Correspondencia Kobayashi-Hitchin

Teorema de paquetes de vectores

En geometría diferencial , geometría algebraica y teoría de calibre , la correspondencia Kobayashi-Hitchin (o teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau ) relaciona haces de vectores estables sobre una variedad compleja con haces de vectores de Einstein-Hermitiano . La correspondencia lleva el nombre de Shoshichi Kobayashi y Nigel Hitchin , quienes conjeturaron de forma independiente en la década de 1980 que los espacios de módulos de haces de vectores estables y haces de vectores de Einstein-Hermitiano sobre una variedad compleja eran esencialmente los mismos. ^{[1] [2]}

Esto fue demostrado por Simon Donaldson para superficies algebraicas proyectivas y más tarde para variedades algebraicas proyectivas , ^{[3] [4]} por Karen Uhlenbeck y Shing-Tung Yau para variedades compactas de Kähler , ^[5] e independientemente por Buchdahl para superficies compactas que no son de Kahler, y por Jun Li y Yau para variedades complejas compactas arbitrarias. ^{[6] [7]}

El teorema puede considerarse una amplia generalización del teorema de Narasimhan-Seshadri relacionado con el caso de superficies compactas de Riemann , y ha sido influyente en el desarrollo de la geometría diferencial, la geometría algebraica y la teoría de calibre desde la década de 1980. En particular, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi inspiró conjeturas que condujeron a la correspondencia nobeliana de Hodge para los haces de Higgs , así como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson sobre la existencia de métricas de Kähler-Einstein en las variedades de Fano , y la conjetura de Thomas-Yau sobre la existencia de Lagrangianos especiales dentro de clases de isotopías de subvariedades lagrangianas de una variedad Calabi-Yau . ^[8]

Historia

En 1965, MS Narasimhan y CS Seshadri demostraron el teorema de Narasimhan-Seshadri , que relaciona haces de vectores holomórficos (o algebraicos) estables sobre superficies compactas de Riemann (o curvas algebraicas proyectivas no singulares), con representaciones unitarias proyectivas del grupo fundamental de Riemann. superficie. ^{[9] En la década de 1970,} Michael Atiyah , Raoul Bott , Hitchin y otros se dieron cuenta de que tal teoría de representación del grupo fundamental podía entenderse en términos de conexiones Yang-Mills , nociones que surgían de la física matemática entonces contemporánea. Inspirado por el teorema de Narasimhan-Seshadri, en esta época se formó una conjetura folclórica de que los paquetes de vectores poliestables de pendiente admiten conexiones hermitianas Yang-Mills . Esto se debe en parte al argumento de Fedor Bogomolov y al éxito del trabajo de Yau en la construcción de estructuras geométricas globales en geometría de Kähler . Esta conjetura fue compartida explícitamente por primera vez por Kobayashi y Hitchin de forma independiente a principios de los años ochenta. ^{[1] [2]}

La relación explícita entre las conexiones Yang-Mills y los haces de vectores estables se concretó a principios de la década de 1980. Una correspondencia directa cuando la dimensión de la variedad compleja de base es uno se explicó en el trabajo de Atiyah y Bott en 1982 sobre las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies compactas de Riemann, y en la nueva prueba de Donaldson del teorema de Narasimhan-Seshadri desde la perspectiva de teoría del calibre en 1983. ^{[10] [11]} En ese contexto, una conexión hermitiana Yang-Mills podría entenderse simplemente como una conexión (proyectivamente) plana sobre la superficie de Riemann. La noción de una conexión Hermitiano-Einstein para un haz de vectores sobre una variedad compleja de dimensiones superiores fue destilada por Kobayashi en 1980, y en 1982 demostró en general que un haz de vectores que admitiera tal conexión tenía pendiente estable en el sentido de Mumford . ^{[12] [13]}

La dirección más difícil de demostrar la existencia de métricas de Hermite-Einstein en haces de vectores holomórficos estables sobre variedades complejas de dimensión mayor que una siguió rápidamente en la década de 1980. Poco después de proporcionar una nueva prueba del teorema de Narasimhan-Seshadri en dimensión compleja uno, Donaldson demostró la existencia de superficies algebraicas en 1985. ^[3] Al año siguiente, Uhlenbeck –Yau demostró la existencia de variedades arbitrarias compactas de Kähler utilizando un método de continuidad. ^[5] Poco después, Donaldson proporcionó una segunda prueba adaptada específicamente al caso de variedades algebraicas proyectivas utilizando la teoría de paquetes determinantes y la métrica de Quillen . ^[4] Debido a su trabajo, la correspondencia Kobayashi-Hitchin a menudo también se conoce como teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau. En 2019, Karen Uhlenbeck recibió el premio Abel en parte por su trabajo sobre la existencia de las métricas de Hermite-Einstein, así como por sus contribuciones a las técnicas analíticas clave que sustentan la demostración del teorema. ^[14]

