Discusión:Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Cambios recientes en el axioma de unión

El usuario:46.109.150.165 ha cambiado la declaración formal del axioma de unión de

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A]}$

a

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall x\,[x\in A\iff \exists Y\,(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]}$.

Ahora bien, me parece que la nueva versión es la que probablemente yo habría considerado como el axioma de unión. Dice que existe, mientras que la versión anterior dice que hay un conjunto que incluye . Son equivalentes, dada la separación, por lo que no hay mucha diferencia real. ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$

Pero la pregunta es, ¿qué versión está en el código fuente que estamos usando? No recuerdo si estamos usando Kunen o Jech en estos días. ¿Hay alguien más que esté dispuesto a resolver esto, para que yo no tenga que hacerlo? -- Trovatore ( discusión ) 07:21 23 ene 2016 (UTC) [ responder ]

Por si sirve de algo, el propio artículo afirma utilizar el conjunto de axiomas de Kunen: "Existen muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de ZFC... El siguiente conjunto de axiomas en particular es de Kunen (1980) ". — Tobias Bergemann ( discusión ) 08:31, 23 de enero de 2016 (UTC) [ responder ]

Gracias, Tobias. -- Trovatore ( discusión ) 19:56 23 ene 2016 (UTC) [ responder ]

No soy un experto en este campo y, por lo tanto, me siento incómodo editando la página en sí, pero me parece que, independientemente de la formulación utilizada, el enunciado formal y la descripción en inglés deberían coincidir (tanto como sea posible que un enunciado informal coincida con uno formal). La entrada para el Axioma de Unión comienza con la oración en inglés: "La unión sobre los elementos de un conjunto existe", luego da un ejemplo y procede a decir: "Formalmente, para cualquier conjunto de conjuntos existe un conjunto que contiene cada elemento que es miembro de algún miembro de ". La primera oración corresponde al enunciado formal con el bicondicional, mientras que la segunda corresponde al del condicional. Me doy cuenta de que los dos enunciados son equivalentes dados los otros axiomas, pero me parece que la equivalencia entre enunciados formales y descripciones informales de axiomas individuales debería ser inmediata, en lugar de depender de otros axiomas. En otras palabras, no estoy de acuerdo con la afirmación de que "no hace mucha diferencia real". Aunque no supone una gran diferencia en lo que respecta a la validez matemática, tiene el potencial de suponer una diferencia significativa en lo que respecta a la claridad y la accesibilidad. Incluso una deducción trivial como ésta puede resultar no trivial para alguien que está tratando de comprender una cantidad significativa de información nueva, en particular para alguien que no está acostumbrado a hacer inferencias tan formales como algo habitual. Por lo tanto, sugeriría que, cualquiera que sea la afirmación formal que se utilice, la afirmación en inglés correspondiente a la otra debería eliminarse o editarse para que coincida con ella. No sé qué importancia tiene ceñirse a la formulación dada por un matemático en particular, y dejaré la consideración de esa cuestión a los expertos, pero desde mi punto de vista de no experto, parece preferible optar por la versión bicondicional (y editar la oración no correspondiente para que coincida con ella: algo como "Formalmente, para cualquier conjunto de conjuntos existe un conjunto que contiene exactamente aquellos elementos que son miembros de algún miembro de ") simplemente porque la entrada se titula "El axioma de unión", y esa afirmación captura más de cerca la noción habitual de unión de conjuntos. Además, esa es la versión que se da en el artículo principal "Axioma de unión". Alternativamente, se podría cambiar el título de la entrada o, al menos, se podría agregar una nota que aclare por qué las dos afirmaciones (informales) son equivalentes. 207.165.235.61 ( discusión ) 18:48 21 jul 2016 (UTC)(Sé que tuve una cuenta en algún momento, pero no puedo encontrarla, así que lo siento por eso) [ responder ] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Después de ver el resto de esta página de discusión (la había revisado previamente en busca de referencias al Axioma de Unión específicamente) veo que el mismo problema básico existió alguna vez con el conjunto del Axioma de Potencia. El tratamiento de ese axioma en el artículo actual me parece mucho más claro, y creo que el mismo enfoque funcionaría bien aquí. Dado que nadie ha cuestionado esa versión en los últimos años, y la situación es básicamente idéntica (es decir, la declaración formal de la fuente solo afirma la existencia de un superconjunto del conjunto más natural, que luego se puede construir por separación), ahora me siento lo suficientemente seguro como para hacer la edición yo mismo. 207.165.235.61 ( discusión ) 19:51, 21 de julio de 2016 (UTC) [ responder ]

