Ecuación hermitiana deformada de Yang-Mills

En matemáticas y física teórica , y especialmente en teoría de calibre , la ecuación hermitiana deformada de Yang-Mills (dHYM) es una ecuación diferencial que describe las ecuaciones de movimiento para una brana D en el modelo B (comúnmente llamado brana B ) de cuerda. teoría . La ecuación fue derivada por Mariño-Minasian- Moore - Strominger ^[1] en el caso del grupo de calibre abeliano (el grupo unitario ), y por Leung- Yau - Zaslow ^[2] usando simetría especular a partir de las ecuaciones de movimiento correspondientes para D- branas en el modelo A de la teoría de cuerdas. ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$

Definición

En esta sección presentamos la ecuación dHYM tal como la explica Collins-Xie- Yau en la literatura matemática . ^[3] La ecuación deformada de Hermitian-Yang-Mills es una ecuación diferencial parcial completamente no lineal para una métrica hermitiana en un haz de líneas sobre una variedad compacta de Kähler , o más generalmente para una forma real . Es decir, supongamos que es una variedad de Kähler y es una clase. El caso de un haz de líneas consiste en establecer dónde está la primera clase Chern de un haz de líneas holomorfas . Supongamos eso y considere la constante topológica ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H^{1,1}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \dim X=n}$

${\displaystyle {\hat {z}}([\omega ],[\alpha ])=\int _{X}(\omega +i\alpha )^{n}.}$

Observe que depende solo de la clase de y . Suponer que . entonces este es un numero complejo ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {z}}\neq 0}$

${\displaystyle {\hat {z}}([\omega ],[\alpha ])=re^{i\theta }}$

para algún real y ángulo que está determinado de forma única. ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$

Arreglar una forma diferencial representativa suave en la clase . Para una función fluida , escriba y observe eso . La ecuación deformada de Hermitian Yang-Mills con respecto a es ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha _{\phi }=\alpha +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$ ${\displaystyle [\alpha _{\phi }]=[\alpha ]}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\alpha ]}$

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Im} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})=0\\\operatorname {Re} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})>0.\end{cases}}}$

La segunda condición debe verse como una condición de positividad de las soluciones de la primera ecuación. Es decir, se buscan soluciones a la ecuación tal que . Esto es una analogía con el problema relacionado de encontrar métricas de Kähler-Einstein buscando métricas que resuelvan la ecuación de Einstein, sujeta a la condición de que sea un potencial de Kähler (que es una condición de positividad en la forma ). ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i\theta }(\omega +i\alpha _{\phi })^{n})>0}$ ${\displaystyle \omega +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega +i\partial {\bar {\partial }}\phi }$

Discusión

Relación con la ecuación de Hermitian Yang-Mills

Las ecuaciones de dHYM se pueden transformar de varias maneras para iluminar varias propiedades clave de las ecuaciones. Primero, una simple manipulación algebraica muestra que la ecuación dHYM puede escribirse de manera equivalente

${\displaystyle \operatorname {Im} ((\omega +i\alpha )^{n})=\tan \theta \operatorname {Re} ((\omega +i\alpha )^{n}).}$

De esta forma, es posible ver la relación entre la ecuación dHYM y la ecuación regular de Hermitian Yang-Mills . En particular, la ecuación dHYM debería parecerse a la ecuación HYM normal en el llamado límite de gran volumen. Precisamente, se sustituye la forma de Kähler por por un número entero positivo , y se permite . Observe que la fase para depende de . De hecho, y podemos ampliar ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k\omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\to \infty }$ ${\displaystyle \theta _{k}}$ ${\displaystyle (X,k\omega ,[\alpha ])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \tan \theta _{k}=O(k^{-1})}$

${\displaystyle (k\omega +i\alpha )^{n}=k^{n}\omega ^{n}+ink^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-2}).}$

Aquí vemos que

${\displaystyle \operatorname {Re} ((k\omega +i\alpha )^{n})=k^{n}\omega ^{n}+O(k^{n-2}),\quad \operatorname {Im} ((k\omega +i\alpha )^{n})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-3}),}$

y vemos que la ecuación dHYM toma la forma ${\displaystyle k\omega }$

${\displaystyle Ck^{n-1}\omega ^{n}+O(k^{n-3})=nk^{n-1}\omega ^{n-1}\wedge \alpha +O(k^{n-3})}$

para alguna constante topológica determinada por . Por lo tanto, vemos que el término de orden principal en la ecuación dHYM es ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \tan \theta }$

${\displaystyle n\omega ^{n-1}\wedge \alpha =C\omega ^{n}}$

que es solo la ecuación de HYM (reemplazando por si es necesario). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F(h)}$

forma local

La ecuación dHYM también se puede escribir en coordenadas locales. Coordenadas fijas y holomorfas tales que en el punto tenemos ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle (z^{1},\dots ,z^{n})}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \omega =\sum _{j=1}^{n}idz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{j},\quad \alpha =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}idz^{j}\wedge d{\bar {z}}^{j}.}$

