Manojo de gerbe

En matemáticas , un haz gerbe es un modelo geométrico de ciertas 1- gerbes con conexión , o equivalentemente de una 2-clase en la cohomología de Deligne .

Topología

${\displaystyle U(1)}$- Los fibrados principales sobre un espacio (ver fibrado circular ) son realizaciones geométricas de 1-clases en la cohomología de Deligne que consisten en conexiones de 1-forma y curvaturas de 2-formas. La topología de un fibrado se clasifica por su clase de Chern , que es un elemento de , la segunda cohomología integral de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$

Las gerbes , o más precisamente las 1-gerbes, son descripciones abstractas de las 2-clases de Deligne, cada una de las cuales define un elemento de , la tercera cohomología integral de M . ${\displaystyle H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

Como clase de cohomología en cohomología de Deligne

Recordemos que para una variedad suave los grupos de cohomología de Deligne p-ésimos se definen por la hipercohomología del complejo llamado complejo de Deligne de peso q , donde es el haz de gérmenes de k-formas diferenciales suaves tensadas con . Entonces, escribimos para los grupos de cohomología de Deligne de peso . En el caso de que el complejo de Deligne sea entonces Podemos entender los grupos de cohomología de Deligne mirando la resolución de Cech que da un complejo doble. También hay una secuencia exacta corta asociada ^{[1] : 7} donde son los gérmenes cerrados de 2-formas de valor complejo en y es el subespacio de tales formas donde las integrales de período son integrales. Esto se puede usar para mostrar son las clases de isomorfismo de gerbes de fibrados en una variedad suave , o equivalentemente, las clases de isomorfismo de -fibrados en . ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty }={\underline {\mathbb {Z} }}(q)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} \cdots \xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{q-1}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \mathbb {H} _{D}^{*}(M,\mathbb {Z} (q)_{D}^{\infty })}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=3}$ $${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} }}(3)\to {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{0}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {A}}_{M,\mathbb {C} }^{2}}$$ $${\displaystyle 0\to {\frac {{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}{{\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}}}\to \mathbb {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} (3)_{D}^{\infty })\to H^{3}(M,\mathbb {Z} )\to 0}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ,M}^{2}(M)_{cl,0}}$ ${\displaystyle H^{3}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B\mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle M}$

Historia

Históricamente , la construcción más popular de una gerbe es un modelo de teoría de categorías que aparece en la teoría de gerbes de Giraud, que son aproximadamente haces de grupoides sobre M.

En 1994 ^[2] Murray introdujo los haces de gerbes, que son realizaciones geométricas de 1-gerbes. Para muchos propósitos, estos son más adecuados para los cálculos que la realización de Giraud, porque su construcción está completamente dentro del marco de la geometría clásica. De hecho, como sugiere su nombre, son haces de fibras .

Esta noción se extendió a las gerbes superiores el año siguiente. ^[3]

Relación con retorcidoK-teoría

En Twisted K-theory and the K-theory of Bundle Gerbes ^[4] los autores definieron módulos de fibrados de gerbes y utilizaron esto para definir una K-teoría para fibrados de gerbes. Luego demostraron que esta K-teoría es isomorfa a la Twisted K-theory de Rosenberg y proporciona una construcción sin análisis .

Además, definieron una noción de carácter de Chern torcido, que es una clase característica para un elemento de la teoría K torcida. El carácter de Chern torcido es una forma diferencial que representa una clase en la cohomología torcida con respecto al operador nilpotente donde es la derivada exterior ordinaria y el giro es una 3-forma cerrada. Mathai y Stevenson extendieron esta construcción a la teoría K equivariante y a la teoría K holomorfa. ^[5] $${\displaystyle d+H}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H}$

Relación con la teoría de campos

Los gerbes de fibrado también han aparecido en el contexto de las teorías de campos conformes . Gawedzki y Reis han interpretado el término de Wess-Zumino en el modelo de Wess-Zumino-Witten (WZW) de propagación de cuerdas en una variedad de grupos como la conexión de un gerbe de fibrado. Urs Schreiber , Christoph Schweigert y Konrad Waldorf han utilizado esta construcción para extender los modelos WZW a superficies no orientadas y, de forma más general, el acoplamiento global de Kalb-Ramond a cuerdas no orientadas.

Puede encontrar más detalles en el n-Category Café:

• Paquete de Gerbes: idea general y definición
• Paquete Gerbes: conexiones y transporte de superficie

Véase también

• Gerbe
• Plegado orbi

Notas

1. Gajer, Pawel (26 de enero de 1996). "Geometría de la cohomología de Deligne". Invenciones Mathematicae . 127 : 155-207. arXiv : alg-geom/9601025 . doi :10.1007/s002220050118. S2CID  18446635.
2. en Bundle Gerbes de Michael Murray
3. en Clases de cohomología y gerbes de paquete superior en teorías de calibre por Alan Carey, Michael Murray y Bai-Ling Wang
4. por Peter Bouwknegt , Alan Carey, Varghese Mathai , Michael Murray y Danny Stevenson
5. en Carácter de Chern en la teoría K retorcida: casos equivariantes y holomorfos

Referencias

• Manojo de gerbes , de Michael Murray.
• Introducción a los gerbes en manojo , por Michael Murray.
• Gerbes no abelianos, su geometría diferencial y teoría de gauge , por Paolo Aschieri, Luigi Cantini y Branislav Jurco.
• Paquete de gerbes en arxiv.org

En la teoría de cuerdas

• Branas y cuerdas WZW