Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Sistema estándar de teoría de conjuntos axiomáticos.

En teoría de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , llamada así en honor a los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel , es un sistema axiomático que fue propuesto a principios del siglo XX con el fin de formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la paradoja de Russell . Hoy en día, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el históricamente controvertido axioma de elección (AC) incluido, es la forma estándar de teoría de conjuntos axiomática y, como tal, es la base más común de las matemáticas . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido se abrevia ZFC , donde C significa "elección", ^[1] y ZF se refiere a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido.

Informalmente, ^[2] la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel pretende formalizar una única noción primitiva, la de conjunto hereditario bien fundado , de modo que todas las entidades en el universo del discurso sean tales conjuntos. Así, los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se refieren sólo a conjuntos puros e impiden que sus modelos contengan urelementos (elementos de conjuntos que no son en sí mismos conjuntos). Además, las clases adecuadas (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros donde las colecciones son demasiado grandes para ser conjuntos) sólo pueden tratarse indirectamente. Específicamente, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no permite la existencia de un conjunto universal (un conjunto que contenga todos los conjuntos) ni una comprensión ilimitada , evitando así la paradoja de Russell. La teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una extensión conservadora de uso común de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que permite el tratamiento explícito de las clases adecuadas.

Existen muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. La mayoría de los axiomas establecen la existencia de conjuntos particulares definidos a partir de otros conjuntos. Por ejemplo, el axioma de emparejamiento dice que dados dos conjuntos cualesquiera , hay un nuevo conjunto que contiene exactamente y . Otros axiomas describen propiedades de pertenencia a un conjunto. Un objetivo de los axiomas es que cada axioma sea verdadero si se interpreta como una afirmación sobre la colección de todos los conjuntos en el universo de von Neumann (también conocido como jerarquía acumulativa). Formalmente, ZFC es una teoría de un solo orden en lógica de primer orden . La firma tiene igualdad y una única relación binaria primitiva , destinada a formalizar la pertenencia al conjunto , que normalmente se denota . La fórmula significa que el conjunto es miembro del conjunto (que también se lee, " es un elemento de " o " está en "). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle a\in b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La metamatemática de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se ha estudiado ampliamente. Los resultados históricos en esta área establecieron la independencia lógica del axioma de elección de los axiomas restantes de Zermelo-Fraenkel (ver Axioma de elección § Independencia ) y de la hipótesis del continuo de ZFC. La coherencia de una teoría como ZFC no se puede demostrar dentro de la teoría misma, como lo muestra el segundo teorema de incompletitud de Gödel .

Historia

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por Georg Cantor y Richard Dedekind en la década de 1870. Sin embargo, el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos ingenua , como la paradoja de Russell , llevó al deseo de una forma más rigurosa de teoría de conjuntos que estuviera libre de estas paradojas.

En 1908, Ernst Zermelo propuso la primera teoría de conjuntos axiomática , la teoría de conjuntos de Zermelo . Sin embargo, como señaló por primera vez Abraham Fraenkel en una carta de 1921 a Zermelo, esta teoría era incapaz de probar la existencia de ciertos conjuntos y números cardinales cuya existencia daban por sentada la mayoría de los teóricos de conjuntos de la época, en particular el número cardinal y el set donde es cualquier conjunto infinito y es la operación del conjunto de potencias . ^[3] Además, uno de los axiomas de Zermelo invocaba un concepto, el de propiedad "definida", cuyo significado operativo no estaba claro. En 1922, Fraenkel y Thoralf Skolem propusieron de forma independiente operacionalizar una propiedad "definida" como una que podría formularse como una fórmula bien formada en una lógica de primer orden cuyas fórmulas atómicas se limitaban a establecer membresía e identidad. También propusieron de forma independiente reemplazar el esquema axiomático de especificación con el esquema axiomático de reemplazo . Al agregar este esquema, así como el axioma de regularidad (propuesto por primera vez por John von Neumann ), ^[4] a la teoría de conjuntos de Zermelo se obtiene la teoría denotada por ZF . Agregar a ZF el axioma de elección (AC) o un enunciado equivalente da como resultado ZFC. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Axiomas

Existen muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de ZFC; para una discusión sobre esto, ver Fraenkel, Bar-Hillel y Lévy 1973. El siguiente conjunto de axiomas particular es de Kunen (1980). Los axiomas per se se expresan en el simbolismo de la lógica de primer orden . La prosa inglesa asociada sólo pretende ayudar a la intuición.

