K-estabilidad de las variedades Fano

En matemáticas , y en particular en geometría algebraica , la estabilidad K es una condición de estabilidad algebro-geométrica para variedades algebraicas proyectivas y variedades complejas . La estabilidad K es de particular importancia para el caso de las variedades Fano , donde es la condición de estabilidad correcta para permitir la formación de espacios de módulos , y donde caracteriza con precisión la existencia de métricas de Kähler-Einstein .

La estabilidad K fue definida por primera vez para las variedades Fano por Gang Tian en 1997 en respuesta a una conjetura de Shing-Tung Yau de 1993 de que debería existir una condición de estabilidad que caracterice la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad Fano. ^{[1] [2]} Se definió en referencia a la función de energía K introducida previamente por Toshiki Mabuchi . ^[3] La definición de Tian de K-estabilidad fue reformulada por Simon Donaldson en 2001 de una manera puramente algebro-geométrica. ^[4]

La estabilidad del K se ha convertido en una noción importante en el estudio y clasificación de las variedades Fano. En 2012, Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun e independientemente Gang Tian ^[5] demostraron que una variedad Fano suave es K-poliestable si y solo si admite una métrica de Kähler-Einstein. ^{[6] [7] [8]} Esto se generalizó más tarde a variedades Fano K-poliestables singulares debido al trabajo de Berman-Boucksom-Jonsson y otros. La estabilidad K es importante en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano, donde las observaciones que se remontan al desarrollo original de la teoría geométrica invariante muestran que es necesario restringirse a una clase de objetos estables para formar buenos módulos. Ahora se sabe gracias al trabajo de Chenyang Xu y otros que existe un espacio proyectivo de módulos gruesos de variedades Fano K-poliestables de tipo finito. Este trabajo se basa en la prueba de delimitación de las variedades Fano de Caucher Birkar , por la que recibió la medalla Fields 2018 . Debido a las reformulaciones de la condición de estabilidad K por parte de Fujita-Li y Odaka, la estabilidad K de las variedades Fano puede calcularse explícitamente en la práctica. Qué variedades de Fano son K-estables se comprenden bien en las dimensiones uno, dos y tres.

Definición y caracterizaciones

La noción de estabilidad K para variedades de Fano fue especificada originalmente utilizando geometría diferencial por Tian, ​​quien extendió la noción puramente analítica del invariante de Futaki de un campo vectorial al caso de ciertas variedades normales con singularidades orbifold . ^[1] Donaldson reformuló esto más tarde en una forma puramente álgebro-geométrica, pero esta definición general perdió un vínculo directo con la geometría de las variedades Fano, y en cambio tuvo sentido para la clase más amplia de todas las variedades proyectivas. ^[4] El trabajo de Tian muestra que el invariante de Donaldson-Futaki que especifica el peso de la acción sobre la fibra central de una configuración de prueba se puede calcular en términos de ciertos números de intersección (correspondientes al peso de una acción sobre la llamada paquete de líneas CM). En el caso de Fano, a estos números de intersección, que involucran el divisor anticanónico de la variedad y su configuración de prueba, se les pueden dar poderosas caracterizaciones alternativas en términos de la geometría algebraica y biracional de la variedad Fano. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Así, en el caso de las variedades Fano, existen muchas caracterizaciones diferentes pero equivalentes de la estabilidad K, y algunas de estas caracterizaciones se prestan a cálculos explícitos o pruebas de resultados más sencillas.

En esta sección, todas las definiciones se expresan en la generalidad de una variedad -Fano, que es una variedad Fano con amplio divisor anticanónico - Cartier y, en el peor de los casos, singularidades logarítmicas terminales (klt) de Kawamata . Las definiciones de estabilidad K se pueden hacer para cualquier variedad - Gorenstein Fano (es decir, cualquier variedad Fano donde el divisor anticanónico sea -Cartier), sin embargo, Odaka demostró que cada variedad Fano K-semistable tiene, en el peor de los casos, singularidades klt. entonces, para estudiar la estabilidad de K, basta con asumir, en el peor de los casos, singularidades klt. ^[9] Cada definición se puede ampliar de forma sencilla a - log pares de Fano , un par de una variedad klt X y un divisor klt tal que es amplio y -Cartier. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$ ${\displaystyle -(K_{X}+\Delta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Definición tradicional