En algún momento, User:CBM había comprobado que los axiomas eran idénticos a la fuente publicada. No sé si eso es realmente necesario, pero hace que muchos argumentos se evalúen de forma errónea. Diferentes formulaciones, aunque equivalentes cuando se las considera en conjunto, a veces te dan sorpresas cuando empiezas a eliminar o debilitar axiomas, por lo que hay alguna ventaja en tener una fuente que podamos citar para el conjunto exacto de axiomas. -- Trovatore ( discusión ) 20:11 21 jul 2016 (UTC) [ responder ]

Eso tiene sentido. Dejé la declaración formal como está y solo mencioné que, si bien no es necesario , la existencia de se deduce de la separación. Mi redacción podría ser mejor, si quieres echarle un vistazo, pero creo que aclara las cosas sin renunciar ni a la formulación original ni a la noción más natural que existe. 207.165.235.61 ( discusión ) 20:36, 21 de julio de 2016 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$

Solo tuve que cambiar la formulación del axioma Uni para que fuera idéntica a la del artículo principal, [[1]]. La razón es que durante una conferencia a mis estudiantes, utilicé la fórmula anterior y descubrí fácilmente que implica la existencia de un conjunto universal. — Comentario anterior sin firmar agregado por Vlad Patryshev ( discusión • contribuciones ) 17:51, 18 de noviembre de 2017 (UTC) [ responder ]

En *este* artículo, utilizamos los axiomas exactos del libro de texto de Kunen, de modo que tenemos un conjunto coincidente. ¿Quizás podrías explicar cómo el axioma del libro de Kunen implica la existencia de un conjunto universal? El axioma con el que lo reemplazaste implica el axioma de Kunen en cualquier caso... — Carl ( CBM  ·  discusión ) 18:08 18 nov 2017 (UTC) [ responder ]

Ok, gracias. Creo que me equivoqué; esta fórmula, aunque no es exactamente original, es equivalente a la original, con el axioma de separación. Lo siento. Vlad Patryshev ( discusión ) 23:45 18 nov 2017 (UTC) [ responder ]

Clases apropiadas

Recientemente se ha producido una desafortunada guerra de edición en cámara lenta sobre este texto:

A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel y la teoría de conjuntos de Morse–Kelley (MK), ZFC no admite la existencia de clases propias . Estas restricciones ontológicas son necesarias para que ZFC evite la paradoja de Russell , pero los críticos argumentan que estas restricciones hacen que los axiomas de ZFC no logren capturar el concepto informal de conjunto .

Dudo que alguno de nosotros esté en desacuerdo sobre la situación actual , por lo que el verdadero problema es encontrar la redacción adecuada. ¿Podemos estar de acuerdo sobre estos puntos?

• Considerado literalmente como una colección de cadenas puramente sintácticas en un lenguaje formal, ZFC no tiene símbolos que correspondan a clases adecuadas. Eso es un hecho. Si necesita una fuente, no será difícil encontrarla.
• Por otra parte, existen usos bastante estándar de clases propias (definibles, tal vez con parámetros) en el razonamiento que pueden formalizarse de manera sencilla, aunque quizás tediosamente, en ZFC. Los matemáticos que hacen uso de estas pueden estar muy contentos de pensar que sus argumentos son "argumentos ZFC", sea lo que sea lo que eso signifique exactamente.

Si estamos de acuerdo en eso, entonces deberíamos poder llegar a algún acuerdo sobre la redacción.

Hay otro punto más amplio que me gustaría plantear sobre esa sección. El lenguaje en cuestión está en una sección que comienza con "ZFC ha sido criticado tanto por ser excesivamente fuerte como por ser excesivamente débil", y la parte sobre las clases propias parece ser relevante para argumentar a favor de un fortalecimiento. Pero las clases propias realmente no son un gran fortalecimiento de ZFC. NBG es una extensión conservadora de ZFC, y Kelley-Morse es sólo ligeramente más fuerte. Los fortalecimientos relevantes para la investigación del último medio siglo más o menos están más en la línea de los axiomas de grandes cardinales (aunque ciertamente no se limitan a ellos). Pero los grandes cardinales no se mencionan aquí en absoluto, lo que creo que es una omisión bastante grave. -- Trovatore ( discusión ) 05:42, 28 de enero de 2016 (UTC) [ responder ]

Utilice mayúsculas para conjuntos y minúsculas para elementos.

