Categoría Fukaya

Categoría de una variedad simpléctica

En topología simpléctica , una categoría de Fukaya de una variedad simpléctica es una categoría cuyos objetos son subvariedades lagrangianas de , y los morfismos son grupos de cadenas de Floer lagrangianas : . Su estructura más fina puede describirse como una A ∞ -categoría . ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (L_{0},L_{1})=CF(L_{0},L_{1})}$

Reciben su nombre de Kenji Fukaya , quien introdujo el lenguaje por primera vez en el contexto de la homología de Morse ^[1] , y existen en varias variantes. Como las categorías de Fukaya son A ∞ -categorías , tienen categorías derivadas asociadas , que son el tema de la célebre conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich ^[2] . Esta conjetura ahora ha sido verificada computacionalmente para varios ejemplos. ${\displaystyle A_{\infty }}$

Definición formal

Sea una variedad simpléctica. Para cada par de subvariedades lagrangianas que se intersecan transversalmente, se define el complejo de cocadenas de Floer , que es un módulo generado por los puntos de intersección . El complejo de cocadenas de Floer se considera como el conjunto de morfismos de a . La categoría de Fukaya es una categoría, lo que significa que además de las composiciones ordinarias, existen mapas de composición superior. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1}\subset X}$ ${\displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ ${\displaystyle L_{0}\cap L_{1}}$ ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

${\displaystyle \mu _{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1})\otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).}$

Se define de la siguiente manera. Elija una estructura casi compleja compatible en la variedad simpléctica . Para los generadores y de los complejos de cocadena, el espacio de módulos de los polígonos holomorfos con caras con cada cara mapeada en tiene un recuento ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle p_{d-1,d}\in CF^{*}(L_{d-1},L_{d}),\ldots ,p_{0,1}\in CF^{*}(L_{0},L_{1})}$ ${\displaystyle q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1},\ldots ,L_{d}}$

${\displaystyle n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1};q_{0,d})}$

en el anillo de coeficientes. Luego defina

${\displaystyle \mu _{d}(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})=\sum _{q_{0,d}\in L_{0}\cap L_{d}}n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})\cdot q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$

y extenderse de forma multilineal. ${\displaystyle \mu _{d}}$

La secuencia de composiciones superiores satisface las relaciones porque los límites de varios espacios de módulos de polígonos holomorfos corresponden a configuraciones de polígonos degenerados. ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$

Esta definición de categoría de Fukaya para una variedad simpléctica general (compacta) nunca ha sido rigurosamente dada. El principal desafío es la cuestión de la transversalidad, que es esencial para definir el recuento de discos holomorfos.

Véase también

• Álgebra asociativa de homotopía

Referencias

1. Kenji Fukaya, Homotopía de Morse, categoría y homologías de Floer ${\displaystyle A_{\infty }}$ , preimpresión MSRI n.° 020-94 (1993)
2. Kontsevich, Maxim, Álgebra homológica de simetría especular , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. 1, 2 (Zúrich, 1994), 120–139, Birkhäuser, Basilea, 1995.

Bibliografía

• Denis Auroux , Introducción a las categorías de Fukaya para principiantes.

• Paul Seidel , categorías de Fukaya y teoría de Picard-Lefschetz. Lecciones de Matemáticas Avanzadas en Zurich
• Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun ; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de la intersección lagrangiana de Floer: anomalía y obstrucción. Parte I , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 46, American Mathematical Society , Providence, RI; International Press, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4836-4, Sr.  2553465
• Fukaya, Kenji ; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de la intersección lagrangiana de Floer: anomalía y obstrucción. Parte II , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 46, American Mathematical Society , Providence, RI; International Press, Somerville, MA, ISBN 978-0-8218-4837-1, Sr.  2548482

Enlaces externos

• El hilo en MathOverflow '¿La categoría Fukaya está "definida"?'