álgebra de Weyl

Álgebra diferencial

Sea un anillo diferencial parcial con derivadas conmutantes . El álgebra de Weyl asociada a es el anillo no conmutativo que satisface las relaciones para todos . ${\displaystyle (R,\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace }$ ${\displaystyle (R,\Delta )}$ ${\displaystyle R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]}$ ${\displaystyle \partial _{i}r=r+\partial _{i}(r)}$ ${\displaystyle r\in R}$

Este artículo se centra en el caso especial donde y donde hay un campo que, en algunas referencias, se denomina "el" álgebra de Weyl. ${\displaystyle R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace }$ ${\displaystyle F}$

En álgebra abstracta , el álgebra de Weyl es el anillo de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales (en una variable), es decir, expresiones de la forma

${\displaystyle f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).}$

Más precisamente, sea F el campo subyacente y sea F [ X ] el anillo de polinomios en una variable, X , con coeficientes en F . Entonces cada f _i se encuentra en F [ X ], ∂ _X es la derivada con respecto a X y el álgebra se genera por X y ∂ _X .

El álgebra de Weyl es un ejemplo de un anillo simple que no es un anillo matricial sobre un anillo de división . También es un ejemplo no conmutativo de dominio y un ejemplo de extensión Ore .

El álgebra de Weyl es isomorfa al cociente del álgebra libre sobre dos generadores, X e Y , por el ideal generado por el elemento

${\displaystyle YX-XY=1~.}$

El álgebra de Weyl es la primera de una familia infinita de álgebras, también conocidas como álgebras de Weyl. El n -ésimo álgebra de Weyl , An _, es el anillo de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales en n variables. Es generado por X _i y ∂ _{X i} , i = 1, ..., n .

Las álgebras de Weyl llevan el nombre de Hermann Weyl , quien las introdujo para estudiar el principio de incertidumbre de Heisenberg en la mecánica cuántica . Es un cociente del álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg , el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg , estableciendo el elemento central del álgebra envolvente universal (es decir, [ X , Y ]) igual a la unidad del álgebra envolvente universal (llamada 1 arriba).

El álgebra de Weyl también se conoce como álgebra simpléctica de Clifford . ^{[1] [2] [3]} Las álgebras de Weyl representan para formas bilineales simplécticas la misma estructura que las álgebras de Clifford representan para formas bilineales simétricas no degeneradas. ^[1]

Generadores y relaciones

Se puede dar una construcción abstracta de las álgebras _An en términos de generadores y relaciones. Comience con un espacio vectorial abstracto V (de dimensión 2 n ) equipado con una forma simpléctica ω . Defina el álgebra de Weyl W ( V ) como

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

donde T ( V ) es el álgebra tensorial en V , y la notación significa "el ideal generado por". ${\displaystyle (\!()\!)}$

En otras palabras, W ( V ) es el álgebra generada por V sujeta únicamente a la relación vu − uv = ω ( v , u ) . Entonces, W ( V ) es isomorfo a _An mediante la elección de una base de Darboux para ω .

Cuantización

El álgebra W ( V ) es una cuantificación del álgebra simétrica Sym( V ). Si V está sobre un campo de característica cero, entonces W ( V ) es naturalmente isomorfo al espacio vectorial subyacente del álgebra simétrica Sym( V ) equipado con un producto deformado, llamado producto de Groenewold-Moyal (considerando que el álgebra simétrica es funciones polinomiales en V ^∗ , donde las variables abarcan el espacio vectorial V , y reemplazando iħ en la fórmula del producto Moyal con 1).

El isomorfismo viene dado por el mapa de simetrización de Sym( V ) a W ( V )

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

Si uno prefiere tener iħ y trabajar con números complejos, podría haber definido el álgebra de Weyl anterior como generada por Xi _e iħ∂ _{X i} (según el uso de la mecánica cuántica ).

Así, el álgebra de Weyl es una cuantificación del álgebra simétrica, que es esencialmente la misma que la cuantificación de Moyal (si para esta última se restringe a funciones polinómicas), pero la primera es en términos de generadores y relaciones (consideradas operadores diferenciales). ) y este último es en términos de una multiplicación deformada.

En el caso de las álgebras exteriores , la cuantificación análoga a la de Weyl es el álgebra de Clifford , que también se conoce como álgebra ortogonal de Clifford . ^{[2] [4]}

Propiedades del álgebra de Weyl

En el caso de que el campo fundamental F tenga característica cero, la enésima álgebra de Weyl es un dominio noetheriano simple . Tiene dimensión global n , a diferencia del anillo que deforma, Sym( V ), que tiene dimensión global 2 n .