La definición de estabilidad K para una variedad Fano, o más generalmente una variedad -Fano, se puede dar de muchas formas. La definición general de estabilidad K en términos de configuraciones de prueba (consulte Estabilidad K para obtener más detalles) se puede simplificar si se puede simplificar el tipo de configuración de prueba que se considera. Por ejemplo, en el caso de variedades tóricas , siempre se pueden tomar configuraciones de prueba que también sean tóricas, y esto conduce a una recaracterización de la estabilidad K en términos de funciones convexas en el momento politopo de la variedad tórica, como observó Donaldson. en su primer artículo sobre K-estabilidad. ^[4] En el caso de las variedades Fano, ya estaba implícito en el trabajo de Tian ^[1] que se puede restringir a configuraciones de prueba con una fibra central simplificada, en el caso de que la fibra central sea una variedad normal . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En este caso existe una fórmula teórica de intersección para el invariante de Donaldson-Futaki de una configuración de prueba normal para . Explícitamente, se extiende la configuración de prueba a una configuración de prueba sobre la línea proyectiva compleja de manera trivial en el punto , se tiene una fórmula ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,-rK_{X})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)(-K_{X})^{n}}}\left(n\left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n+1}+(n+1)K_{{\mathcal {X}}/\mathbb {P} ^{1}}\cdot \left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n}\right).}$$

^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$

• K-semiestable si se trata de cualquier configuración de prueba normal . ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K-estable si se trata de cualquier configuración de prueba normal que no sea isomorfa a la configuración de prueba trivial fuera de un conjunto de codimensión 2. ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X\times \mathbb {C} ,L)}$
• Uniformemente K-estable si para cualquier configuración de prueba normal , donde es la norma mínima ^[14] de la configuración de prueba y es una constante uniforme que depende únicamente de . ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle X}$
• K-inestable si no es K-semiestable. ${\displaystyle (X,L)}$

Según las definiciones anteriores, existen implicaciones

Uniformemente K-estable K-estable K-semiestable ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Las definiciones anteriores no se adaptan bien a la situación en la que la variedad Fano tiene automorfismos. Cuando el espacio de automorfismos es de dimensión positiva , Akito Futaki observó que hay ciertas configuraciones de prueba construidas a partir de cuyos automorfismos son "triviales" desde la perspectiva de probar la estabilidad de K. En este caso, uno debería restringirse a aquellas configuraciones de prueba que son equivariantes con respecto a la acción de un toro máximo , y esto conduce a la noción de K-polistabilidad o K-estabilidad reducida. decimos es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} (X)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subset \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle X}$

• K-polistable si para cualquier prueba la configuración y la igualdad se cumplen precisamente cuando es isomorfo fuera de un conjunto de codimensión 2. ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$
• Reducido uniformemente K-estable si donde está la norma reducida de la configuración de prueba. ^{[14] [15] [16]} ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {J} }$

En cuanto al caso en el que el grupo de automorfismo no es de dimensión positiva, tenemos implicaciones

Reducido uniformemente K-estable K-poliestable K-semiestable ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

La condición de estabilidad uniforme es a priori más fuerte que la estabilidad, porque supone un límite uniforme por encima de cero para el invariante Donaldson-Futaki de la configuración de prueba. Sin embargo, resulta que en el caso de las variedades -Fano la estabilidad uniforme es en realidad equivalente a la estabilidad. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Teorema (Liu – Xu – Zhuang): ^{[10] [17]}  -  La K-estabilidad uniforme (reducida) es equivalente a la K-(poli)estabilidad para las variedades -Fano. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Muchos resultados se pueden probar más fácilmente para la K-estabilidad uniforme porque un límite uniforme es más fuerte que un límite no uniforme, por lo que a menudo se trabaja con esta definición en lugar de la K-(poli)estabilidad tradicional. En el caso más general de una variedad polarizada considerada en el artículo sobre K-estabilidad, todavía es un problema abierto e importante caracterizar cómo la K-estabilidad uniforme (reducida) se relaciona con la K-(poli)estabilidad.

Configuraciones de prueba especiales

Como se mencionó anteriormente, en ocasiones se puede simplificar el tipo de configuración de prueba a considerar. En el caso de las variedades Fano, una configuración de prueba especial es una configuración de prueba tal que tenemos una equivalencia racional de divisores para algunos , y la fibra central también es una variedad -Fano. ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\sim _{\mathbb {Q} }-rK_{\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Se puede demostrar que dada cualquier configuración de prueba , existe una configuración de prueba especial tal que ^[13] ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})}$

$${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})\leq \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}}).}$$

Esto implica que, a los efectos de probar la estabilidad K de , basta con limitarse a mirar las definiciones anteriores de estabilidad K para configuraciones de prueba especiales. El hecho de que se pueda asumir que la fibra central de la configuración de prueba también es Fano conduce a fuertes vínculos con la geometría biracional y el programa de modelo mínimo, proporcionando una serie de caracterizaciones alternativas de la estabilidad K que se describen en las siguientes secciones. ${\displaystyle X}$

La principal caracterización alternativa es en términos de una noción diferente de estabilidad de Ding , que es una variación de la condición de estabilidad K para el invariante de Ding.

