Conexión Hermitian Yang-Mills

En matemáticas , y en particular en teoría de calibres y geometría compleja , una conexión Hermitian Yang-Mills (o conexión Hermite-Einstein ) es una conexión Chern asociada a un producto interno en un paquete de vectores holomorfos sobre una variedad de Kähler que satisface un análogo de las ecuaciones de Einstein. : es decir, se requiere que la contracción de la curvatura 2-forma de la conexión con la forma de Kähler sea una constante multiplicada por la transformación de identidad. Las conexiones hermitianas Yang-Mills son ejemplos especiales de conexiones Yang-Mills y, a menudo, se denominan instantones .

La correspondencia Kobayashi-Hitchin probada por Donaldson , Uhlenbeck y Yau afirma que un paquete de vectores holomórfico sobre una variedad Kähler compacta admite una conexión hermitiana Yang-Mills si y sólo si es poliestable en pendiente .

Ecuaciones hermitianas de Yang-Mills

Las conexiones de Hermite-Einstein surgen como soluciones de las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills. Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en un paquete de vectores sobre una variedad de Kähler, que implican las ecuaciones de Yang-Mills . Sea una conexión hermitiana en un paquete de vectores hermitiano sobre una variedad de dimensión de Kähler . Entonces las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{A}^{0,2}=0\\&F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatorname {Id} ,\end{aligned}}}$

por alguna constante . Aquí tenemos ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle F_{A}\wedge \omega ^{n-1}=(F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.}$

Tenga en cuenta que dado que se supone que es una conexión hermitiana, la curvatura es sesgada-hermitiana y, por lo tanto, implica . Cuando la variedad de Kähler subyacente es compacta, se puede calcular utilizando la teoría de Chern-Weil . Es decir, tenemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle F_{A}^{2,0}=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda (E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\deg(E)&:=\int _{X}c_{1}(E)\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A})\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.\end{aligned}}}$

Dado que y el endomorfismo de identidad tiene un rastro dado por el rango de , obtenemos ${\displaystyle F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{n!\operatorname {Vol} (X)}}\mu (E),}$

¿Dónde está la pendiente del paquete de vectores , dada por ${\displaystyle \mu (E)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mu (E)={\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}},}$

y el volumen de se toma con respecto a la forma del volumen . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega ^{n}/n!}$

Debido a la similitud de la segunda condición en las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills con las ecuaciones para una métrica de Einstein , las soluciones de las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills a menudo se denominan conexiones de Hermitian-Einstein , así como conexiones de Hermitian Yang-Mills .

Ejemplos

La conexión Levi-Civita de una métrica de Kähler-Einstein es Hermite-Einstein con respecto a la métrica de Kähler-Einstein. (Sin embargo, estos ejemplos son peligrosamente engañosos, porque hay variedades compactas de Einstein , como la métrica de Page en , que son hermitianas, pero para las cuales la conexión Levi-Civita no es Hermite-Einstein.) ${\displaystyle {\mathbb {C} P}^{2}\#{\overline {\mathbb {C} P}}_{2}}$

Cuando el paquete de vectores hermitiano tiene una estructura holomorfa , existe una elección natural de conexión hermitiana, la conexión Chern . Para la conexión Chern, la condición que se cumple automáticamente. La correspondencia de Hitchin-Kobayashi afirma que un paquete de vectores holomorfo admite una métrica hermitiana tal que la conexión de Chern asociada satisface las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills si y sólo si el paquete de vectores es poliestable . Desde esta perspectiva, las ecuaciones de Hermitian Yang-Mills pueden verse como un sistema de ecuaciones para la métrica en lugar de la conexión de Chern asociada, y dichas métricas que resuelven las ecuaciones se denominan métricas de Hermite-Einstein . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

La condición de Hermite-Einstein en las conexiones de Chern fue introducida por primera vez por Kobayashi  (1980, sección 6). Estas ecuaciones implican las ecuaciones de Yang-Mills en cualquier dimensión, y en la dimensión real cuatro están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Yang-Mills autoduales que definen los instantones . En particular, cuando la dimensión compleja de la variedad de Kähler es , hay una división de las formas en formas autoduales y antiautoduales. La estructura compleja interactúa con esto de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Lambda _{+}^{2}=\Lambda ^{2,0}\oplus \Lambda ^{0,2}\oplus \langle \omega \rangle ,\qquad \Lambda _{-}^{2}=\langle \omega \rangle ^{\perp }\subset \Lambda ^{1,1}}$

Cuando el grado del haz de vectores desaparece, las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills se convierten en . Según la representación anterior, esta es precisamente la condición que . Es decir, es un instanten ASD . Observe que cuando el grado no desaparece, las soluciones de las ecuaciones hermitianas de Yang-Mills no pueden ser anti-autoduales y, de hecho, en este caso no hay soluciones para las ecuaciones ASD. ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=F_{A}^{2,0}=F_{A}\cdot \omega =0}$ ${\displaystyle F_{A}^{+}=0}$ ${\displaystyle A}$

Ver también

• colector de Einstein
• Ecuación hermitiana deformada de Yang-Mills
• Teoría del calibre (matemáticas)

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi (1980), "Primera clase Chern y campos tensoriales holomorfos", Nagoya Mathematical Journal , 77 : 5–11, doi : 10.1017/S0027763000018602 , ISSN  0027-7630, MR  0556302, S2CID  118228189
• Kobayashi, Shoshichi (1987), Geometría diferencial de haces de vectores complejos , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 15, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08467-1, señor  0909698

1. Donaldson, SK, Donaldson, SK y Kronheimer, PB (1990). La geometría de las cuatro variedades. Prensa de la Universidad de Oxford.