Tian Gang ( chino :田刚; nacido el 24 de noviembre de 1958) [1] es un matemático chino . Es profesor de matemáticas en la Universidad de Pekín y profesor emérito Higgins en la Universidad de Princeton . Es conocido por sus contribuciones a los campos matemáticos de la geometría de Kähler , la teoría de Gromov-Witten y el análisis geométrico .
A partir de 2020, es vicepresidente de la Liga Democrática de China y presidente de la Sociedad Matemática China . De 2017 a 2019 se desempeñó como vicepresidente de la Universidad de Pekín .
Tian nació en Nanjing , Jiangsu , China. Calificó en el segundo examen de ingreso a la universidad después de la Revolución Cultural en 1978. Se graduó de la Universidad de Nanjing en 1982 y recibió una maestría de la Universidad de Pekín en 1984. En 1988, recibió un doctorado. en matemáticas de la Universidad de Harvard , bajo la supervisión de Shing-Tung Yau .
En 1998, fue nombrado profesor Cheung Kong Scholar en la Universidad de Pekín. Posteriormente, su nombramiento fue cambiado a la cátedra Cheung Kong Scholar. Fue profesor de matemáticas en el Instituto de Tecnología de Massachusetts de 1995 a 2006 (ocupó la cátedra de Profesor Simons de Matemáticas desde 1996). Su empleo en Princeton comenzó en 2003 y posteriormente fue nombrado Profesor Higgins de Matemáticas. Desde 2005, ha sido director del Centro Internacional de Investigación Matemática de Beijing (BICMR); [2] de 2013 a 2017 fue Decano de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Pekín. [3] Él y John Milnor son académicos senior del Clay Mathematics Institute (CMI). En 2011, Tian se convirtió en director del Programa de Investigación Chino-Francés en Matemáticas en el Centro Nacional de la Investigación Científica (CNRS) en París . En 2010, se convirtió en consultor científico del Centro Internacional de Física Teórica de Trieste , Italia. [4]
Tian ha formado parte de muchos comités, incluidos los del Premio Abel y el Premio Leroy P. Steele . [5] Es miembro de los consejos editoriales de muchas revistas, incluidas Advances in Mathematics y Journal of Geometric Analysis. En el pasado formó parte de los consejos editoriales de Annals of Mathematics y del Journal of the American Mathematical Society .
Entre sus premios y honores:
Desde al menos 2013 ha estado muy involucrado en la política china, desempeñándose como vicepresidente de la Liga Democrática de China , el segundo partido político más poblado de China .
Tian es conocido por sus contribuciones a la geometría de Kähler y, en particular, al estudio de la métrica de Kähler-Einstein . Shing-Tung Yau , en su famosa resolución de la conjetura de Calabi , había resuelto el caso de las variedades cerradas de Kähler con primera clase de Chern no positiva. Su trabajo en la aplicación del método de continuidad demostró que el control C 0 de los potenciales de Kähler sería suficiente para demostrar la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades de Kähler cerradas con primera clase de Chern positiva, también conocidas como "variedades de Fano". Tian y Yau ampliaron el análisis de Yau de la conjetura de Calabi a entornos no compactos, donde obtuvieron resultados parciales. [TY90] También ampliaron su trabajo para permitir singularidades orbitales. [TY91]
Tian introdujo el " invariante α ", que es esencialmente la constante óptima en la desigualdad de Moser-Trudinger cuando se aplica a potenciales de Kähler con un valor supremal de 0. Demostró que si el invariante α es suficientemente grande (es decir, si un invariante suficientemente fuerte Si se mantiene la desigualdad de Moser-Trudinger), entonces se podría lograr el control C 0 en el método de continuidad de Yau. [T87b] Esto se aplicó para demostrar nuevos ejemplos de superficies de Kähler-Einstein. El caso de las superficies de Kähler fue revisado por Tian en 1990, dando una solución completa al problema de Kähler-Einstein en ese contexto. [T90b] La técnica principal fue estudiar las posibles degeneraciones geométricas de una secuencia de métricas de Kähler-Einstein, detectables por la convergencia Gromov-Hausdorff . Tian adaptó muchas de las innovaciones técnicas de Karen Uhlenbeck , desarrolladas para las conexiones Yang-Mills, al establecimiento de las métricas de Kähler. En 1989 y 1990, Michael Anderson , Shigetoshi Bando, Atsushi Kasue e Hiraku Nakajima realizaron algunos trabajos similares e influyentes en el entorno riemanniano . [6] [7] [8]