$${\displaystyle \operatorname {Ding} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-{\frac {({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}})^{n+1}}{(n+1)(-K_{X})^{n}}}-1+\operatorname {lct} ({\mathcal {X}},{\mathcal {D}}_{({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})};{\mathcal {X}}_{0})}$$

donde se agrega el umbral canónico de registro de la configuración de prueba. ^{[18] [19]} El invariante Ding sólo se puede definir en el contexto de las variedades Fano. Usando este nuevo invariante en lugar de , se puede definir cada noción de estabilidad de Ding exactamente como se indicó anteriormente, lo que lleva a la (semi/poli)estabilidad de Ding y a versiones uniformes. El invariante de Ding tiene mejores propiedades formales con respecto a la geometría algebraica que el invariante de Donaldson-Futaki. Se sabe que cuando una configuración de prueba es especial, el invariante de Ding concuerda con el invariante de Donaldson-Futaki hasta un factor constante, por lo que para las variedades de Fano la estabilidad de Ding es equivalente a la estabilidad K. ^{[20] [21] [10]} ${\displaystyle \operatorname {DF} }$

Invariante alfa

Tian desarrolló el primer criterio eficaz conocido para probar la estabilidad del K. ^[22] Originalmente, el trabajo de Tian fue diseñado para proporcionar directamente un criterio para la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en una variedad de Fano, y por trabajos posteriores se sabe que cada variedad de Kähler-Einstein Fano es K-polistable. La definición original de Tian del invariante alfa era de naturaleza analítica, pero puede utilizarse para verificar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein en la práctica.

El invariante alfa de Tian se puede definir en relación con un grupo de automorfismos , y el invariante alfa corresponde al concepto de K-estabilidad reducida o K-polistabilidad anterior. Se corrige una métrica de Kähler invariante en una variedad Fano. Defina una clase especial de potenciales de Kähler mediante ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha _{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$

$${\displaystyle P_{G}(X,\omega )=\{\varphi \in C^{\infty }(X,\mathbb {R} )\mid \varphi {\text{ is }}G{\text{ invariant}},\sup \varphi =0,\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$$

Entonces el invariante alfa se define por

$${\displaystyle \alpha _{G}(X):=\sup \left\{\alpha >0\mid \exists C(\alpha )>0{\text{ such that }}\int _{X}e^{-\alpha \varphi }\omega ^{n}<C(\alpha ){\text{ for all }}\varphi \in P_{G}(X,\omega )\right\}.}$$

Teorema: (Tian)  -  Sea una variedad de Fano suave de dimensión . Si el invariante alfa entonces admite una métrica de Kähler-Einstein -invariante. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle \alpha _{G}(X)>{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Más tarde, Odaka-Sano observó que al invariante alfa se le puede dar una definición puramente algebro-geométrica en términos de un mínimo del umbral canónico logarítmico sobre todos los sistemas lineales invariantes contenidos en su interior . ^{[23] [24]} Precisamente, Demailly mostró ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|-mK_{X}\right|}$

$${\displaystyle \alpha _{G}(X)=\operatorname {lct} _{G}(X)=\inf _{m\in \mathbb {Z} _{>0}}\inf _{D\sim -mK_{X}}\operatorname {lct} \left(X,{\frac {1}{m}}D\right).}$$

invariante beta

El invariante beta hace estrecho contacto con la geometría biracional . Esta invariante fue desarrollada por Fujita y Li en un intento de descubrir una caracterización de la estabilidad K en términos de divisores o valoraciones de la variedad Fano . ^{[21] [25]} Este trabajo se inspiró en ideas anteriores de Ross-Thomas que intentaban describir la estabilidad K en términos de invariantes algebraicos que surgen de subesquemas de la variedad . ^[26] Si bien no es posible demostrar que esta K-estabilidad de "pendiente" sea equivalente a K-estabilidad, al pasar no solo a los divisores internos sino también a los divisores internos de cualquier modelo birracional , se obtienen "suficientes" objetos para probar con precisión K-estabilidad. ${\displaystyle \beta _{X}(E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En particular, Fujita se dio cuenta de que la noción de estabilidad K de la pendiente de Ross-Thomas estaba limitada al integrar únicamente hasta la constante de Seshadri del subesquema, donde el divisor natural en la explosión se vuelve amplio. Por contrato, el invariante se integra hasta el umbral pseudoeficaz donde el divisor natural tiene volumen positivo (dado que todo divisor amplio tiene volumen positivo, el umbral pseudoeficaz va más allá de la constante de Seshadri). Esta información adicional le da al criterio de valoración de Fujita y Li suficiente información para caracterizar completamente la estabilidad de K. ${\displaystyle \beta }$

