En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos no conmutativos , álgebra moderna y teoría de módulos , el teorema de densidad de Jacobson es un teorema relativo a módulos simples sobre un anillo R. [1]
El teorema se puede aplicar para mostrar que cualquier anillo primitivo puede verse como un subanillo "denso" del anillo de transformaciones lineales de un espacio vectorial. [2] [3] Este teorema apareció por primera vez en la literatura en 1945, en el famoso artículo "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" de Nathan Jacobson . [4] Esto puede verse como una especie de generalización de la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos simples .
Sea R un anillo y sea U un simple módulo R recto . Si u es un elemento distinto de cero de U , u • R = U (donde u • R es el submódulo cíclico de U generado por u ). Por lo tanto, si u, v son elementos distintos de cero de U , hay un elemento de R que induce un endomorfismo de U que transforma u en v . La pregunta natural ahora es si esto se puede generalizar a tuplas arbitrarias (finitas) de elementos. Más precisamente, encuentre condiciones necesarias y suficientes en la tupla ( x 1 , ..., x n ) y ( y 1 , ..., y n ) por separado, de modo que haya un elemento de R con la propiedad de que x i • r = y i para todo i . Si D es el conjunto de todos los endomorfismos de módulo R de U , entonces el lema de Schur afirma que D es un anillo de división, y el teorema de densidad de Jacobson responde afirmativamente a la pregunta sobre tuplas, siempre que las x i sean linealmente independientes en D.
Teniendo en mente lo anterior, el teorema puede enunciarse de esta manera:
En el teorema de densidad de Jacobson, el módulo R derecho U se considera simultáneamente como un módulo D izquierdo donde D = End( U R ) , de la forma natural: g • u = g ( u ) . Se puede verificar que esta es de hecho una estructura de módulo izquierdo en U . [6] Como se señaló anteriormente, el lema de Schur demuestra que D es un anillo de división si U es simple, y por lo tanto U es un espacio vectorial sobre D .
La prueba también se basa en el siguiente teorema demostrado en (Isaacs 1993) p. 185:
Utilizamos la inducción en | X | . Si X está vacío, entonces el teorema es vacuamente verdadero y se verifica el caso base para la inducción.
Supongamos que X no es vacío, sea x un elemento de X y escribimos Y = X \{ x }. Si A es cualquier transformación D -lineal en U , por la hipótesis de inducción existe s ∈ R tal que A ( y ) = y • s para todo y en Y . Escribimos I = ann R ( Y ) . Se ve fácilmente que x • I es un submódulo de U . Si x • I = 0 , entonces el teorema anterior implica que x estaría en el D -span de Y , contradiciendo la independencia D -lineal de X , por lo tanto x • I ≠ 0 . Como U es simple, tenemos: x • I = U . Como A ( x ) − x • s ∈ U = x • I , existe i en I tal que x • i = A ( x ) − x • s .
Defina r = s + i y observe que para todo y en Y tenemos:
Ahora hacemos el mismo cálculo para x :
Por lo tanto, A ( z ) = z • r para todo z en X , como se deseaba. Esto completa el paso inductivo de la prueba. Ahora se deduce de la inducción matemática que el teorema es verdadero para conjuntos finitos X de cualquier tamaño.
Se dice que un anillo R actúa densamente sobre un R -módulo recto simple U si satisface la conclusión del teorema de densidad de Jacobson. [7] Hay una razón topológica para describir a R como "denso". En primer lugar, R puede identificarse con un subanillo de End( D U ) identificando cada elemento de R con la transformación lineal D que induce por multiplicación derecha. Si a U se le da la topología discreta , y si a U U se le da la topología de producto , y a End( D U ) se lo considera un subespacio de U U y se le da la topología de subespacio , entonces R actúa densamente sobre U si y solo si R es un conjunto denso en End( D U ) con esta topología. [8]
El teorema de densidad de Jacobson tiene varias consecuencias importantes en la teoría de la estructura de los anillos. [9] Cabe destacar que se recupera la conclusión del teorema de Artin-Wedderburn sobre la estructura de los anillos artinianos rectos simples . El teorema de densidad de Jacobson también caracteriza a los anillos primitivos derechos o izquierdos como subanillos densos del anillo de transformaciones D -lineales en algún espacio vectorial D U , donde D es un anillo de división. [3]
Este resultado está relacionado con el teorema bicommutante de von Neumann , que establece que, para una *-álgebra A de operadores en un espacio de Hilbert H , el doble conmutante A′′ puede aproximarse por A en cualquier conjunto finito de vectores. En otras palabras, el doble conmutante es la clausura de A en la topología de operadores débiles . Véase también el teorema de densidad de Kaplansky en el contexto del álgebra de von Neumann.