Los axiomas 1-8 forman ZF, mientras que el axioma 9 convierte ZF en ZFC. Siguiendo a Kunen (1980), utilizamos el teorema de buen orden equivalente en lugar del axioma de elección para el axioma 9 .

Todas las formulaciones de ZFC implican que existe al menos un conjunto. Kunen incluye un axioma que afirma directamente la existencia de un conjunto, además de los axiomas que se dan a continuación (aunque señala que lo hace sólo "para dar énfasis"). ^[5] Su omisión aquí puede justificarse de dos maneras. En primer lugar, en la semántica estándar de la lógica de primer orden en la que normalmente se formaliza la ZFC, el dominio del discurso no debe estar vacío. Por lo tanto, es un teorema lógico de la lógica de primer orden que algo existe, generalmente expresado como la afirmación de que algo es idéntico a sí mismo . En consecuencia, es un teorema de toda teoría de primer orden que algo existe. Sin embargo, como se señaló anteriormente, debido a que en la semántica prevista de ZFC solo hay conjuntos, la interpretación de este teorema lógico en el contexto de ZFC es que existe algún conjunto . Por tanto, no hay necesidad de un axioma separado que afirme que existe un conjunto. En segundo lugar, sin embargo, incluso si ZFC se formula en la llamada lógica libre , en la que no es demostrable únicamente mediante la lógica que algo existe, el axioma del infinito (a continuación) afirma que existe un conjunto infinito . Esto implica que existe un conjunto y, por tanto, una vez más, es superfluo incluir un axioma que así lo afirme. ${\displaystyle \exists x(x=x)}$

1. Axioma de extensionalidad

Dos conjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si tienen los mismos elementos.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Lo contrario de este axioma se deriva de la propiedad de sustitución de la igualdad . ZFC está construido en lógica de primer orden. Algunas formulaciones de la lógica de primer orden incluyen la identidad; Otros no lo hacen. Si la variedad de lógica de primer orden en la que se está construyendo la teoría de conjuntos no incluye la igualdad " ", se puede definir como una abreviatura de la siguiente fórmula: ^[6] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

En este caso, el axioma de extensionalidad se puede reformular como

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

que dice que si y tienen los mismos elementos, entonces pertenecen al mismo conjunto. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

2. Axioma de regularidad (también llamado axioma de fundamento)

Todo conjunto no vacío contiene un miembro tal que y son conjuntos disjuntos . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^[8]

o en notación moderna: ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

Esto (junto con el axioma de emparejamiento) implica, por ejemplo, que ningún conjunto es un elemento de sí mismo y que todo conjunto tiene un rango ordinal .

3. Esquema axiomático de especificación (o de separación, o de comprensión restringida)

Los subconjuntos se construyen habitualmente utilizando la notación de creación de conjuntos . Por ejemplo, los números enteros pares se pueden construir como el subconjunto de los números enteros que satisfacen el predicado del módulo de congruencia : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

En general, el subconjunto de un conjunto que obedece a una fórmula con una variable libre se puede escribir como: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

El esquema de axioma de especificación establece que este subconjunto siempre existe (es un esquema de axioma porque hay un axioma para cada uno ). Formalmente, sea cualquier fórmula en el lenguaje de ZFC con todas las variables libres entre ( no es libre en ). Entonces: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

Tenga en cuenta que el esquema axioma de especificación sólo puede construir subconjuntos y no permite la construcción de entidades de la forma más general:

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

Esta restricción es necesaria para evitar la paradoja de Russell (dejemos entonces ) y sus variantes que acompañan a la ingenua teoría de conjuntos con una comprensión irrestricta . ${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$ ${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$

En algunas otras axiomatizaciones de ZF, este axioma es redundante porque se deriva del esquema de axioma de reemplazo y del axioma del conjunto vacío .

