Condición de cadena ascendente

En matemáticas , la condición de cadena ascendente ( ACC ) y la condición de cadena descendente ( DCC ) son propiedades de finitud satisfechas por algunas estructuras algebraicas , sobre todo ideales en ciertos anillos conmutativos . ^{[1] [2] [3]} Estas condiciones jugaron un papel importante en el desarrollo de la teoría estructural de los anillos conmutativos en los trabajos de David Hilbert , Emmy Noether y Emil Artin . Las condiciones mismas pueden expresarse en forma abstracta, de modo que tengan sentido para cualquier conjunto parcialmente ordenado . Este punto de vista es útil en la teoría de dimensiones algebraicas abstractas gracias a Gabriel y Rentschler.

Definición

Se dice que un conjunto parcialmente ordenado (poset) P satisface la condición de cadena ascendente (ACC) si no hay una secuencia infinita estrictamente ascendente

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$

de elementos de P existe. ^[4] De manera equivalente, ^[a] cada secuencia débilmente ascendente

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

de elementos de P finalmente se estabiliza, lo que significa que existe un número entero positivo n tal que

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

De manera similar, se dice que P satisface la condición de cadena descendente (DCC) si no hay una cadena descendente infinita de elementos de P. ^[4] De manera equivalente, cada secuencia débilmente descendente

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

de elementos de P finalmente se estabiliza.

Comentarios

• Suponiendo el axioma de elección dependiente , la condición de la cadena descendente en el poset P (posiblemente infinito) es equivalente a que P esté bien fundamentado : cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo (también llamado condición mínima o condición mínima ). Un conjunto totalmente ordenado y bien fundamentado es un conjunto bien ordenado .
• De manera similar, la condición de la cadena ascendente es equivalente a que P esté bien fundamentado (nuevamente, suponiendo una elección dependiente): cada subconjunto no vacío de P tiene un elemento máximo (la condición máxima o condición máxima ).
• Todo poset finito satisface las condiciones de la cadena ascendente y descendente y, por lo tanto, está bien fundamentado y, a la vez, está bien fundamentado.

Ejemplo

Considere el anillo

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

de números enteros. Cada ideal de consta de todos los múltiplos de algún número . Por ejemplo, el ideal ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

consta de todos los múltiplos de . Dejar ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

Sea el ideal formado por todos los múltiplos de . El ideal está contenido dentro del ideal , ya que todo múltiplo de es también múltiplo de . A su vez, el ideal está contenido en el ideal , ya que todo múltiplo de es múltiplo de . Sin embargo, en este punto no existe un ideal mayor; hemos "llegado al tope" en . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En general, si hay ideales de tales que están contenidos en , están contenidos en , etc., entonces hay algunos para los cuales todos . Es decir, después de algún momento todos los ideales son iguales entre sí. Por lo tanto, los ideales de satisfacen la condición de cadena ascendente, donde los ideales están ordenados por inclusión de conjuntos. De ahí que sea un anillo noetheriano . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• artiniano
• Condición de cadena ascendente para ideales principales
• Dimensión Krull
• Condición máxima sobre congruencias
• noetheriano

Notas

1. Prueba: primero, una secuencia estrictamente creciente no puede estabilizarse, obviamente. Por el contrario, supongamos que hay una secuencia ascendente que no se estabiliza; entonces claramente contiene una subsecuencia estrictamente creciente (necesariamente infinita).

Citas

1. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004, pág. 6, Proposición 1.1.4
2. Fraleigh y Katz 1967, pág. 366, Lema 7.1
3. Jacobson 2009, págs.142, 147
4. Hazewinkel, pág. 580

Referencias

• Atiyah, MF ; MacDonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, ISBN 0-201-00361-9
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2690-0
• Hazewinkel, Michiel. Enciclopedia de Matemáticas . Kluwer. ISBN 1-55608-010-7.
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-53467-3
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica I , Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

enlaces externos

• "¿La equivalencia de la condición de la cadena ascendente y la condición máxima es equivalente al axioma de elección dependiente?".