Para los lectores humanos es mejor ver los conjuntos con etiquetas en mayúsculas, siempre que sea posible . Ejemplo:

• ${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]}$     es feo
• ${\displaystyle \forall X\forall Y[\forall z(z\in X\Leftrightarrow z\in Y)\Rightarrow X=Y]}$     es mejor

La intención de un artículo enciclopédico es también la de ser didáctico. Krauss ( discusión )

En ZFC, los elementos de los conjuntos también son conjuntos, por lo que x , y y z son todos conjuntos. En cualquier caso, tomamos los axiomas directamente del libro de Kunen por coherencia, por lo que si todo está en minúsculas allí, también lo estará aquí. ¿Has comprobado qué caso utiliza Kunen? — Carl ( CBM  ·  discusión ) 10:39, 14 de noviembre de 2017 (UTC) [ responder ]

La convención es utilizar letras mayúsculas para las variables de segundo orden. — Charles Stewart (discusión) 11:26 14 nov 2017 (UTC) [ responder ]

Los axiomas de Kunen

En la actualidad, utilizamos los axiomas de Kunen (1980), con solo unos pocos cambios tipográficos (por ejemplo, no tenemos cuantificadores acotados y, a veces, cambiamos el nombre de las variables). Acabo de comprobar esto con la fuente. Quería explicar el razonamiento que sustenta el uso de los axiomas de un solo texto en este artículo. Hay varias razones:

1. Para verificabilidad: si simplemente permitimos que los editores escriban axiomas de memoria, la lista resultante se vuelve inverificable.
2. Para la corrección. Existen muchas variaciones de axiomas individuales que son inofensivas cuando se tiene en cuenta el conjunto completo de axiomas, pero que marcan la diferencia cuando solo se tienen en cuenta algunos de los otros axiomas. Al utilizar un único conjunto de axiomas de una sola fuente, nos aseguramos de que no haya problemas sutiles con la forma en que se han enunciado los axiomas particulares.
3. Reducción de argumentos. Hay muchas maneras de formular los axiomas individuales, algunos de los cuales son obviamente correctos y otros no. En lugar de perder el tiempo discutiendo o argumentando estas cosas, podemos utilizar un único conjunto de axiomas que sabemos que son correctos, de modo que podamos dedicar el tiempo del editor a otras cosas.

No hay ninguna razón particular para que se eligiera el libro de Kunen, aparte de su papel como texto estándar y referencia para la teoría de conjuntos. También se podría utilizar algún otro texto respetado; el punto clave es que todos los axiomas provienen del mismo lugar. — Carl ( CBM  ·  discusión ) 18:24 18 nov 2017 (UTC) [ responder ]

Ni cognitivo ni didáctico

El artículo es un completo desastre. Para entender la sección introductoria del artículo, el lector debe comprender muchas nociones vinculadas internamente. Cuando el lector aprenda todo sobre la paradoja de Russell, el axioma de elección, etc., la metamatemática y la coherencia, tal vez quiera reescribir todo el artículo, tal vez de esta manera:

• Cambiar el título del artículo a Teoría de conjuntos axiomáticos
• Comience con la definición del lenguaje de la teoría de conjuntos (LST) (símbolos básicos, lista de variables, fórmula atómica, fórmula, abreviaturas estándar)
• lista de axiomas (extensibilidad, conjunto vacío, emparejamiento, unión, esquema de separación, esquema de reemplazo, conjunto potencia, infinito, fundamento, axioma de elección)
  • Pruebas en principio, pruebas en la práctica
  • Interpretaciones
  • Nuevos conjuntos de viejos
• Clases, términos de clase y recursiones.
• etc., etc.

Así pues, cada nueva sección deberá ser descrita y basada en las anteriores.

La historia de la teoría se incluirá en notas a pie de página o se ramificará en uno o más artículos nuevos. ASKechris ( discusión ) 15:13 8 enero 2018 (UTC) [ responder ]

Una cosa más: no hay necesidad de referencias del siglo XX, excepto quizás por razones históricas. -- ASKechris ( discusión ) 15:16 8 enero 2018 (UTC) [ responder ]

Un artículo aparte sobre la teoría de conjuntos axiomáticos, algo en esa línea, suena muy razonable. Entonces no estaría tan estrechamente ligado al concepto de "ZFC". Un desafío siempre es encontrar una manera de escribir razonablemente dentro del marco de las políticas de verificabilidad e "investigación original" de Wikipedia -incluso cosas no controvertidas como la forma en que yo imagino escribir "pruebas en principio vs. pruebas en la práctica" podrían ser consideradas como "investigación original". En este momento la teoría de conjuntos axiomáticos apunta a una sección de la teoría de conjuntos . — Carl ( CBM  ·  discusión ) 17:50, 8 enero 2018 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo con todos tus puntos. En cuanto al marco de Wikipedia, la regla más razonable de ese marco es WP:IGNORE -- ASKechris ( discusión ) 23:35 8 ene 2018 (UTC) [ responder ]

El artículo sobre teoría de conjuntos ya está vinculado en la primera oración de este artículo y proporciona los antecedentes generales que desea. JRSpriggs ( discusión ) 05:45, 9 de enero de 2018 (UTC) [ responder ]

No busco ningún antecedente. Lo que quería ver está indicado arriba, prefijado con *.-- BTZorbas ( discusión ) 18:05 13 ene 2018 (UTC) [ responder ]

Wikipedia es una obra de referencia, no un libro de texto. El artículo no es un curso de lógica matemática, por lo que no queremos empezar desde cero. Queremos hablar sobre el tema del artículo, que es ZF(C) específicamente, no sobre teorías formales de primer orden en general.