Por otro lado, el esquema axiomático de especificación se puede utilizar para demostrar la existencia del conjunto vacío , denotado , una vez que se sabe que existe al menos un conjunto (ver arriba). Una forma de hacerlo es utilizar una propiedad que ningún conjunto tenga. Por ejemplo, si existe algún conjunto, el conjunto vacío se puede construir como ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}$

Por tanto, el axioma del conjunto vacío está implícito en los nueve axiomas presentados aquí. El axioma de extensionalidad implica que el conjunto vacío es único (no depende de ). Es común hacer una extensión de definición que agregue el símbolo " " al lenguaje de ZFC. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \varnothing }$

4. Axioma de emparejamiento

Si y son conjuntos, entonces existe un conjunto que contiene y como elementos, por ejemplo si x = {1,2} e y = {2,3} entonces z será {{1,2},{2,3} } ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

Se debe utilizar el esquema axiomático de especificación para reducir esto a un conjunto con exactamente estos dos elementos. El axioma de emparejamiento es parte de Z, pero es redundante en ZF porque se deriva del esquema del axioma de reemplazo si se nos da un conjunto con al menos dos elementos. La existencia de un conjunto con al menos dos elementos está asegurada por el axioma del infinito o por el esquema de axioma de especificación ^{[ dudoso ]} y el axioma del conjunto potencia aplicado dos veces a cualquier conjunto.

5. Axioma de unión

La unión de los elementos de un conjunto existe. Por ejemplo, la unión entre los elementos del conjunto es ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

El axioma de unión establece que para cualquier conjunto de conjuntos , hay un conjunto que contiene cada elemento que es miembro de algún miembro de : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Aunque esta fórmula no afirma directamente la existencia de , el conjunto se puede construir a partir de lo anterior utilizando el esquema de axioma de especificación: ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

6. Esquema de axioma de sustitución.

El esquema axioma de reemplazo afirma que la imagen de un conjunto bajo cualquier función definible también caerá dentro de un conjunto.

Formalmente, sea cualquier fórmula en el lenguaje de ZFC cuyas variables libres se encuentren entre sí , de modo que en particular no sea libre en . Entonces: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

(El cuantificador existencial único denota la existencia de exactamente un elemento tal que sigue una declaración dada. Para obtener más información, consulte cuantificación de unicidad ). ${\displaystyle \exists !}$

En otras palabras, si la relación representa una función definible , representa su dominio y es un conjunto para cada, entonces el rango de es un subconjunto de algún conjunto . La forma aquí expuesta, en la que puede ser mayor de lo estrictamente necesario, a veces se denomina esquema axiomático de colección . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

7. Axioma del infinito

Abreviemos dónde está algún conjunto . (Podemos ver que es un conjunto válido aplicando el axioma de emparejamiento con para que el conjunto z sea ). Entonces existe un conjunto X tal que el conjunto vacío , definido axiomáticamente, es miembro de X y, siempre que un conjunto y es miembro de X entonces también es miembro de X. ${\displaystyle S(w)}$ ${\displaystyle w\cup \{w\},}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \{w\}}$ ${\displaystyle x=y=w}$ ${\displaystyle \{w\}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle S(y)}$

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

De manera más coloquial, existe un conjunto X que tiene infinitos miembros. (Debe establecerse, sin embargo, que estos miembros son todos diferentes porque si dos elementos son iguales, la secuencia se repetirá en un ciclo finito de conjuntos. El axioma de regularidad impide que esto suceda). El conjunto mínimo X que satisface el El axioma del infinito es el ordinal de von Neumann ω , que también puede considerarse como el conjunto de números naturales. ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

8. Axioma del conjunto de potencias

Por definición, un conjunto es un subconjunto de un conjunto si y sólo si cada elemento de es también un elemento de : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