La contribución más reconocida de Tian al problema de Kähler-Einstein se produjo en 1997. Yau había conjeturado en la década de 1980, basándose en parte en analogía con el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau , que la existencia de una métrica de Kähler-Einstein debería corresponder a la estabilidad de la métrica de Kähler-Einstein subyacente. múltiple en un cierto sentido de teoría geométrica invariante . En general, se entendió, especialmente después del trabajo de Akito Futaki, [9] que la existencia de campos vectoriales holomórficos debería actuar como una obstrucción a la existencia de las métricas de Kähler-Einstein. Tian y Wei Yue Ding establecieron que esta obstrucción no es suficiente dentro de la clase de orbifolds de Kähler . [DT92] Tian, en su artículo de 1997, dio ejemplos concretos de variedades de Kähler (en lugar de orbifolds) que no tenían campos vectoriales holomórficos ni métricas de Kähler-Einstein, lo que demuestra que el criterio deseado es más profundo. [T97] Yau había propuesto que, en lugar de campos vectoriales holomorfos en la variedad misma, debería ser relevante estudiar las deformaciones de las incrustaciones proyectivas de variedades de Kähler bajo campos vectoriales holomorfos en el espacio proyectivo. Esta idea fue modificada por Tian, introduciendo la noción de K-estabilidad y mostrando que cualquier variedad de Kähler-Einstein debe ser K-estable . [T97]
Simon Donaldson , en 2002, modificó y amplió la definición de estabilidad K de Tian. [10] La conjetura de que la estabilidad K sería suficiente para asegurar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein se conoció como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson . En 2015, Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun publicaron una prueba de la conjetura y recibieron el Premio Oswald Veblen de Geometría por su trabajo. [11] [12] [13] Tian publicó una prueba de la conjetura el mismo año, aunque Chen, Donaldson y Sun han acusado a Tian de mala conducta académica y matemática en su artículo. [T15] [14] [15]
En uno de sus primeros artículos, Tian estudió el espacio de las métricas de Calabi-Yau en una variedad de Kähler. [T87a] Demostró que cualquier deformación infinitesimal de la estructura de Calabi-Yau puede "integrarse" a una familia de un parámetro de métricas de Calabi-Yau; esto prueba que el "espacio de módulos" de las métricas de Calabi-Yau en la variedad dada tiene la estructura de una variedad suave. Esto también fue estudiado anteriormente por Andrey Todorov, y el resultado se conoce como teorema de Tian-Todorov. [16] Como aplicación, Tian encontró una fórmula para la métrica de Weil-Petersson en el espacio de módulos de las métricas de Calabi-Yau en términos del mapeo del período . [T87a] [17]
Motivado por el problema de Kähler-Einstein y una conjetura de Yau relativa a las métricas de Bergman , Tian estudió el siguiente problema. Sea L un paquete de líneas sobre una variedad de Kähler M y fije una métrica de paquete hermitiano cuya forma de curvatura sea una forma de Kähler en M. Supongamos que para m suficientemente grande , un conjunto ortonormal de secciones holomorfas del paquete de líneas L ⊗ m define una incrustación proyectiva de M. Se puede retroceder la métrica del Estudio Fubini para definir una secuencia de métricas en M a medida que m aumenta. Tian demostró que un cierto cambio de escala de esta secuencia necesariamente convergerá en la topología C 2 a la métrica de Kähler original. [T90a] Las asintóticas refinadas de esta secuencia fueron retomadas en varios artículos influyentes posteriores de otros autores, y son particularmente importantes en el programa de Simon Donaldson sobre métricas extremas. [18] [19] [20] [21] [22] La aproximación de una métrica de Kähler mediante métricas de Kähler inducidas a partir de incrustaciones proyectivas también es relevante para la imagen de Yau de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson, como se indicó anteriormente.