A finales de la década de 1980, la atención se centró en establecer la correspondencia no sólo en el caso de variedades compactas de Kähler, sino también para variedades complejas compactas arbitrarias. En este contexto resulta difícil incluso definir la noción de estabilidad. Para variedades que no son de Kähler, se debe usar una métrica de Gauduchon para definir la estabilidad, pero esto no es una restricción ya que cada métrica en una variedad compleja compacta es conforme a una métrica de Gauduchon. En 1987, Buchdahl demostró la existencia en superficies complejas compactas arbitrarias, y poco después, Li-Yau demostró la existencia de variedades complejas compactas arbitrarias. ^{[6] [7]}

Declaración

La correspondencia Kobayashi-Hitchin se refiere a la existencia de conexiones Hermitian Yang-Mills (o métricas de Hermite-Einstein) en paquetes de vectores holomorfos sobre variedades complejas compactas. En esta sección se presentarán las nociones precisas para el montaje de colectores compactos Kähler. ^{[15] [16] [17]}

Paquetes de vectores estables

La noción de estabilidad fue introducida en la geometría algebraica por Mumford en su trabajo sobre teoría geométrica de invariantes , con miras a construir espacios de módulos de diversos objetos geométricos. ^[18] Mumford aplicó esta nueva teoría de paquetes de vectores para desarrollar una noción de estabilidad de pendientes . ^[19]

Defina el grado de un paquete de vectores holomórfico sobre una variedad de Kähler compacta como el número entero ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$

${\displaystyle \mathrm {deg} (E):=(c_{1}(E)\cup [\omega ]^{n-1})[X]}$

¿Dónde está la primera clase de Chern ? La pendiente de es el número racional definido por ${\displaystyle c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)}$

${\displaystyle \mu (E):={\frac {\mathrm {deg} (E)}{\mathrm {rank} (E)}}.}$

Es posible ampliar la definición de pendiente a cualquier haz analítico coherente sobre . Es decir, en el entorno algebraico, el rango y el grado de una gavilla coherente están codificados en los coeficientes de su polinomio de Hilbert , y las expresiones para estas cantidades pueden extenderse de forma sencilla al entorno de variedades de Kähler que no son proyectivas reemplazando el paquete de líneas amplio por la clase de Kähler y pares de intersecciones por integrales. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Se dice que un paquete de vectores holomorfos tiene pendiente estable (resp. pendiente semiestable ) si para todos los subhaces coherentes distintos de cero con , se satisface la siguiente desigualdad: ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {rk} ({\mathcal {F}})<\operatorname {rk} (E)}$

${\displaystyle \mu ({\mathcal {F}})<\mu (E)\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$

Un paquete de vectores es poliestable de pendiente si es isomorfo a una suma directa de paquetes de vectores holomorfos estables de la misma pendiente. Un paquete de vectores tiene pendiente inestable si no es semiestable en pendiente.

Conexión Hermitian Yang-Mills

La noción de conexión Hermitiana Yang-Mills es una especificación de una conexión Yang-Mills para el caso de un paquete de vectores hermitiano sobre una variedad compleja. Es posible expresar la definición en términos de la métrica hermitiana en sí o de su conexión Chern asociada , y las dos nociones son esencialmente equivalentes hasta la transformación de calibre. Dado un paquete de vectores hermitiano sobre una variedad Kähler compacta, una conexión Hermitiana Yang-Mills es una conexión unitaria para la métrica hermitiana que satisface ${\displaystyle (E,h)\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}.\end{cases}}}$

La condición que implica que el operador diferencial es un operador de Dolbeault para una estructura holomorfa en el paquete de vectores hermitiano , y que en sí misma es la conexión de Chern para esta estructura holomorfa. La constante depende sólo de la topología de y se puede calcular como ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}^{0,1}}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{(n-1)!\mathrm {vol} (X)}}\mu (E).}$

Si, en cambio, se comienza con un paquete de vectores holomorfos y se varía la elección de la métrica hermitiana, entonces una solución de las ecuaciones anteriores, donde está la conexión de Chern de la métrica hermitiana, se denomina métrica de Hermite-Einstein . ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$

Correspondencia

Aquí damos el enunciado de la correspondencia Kobayashi-Hitchin para variedades complejas compactas arbitrarias, un caso en el que las definiciones anteriores de estabilidad y métricas especiales pueden ampliarse fácilmente.