El axioma del conjunto potencia establece que para cualquier conjunto , hay un conjunto que contiene cada subconjunto de : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

El esquema de axioma de especificación se utiliza luego para definir el conjunto de potencias como el subconjunto de uno que contiene los subconjuntos de exactamente: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Los axiomas 1 a 8 definen ZF. A menudo se encuentran formas alternativas de estos axiomas, algunas de las cuales se enumeran en Jech (2003). Algunas axiomatizaciones de ZF incluyen un axioma que afirma que existe el conjunto vacío . Los axiomas de emparejamiento, unión, reemplazo y conjunto de potencias a menudo se expresan de manera que los miembros del conjunto cuya existencia se afirma son precisamente aquellos conjuntos que el axioma afirma que deben contener. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Se agrega el siguiente axioma para convertir ZF en ZFC:

9. Axioma de buen orden (elección)

El último axioma, comúnmente conocido como axioma de elección , se presenta aquí como una propiedad sobre los buenos órdenes , como en Kunen (1980). Para cualquier conjunto , existe una relación binaria que ordena bien . Esto significa que es un orden lineal tal que cada subconjunto no vacío de tiene un miembro que es mínimo bajo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

Dados los axiomas 1  –  8 , muchas afirmaciones son demostrablemente equivalentes al axioma 9 . El más común de ellos es el siguiente. Sea un conjunto cuyos miembros no estén vacíos. Entonces existe una función de a la unión de los miembros de , llamada " función de elección ", tal que para todos uno tiene . Una tercera versión del axioma, también equivalente, es el lema de Zorn . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\in X}$ ${\displaystyle f(Y)\in Y}$

Dado que la existencia de una función de elección cuando es un conjunto finito se prueba fácilmente a partir de los axiomas 1 a 8 , AC sólo importa para ciertos conjuntos infinitos . AC se caracteriza como no constructivo porque afirma la existencia de una función de elección pero no dice nada sobre cómo debe "construirse" esta función de elección. ${\displaystyle X}$

Motivación a través de la jerarquía acumulativa

Una motivación para los axiomas de ZFC es la jerarquía acumulativa de conjuntos introducida por John von Neumann . ^[9] Desde este punto de vista, el universo de la teoría de conjuntos se construye en etapas, con una etapa para cada número ordinal . En la etapa 0, aún no hay conjuntos. En cada etapa siguiente, se agrega un conjunto al universo si todos sus elementos se agregaron en etapas anteriores. Así, el conjunto vacío se agrega en la etapa 1, y el conjunto que contiene el conjunto vacío se agrega en la etapa 2. [ ^10] La colección de todos los conjuntos que se obtienen de esta manera, en todas las etapas, se conoce como V. Los conjuntos en V se pueden organizar en una jerarquía asignando a cada conjunto la primera etapa en la que ese conjunto se agregó a V.

Es demostrable que un conjunto está en V si y sólo si el conjunto es puro y está bien fundamentado . Y V satisface todos los axiomas de ZFC si la clase de ordinales tiene propiedades de reflexión apropiadas. Por ejemplo, supongamos que un conjunto x se agrega en la etapa α, lo que significa que cada elemento de x se agregó en una etapa anterior a α. Entonces, cada subconjunto de x también se agrega en (o antes) la etapa α, porque todos los elementos de cualquier subconjunto de x también se agregaron antes de la etapa α. Esto significa que cualquier subconjunto de x que el axioma de separación pueda construir se agrega en (o antes) la etapa α, y que el conjunto potencia de x se agregará en la siguiente etapa después de α. Para un argumento completo de que V satisface ZFC, véase Shoenfield (1977).

La imagen del universo de conjuntos estratificados en la jerarquía acumulativa es característica de ZFC y teorías de conjuntos axiomáticas relacionadas, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (a menudo llamada NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . La jerarquía acumulativa no es compatible con otras teorías de conjuntos como Nuevas Fundaciones .