Supongamos que es una variedad normal con divisor canónico -Cartier . Se dice que es un divisor sobre si es un divisor contenido dentro de alguna variedad normal de modo que exista un morfismo biracional adecuado (por ejemplo, dado por una ampliación de ). ^[27] Se define la discrepancia logarítmica de un divisor como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu :Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A_{X}(E):=a(E,X)+1}$$

donde está la discrepancia del divisor en el sentido de geometría biracional (ver singularidad canónica ). La discrepancia de un divisor se define de la siguiente manera. Lejos del locus excepcional del morfismo biracional , los divisores canónicos de y concuerdan. Por lo tanto, su diferencia viene dada por alguna suma de divisores primos contenidos en el lugar excepcional de . Eso es, ${\displaystyle a(E,X)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle K_{Y}-\mu ^{*}K_{X}=\sum _{i}a_{i}E_{i}}$$

dónde . Por definición y cuando no es uno de los divisores primos en el locus excepcional. La discrepancia logarítmica mide las singularidades de la variedad Fano. En particular, X es el terminal de registro de Kawamata si y solo si para cualquier over . ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a(E_{i},X)=-a_{i}}$ ${\displaystyle a(E,X)=0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{X}(E)\geq 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

Para definir la invariante beta, también se necesita el término de volumen a. Para un divisor sobre , defina ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle S_{X}(E):={\frac {1}{(-K_{X})^{n}}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Vol} (\mu ^{*}(-K_{X})-tE)dt.}$$

Aquí el volumen de un divisor mide la velocidad a la que crece su espacio de secciones en comparación con la dimensión esperada. A saber,

$${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\limsup _{m\to \infty }{\frac {\dim H^{0}(X,{\mathcal {O}}(mD))}{m^{n}/n!}}}$$

${\displaystyle \dim X=n}$

Finalmente, Fujita y Li definieron la invariante beta como

$${\displaystyle \beta _{X}(E):=A_{X}(E)-S_{X}(E).}$$

A pesar de la complicada definición, debido a las poderosas herramientas de la geometría biracional, esta invariante puede calcularse explícitamente en la práctica para muchas clases de variedades de Fano donde se conoce la estructura de los divisores en sus modelos biracionales. Esto a menudo se puede lograr con el uso de geometría algebraica computacional o cálculos manuales.

La relevancia del invariante está en la siguiente caracterización de la estabilidad K observada por primera vez (en una dirección) por Fujita y Li de forma independiente. ${\displaystyle \beta }$

Teorema: (Fujita – Li, Blum – Xu)  -  Una variedad -Fano es K-semiestable si y solo si para todos los divisores superiores a . Además, es K-estable si y solo si para todos los divisores superiores a . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta _{X}(E)\geq 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta _{X}(E)>0}$ ${\displaystyle X}$

invariante delta

La invariante delta se puede definir como una versión "multiplicativa" de la invariante beta "aditiva". La invariante delta de un divisor está ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ definida por

$${\displaystyle \delta (X,E):={\frac {A_{X}(E)}{S_{X}(E)}}.}$$

La invariante delta de viene dada por una medición uniforme de las invariantes delta de todos los divisores sobre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \delta (X):=\inf _{E{\text{ over }}X}\delta (X,E).}$$

divisores de tipo base m ${\displaystyle \delta _{m}}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle H^{0}(X,-mK_{X})}$

Teorema: (Fujita – Odaka, Blum – Xu)  -  La variedad A -Fano es K-semiestable si y solo si . Además, es uniformemente K-estable si y sólo si . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta (X)\geq 1}$ ${\displaystyle \delta (X)>1}$

El invariante algebraico puede entrar en contacto con las propiedades analíticas explícitas de las métricas de Kähler-Einstein. En particular, se puede definir el límite inferior de Ricci más grande como el supremo de todos los que existen una métrica de Kähler tal que . Este es el límite de hasta dónde se puede recorrer el método de continuidad natural para resolver la ecuación de Kähler-Einstein. Si el mayor límite inferior de Ricci toma el valor, entonces se puede completar el método de continuidad para derivar la existencia de una métrica de Kähler-Einstein. Resulta que precisamente hasta dónde se puede llegar con este método de continuidad, el mayor límite inferior de Ricci, está exactamente dado por el invariante -. Eso es, ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R(X)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \omega >t\omega }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle R(X)=\min\{1,\delta (X)\}.}$$

^[28] ${\displaystyle X_{P}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle |BQ|/|OQ|}$ ${\displaystyle R(X)=1}$ ${\displaystyle P}$

Existencia de métricas de Kähler-Einstein

Desde su introducción inicial, la noción de K-estabilidad ha estado íntimamente ligada a la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades de Fano. En la actualidad existen muchos teoremas que relacionan ciertos supuestos de estabilidad K con la existencia de soluciones. Estas conjeturas caen en términos generales bajo el título de Conjetura de Yau-Tian-Donaldson . ^[26] En el caso de las variedades Fano esta conjetura afirma:

Conjetura (Yau-Tian-Donaldson)  :  una variedad de Fano admite una métrica de Kähler-Einstein si y sólo si es K-polistable.

