de la forma Rx ) son módulos proyectivos R. ^[1]

• Un anillo Baer tiene las siguientes definiciones:

1. El aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto de R es generado (como un ideal izquierdo) por un elemento idempotente.
2. (Para anillos unitarios) El aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto de R es un sumando directo de R . ^[2] Para anillos unitarios, reemplazar todas las ocurrencias de 'izquierda' por 'derecha' produce una definición equivalente, es decir, la definición es simétrica izquierda-derecha. ^[3]

En la teoría de operadores, las definiciones se refuerzan ligeramente al exigir que el anillo R tenga una involución . Como esto hace que R sea isomorfo a su anillo opuesto R ^op , la definición del *-anillo de Rickart es simétrica de izquierda a derecha. ${\displaystyle *:R\rightarrow R}$

• Una proyección en un *-anillo es un p idempotente que es autoadjunto ( p * = p ).
• Un *-anillo de Rickart es un *-anillo tal que el aniquilador izquierdo de cualquier elemento es generado (como un ideal izquierdo) por una proyección.
• Un *-anillo de Baer es un *-anillo tal que el aniquilador izquierdo de cualquier subconjunto es generado (como un ideal izquierdo) por una proyección.
• Un álgebra AW* , introducida por Kaplansky (1951), es un álgebra C* que también es un anillo de Baer *.

Ejemplos

• Dado que los ideales izquierdos principales de un anillo hereditario izquierdo o un anillo semihereditario izquierdo son proyectivos, es evidente que ambos tipos son anillos de Rickart izquierdos. Esto incluye los anillos regulares de von Neumann , que son semihereditarios izquierdos y derechos. Si un anillo regular de von Neumann R también es autoinyectivo derecho o izquierdo , entonces R es Baer.
• Cualquier anillo semisimple es Baer, ​​ya que todos los ideales izquierdos y derechos son sumandos en R , incluidos los aniquiladores.
• Cualquier dominio es Baer, ​​ya que todos los aniquiladores lo son excepto el aniquilador de 0, que es R , y ambos y R son sumandos de R . ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$
• El anillo de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert es un anillo de Baer y también es un *-anillo de Baer con la involución * dada por el adjunto.
• Las álgebras de von Neumann son ejemplos de todos los diferentes tipos de anillos mencionados anteriormente.

Propiedades

Las proyecciones en un anillo de Rickart forman una red , que está completa si el anillo es un anillo de Baer.

Véase también

• *-semigrupo de Baer

Notas

1. Los anillos de Rickart reciben su nombre de Rickart (1946), quien estudió una propiedad similar en las álgebras de operadores. Esta condición de "principio implica proyectividad" es la razón por la que a los anillos de Rickart a veces se los llama anillos PP. (Lam 1999)
2. Esta condición fue estudiada por Reinhold Baer  (1952).
3. TY Lam (1999), "Conferencias sobre módulos y anillos" ISBN  0-387-98428-3 pp.260

Referencias

• Baer, ​​Reinhold (1952), Álgebra lineal y geometría proyectiva, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-486-44565-6, Sr.  0052795
• Berberian, Sterling K. (1972), Baer *-rings, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 195, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-05751-2, Sr.  0429975
• Kaplansky, Irving (1951), "Proyecciones en álgebras de Banach", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 53 (2): 235–249, doi :10.2307/1969540, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969540, MR  0042067
• Kaplansky, I. (1968), Anillos de operadores, Nueva York: WA Benjamin, Inc.
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.º 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Sr.  1653294
• Rickart, CE (1946), "Álgebras de Banach con una operación adjunta", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 47 (3): 528–550, doi :10.2307/1969091, JSTOR  1969091, MR  0017474
• LA Skornyakov (2001) [1994], "Anillo regular (en el sentido de von Neumann)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• LA Skornyakov (2001) [1994], "Anillo de Rickart", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• JDM Wright (2001) [1994], "Álgebra AW*", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press