Es posible cambiar la definición de V para que en cada etapa, en lugar de sumar todos los subconjuntos de la unión de las etapas anteriores, sólo se agreguen subconjuntos si son definibles en cierto sentido. Esto da como resultado una jerarquía más "estrecha", lo que da el universo construible L , que también satisface todos los axiomas de ZFC, incluido el axioma de elección. Es independiente de los axiomas de ZFC si V  =  L. Aunque la estructura de L es más regular y se comporta mejor que la de  V , pocos matemáticos sostienen que  V =  L debería agregarse a ZFC como un " axioma de constructibilidad " adicional.

Metamatemáticas

clases virtuales

Las clases adecuadas (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros que son demasiado grandes para ser conjuntos) sólo pueden tratarse indirectamente en ZF (y por tanto en ZFC). Una alternativa a las clases adecuadas mientras se permanece dentro de ZF y ZFC es la construcción de notación de clase virtual introducida por Quine (1969), donde la construcción completa y ∈ { x | F x } se define simplemente como F y . ^[11] Esto proporciona una notación simple para clases que pueden contener conjuntos pero que no necesitan ser conjuntos, sin comprometerse con la ontología de clases (porque la notación se puede convertir sintácticamente a una que solo use conjuntos). El enfoque de Quine se basó en el enfoque anterior de Bernays y Fraenkel (1958). Las clases virtuales también se utilizan en Levy (2002), Takeuti & Zaring (1982) y en la implementación Metamath de ZFC.

Axiomatización finita

Cada uno de los esquemas de axiomas de reemplazo y separación contiene infinitos casos. Montague (1961) incluyó un resultado probado por primera vez en su doctorado de 1957. tesis: si ZFC es consistente, es imposible axiomatizar ZFC usando solo un número finito de axiomas. Por otro lado, la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) puede axiomatizarse de forma finita. La ontología de NBG incluye clases y conjuntos adecuados ; un conjunto es cualquier clase que puede ser miembro de otra clase. NBG y ZFC son teorías de conjuntos equivalentes en el sentido de que cualquier teorema que no mencione clases y que sea demostrable en una teoría puede demostrarse en la otra.

Consistencia

El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice que un sistema recursivamente axiomatizable que pueda interpretar la aritmética de Robinson puede demostrar su propia consistencia sólo si es inconsistente. Además, la aritmética de Robinson se puede interpretar en la teoría general de conjuntos , un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la coherencia de ZFC no puede demostrarse dentro de la propia ZFC (a menos que sea realmente inconsistente). Por tanto, en la medida en que ZFC se identifica con las matemáticas ordinarias, la coherencia de ZFC no puede demostrarse en las matemáticas ordinarias. La coherencia de ZFC se deriva de la existencia de un cardinal débilmente inaccesible , que no se puede demostrar en ZFC si ZFC es coherente. Sin embargo, se considera poco probable que ZFC albergue una contradicción insospechada; Se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. Esto es seguro: ZFC es inmune a las paradojas clásicas de la teoría ingenua de conjuntos : la paradoja de Russell , la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Cantor .

Abian y LaMacchia (1978) estudiaron una subteoría de ZFC que consta de los axiomas de extensionalidad, unión, conjunto de poderes, reemplazo y elección. Utilizando modelos , demostraron que esta subteoría era consistente y demostraron que cada uno de los axiomas de extensionalidad, reemplazo y conjunto de potencias es independiente de los cuatro axiomas restantes de esta subteoría. Si esta subteoría se aumenta con el axioma del infinito, cada uno de los axiomas de unión, elección e infinito es independiente de los cinco axiomas restantes. Debido a que existen modelos no bien fundamentados que satisfacen cada axioma de ZFC excepto el axioma de regularidad, ese axioma es independiente de los demás axiomas de ZFC.

Si es consistente, ZFC no puede probar la existencia de los cardinales inaccesibles que requiere la teoría de categorías . Son posibles conjuntos enormes de esta naturaleza si se aumenta ZF con el axioma de Tarski . ^[12] Suponiendo que el axioma convierte los axiomas de infinito , conjunto de potencias y elección ( 7  –  9 arriba) en teoremas.