Para las variedades de Fano, esta conjetura fue propuesta originalmente por Yau y Tian, ^{​​[2] [1]} y Donaldson afirmó una forma más general que se extiende más allá del caso de las variedades de Fano. ^[4] Sin embargo, la conjetura, incluso en el caso de Fanos, ha llegado a ser conocida como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson. Consulte K-estabilidad para obtener más información sobre la conjetura general.

En el caso de las variedades de Fano, la conjetura YTD admite generalizaciones más allá del caso de variedades suaves y las formas de la conjetura ahora se conocen para Fanos singular y log Fanos .

Variedades de Fano suave

La dirección directa de la conjetura, de que una variedad de Fano con una métrica de Kähler-Einstein es K-polistable, fue probada por Tian en su artículo original cuando la variedad de Fano tiene un grupo de automorfismo discreto, es decir ,. ^[1] Berman demostró esta dirección con total generalidad, eliminando el supuesto de que el grupo de automorfismo era discreto. ^[19] ${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (X)\right|<\infty }$

La dirección inversa de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson se resolvió por primera vez en el caso suave como lo indicaron anteriormente Chen-Donaldson-Sun, ^{[6] [7] [8]} y al mismo tiempo por Tian. ^[5] Chen, Donaldson y Sun han alegado que la afirmación de Tian de igual prioridad para la prueba es incorrecta y lo han acusado de mala conducta académica. ^[a] Tian ha cuestionado sus afirmaciones. ^[b] Chen, Donaldson y Sun fueron reconocidos por el prestigioso Premio Veblen 2019 de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas por haber resuelto la conjetura. ^[29] El Premio Breakthrough ha reconocido a Donaldson con el Premio Breakthrough en Matemáticas y a Sun con el Premio Breakthrough New Horizons , en parte basado en su trabajo con Chen sobre la conjetura. ^{[30] [31]}

Teorema  :  si una variedad de Fano es K-poliestable, entonces admite una métrica de Kähler-Einstein.

Las pruebas de Chen-Donaldson-Sun y Tian se basaron en un delicado estudio de los límites de Gromov-Hausdorff de las variedades de Fano con límites de curvatura de Ricci . Más recientemente, Ved Datar y Gabor Székelyhidi ^{[32] [33]} proporcionaron una prueba basada en el método de continuidad "clásico", seguida de una prueba de Chen, Sun y Bing Wang utilizando el flujo de Kähler-Ricci. ^[34]

Robert Berman , Sébastien Boucksom y Mattias Jonsson también proporcionaron una prueba de un nuevo enfoque variacional , que interpreta la estabilidad K en términos de geometría no arquimediana . ^[35] De particular interés es que la prueba de Berman-Boucksom-Jonsson también se aplica al caso de un par de registros de Fano lisos, y no utiliza la noción de K-polistabilidad sino de K-estabilidad uniforme tal como la introdujeron Dervan y Boucksom. –Hisamoto–Jonsson. ^{[14] [15]} Ahora se sabe que la estabilidad K uniforme es equivalente a la estabilidad K ^[17] y, por lo tanto, la prueba de BBJ proporciona una nueva prueba de la conjetura YTD completa.

Basándose en las técnicas variacionales de Berman-Boucksom-Jonsson y los llamados invariantes delta cuantificados de Fujita-Odaka, Zhang produjo una breve prueba basada en la cuantificación de la conjetura YTD para variedades de Fano suaves. ^[36]

Utilizando completamente otras técnicas, Berman también ha producido una prueba de una conjetura de tipo YTD utilizando un enfoque termodinámico llamado estabilidad uniforme de Gibbs , donde se construye una métrica de Kähler-Einstein mediante un proceso de puntos aleatorios. ^{[37] [38]}

Variedades singulares de Fano y métricas débiles de Kähler-Einstein

La nueva prueba de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson realizada por Berman-Boucksom-Jonsson utilizando técnicas variacionales abrió el posible estudio de la estabilidad K y las métricas de Kähler-Einstein para variedades singulares de Fano. Las técnicas variacionales utilizadas se basan en la estabilidad K uniforme como se describe anteriormente.

El resultado de Berman de que una variedad de Fano que admite una métrica de Kähler-Einstein es K-polistable se demostró en la generalidad completa de un par -log Fano, admitiendo una métrica de Kähler-Einstein débil. Una métrica de Kähler-Einstein débil en una variedad -Fano es una corriente positiva que se restringe para dar una métrica de Kähler-Einstein suave en el locus suave de . ^[39] Al requerir una compatibilidad con un divisor , esta definición se puede extender a una métrica débil de Kähler-Einstein en un par . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \theta _{\operatorname {KE} }}$ ${\displaystyle \omega _{\operatorname {KE} }}$ ${\displaystyle X_{\operatorname {reg} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$

En esta generalidad, Li-Tian-Wang demostró la dirección inversa de la conjetura YTD en el caso en que el grupo de automorfismo es discreto, y en general Li. ^{[40] [16]}