Teorema (Donaldson – Uhlenbeck – Yau, Buchdahl, Li – Yau): Un paquete de vectores holomorfos sobre una variedad compleja compacta con forma métrica 2 admite una métrica de Hermite-Einstein si y solo si es poliestable de pendiente. ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Si, en cambio, se restringe a haces de vectores holomorfos irreducibles, entonces la poliestabilidad de la pendiente puede reemplazarse con estabilidad de la pendiente. La correspondencia Kobayashi-Hitchin no implica solo una biyección de conjuntos de paquetes de vectores poliestables de pendiente y métricas de Hermite-Einstein, sino un isomorfismo de espacios de módulos . Es decir, dos paquetes de vectores holomorfos poliestables son biholomórficos si y sólo si existe una transformación de calibre que toma las métricas de Hermite-Einstein correspondientes de uno a otro, y el mapa que lleva una métrica de Hermite-Einstein a su correspondiente paquete de vectores poliestables es continuo con respecto a tomar secuencias de métricas hermitianas y paquetes de vectores holomorfos en las topologías apropiadas. Así, se puede expresar la correspondencia de la siguiente manera: ${\displaystyle h\mapsto E}$

Teorema (versión del espacio de módulos): existe un homeomorfismo del espacio de módulos de haces de vectores holomorfos poliestables con una estructura suave subyacente fija hasta el biholomorfismo, y el espacio de módulos de las métricas de Hermite-Einstein en el paquete de vectores complejos hasta la transformación de calibre. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle E}$

Una dirección de la prueba de la correspondencia Kobayashi-Hitchin, la estabilidad de un paquete de vectores holomorfos que admite una métrica de Hermite-Einstein, es una aplicación relativamente sencilla del principio de la geometría hermitiana de que la curvatura disminuye en los subpaquetes holomorfos . Kobayashi y Lübke dieron pruebas de esta dirección. ^{[12] [20]} La principal dificultad en esta dirección es mostrar estabilidad con respecto a subhaces coherentes que no están localmente libres, y para ello Kobayashi demostró un teorema de desaparición para secciones de haces de vectores de Hermite-Einstein.

La dirección más complicada de mostrar la existencia de una métrica de Hermite-Einstein en un paquete de vectores poliestable de pendiente requiere técnicas sofisticadas de análisis geométrico . Muchas de estas técnicas se basan en las ideas desarrolladas por Yau en su prueba de la conjetura de Calabi , así como en el importante trabajo de Uhlenbeck sobre mapas armónicos en la década de 1970 y sus importantes resultados analíticos sobre las conexiones Yang-Mills de principios de la década de 1980. Uhlenbeck y Yau demostraron el caso general de la correspondencia aplicando un método de continuidad y mostrando que la obstrucción para completar este método de continuidad puede caracterizarse precisamente por un subhaz analítico coherente con el cual la pendiente desestabiliza el paquete de vectores. Estas técnicas fueron desarrolladas por Buchdahl y Li – Yau en un entorno donde la forma 2 no está cerrada, de modo que la variedad compleja compacta no es Kähler. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \omega }$

Generalizaciones e influencia

La correspondencia Kobayashi-Hitchin fue uno de los primeros ejemplos de un principio general que ha llegado a dominar la investigación en geometría desde su prueba: los objetos extremos en geometría diferencial corresponden a objetos estables en geometría algebraica . Se han demostrado muchos resultados como extensiones o variaciones de la correspondencia Kobayashi-Hitchin, o por analogía directa con la correspondencia con partes aparentemente dispares de la geometría, y todos estos resultados siguen este mismo principio. A continuación se ofrece un resumen de estas generalizaciones o resultados relacionados:

Generalizaciones

• Una forma de la correspondencia Kobayashi-Hitchin es válida para paquetes de vectores semiestables de pendiente estricta que no son poliestables. ^[17] En tales paquetes de vectores se puede probar la existencia de la llamada métrica aproximada de Hermite-Einstein , que es una familia de métricas hermitianas para pequeños tales que para cada . ${\displaystyle h_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|\Lambda _{\omega }F(h_{\varepsilon })-\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}\|_{L^{2}}<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Bando-Siu ha generalizado la correspondencia Kobayashi-Hitchin a haces de vectores holomorfos singulares, también conocidos como haces reflexivos . ^[21] Esto implica definir una noción de métricas singulares de Hermite-Einstein en tales haces y ha sido influyente en el desarrollo de métricas singulares de Kähler-Einstein sobre variedades singulares de Fano.
• La correspondencia fue generalizada al caso de los haces de Higgs por Hitchin, Carlos Simpson , Donaldson y Kevin Corlette. Es decir, Hitchin demostró ser un análogo parcial de la correspondencia Kobayashi-Hitchin para haces de Higgs sobre una superficie compacta de Riemann, y Donaldson proporcionó algunos trabajos sobre representaciones armónicas que completaron esta correspondencia. Simpson generalizó ampliamente esto al caso de haces de Higgs sobre variedades compactas arbitrarias de Kähler, y Corlette demostró los resultados correspondientes sobre representaciones armónicas en este caso. Esto ha llegado a ser conocido como la correspondencia nobeliana de Hodge , y tiene profundas relaciones con la simetría especular y la conjetura P=W de Tamas Hausel , así como con los sistemas integrables . La correspondencia nobeliana de Hodge implica la correspondencia Kobayashi-Hitchin para variedades compactas de Kähler.
• La correspondencia se generalizó a las métricas de Hermite-Einstein sobre paquetes principales holomorfos con grupo de estructura reductiva , admitiendo una reducción compatible del grupo de estructura a un subgrupo compacto máximo. Annamalai Ramanathan definió por primera vez la noción de paquete principal estable , ^[22] y en general la correspondencia fue probada por Anchouche y Biswas . ^[23] También se conoce una versión de la correspondencia para los haces del principal de Higgs.
• David Gieseker introdujo una noción de estabilidad, la estabilidad de Gieseker , que comparte muchas propiedades formales con la estabilidad de taludes. La estabilidad de Gieseker requiere desigualdades de polinomios de Hilbert completos (normalizados) para argumentos amplios, mientras que la estabilidad de pendiente requiere solo una desigualdad de los coeficientes de orden principal. Por tanto, la estabilidad de Gieseker puede verse como una generalización de la estabilidad de taludes y, de hecho, existe una cadena de implicaciones.

pendiente estable ⇒ Gieseker estable ⇒ Gieseker semiestable ⇒ pendiente semiestable .

La estabilidad de Gieseker es una noción de estabilidad para paquetes de vectores que surge directamente de la teoría geométrica de invariantes y posteriormente ha tenido un impacto significativo en la geometría algebraica, donde se utiliza para formar espacios de módulos de haces. ^[24] Conan Leung demostró una generalización de la correspondencia Kobayashi-Hitchin para los paquetes de vectores estables de Gieseker, quien asoció a cada paquete de vectores estables de Gieseker una llamada métrica casi de Hermite-Einstein . ^[25] Estas son métricas hermitianas especiales que satisfacen una versión polinómica de la ecuación diferencial que define una métrica de Hermite-Einstein y, de hecho, son clases especiales de métricas aproximadas de Hermite-Einstein.

• En 2001, Álvarez-Cónsul y García-Prada demostraron una amplia generalización de la correspondencia Kobayashi-Hitchin con haces de carcaj retorcidos sobre variedades compactas de Kähler, que son familias de haces de vectores holomorfos equipados con campos auxiliares y homomorfismos de haces entre ellos. Esto incluye como casos especiales la correspondencia regular Kobayashi-Hitchin, así como la correspondencia nobeliana de Hodge y varias versiones de la correspondencia Kobayashi-Hitchin para reducciones dimensionales de las ecuaciones de Yang-Mills. ^[26]

Influencia

Además de admitir muchas generalizaciones directas o vastas, la correspondencia Kobayashi-Hitchin también ha servido como resultado guía para otras correspondencias que no encajan directamente en el marco de las métricas hermitianas sobre haces de vectores. ^{[27] [28]}