Por lo tanto, temas como discusiones sobre "pruebas en general" y "pruebas en la práctica", o qué es una fórmula atómica, pertenecen a otros artículos, a los que se accede mediante enlaces desde este.

Dicho esto, la organización de este artículo podría ser más estricta. El prólogo es demasiado largo y carece de un flujo narrativo coherente, y el artículo en su conjunto tiene el mismo problema. A primera vista, parece un montón de cosas amontonadas, sin una estructura general que el lector pueda comprender fácilmente.

Es un problema fácil de diagnosticar pero difícil de resolver. No tengo ningún plan claro que ofrecer, pero no creo que tu esquema sea la solución adecuada. -- Trovatore ( discusión ) 05:14 14 ene 2018 (UTC) [ responder ]

No entiendo el significado de "una obra de referencia". La academia rechaza Wikipedia como obra de referencia (algunas encuestas muestran que el 72% de las universidades rechazaron Wikipedia como referencia). Mi única preocupación es el lector del artículo: ¿quién es? Si asumimos que es una persona con un nivel educativo promedio cuya educación matemática es de nivel secundario, entonces este artículo difícilmente podría atraer la atención de dicho lector. La introducción es completamente inútil. En el artículo existe una LST definida implícitamente que es engorrosa y obsoleta. Mi propuesta de la LST excluye mencionar la lógica de primer orden. No creo que este artículo deba tener enlaces a artículos separados para cada uno de los axiomas, ya que estos axiomas no deben estar separados de esa manera. No se debe mencionar a Von Neumann antes de "nuevos conjuntos a partir de viejos", etc., etc. Al final, ¿por qué utilizar referencias de casi 40 años de antigüedad aquí para el núcleo de esta descripción de la teoría?-- BTZorbas ( discusión ) 17:40 24 ene 2018 (UTC) [ responder ]

Lo que significa "obra de referencia" es que es un lugar al que se acude para buscar cosas, no un texto que intenta enseñarte el material. Eso es lo que son las enciclopedias. En el nivel universitario, no se deben citar enciclopedias (ya sea Wikipedia o enciclopedias impresas); se deben buscar las fuentes que citan las enciclopedias, leerlas y citarlas.

No hay razón para evitar fuentes de hace 40 años; si bien se ha realizado una gran cantidad de trabajo en teoría de conjuntos durante ese tiempo, lo que se encuentra en el presente artículo esencialmente no ha cambiado en absoluto.

Este artículo trata de un tema bastante específico, una teoría formal específica. No trata de la teoría de conjuntos en general ni de las teorías formales en general. La "persona educada promedio" tendría más suerte si comenzara con artículos más generales. -- Trovatore ( discusión ) 03:28 25 ene 2018 (UTC) [ responder ]

Enlace no especificado Referencia 2014

La referencia en la sección de clases virtuales, Formalismo y más allá: sobre la naturaleza del discurso matemático (Logos) Edición digital original de Godehard Link (Editor), es extremadamente amplia. Dado que se trata de una colección de ensayos: "Los ensayos recopilados en este volumen se centran en el papel de los aspectos formalistas en la teoría y la práctica matemática, examinando cuestiones como el infinito, la finitud y los procedimientos de prueba, así como figuras históricas centrales en el campo, incluidos Frege, Russell, Hilbert y Wittgenstein. Utilizando herramientas lógico-filosóficas modernas y análisis lógicos y conceptuales sistemáticos, el volumen proporciona un relato completo y actualizado del tema". ¿Quizás la referencia podría decir cuál ensayo? Jan Burse ( discusión ) 02:41, 3 de marzo de 2019 (UTC) [ responder ]

Los conjuntos no parecen existir

¿Esta axiomatización específica surgió de algún lugar en particular? Porque, hasta donde sé, no prueba que exista ningún conjunto. Todo axioma supone al menos un conjunto. Luke Maurer ( discusión ) 02:15 10 mar 2019 (UTC) [ responder ]

(Si se supone que el Axioma de Infinito es lo que impulsa todo, entonces (a) la prosa debería estar escrita de manera que no parezca presumir que existe un conjunto w y (b) la notación formal no debería presumir que el conjunto vacío ya existe.) Luke Maurer ( discusión ) 02:19 10 mar 2019 (UTC) [ responder ]

@ Luke Maurer : Los axiomas que se enumeran en este artículo se han extraído de "Set Theory: An Introduction to Independence Proofs" de Kunen; véase Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel#Axiomas . El segundo párrafo de esa sección habla de la existencia de al menos un conjunto.