Independencia

Muchas declaraciones importantes son independientes de ZFC (consulte la lista de declaraciones independientes de ZFC ). La independencia generalmente se prueba forzando , mediante lo cual se demuestra que cada modelo transitivo contable de ZFC (a veces aumentado con grandes axiomas cardinales ) puede ampliarse para satisfacer la afirmación en cuestión. Luego se muestra una expansión diferente para satisfacer la negación del enunciado. Una prueba de independencia forzada demuestra automáticamente la independencia de enunciados aritméticos, otros enunciados concretos y grandes axiomas cardinales. Se puede demostrar que algunas afirmaciones independientes de ZFC son válidas en modelos internos particulares , como en el universo construible . Sin embargo, algunas afirmaciones que son ciertas sobre los conjuntos construibles no son consistentes con los grandes axiomas cardinales hipotéticos.

El forzado demuestra que las siguientes afirmaciones son independientes de ZFC:

• Axioma de constructibilidad (V=L) (que tampoco es un axioma ZFC)
• Hipótesis del continuo
• Principio del diamante
• Axioma de Martin (que no es un axioma de ZFC)
• Hipótesis de Suslin

Observaciones:

• La consistencia de V=L se puede demostrar mediante modelos internos , pero no forzando: cada modelo de ZF se puede recortar para convertirse en un modelo de ZFC + V=L.
• El principio del diamante implica la hipótesis del continuo y la negación de la hipótesis de Suslin.
• El axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.
• El universo construible satisface la hipótesis del continuo generalizado , el principio del diamante, el axioma de Martin y la hipótesis de Kurepa.
• El fracaso de la hipótesis de Kurepa es equiconsistente con la existencia de un cardenal fuertemente inaccesible .

También se puede utilizar una variación del método de forzado para demostrar la consistencia y la imposibilidad de demostrar el axioma de elección , es decir, que el axioma de elección es independiente de ZF. La coherencia de la elección se puede verificar (relativamente) fácilmente demostrando que el modelo interno L satisface la elección. (Así, cada modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC, de modo que Con(ZF) implica Con(ZFC).) Dado que forzar preserva la elección, no podemos producir directamente un modelo que contradiga la elección a partir de un modelo que satisfaga la elección. Sin embargo, podemos utilizar la fuerza para crear un modelo que contenga un submodelo adecuado, es decir, uno que satisfaga ZF pero no C.

Otro método para demostrar resultados de independencia, que no se debe a la fuerza, se basa en el segundo teorema de incompletitud de Gödel. Este enfoque emplea el enunciado cuya independencia se está examinando para demostrar la existencia de un modelo conjunto de ZFC, en cuyo caso Con(ZFC) es verdadero. Dado que ZFC satisface las condiciones del segundo teorema de Gödel, la consistencia de ZFC no se puede demostrar en ZFC (siempre que ZFC sea, de hecho, consistente). Por lo tanto, en la ZFC no se puede probar ninguna declaración que permita tal prueba. Este método puede probar que la existencia de cardenales grandes no es demostrable en ZFC, pero no puede probar que asumir tales cardenales, dado ZFC, esté libre de contradicción.

Adiciones propuestas

El proyecto para unificar a los teóricos de conjuntos detrás de axiomas adicionales para resolver la hipótesis del continuo u otras ambigüedades metamatemáticas se conoce a veces como "programa de Gödel". ^[13] Los matemáticos actualmente debaten qué axiomas son los más plausibles o "evidentes", qué axiomas son los más útiles en diversos dominios y hasta qué punto la utilidad debe compensarse con la plausibilidad; Algunos teóricos de conjuntos del " multiverso " sostienen que la utilidad debería ser el único criterio último en el que se adoptan habitualmente los axiomas. Una escuela de pensamiento se apoya en expandir el concepto "iterativo" de conjunto para producir un universo teórico de conjuntos con una estructura interesante y compleja pero razonablemente manejable mediante la adopción de axiomas forzados; otra escuela aboga por un universo más ordenado y menos desordenado, tal vez centrado en un modelo interno "central". ^[14]

Críticas

Para una crítica de la teoría de conjuntos en general, consulte Objeciones a la teoría de conjuntos.

