Axioma del conjunto potencia

Concepto en la teoría de conjuntos axiomáticos

Los elementos del conjunto potencia del conjunto { x , y , z } ordenados respecto a la inclusión .

En matemáticas , el axioma de conjunto potencia ^[1] es uno de los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría axiomática de conjuntos . Garantiza para cada conjunto la existencia de un conjunto , el conjunto potencia de , que consiste precisamente en los subconjuntos de . Por el axioma de extensionalidad , el conjunto es único. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$

El axioma de conjunto de potencias aparece en la mayoría de las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. En general, se considera que no genera controversia, aunque la teoría de conjuntos constructiva prefiere una versión más débil para resolver las preocupaciones sobre la predicatividad .

Declaración formal

La relación de subconjuntos no es una noción primitiva en la teoría formal de conjuntos y no se utiliza en el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Más bien, la relación de subconjuntos se define en términos de pertenencia al conjunto , . Teniendo en cuenta esto, en el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma de conjunto potencia se lee: ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \in }$

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

donde y es el conjunto potencia de x , z es cualquier elemento de y , w es cualquier miembro de z .

En inglés esto dice:

Dado cualquier conjunto x , existe un conjunto y tal que , dado cualquier conjunto z , este conjunto z es un miembro de y si y sólo si cada elemento de z es también un elemento de x .

Consecuencias

El axioma del conjunto potencia permite una definición simple del producto cartesiano de dos conjuntos y : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

y, por ejemplo, considerando un modelo que utiliza el par ordenado de Kuratowski ,

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

y por lo tanto el producto cartesiano es un conjunto ya que

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Se puede definir el producto cartesiano de cualquier colección finita de conjuntos recursivamente:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

La existencia del producto cartesiano se puede demostrar sin utilizar el axioma del conjunto potencia, como en el caso de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek .

Limitaciones

El axioma del conjunto potencia no especifica qué subconjuntos de un conjunto existen, solo que hay un conjunto que contiene todos los que existen. ^[2] No se garantiza la existencia de todos los subconjuntos concebibles. En particular, el conjunto potencia de un conjunto infinito contendría solo "conjuntos construibles" si el universo es el universo construible, pero en otros modelos de la teoría de conjuntos ZF podría contener conjuntos que no son construibles.

Referencias

1. "Axioma de conjunto potencia | teoría de conjuntos | Britannica". www.britannica.com . Consultado el 6 de agosto de 2023 .
2. Devlin, Keith (1984). Constructibilidad. Berlín: Springer-Verlag. pp. 56-57. ISBN 3-540-13258-9. Recuperado el 8 de enero de 2023 .

• Paul Halmos , Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

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