En mi humilde opinión, el uso de los axiomas de Kunen (especialmente cuando se combina con la omisión del axioma del conjunto vacío ) es algo idiosincrásico. Sin embargo, véase Talk:Zermelo–Fraenkel set theory/Archive 1#Why no mention of the axiom of the empty set? de 2007 y Talk:Zermelo–Fraenkel set theory/Archive 1#Rephrasing "The Axioms" intro, y Axiom of Infinity de 2008. – Tea2min ( discusión ) 07:17 10 mar 2019 (UTC) [ responder ]

Todo esto parece digno de ser explicado, o al menos de ser mencionado, en el texto sobre el axioma. Veo que hubo una propuesta de agregar un texto explicativo sobre cómo se puede considerar como una abreviatura: ${\displaystyle \varnothing \in X}$

Este axioma parece presuponer la existencia del conjunto vacío , pero no necesariamente lo hace. En una formulación que no incluye una afirmación de la existencia del conjunto vacío (o de cualquier otro conjunto que no sea el conjunto infinito), la subfórmula puede considerarse en cambio como una forma abreviada de la subfórmula más precisa . ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \in X}$ ${\displaystyle \forall y(\forall u(u\notin y)\Rightarrow y\in X)\,}$

No veo ninguna objeción al respecto en el hilo; ¿hay algún problema? (Hablando por mí mismo, sigue siendo insatisfactorio porque en realidad dice "si hay un conjunto vacío, está en ", cuando lo que queremos es "hay un conjunto vacío y está en "). — Comentario anterior sin firmar agregado por Luke Maurer ( discusión • contribuciones ) 02:55, 1 abril 2019 (UTC) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$[ responder ]

Si X es el conjunto cuya existencia está garantizada por el axioma de infinito, entonces podemos aplicar el axioma de separación a X para obtener la existencia del conjunto vacío. Entonces, se puede inferir que X contiene ese conjunto vacío. De modo que se obtiene lo que se busca indirectamente. JRSpriggs ( discusión ) 03:08 1 abr 2019 (UTC) [ responder ]

Hay que recordar que la lógica de primer orden garantiza que algo existe. Eso junto con la separación es suficiente para garantizar la existencia del conjunto vacío. -- Trovatore ( discusión ) 03:36 1 abr 2019 (UTC) [ responder ]

La sección de historia contradice otras páginas

Los artículos sobre Dimitry Mirimanoff, el axioma de regularidad y John Von Neumann afirman que Von Neumann propuso el axioma de regularidad y no Mirimanoff, pero la sección de historia de esta página dice que Mirimanoff propuso el axioma de regularidad. Además, la teoría de conjuntos de Zermelo incluye el axioma de elección, por lo que al agregar reemplazo y regularidad se debería obtener ZFC, no ZF.

WingsOfEpsilon (discusión) 17:14 8 may 2019 (UTC) [ responder ]

No dudes en cambiar la sección Historial si tienes referencias a fuentes confiables que te respalden. Ten en cuenta que Wikipedia no es una fuente confiable. JRSpriggs ( discusión ) 02:35 9 may 2019 (UTC) [ responder ]

¿Referencia incorrecta?

"la jerarquía acumulativa de conjuntos introducida por John von Neumann.[8]" Pero [8] se refiere al texto de Shoenfield. ¿No debería referirse a un artículo de von Neumann? (Lamentablemente no puedo decir cuál es el artículo). 31.49.9.229 (discusión) 00:27 30 dic 2019 (UTC) [ responder ]

Esto es solo una especulación, pero si el artículo de John Von Neumann no es una referencia adecuada por alguna razón (está en alemán en lugar de en inglés, la expresión es demasiado arcaica para ser comprensible para la mayoría de los estudiantes modernos, está agotado, no se hace ninguna afirmación de originalidad de John, es una carta o conferencia inédita, o lo que sea), entonces sería preferible una referencia adecuada de Shoenfield que atribuya la idea a John. JRSpriggs ( discusión ) 08:42 30 dic 2019 (UTC) [ responder ]

¿Es demostrable que V satisface el axioma de elección?