Teorema (Li – Tian – Wang, Li)  :  un par -log Fano que se reduce uniformemente K-estable admite una métrica débil de Kähler-Einstein. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$

Por la resolución de la conjetura de la generación finita de Liu-Xu-Zhuang, se sabe que la K-estabilidad uniforme reducida es equivalente a la K-polistabilidad, por lo que combinada con el resultado de Berman, la conjetura de Yau-Tian-Donaldson es verdadera en completa generalidad para Fano singular. variedades. ^[17]

Teorema (Li – Tian – Wang, Li, Berman, Liu – Xu – Zhuang)  :  un par -log Fano admite una métrica de Kähler-Einstein débil si y solo si es K-polistable. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$

Espacios de módulo de variedades Fano K-estables

La construcción de espacios de módulos es un problema central en geometría algebraica. La construcción de módulos de curvas algebraicas impulsó el desarrollo de la teoría geométrica de invariantes , las pilas y la clasificación de superficies algebraicas ha motivado resultados en toda la geometría algebraica. El caso de los espacios de módulos de variedades canónicamente polarizadas se resolvió utilizando técnicas derivadas del programa de modelo mínimo de Kollár - Shepherd-Barron que condujo a los llamados espacios de módulos KSB de variedades de tipo general. ^[41] Una propiedad clave de las variedades de tipo general que permiten la construcción de módulos es la falta de automorfismos de dichas variedades. Esto no es válido para las variedades de Fano, que a menudo pueden tener grupos de automorfismos muy grandes, por lo que el programa de modelo mínimo no encontró aplicaciones directas para la construcción de módulos de variedades de Fano, y quedó claro que la estabilidad K era la solución álgebro-geométrica correcta. noción para permitir la formación de módulos en este caso. ^[10] Los espacios de módulos de variedades K-estables se conocen como K-módulos .

Estuche liso

En el caso de variedades de Fano suaves, se pueden utilizar técnicas que surgen de la conjetura de Yau-Tian-Donaldson para construir analíticamente el espacio de módulos. En particular, el trabajo de Odaka y Donaldson basado en las ideas de compacidad de Gromov de Kähler-Einstein Fanos utilizadas en la prueba de la conjetura YTD ^[42] implica la existencia de espacios de módulos de variedades suaves de Fano Kähler-Einstein con grupos de automorfismos discretos. ^{[43] [44]} Estos espacios de módulos son de Hausdorff y, en el peor de los casos, tienen singularidades de cociente. Según la conjetura de YTD, estos son alternativamente espacios de módulos de variedades Fano K-poliestables suaves con grupos de automorfismo discretos. Sin embargo, un límite de Gromov-Hausdorff de variedades suaves de Fano Kähler-Einstein puede conducir a una variedad -Fano singular, por lo que los espacios de módulos descritos por Odaka y Donaldson no son compactos , un criterio que a menudo es deseable en la formación de espacios de módulos. Un método para compactar el espacio de módulos de Fanos K-poliestable suave es pasar a un espacio de módulos de Fanos K-poliestable singular y utilizar geometría algebraica para demostrar su proyectividad. La conjetura de Yau-Tian-Donaldson para variedades singulares de Fano le daría a esta compactificación un punto de vista alternativo al consistir en variedades singulares de Fano con métricas débiles de Kähler-Einstein. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Caso general

La técnica algebraica estándar para construir espacios de módulos utiliza la teoría geométrica invariante . Normalmente, para aplicar la teoría de la invariante geométrica de Mumford para construir módulos, se debe incrustar una familia de variedades dentro de un espacio proyectivo fijo de dimensión finita . Luego, dicha familia define un lugar geométrico de puntos en el correspondiente esquema de Hilbert del espacio proyectivo, que es un esquema proyectivo sobre el cual actúa el grupo de automorfismos proyectivos. La estabilidad de GIT con respecto a esta linealización se denomina estabilidad de Hilbert . Si este locus forma un conjunto abierto, entonces se puede utilizar GIT para construir un cociente que parametrice estos objetos. En buenas circunstancias, este cociente puede ser propio y proyectivo.

No siempre es posible incrustar una familia de variedades dentro de un espacio proyectivo fijo y, por lo tanto, describir sus módulos con la teoría geométrica invariante, y esta propiedad especial se llama acotación . Una propiedad fundamental de las variedades de Fano es que no están acotadas y, por tanto, su estabilidad no puede ser capturada razonablemente por ninguna teoría invariante geométrica de dimensión finita. Esto explica por qué la estabilidad K requiere que se consideren configuraciones de prueba para las cuales el haz de líneas relativamente amplio puede corresponder a alguna potencia arbitrariamente grande. Sin embargo, los resultados de Caucher Birkar mostraron que ciertas familias de variedades Fano con volumen limitado debajo forman familias limitadas, lo que sugiere que puede ser posible estudiar la estabilidad de familias de variedades Fano limitadas por volumen para formar espacios de módulos. Por este trabajo, Birkar recibió la Medalla Fields en 2018. ^{[45] [46]} ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle L^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Jiang demostró que las variedades K-semiestables -Fano con volumen limitado en la parte inferior forman una familia limitada. ^[47] Así, para un volumen dado existe un número entero uniforme tal que cada K-semiestable -Fano con volumen anticanónico mayor o igual a admite una incrustación dentro del espacio proyectivo fijo . Blum – Liu – Xu y Xu demostraron la apertura de este locus de Fanos semiestable K. ^{[48] ​​[49]} Esto implica la existencia de una pila Artin de tipo finito denotada parametrizando variedades K-semiestables -Fano con volumen acotado debajo por . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V>0}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$

