En la rama del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos , un anillo primitivo izquierdo es un anillo que tiene un módulo izquierdo simple fiel . Ejemplos bien conocidos incluyen anillos de endomorfismo de espacios vectoriales y álgebras de Weyl sobre cuerpos de característica cero.
Se dice que un anillo R es un anillo primitivo izquierdo si tiene un módulo R izquierdo simple y fiel . Un anillo primitivo derecho se define de manera similar con módulos R derechos . Hay anillos que son primitivos en un lado pero no en el otro. El primer ejemplo fue construido por George M. Bergman en (Bergman 1964). Otro ejemplo encontrado por Jategaonkar que muestra la distinción se puede encontrar en Rowen (1988, p. 159).
Una caracterización interna de los anillos primitivos izquierdos es la siguiente: un anillo es primitivo izquierdo si y solo si existe un ideal izquierdo máximo que no contenga ideales bilaterales distintos de cero . La definición análoga para los anillos primitivos derechos también es válida.
La estructura de los anillos primitivos izquierdos está completamente determinada por el teorema de densidad de Jacobson : un anillo es primitivo izquierdo si y sólo si es isomorfo a un subanillo denso del anillo de endomorfismos de un espacio vectorial izquierdo sobre un anillo de división .
Otra definición equivalente establece que un anillo es primitivo izquierdo si y sólo si es un anillo primo con un módulo izquierdo fiel de longitud finita (Lam 2001, Ex. 11.19, p. 191).
Los anillos primitivos unilaterales son a la vez anillos semiprimitivos y anillos primos . Dado que el anillo producto de dos o más anillos distintos de cero no es primo, es evidente que el producto de anillos primitivos nunca es primitivo.
Para un anillo artiniano izquierdo , se sabe que las condiciones "primitivo izquierdo", "primitivo derecho", "primo" y " simple " son todas equivalentes, y en este caso es un anillo semisimple isomorfo a un anillo de matriz cuadrada sobre un anillo de división. De manera más general, en cualquier anillo con un ideal unilateral mínimo, "primitivo izquierdo" = "primitivo derecho" = "primo".
Un anillo conmutativo se deja primitivo si y sólo si es un campo .
Ser primitivo a la izquierda es una propiedad invariante de Morita .
Todo anillo simple R con unidad es primitivo tanto por izquierda como por derecha. (Sin embargo, un anillo simple no unitario puede no ser primitivo.) Esto se deduce del hecho de que R tiene un ideal izquierdo máximo M , y del hecho de que el módulo cociente R / M es un R -módulo izquierdo simple , y que su aniquilador es un ideal bilateral propio en R . Como R es un anillo simple, este aniquilador es {0} y, por lo tanto, R / M es un R -módulo izquierdo fiel .
Las álgebras de Weyl sobre cuerpos de característica cero son primitivas y, dado que son dominios , son ejemplos sin ideales unilaterales mínimos.
Un caso especial de anillos primitivos es el de los anillos lineales completos . Un anillo lineal completo por la izquierda es el anillo de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial izquierdo de dimensión infinita sobre un anillo de división. (Un anillo lineal completo por la derecha difiere al utilizar en su lugar un espacio vectorial derecho). En símbolos, donde V es un espacio vectorial sobre un anillo de división D. Se sabe que R es un anillo lineal completo por la izquierda si y solo si R es regular de von Neumann , autoinyectivo por la izquierda con zócalo soc( R R ) ≠ {0}. [1] Mediante argumentos de álgebra lineal , se puede demostrar que es isomorfo al anillo de matrices finitas por filas , donde I es un conjunto de índices cuyo tamaño es la dimensión de V sobre D. Asimismo , los anillos lineales completos por la derecha se pueden realizar como matrices finitas por columnas sobre D.
Usando esto podemos ver que hay anillos primitivos izquierdos no simples. Por la caracterización de densidad de Jacobson, un anillo lineal completo izquierdo R siempre es primitivo izquierdo. Cuando dim D V es finito, R es un anillo matricial cuadrado sobre D , pero cuando dim D V es infinito, el conjunto de transformaciones lineales de rango finito es un ideal bilateral propio de R , y por lo tanto R no es simple.