En un artículo altamente técnico, Xiuxiong Chen y Tian estudiaron la teoría de la regularidad de ciertas ecuaciones complejas de Monge-Ampère , con aplicaciones al estudio de la geometría de las métricas extremas de Kähler. [CT08] Aunque su artículo ha sido muy citado, Julius Ross y David Witt Nyström encontraron contraejemplos a los resultados de regularidad de Chen y Tian en 2015. [23] No está claro qué resultados del artículo de Chen y Tian siguen siendo válidos.
Mikhail Gromov demostró en 1985 que las curvas pseudoholomórficas eran herramientas poderosas en geometría simpléctica . [24] En 1991, Edward Witten conjeturó un uso de la teoría de Gromov para definir invariantes enumerativas . [25] Tian y Yongbin Ruan encontraron los detalles de tal construcción, demostrando que las diversas intersecciones de las imágenes de curvas pseudo-holomórficas son independientes de muchas opciones y, en particular, proporcionan un mapeo asociativo multilineal sobre la homología de ciertas variedades simplécticas. [RT95] Esta estructura se conoce como cohomología cuántica ; un enfoque contemporáneo e igualmente influyente se debe a Dusa McDuff y Dietmar Salamon . [26] Los resultados de Ruan y Tian se encuentran en un entorno algo más general.
Con Jun Li , Tian dio una adaptación puramente algebraica de estos resultados al establecimiento de variedades algebraicas . [LT98b] Esto se hizo al mismo tiempo que Kai Behrend y Barbara Fantechi , utilizando un enfoque diferente. [27]
Luego, Li y Tian adaptaron su trabajo álgebro-geométrico al entorno analítico en variedades simplécticas, ampliando el trabajo anterior de Ruan y Tian. [LT98a] Tian y Gang Liu hicieron uso de este trabajo para probar la conocida conjetura de Arnold sobre el número de puntos fijos de los difeomorfismos hamiltonianos. [LT98c] Sin embargo, estos artículos de Li-Tian y Liu-Tian sobre la teoría simpléctica de Gromov-Witten han sido criticados por Dusa McDuff y Katrin Wehrheim por ser incompletos o incorrectos, diciendo que el artículo de Li y Tian [LT98a] "carece de casi todos los detalles". " en ciertos puntos y que el artículo de Liu y Tian [LT98c] tiene "graves errores analíticos". [28]
En 1995, Tian y Weiyue Ding estudiaron el mapa armónico del flujo de calor de una variedad de Riemann cerrada bidimensional en una variedad de Riemann cerrada N. [DT95] En un trabajo fundamental de 1985, tras el avance de Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck en 1982 , Michael Struwe estudió este problema y demostró que existe una solución débil para todo el tiempo positivo. Además, Struwe demostró que la solución u es suave desde un número finito de puntos del espacio-tiempo; dada cualquier secuencia de puntos del espacio-tiempo en los que la solución es suave y que convergen a un punto singular dado ( p , T ) , se pueden realizar algunos cambios de escala para (posteriormente) definir un número finito de mapas armónicos de la esfera bidimensional redonda en N , llamadas "burbujas". Ding y Tian demostraron una cierta "cuantización de energía", lo que significa que el defecto entre la energía de Dirichlet de u ( T ) y el límite de la energía de Dirichlet de u ( t ) cuando t se acerca a T se mide exactamente por la suma de las energías de Dirichlet. de las burbujas. Estos resultados son significativos en el análisis geométrico, siguiendo el resultado original de cuantificación de energía de Yum-Tong Siu y Shing-Tung Yau en su prueba de la conjetura de Frankel. [29] El problema análogo para los mapas armónicos , a diferencia de la consideración de Ding y Tian sobre el flujo del mapa armónico, fue considerado por Changyou Wang aproximadamente al mismo tiempo. [30]