Para encontrar un espacio de módulos genuino como una variedad o esquema proyectivo, se deben demostrar ciertas propiedades sobre S -completitud y -reductividad de K-semistable Fanos dentro de la pila . Utilizando las propiedades de K-polistabilidad, estas propiedades de la pila de módulos son verdaderas y existe un espacio de módulos grueso para la pila que parametriza las variedades K-polisestables -Fano con volumen acotado a continuación por . ^[50] Se demostró que es correcto y que el haz de líneas CM es amplio, lo que significa que el espacio de módulos gruesos también es proyectivo. ^{[51] [52] [17] [10]} El resultado de existencia para K-módulos se puede resumir en el siguiente teorema. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }}$ ${\displaystyle X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }}$

Teorema ^[17]  -  Existe un espacio de módulos buenos, proyectivo, propio y separado que parametriza variedades -dimensionales K-polisestables -Fano con volumen anticanónico limitado por debajo por . ${\displaystyle X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V>0}$

La construcción del espacio de módulos de K-polisestable Fanos se puede generalizar al entorno de variedades logarítmicas de Fano. ^[17] El caso de variedades singulares de Fano que son suavizables (es decir, que son límites de familias algebraicas de variedades de Fano K-poliestables suaves) fue resuelto anteriormente por Li–Wang–Xu utilizando una combinación de técnicas analíticas, basándose también en la Trabajo anterior de Odaka, Donaldson y Codogni-Patakfalvi. ^{[43] [44] [51] [53]} Allí se muestra que el espacio de módulos gruesos es un esquema , pero en general los resultados de existencia para K-módulos solo garantizan la existencia de un espacio algebraico . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Estabilidad K explícita de las variedades Fano.

El estudio explícito de las variedades de Fano K-estables precede a la noción algebraica de K-estabilidad, y en dimensiones bajas fue de interés únicamente debido al estudio de las variedades de Kähler-Einstein. Por ejemplo, ya sea por construcción explícita o por el uso del invariante alfa de Tian, ​​todas las variedades suaves de Kähler-Einstein de dimensión 1 y 2 se conocían antes de que se introdujera la definición de K-estabilidad. En la dimensión 3 y superiores, las construcciones explícitas de las métricas de Kähler-Einstein se vuelven más difíciles, pero los avances que surgen del estudio algebraico de la estabilidad K han permitido cálculos explícitos de las triples de Fano K-poliestables y ciertas familias de variedades de dimensiones superiores, y posteriormente el descubrimiento. de nuevos colectores Kähler-Einstein.

Dimensión 1

En la dimensión uno hay una variedad Fano suave única, la línea proyectiva compleja . Se ve fácilmente que esta variedad es K-estable debido a la existencia de la métrica de Fubini-Study , que es una métrica de Kähler-Einstein, lo que implica la K-poliestabilidad de . Una prueba puramente algebro-geométrica de la estabilidad K de superficies lisas de Riemann se deriva del trabajo de Ross-Thomas sobre la estabilidad K de la pendiente, que es equivalente a la estabilidad K en dimensión uno. ^[26] En este caso, se pueden construir configuraciones de prueba a partir de conjuntos de puntos en la curva, y cuando la curva es suave, ningún punto se desestabiliza. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

Dimensión 2

En la dimensión dos, Tian clasificó los espacios que admiten métricas de Kähler-Einstein. Hay 10 familias de deformaciones de variedades Fano lisas en la dimensión dos, las superficies del Pezzo . Usando el invariante alfa, Tian demostró que una superficie de Fano lisa admite una métrica de Kähler-Einstein y es K-poliestable si y solo si no es la explosión del plano proyectivo complejo en uno o dos puntos. ^[22] Por lo tanto, 8 de estas 10 clases consisten en superficies Fano K-poliestables. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Tian y Mabuchi-Mukai estudiaron los módulos K de las superficies de Fano en ejemplos explícitos. ^{[54] [55]} Odaka-Spotti-Sun lograron construcciones explícitas de espacios de módulos compactos de superficies de Kähler-Einstein Fano. ^[56] Estos espacios se construyeron como compactaciones de Gromov-Hausdorff, pero se identificaron con espacios algebraicos explícitos de superficies de registro de Fano.