No tiene representaciones de dimensión finita. Aunque esto se desprende de la simplicidad, se puede demostrar más directamente tomando la traza de σ ( X ) y σ ( Y ) para alguna representación de dimensión finita σ (donde [ X , Y ] = 1 ).

${\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}$

Dado que la traza de un conmutador es cero y la traza de la identidad es la dimensión de la representación, la representación debe ser de dimensión cero.

De hecho, hay afirmaciones más contundentes que la ausencia de representaciones de dimensión finita. A cualquier módulo A _n M finitamente generado , existe una subvariedad correspondiente Char( M ) de V × V ^∗ llamada 'variedad característica' ^{[ se necesita aclaración ]} cuyo tamaño corresponde aproximadamente al tamaño ^{[ se necesita aclaración ]} de M (un módulo finito). -El módulo dimensional tendría una variedad característica de dimensión cero). Entonces la desigualdad de Bernstein establece que para M distinto de cero,

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

Una afirmación aún más fuerte es el teorema de Gabber, que establece que Char( M ) es una subvariedad coisotrópica de V × V ^∗ para la forma simpléctica natural.

Característica positiva

La situación es considerablemente diferente en el caso de un álgebra de Weyl sobre un campo de característica p > 0 .

En este caso, para cualquier elemento D del álgebra de Weyl, el elemento D ^p es central, por lo que el álgebra de Weyl tiene un centro muy grande. De hecho, es un módulo finitamente generado sobre su centro; más aún, es un álgebra de Azumaya sobre su centro. Como consecuencia, hay muchas representaciones de dimensión finita que se construyen a partir de representaciones simples de dimensión p .

Centro constante

El centro del álgebra de Weyl es el campo de constantes. Para cualquier elemento en el centro, implica para todos e implica para . Por tanto es una constante. ${\displaystyle h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)}$ ${\displaystyle h\partial _{X}=\partial _{X}h}$ ${\displaystyle f_{i}'=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle hX=Xh}$ ${\displaystyle f_{i}=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle h=f_{0}}$

Generalizaciones

Para obtener más detalles sobre esta cuantificación en el caso n = 1 (y una extensión usando la transformada de Fourier a una clase de funciones integrables más grandes que las funciones polinómicas), consulte Transformada de Wigner-Weyl .

Las álgebras de Weyl y las álgebras de Clifford admiten una estructura adicional de un *-álgebra y pueden unificarse como términos pares e impares de una superálgebra , como se analiza en las álgebras CCR y CAR .

Variedades afines

Las álgebras de Weyl también se generalizan en el caso de variedades algebraicas. Considere un anillo polinomial

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}$

Entonces un operador diferencial se define como una composición de derivaciones lineales de . Esto se puede describir explícitamente como el anillo cociente. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}$

Ver también

• conjetura jacobiana
• Conjetura de Dixmier

Referencias

• de Traubenberg, M. Rausch; Slupinski, MJ; Tanasa, A. (2006). "Subálgebras de Lie de dimensión finita del álgebra de Weyl". J. Teoría de la mentira . 16 : 427–454. arXiv : matemáticas/0504224 . (Clasifica subálgebras del álgebra de Weyl unidimensional sobre números complejos; muestra la relación con SL(2,C) )
• Tsit Yuen Lam (2001). "Un primer curso en anillos no conmutativos" . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 131 (2ª ed.). Saltador. pag. 6.ISBN​ 978-0-387-95325-0.
• Coutinho, SC (1997). "Los muchos avatares de un álgebra simple". Mensual Matemático Estadounidense . 104 (7): 593–604. doi :10.1080/00029890.1997.11990687.
• Traves, Will (2010). "Operaciones diferenciales sobre variedades Grassmann". En Campbell, H.; Helminck, A.; Kraft, H.; Wehlau, D. (eds.). Simetría y Espacios . Progreso en Matemáticas. vol. 278. Birkhäuse. págs. 197-207. doi :10.1007/978-0-8176-4875-6_10. ISBN 978-0-8176-4875-6.

1. Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (2008). "Introducción: álgebras de Weyl". Mapeos cuadráticos y álgebras de Clifford . Birkhäuser. pag. xii. ISBN 978-3-7643-8605-4.
2. Abłamowicz, Rafał (2004). "Prefacio". Álgebras de Clifford: aplicaciones a las matemáticas, la física y la ingeniería . Progresos en Física Matemática. Birkhäuser. págs. xvi. ISBN 0-8176-3525-4.
3. Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Cz. (1989). "Tratamiento paralelo de las álgebras de Clifford de Riemann y simpléctica". En Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Kluwer. Págs. 83–96, consulte la página 92. ISBN 0-7923-1623-1.
4. Oziewicz y Sitarczyk 1989, pág. 83