Un artículo importante de Tian trataba sobre las ecuaciones de Yang-Mills . [T00a] Además de extender gran parte del análisis de Karen Uhlenbeck a dimensiones superiores, estudió la interacción de la teoría de Yang-Mills con la geometría calibrada . Uhlenbeck había demostrado en la década de 1980 que, cuando se les da una secuencia de conexiones de Yang-Mills de energía uniformemente limitada, convergerán suavemente en el complemento de un subconjunto de codimensión al menos cuatro, conocido como el complemento del "conjunto singular". Tian demostró que el conjunto singular es un conjunto rectificable . En el caso de que el colector esté equipado con una calibración, se puede restringir el interés a las conexiones Yang-Mills que son autoduales en relación con la calibración. En este caso, Tian demostró que el conjunto singular está calibrado. Por ejemplo, el conjunto singular de una secuencia de conexiones hermitianas de Yang-Mills de energía uniformemente delimitada será un ciclo holomórfico. Ésta es una característica geométrica importante del análisis de las conexiones de Yang-Mills.
En 2006, Tian y Zhou Zhang estudiaron el flujo de Ricci en el entorno especial de colectores cerrados de Kähler . [TZ06] Su principal logro fue demostrar que el tiempo máximo de existencia se puede caracterizar en términos puramente cohomológicos. Esto representa un sentido en el que el flujo de Kähler-Ricci es significativamente más simple que el flujo de Ricci habitual, donde no existe un cálculo (conocido) del tiempo máximo de existencia en un contexto geométrico dado. La prueba de Tian y Zhang consiste en el uso del principio del máximo escalar aplicado a varias ecuaciones de evolución geométrica, en términos de un potencial de Kähler parametrizado por una deformación lineal de formas que es cohomóloga al propio flujo de Kähler-Ricci. En un trabajo notable con Jian Song, Tian analizó el flujo de Kähler Ricci en ciertas variedades complejas bidimensionales. [ST07]
En 2002 y 2003, Grigori Perelman publicó tres artículos en arXiv que pretendían probar la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización en el campo de la topología geométrica tridimensional . [31] [32] [33] Los artículos de Perelman fueron inmediatamente aclamados por muchas de sus ideas y resultados novedosos, aunque los detalles técnicos de muchos de sus argumentos se consideraron difíciles de verificar. En colaboración con John Morgan , Tian publicó una exposición de los artículos de Perelman en 2007, completando muchos de los detalles. [MT07] Otras exposiciones, que también han sido ampliamente estudiadas, fueron escritas por Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu , y por Bruce Kleiner y John Lott . [34] [35] La exposición de Morgan y Tian es la única de las tres que aborda el tercer artículo de Perelman, [33] que es irrelevante para el análisis de la conjetura de geometrización pero utiliza un flujo de acortamiento de curvas para proporcionar un argumento más simple para el caso especial. de la conjetura de Poincaré. Ocho años después de la publicación del libro de Morgan y Tian, Abbas Bahri señaló que parte de su exposición de este artículo era errónea, ya que se había basado en cálculos incorrectos de ecuaciones de evolución. [36] El error, que se refería a detalles que no estaban presentes en el artículo de Perelman, fue poco después corregido por Morgan y Tian. [37]
En colaboración con Nataša Šešum , Tian también publicó una exposición del trabajo de Perelman sobre el flujo de Ricci de las variedades de Kähler, que Perelman no publicó de ninguna forma. [38]
Artículos de investigación.
Libros.