Edité la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel#Motivación a través de la jerarquía acumulativa para cambiar "Es demostrable que un conjunto está en V si y solo si el conjunto es puro y bien fundado; y demostrable que V satisface todos los axiomas de ZFC, si la clase de ordinales tiene propiedades de reflexión apropiadas". para decir "... demostrable que V satisface todos los axiomas de ZF, ..." con el resumen de la edición "V podría no satisfacer AxCh; entonces ZF en lugar de ZFC". @ Trovatore : me revirtió con el resumen de la edición "¿hmm? La elección es una suposición estándar".

Claro, la elección es un supuesto estándar, pero ¿es demostrable que V debe satisfacerla? ¿Demostrable a partir de qué supuestos? Es de suponer que no estamos simplemente asumiendo ZFC en sí, ya que eso plantearía la cuestión. Es de suponer que deberíamos usar alguna teoría más débil y la definición de V. De lo contrario, no tiene sentido tener esta oración en absoluto. Y no tiene sentido decir "... si la clase de ordinales tiene propiedades de reflexión apropiadas", lo que pretende justificar la adición de Fraenkel del esquema de reemplazo. Mucha gente trabaja dentro de teorías que no satisfacen la elección y dudo que digan que los conjuntos puros bien fundados (es decir, V) en sus modelos siempre deben satisfacer el axioma de elección. JRSpriggs ( discusión ) 21:02, 22 de septiembre de 2022 (UTC) [ responder ]

El contexto es la jerarquía de von Neumann como motivación para la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (que es ambigua en cuanto a si se refiere a ZF o ZFC). Pero en el contexto de la misma como motivación intuitiva, es una motivación tan fuerte para la elección como lo es para cualquiera de los otros axiomas. Si tomas el conjunto de potencias completo en cada etapa, por supuesto que incluyes los conjuntos de elección. -- Trovatore ( discusión ) 22:12 22 sep 2022 (UTC) [ responder ]

"... por supuesto, incluyes los conjuntos de elección". Esto plantea la pregunta porque estás asumiendo que el conjunto de potencia completo contiene conjuntos de elección.

Véase Axioma de elección#Formas más fuertes de la negación de AC . Si existen modelos para cualquiera de los siguientes, entonces su V contiene conjuntos cuyos conjuntos potencia carecen de funciones de elección:

• Cada conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire.
• El axioma de la determinación
• la existencia de un conjunto amorfo [los conjuntos amorfos pueden requerir urelementos, por lo tanto no están en V ]
• El continuo es una unión contable de conjuntos contables.
• Todos los ordinales límite tienen cofinalidad ω

¿De acuerdo? JRSpriggs ( discusión ) 08:13 23 sep 2022 (UTC) [ responder ]

Sí, pero su V no es la V real, y aunque esos modelos son modelos genuinos, satisfacen afirmaciones que no son verdaderas.

Recuerda, esto es una motivación, no una prueba. Si aceptas la motivación, intuitivamente, no puedes rechazar la elección. -- Trovatore ( discusión ) 15:41 23 sep 2022 (UTC) [ responder ]

Pero si aceptara tu posición de que deberíamos ignorar la palabra "demostrable" y basar esto simplemente en nuestra intuición sobre V , entonces lo cambiaría en la otra dirección de "ZFC" a "ZFC+V=L". ¿Sobre qué base rechazarías el axioma de constructibilidad ? JRSpriggs ( discusión ) 19:50 24 sep 2022 (UTC) [ responder ]

A diferencia de AC, no hay ninguna buena razón intuitiva para pensar que V=L debería ser verdad. Es casi el concepto opuesto (a pesar del hecho de que V=L en realidad implica AC sobre ZF). El punto es que tomas el conjunto de potencias completo en cada etapa, todas las formas posibles de incluir algunos objetos y omitir otros, de manera completamente arbitraria y sin requerir ninguna regla para lo que incluyes y lo que omites. Así que solo mira el primer lugar donde hace una diferencia, el conjunto de potencias de los números naturales. Si V=L, entonces cada conjunto de naturales tiene un lugar muy canónico en una jerarquía completamente bien especificada. ¿Por qué debería ser eso cierto para conjuntos de naturales completamente arbitrarios?