ZFC ha sido criticado tanto por ser excesivamente fuerte como por ser excesivamente débil, así como por no capturar objetos como las clases adecuadas y el conjunto universal .

Muchos teoremas matemáticos se pueden demostrar en sistemas mucho más débiles que ZFC, como la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden (como la explora el programa de matemáticas inversas ). Saunders Mac Lane y Solomon Feferman han señalado este punto. Algunas de las "matemáticas convencionales" (matemáticas que no están directamente relacionadas con la teoría de conjuntos axiomática) están más allá de la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden, pero aún así, todas esas matemáticas se pueden llevar a cabo en ZC ( teoría de conjuntos de Zermelo con elección), otra teoría más débil que ZFC. Gran parte del poder de ZFC, incluido el axioma de regularidad y el esquema de axioma de reemplazo, se incluye principalmente para facilitar el estudio de la teoría de conjuntos en sí.

Por otro lado, entre las teorías de conjuntos axiomáticas , ZFC es comparativamente débil. A diferencia de las nuevas fundaciones , ZFC no admite la existencia de un conjunto universal. Por tanto, el universo de conjuntos bajo ZFC no está cerrado bajo las operaciones elementales del álgebra de conjuntos . A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), ZFC no admite la existencia de clases adecuadas . Otra debilidad comparativa de ZFC es que el axioma de elección incluido en ZFC es más débil que el axioma de elección global incluido en NBG y MK.

Existen numerosas afirmaciones matemáticas independientes de ZFC . Éstos incluyen la hipótesis del continuo , el problema de Whitehead y la conjetura del espacio normal de Moore . Algunas de estas conjeturas se pueden demostrar añadiendo axiomas como el axioma de Martin o grandes axiomas cardinales a ZFC. Algunos otros se deciden en ZF+AD donde AD es el axioma de determinación , una suposición fuerte incompatible con la elección. Un atractivo de los axiomas cardinales grandes es que permiten que muchos resultados de ZF+AD se establezcan en ZFC unidos por algún axioma cardinal grande (ver determinación proyectiva ). El sistema Mizar y las metamatemáticas han adoptado la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , una extensión de ZFC, de modo que puedan formalizarse las pruebas que involucran universos de Grothendieck (que se encuentran en la teoría de categorías y la geometría algebraica).

Ver también

• Fundamentos de las matemáticas
• modelo interior
• Gran axioma cardinal

Teorías de conjuntos axiomáticos relacionados :

• Teoría de conjuntos de Morse-Kelley
• Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel
• Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck
• Teoría de conjuntos constructiva
• Teoría de conjuntos internos

Notas

1. Ciesielski 1997, pág. 4: "Axiomas de Zermelo-Fraenkel (abreviado como ZFC, donde C representa el axioma de elección)"
2. Kunen 2007, pag. 10
3. Ebbinghaus 2007, pag. 136.
4. Halbeisen 2011, págs. 62–63.
5. Kunen 1980, pag. 10.
6. Hatcher 1982, pag. 138, def. 1.
7. Fraenkel, Bar-Hillel y Lévy 1973.
8. Shoenfield 2001, pag. 239.
9. Shoenfield 1977, sección 2.
10. Hinman 2005, pag. 467.
11. Enlace 2014
12. Tarski 1939.
13. Feferman 1996.
14. Lobo 2013.

Trabajos citados

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enlaces externos

• Axiomas de la teoría de conjuntos - Lec 02 - Frederic Schuller en YouTube
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• Artículos de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford de Joan Bagaria :
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  • - (31 de enero de 2023). "Axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel". En - (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Versión metamatemática de los axiomas de ZFC: una axiomatización concisa y no redundante. La lógica de primer orden en segundo plano se define especialmente para facilitar la verificación automática de las pruebas.
  • Una derivación en Metamath de una versión del esquema de separación a partir de una versión del esquema de reemplazo.
• Weisstein, Eric W. "Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel". MundoMatemático .