• Existe una correspondencia en la teoría de Seiberg-Witten inspirada en la correspondencia Kobayashi-Hitchin, que identifica soluciones de las ecuaciones de Seiberg-Witten sobre una superficie de Kähler, monopolos , con ciertos divisores . ^{[29] [30]} Esto se ha utilizado para calcular ejemplos de invariantes de Seiberg-Witten de cuatro variedades y recuperar resultados conocidos de la teoría de Donaldson .
• Yau conjeturó en 1993 que debería existir una noción de estabilidad para variedades algebraicas que caracterizaría de manera única la existencia de métricas de Kähler-Einstein en variedades de Fano suaves , y que esta noción de estabilidad debería ser análoga a la estabilidad de pendiente de haces de vectores. ^[31] Tian Gang dio una definición precisa de tal noción de estabilidad, llamada K-estabilidad , que fue reformulada de una manera puramente algebro-geométrica por Donaldson. ^{[32] [33]} Chen-Donaldson-Sun demostró la conjetura de que tales variedades de Fano K-poliestables están en correspondencia con las métricas de Kähler-Einstein. ^{[34] [35] [36]}
• Basándose en la conjetura de Yau, Donaldson conjeturó que, de manera más general, cualquier variedad proyectiva K-poliestable suave debería admitir una curvatura escalar constante métrica de Kähler . Esta generalización de la conjetura para las variedades de Fano se conoce como conjetura de Yau-Tian-Donaldson y todavía está abierta en general. Se ha resuelto en el caso de variedades tóricas de dimensión compleja dos. Muchas de las técnicas desarrolladas para comprender la correspondencia Kobayashi-Hitchin se han aplicado al establecimiento de variedades para intentar comprender la conjetura YTD. Es decir, el uso del flujo de Kähler-Ricci como una analogía del flujo de Yang-Mills, y del funcional de Calabi y del funcional de energía K en comparación con el funcional de Yang-Mills y el funcional de Donaldson. El estudio de las degeneraciones óptimas de variedades proyectivas con respecto a la estabilidad K también se ha inspirado en gran medida en el estudio de la filtración de Harder-Narasimhan de un paquete de vectores holomórficos, y el comportamiento singular de las métricas en variedades se estudia mediante analogía con cómo las métricas hermitianas degenera a lo largo del flujo de Yang-Mills en haces de vectores holomorfos estrictamente semiestables.
• La conjetura de Thomas-Yau en geometría simpléctica propone una condición de estabilidad que debería caracterizar con precisión cuándo una clase isotópica de subvariedades lagrangianas de una variedad Calabi-Yau admite una subvariedad lagrangiana especial como representante. ^[8] Esta conjetura puede verse como una analogía directa con la correspondencia Kobayashi-Hitchin, donde la clase de isotopía se reemplaza por una órbita calibre dentro del espacio de haces de vectores hermitianos, y la condición lagrangiana especial se reemplaza con la condición de Hermite-Einstein. . Dominic Joyce propuso una caracterización de la condición de estabilidad requerida a partir de las condiciones de estabilidad de Bridgeland , y Gao Chen ha probado una versión especular del resultado de la llamada ecuación hermitiana deformada de Yang-Mills . ^[37]

Aplicaciones

La correspondencia Kobayashi-Hitchin ha encontrado una variedad de aplicaciones importantes en geometría algebraica, geometría diferencial y topología diferencial . Al proporcionar dos descripciones alternativas del espacio de módulos de haces de vectores holomórficos estables sobre una variedad compleja, una de naturaleza algebraica y la otra analítica, se han podido demostrar muchos resultados importantes sobre tales espacios de módulos. El más espectacular de ellos ha sido el estudio de invariantes de cuatro variedades y, más generalmente, de variedades algebraicas, a través de la teoría de Donaldson-Thomas . ^[38] En particular, el espacio de módulos de los haces vectoriales de Hermite-Einstein viene naturalmente equipado con una estructura riemanniana, dada por una métrica de tipo Weil-Peterson en el espacio de módulos. La combinación de esta estructura geométrica con las compactaciones algebraicas naturales del espacio de módulos que surgen de la correspondencia Kobayashi-Hitchin, dada por los espacios de módulos de las gavillas semiestables de pendiente o semiestables de Gieseker, permite integrar clases características sobre el espacio de módulos para obtener invariantes del Colector complejo original. Esto se utiliza más famosamente en la teoría de Donaldson , donde se obtienen invariantes de cuatro variedades suaves. Se han utilizado técnicas similares en la teoría de Seiberg-Witten . En dimensiones superiores, la teoría de Donaldson-Thomas y la integración sobre clases fundamentales virtuales se desarrollaron en analogía con las descripciones duales de espacios de módulos de haces que ofrece la correspondencia Kobayashi-Hitchin. Este es un sentido en el que la correspondencia ha tenido impactos duraderos en la geometría enumerativa . ^[39]

Referencias

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