Aquí para todos como supusimos era una forma real. Defina el operador de fase lagrangiana como ${\displaystyle \lambda _{j}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Theta _{\omega }(\alpha )=\sum _{j=1}^{n}\arctan(\lambda _{j}).}$

Entonces, un cálculo simple muestra que la ecuación dHYM en estas coordenadas locales toma la forma

${\displaystyle \Theta _{\omega }(\alpha )=\phi }$

dónde . De esta forma se ve que la ecuación dHYM es completamente no lineal y elíptica. ${\displaystyle \phi =\theta \mod 2\pi }$

Soluciones

Es posible utilizar geometría algebraica para estudiar la existencia de soluciones a la ecuación dHYM, como lo demuestra el trabajo de Collins-Jacob-Yau y Collins-Yau. ^{[4] [5] [6]} Supongamos que se trata de cualquier subvariedad analítica de dimensión . Defina la carga central por ${\displaystyle V\subset X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Z_{V}([\alpha ])}$

${\displaystyle Z_{V}([\alpha ])=-\int _{V}e^{-i\omega +\alpha }.}$

Cuando la dimensión de es 2, Collins–Jacob–Yau muestran que si , entonces existe una solución de la ecuación dHYM en la clase si y sólo si para cada curva que tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (Z_{X}([\alpha ]))>0}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in H^{1,1}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C\subset X}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {Z_{C}([\alpha ])}{Z_{X}([\alpha ])}}\right)>0.}$^[4]

En el ejemplo específico de la ampliación del espacio proyectivo complejo , Jacob-Sheu muestra que admite una solución a la ecuación dHYM si y sólo si y para cualquiera , tenemos de manera similar ${\displaystyle X=\operatorname {Bl} _{p}\mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle Z_{X}([\alpha ])\neq 0}$ ${\displaystyle V\subset X}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {Z_{V}([\alpha ])}{Z_{X}([\alpha ])}}\right)>0.}$^[7]

Gao Chen ha demostrado que en la llamada fase supercrítica, donde , condiciones algebraicas análogas a las anteriores implican la existencia de una solución a la ecuación dHYM. ^[8] Esto se logra mediante comparaciones entre el dHYM y la llamada ecuación J en la geometría de Kähler. La ecuación J aparece como el *límite de volumen pequeño* de la ecuación dHYM, donde se reemplaza por un número real pequeño y se permite . ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{2}}<\theta <{\frac {n\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varepsilon \omega }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

En general se conjetura que la existencia de soluciones a la ecuación dHYM para una clase debería ser equivalente a la estabilidad Bridgeland del haz de líneas . ^{[5] [6]} Esto está motivado tanto por comparaciones con teoremas similares en el caso no deformado, como por ejemplo la famosa correspondencia Kobayashi-Hitchin que afirma que existen soluciones para las ecuaciones HYM si y sólo si el paquete subyacente tiene pendiente estable. También está motivado por el razonamiento físico procedente de la teoría de cuerdas, que predice que las B-branas físicamente realistas (aquellas que admiten soluciones a la ecuación dHYM, por ejemplo) deberían corresponder a la Π-estabilidad . ^[9] ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ ${\displaystyle L}$

Relación con la teoría de cuerdas

La teoría de supercuerdas predice que el espacio-tiempo es de 10 dimensiones y consiste en una variedad de Lorentzian de dimensión 4 (generalmente se supone que es el espacio de Minkowski o el espacio De Sitter o anti-De Sitter ) junto con una variedad de Calabi-Yau de dimensión 6 (que por lo tanto tiene propiedades complejas). dimensión 3). En esta teoría de cuerdas, las cuerdas abiertas deben satisfacer las condiciones de frontera de Dirichlet en sus puntos finales. Estas condiciones requieren que los puntos finales de la cuerda se encuentren en las llamadas D-branas (D de Dirichlet), y existe mucho interés matemático en describir estas branas. ${\displaystyle X}$

Cuerdas abiertas con puntos finales fijados en D-branas

En el modelo B de la teoría topológica de cuerdas , la simetría especular homológica sugiere que las D-branas deben verse como elementos de la categoría derivada de haces coherentes en el triple de Calabi-Yau . ^[10] Esta caracterización es abstracta, y el caso de primordial importancia, al menos para el propósito de formular la ecuación dHYM, es cuando una B-brana consiste en una subvariedad holomorfa y un haz de vectores holomorfos sobre ella (aquí se vería como el soporte de la gavilla coherente sobre ), posiblemente con una conexión Chern compatible en el haz. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle E\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