Por supuesto, ese argumento no dice realmente por qué V no debería ser igual a L, sino que solo pone en duda por qué debería serlo . Para ver por qué V no debería ser igual a L, hay que recurrir a los cardinales grandes. Esto se convierte ahora en un argumento popperiano/lacatosiano en lugar de un argumento de autoevidencia (el argumento a favor de AC es uno de autoevidencia). Los cardinales grandes son falsables, no refutables, y tienen poder explicativo. Encajan entre sí de manera coherente. Esto proporciona una razón sólida para aceptarlos y, por lo tanto, rechazar necesariamente V=L. -- Trovatore ( discusión ) 05:53, 25 de septiembre de 2022 (UTC) [ responder ]

Pero los mayores de los grandes cardenales, los cardenales de Reinhardt y los cardenales de Berkeley , son incompatibles con el axioma de elección. JRSpriggs ( discusión ) 18:55 26 sep 2022 (UTC) [ responder ]

Creo que la expectativa general es que los cardinales de Reinhardt son inconsistentes incluso en ZF; la prueba simplemente no se ha encontrado todavía. -- Trovatore ( discusión ) 20:39, 26 de septiembre de 2022 (UTC) [ responder ]

Sistema axiomático más acorde con la jerarquía acumulativaV

En línea con el programa de matemáticas inversas , quiero derivar ZF a partir de una teoría de conjuntos más débil junto con una definición de V. Pensé en utilizar la teoría de conjuntos de Kripke-Platek , pero incluso eso puede ser demasiado. Henri Poincaré criticó el axioma de unión por ser impredicativo. Y el axioma de colección (reemplazo) puede ser demasiado fuerte. De todos modos, aquí está mi pensamiento actual:

• Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
• Axioma del conjunto vacío : Existe un conjunto sin miembros, llamado conjunto vacío y denotado {}.
• Axioma de adjunción : Dado un conjunto y un elemento, existe un conjunto cuyos elementos son los elementos del conjunto dado junto con el elemento dado.
• Axioma de separación de Δ ₀ : Dado cualquier conjunto y cualquier fórmula de Δ _{0 φ(} x ), existe un subconjunto del conjunto original que contiene precisamente aquellos elementos x para los cuales se cumple φ( x ). (Este es un esquema de axioma ).
• Axioma del infinito
• Axioma del número de Hartog : Para cada conjunto hay un ordinal que no puede mapearse inyectivamente en él.
• V :
  • Para cada ordinal α, existe un conjunto único V _α tal que . ${\displaystyle \forall x(x\in V_{\alpha }\leftrightarrow \exists \beta <\alpha (x\subseteq V_{\beta }))}$
  • Para cada conjunto s , existe un ordinal α tal que s es un elemento de V _α .

¿De acuerdo? JRSpriggs ( discusión ) 23:16 5 oct 2022 (UTC) [ responder ]

No es el lugar para discutirlo, pero lo que pareces estar pidiendo es básicamente imposible. Razonar sobre la jerarquía acumulativa en una teoría formal nunca te dará más fuerza de consistencia que la teoría con la que comienzas. La jerarquía acumulativa como motivación es un asunto diferente; eso se hace mediante argumentos informales, no en una teoría formal. -- Trovatore ( discusión ) 00:30 6 oct 2022 (UTC) [ responder ]

Esto no es tan fuerte como ZF (y mucho menos ZFC), pero es más fuerte de lo que sería si uno dejara de lado la definición de la parte V. Esa parte permite probar los axiomas de unión, regularidad y conjunto potencia. El emparejamiento se sigue del conjunto vacío y la adjunción, por supuesto. JRSpriggs ( discusión ) 14:48, 6 de octubre de 2022 (UTC) [ responder ]

Agregue un axioma que diga que Ord es Mahlo: para cada clase cerrada e ilimitada de ordinales C (definibles por una fórmula con parámetros ) , existe un ordinal regular en C. JRSpriggs ( discusión ) 21:57 8 oct 2022 (UTC) [ responder ]

Comenzando con cualquier ordinal α, forma una secuencia de la siguiente manera: toma V _α , toma el número de Hartogs de ese conjunto, toma el siguiente ordinal regular después de ese, luego repite. Los límites de esta secuencia serán una clase ilimitada cerrada de ordinales, por lo que habrá un ordinal regular Κ entre ellos (quizás podríamos llamar a esto un cardinal inaccesible semifuerte ). Luego, utilizando Δ ₀ -separación, podemos demostrar que los axiomas de separación y reemplazo se cumplen en V _Κ así como los otros axiomas mencionados anteriormente (excepto Mahlo). La única dificultad es mostrar que el conjunto imagen proporcionado por el axioma de reemplazo está acotado en V _Κ . Si fuera ilimitado, entonces por la regularidad de Κ los rangos de sus elementos tendrían que formar un conjunto con tipo de orden Κ. Esto podría entonces mapearse inyectivamente hacia atrás a través de la función a subconjuntos del dominio de la función que se encuentran en V _α+1 y que contradicen el hecho de que Κ es mayor que el número de Hartogs de ese conjunto por la construcción de Κ. Así que tenemos un modelo de ZF sin elección. JRSpriggs ( discusión ) 13:57, 9 de octubre de 2022 (UTC) [ responder ]

Formulación de CA

En esta diferencia, Caleb Stanford reemplazó la versión antigua de AC ("cada conjunto puede estar bien ordenado") con una versión que, estoy de acuerdo, suena más como lo que llamarías el "axioma de elección". Voy a suponer que Caleb lo hizo correctamente, aunque no lo he comprobado.