Por ejemplo, Odaka-Spotti-Sun demuestra que el espacio de módulos compactos de superficies suavizables de Kähler-Einstein de grado cuatro está dado por el espacio proyectivo ponderado con las superficies lisas de Kähler-Einstein de grado cuatro correspondientes al lugar donde está un divisor amplio que consta de aquellos puntos que satisfacen la ecuación . ${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3)\backslash D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}=128z_{2}}$

Dimensión 3

En la dimensión 3, se pueden utilizar técnicas puramente algebraicas para encontrar ejemplos de variedades de Fano K-estables que a priori no se sabe que admitan métricas de Kähler-Einstein. La clasificación Iskovskikh-Mori-Mukai de los triples de Fano lisos ^{[57] [58] [59] [60]} proporciona una forma natural de dividir el problema de estudiar los triples de Fano K-estables en sus componentes. Se sabe que hay 105 familias de deformaciones de Fano triples suaves, y se pueden utilizar cálculos explícitos utilizando el invariante beta de Fujita-Li y el invariante delta de Fujita-Odaka para determinar qué familias de deformaciones contienen representantes K-estables.

Para cada familia de deformaciones se sabe si el elemento genérico de la familia es K-(poli)estable. ^[61] En particular, se sabe que 78 de 105 familias contienen un representante poliestable K en su clase de deformación. Para 71 de 105 familias, se sabe para cada miembro de la clase de deformación si es K-polistable o no. Para muchos ejemplos de las 105 familias de deformaciones, la estabilidad K de triples representativos se puede interpretar en términos de un problema GIT natural que describe esa familia, por lo que también se pueden encontrar ejemplos explícitos de K-módulos de Fano triples como cocientes GIT.

Para algunas clases de Fano triple, el problema de clasificación sigue abierto. Por ejemplo, se sabe que el triple Mukai-Umemura ^[62] en la clase de deformación admite una métrica de Kähler-Einstein y, por lo tanto, es K-polistable según el trabajo de Donaldson, quien calculó la invariante alfa de Tian explícitamente utilizando el criterio anterior. ^[63] Esta variedad tiene un grupo de automorfismo no discreto y se desconoce qué deformaciones cercanas también son K-poliestables. Se conjetura que las deformaciones correspondientes a los puntos poliestables GIT dentro del espacio de deformación versal de deberían corresponder a variedades poliestables K cercanas. ^{[64] [65]} ${\displaystyle X_{\operatorname {MU} }}$ ${\displaystyle V_{22}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X_{\operatorname {MU} }}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{\operatorname {MU} }}$

Dimensiones superiores

El primer y más simple ejemplo de una variedad de Fano K-poliestable en cualquier dimensión es el espacio proyectivo complejo , que siempre admite la métrica de Fubini-Study que es Kähler-Einstein en cualquier dimensión y por lo tanto todos los espacios proyectivos son K-poliestables.

En general, no existen muchas métricas de Kähler-Einstein "obvias" en dimensiones superiores, y hay que utilizar técnicas recientes de estabilidad para encontrar ejemplos. Para ciertas familias de variedades de Fano, la estabilidad de K se puede demostrar en dimensiones superiores utilizando técnicas analíticas a través del invariante alfa o técnicas puramente algebro-geométricas con los invariantes beta o delta. Como ejemplo, una hipersuperficie de Fermat es una variedad de la forma

$${\displaystyle F_{n,d}=\left\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots +z_{n+1}^{d}=0\right\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}.}$$

^{[22] [66][67]}todas^[10] ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle \alpha _{G}(F_{n,d})>{\frac {2}{n+2-d}}}$ ${\displaystyle F_{n,d}}$ ${\displaystyle n\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle d\leq n}$ ${\displaystyle F_{n,d}}$ ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=n,n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+1}}$

Además del estudio de variedades particulares de Fano, en ciertos entornos los módulos K pueden describirse explícitamente en dimensiones superiores. Por ejemplo, cuando los módulos K admiten una interpretación GIT "obvia", se pueden utilizar las herramientas algebraicas de invariantes beta o delta para verificar que la estabilidad GIT es equivalente a la estabilidad K para ese problema en particular. Por ejemplo, Liu demostró que para hipersuperficies cúbicas cuádruples en , el espacio de módulos GIT de cuádruples cúbicos (posiblemente singulares) es isomorfo al espacio K-módulos y, por lo tanto, se obtiene una descripción explícita de K-estable, K-polyestable y K-cuádruples cúbicos semiestables en términos de su estabilidad GIT y estructura de singularidad. ^[68] En particular, cada cuádruple cúbico liso es K-estable. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{5}}$

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Notas

1. Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun. "Sobre algunos desarrollos recientes en la geometría de Kähler".
2. Pandilla Tian. "Respuesta al CDS" y "Más comentarios sobre el CDS".