Esta conexión de Chern surge de una elección de la métrica hermitiana , con su correspondiente conexión y forma de curvatura . En el ambiente del espacio-tiempo también hay un campo B o campo de Kalb-Ramond (que no debe confundirse con el modelo B en B), que es el equivalente teórico de cuerdas del campo electromagnético de fondo clásico (de ahí el uso de , que comúnmente denota la intensidad del campo magnético). ^[11] Matemáticamente, el campo B es un gerbe o un paquete de gerbe sobre el espacio-tiempo, lo que significa que consiste en una colección de dos formas para una cobertura abierta del espacio-tiempo, pero estas formas pueden no coincidir en las superposiciones, donde deben satisfacer condiciones de cociclo en analogía con las funciones de transición de haces de líneas (0-gerbes). ^[12] Este campo B tiene la propiedad de que cuando se retrocede a lo largo del mapa de inclusión, el gerbe es trivial, lo que significa que el campo B puede identificarse con una forma doble definida globalmente en , escrito . La forma diferencial discutida anteriormente en este contexto está dada por , y el estudio de las ecuaciones dHYM en el caso especial donde o de manera equivalente debería verse como apagar o configurar el campo B , que en teoría de cuerdas corresponde a un espacio-tiempo sin fondo electromagnético superior. campo. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle F(h)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{i}\in \Omega ^{2}(U_{i})}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \iota :Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =F(h)+\beta }$ ${\displaystyle \alpha =F(h)}$ ${\displaystyle [\alpha ]=c_{1}(L)}$ ${\displaystyle \beta =0}$

La ecuación dHYM describe las ecuaciones de movimiento para esta D-brana en el espacio-tiempo equipada con un campo B , y se deriva de las correspondientes ecuaciones de movimiento para las A-branas a través de simetría especular. ^{[1] [2]} Matemáticamente, el modelo A describe las D-branas como elementos de la categoría de Fukaya , subvariedades lagrangianas especiales equipadas con un haz de líneas unitarias planas sobre ellas, y se comprenden las ecuaciones de movimiento para estas A-branas. En la sección anterior, la ecuación dHYM se ha redactado para la brana D6 . ${\displaystyle (Y,E)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=X}$

Ver también

• Conexión Hermitian Yang-Mills
• Conexión Yang-Mills
• Conjetura de Thomas-Yau

Referencias

1. Marino, M., Minasian, R., Moore, G. y Strominger, A., Instantones no lineales de p-branas supersimétricas. Revista de Física de Altas Energías, 2000(01), p.005.
2. Leung, NC, Yau, ST y Zaslow, E., De lagrangiano especial a hermitiano-Yang-Mills mediante la transformada de Fourier-Mukai. Adv. Teor. Matemáticas. Física. 4 (2000), núm. 6, 1319-1341.
3. Collins, TC, XIIE, D. y YAU, STG, La ecuación deformada de Hermitiano-Yang-Mills en geometría y física. Geometría y física: Volumen 1: Un Festschrift en honor a Nigel Hitchin, 1, p. 69.
4. Collins, TC, Jacob, A. y Yau, ST, (1, 1) formas con fase lagrangiana especificada: estimaciones a priori y obstrucciones algebraicas. Camb. J. Matemáticas. 8 (2020), núm. 2, 407–452.
5. Collins, TC y Yau, ST, mapas de momentos, PDE no lineal y estabilidad en simetría especular. Preimpresión de arXiv 2018, arXiv :1811.04824.
6. Collins, TC y Shi, Y., Estabilidad y la ecuación deformada de Hermitian-Yang-Mills. Preimpresión de arXiv 2020, arXiv :2004.04831.
7. A. Jacob y N. Sheu, La ecuación deformada de Hermitian-Yang-Mills sobre la ampliación de P^n, preimpresión de arXiv 2020, arXiv : 2009.00651
8. Chen, G., La ecuación J y la ecuación supercrítica deformada de Hermitian-Yang-Mills. Inventar. matemáticas. (2021)
9. Douglas, MR, Fiol, B. y Römelsberger, C., Estabilidad y branas BPS. Revista de Física de Altas Energías, 2005(09), p.006.
10. Aspinwall, PS, D-Branes en los colectores Calabi-Yau. En progreso en teoría de cuerdas: notas de conferencias de TASI 2003. Editado por MALDACENA JUAN M. Publicado por World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. ISBN  9789812775108 , págs. 1–152 (págs. 1–152).
11. Freed, DS y Witten, E., Anomalías en la teoría de cuerdas con $ D $ -branas. Revista asiática de matemáticas, 3(4), págs. 819–852.
12. Laine, K., Aspectos geométricos y topológicos de las D-branas tipo IIB. Tesis de maestría (director Jouko Mickelsson), Universidad de Helsinki