El contexto aquí es que los axiomas tal como se presentan están tomados del libro de Kunen. Es un poco idiosincrásico utilizar "todo conjunto puede estar bien ordenado" como un axioma de ZFC, y probablemente aún más idiosincrásico llamar a esta afirmación (como de hecho hace Kunen) el "axioma de elección".

Pero en algún momento, CBM revisó cuidadosamente, carácter por carácter, que los axiomas de Kunen se habían transcrito fielmente. La idea es que todos los axiomas provengan de una sola fuente. Las formulaciones de axiomas diferentes pero intuitivamente equivalentes pueden dejar de ser equivalentes cuando se eliminan o modifican otros axiomas, por lo que vale la pena tener un poco de cuidado con esto.

La formulación de Kunen me parece buena para usar, con la única nota ligeramente amarga que es esta idiosincrasia sobre AC. Si nos preocupa lo suficiente, podríamos cambiar a la de Jech, pero alguien debería revisarla y asegurarse de que se haga correctamente, para todos los axiomas en lugar de solo uno. (Creo que tal vez Jech usa Colección en lugar de Reemplazo. No me gusta eso y no creo que sea muy estándar, por lo que no es una victoria clara en ningún caso). -- Trovatore ( discusión ) 17:49, 4 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Hola Trovatore, ¡gracias por el contexto de la historia de la página! Tiene sentido utilizar el ordenamiento correcto como en el libro de Kunen, pero en este caso, la introducción necesita algo de trabajo para ser coherente con el artículo, y también necesitamos explicar en algún lugar a los principiantes que ZFC = ZF + C puede hacer referencia de manera equivalente al teorema del ordenamiento correcto. Las posibles desventajas son que no es un poco estándar y hace que sea más difícil encontrar la sección que analiza la Elección.

La otra cosa que me gustaría señalar es que la forma del axioma, que utiliza la abreviatura "R ordena bien a X", no es coherente con el resto del artículo. Eso también debería abordarse; no he hecho referencia al libro de Kunen para comparar, pero me sorprende que no haya una declaración formal en el libro de Kunen.

Gracias, Caleb Stanford ( discusión ) 20:55 4 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Hmm, realmente no me había dado cuenta de esto antes. Los axiomas están todos recopilados juntos en el §7 de la introducción, y no creo que haya definido en ese punto lo que significa que una relación ordene bien un conjunto. Profundiza en los axiomas individuales en el Capítulo I, y la Elección se trata en el Capítulo I §6, y " R ordena bien a X " se define en la p. 14 (esta es la edición de 1980; no sé si hay una posterior). No estoy seguro de qué quieres decir con "no es consistente con el resto del artículo"; seguramente no contradice el resto del artículo, o si lo hace, el resto del artículo debería cambiarse, ya que este es un uso completamente estándar. -- Trovatore ( discusión ) 22:39, 4 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Quise decir que "9. Axioma de buen orden" es la primera vez que aparece en el artículo sobre "buen orden", mientras que el artículo hace referencia a "Elección" varias veces antes. Véase la introducción:

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido se abrevia ZFC, donde C representa "elección" y ZF se refiere a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido.

Para un lector no familiarizado con la teoría de conjuntos, al leer esta frase, sería imposible localizar en la lista de axiomas cuál corresponde a C.

Cabe señalar que Kunen, a diferencia del artículo, todavía se refiere al teorema de buen orden como una opción, lo que coincide mejor con la distinción ZF/ZFC para un texto introductorio. Caleb Stanford ( discusión ) 22:57 4 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Ah, ya entendí. En realidad, es un buen punto. Bien, si seguimos a Kunen, deberíamos llamarlo Elección. Algunos editores (comprensiblemente) encuentran esto chocante: si es demasiado doloroso llamarlo Elección, probablemente deberíamos cambiar a otra fuente. -- Trovatore ( discusión ) 18:04 5 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Para un conjunto específico no vacío X , si existe una función de elección para el (conjunto potencia de X )\{ {} }, entonces existe un R de X bien ordenado . Y viceversa. Por lo tanto, no es tan descabellado llamarlo axioma de elección. JRSpriggs ( discusión ) 00:07 6 sep 2023 (UTC) [ responder ]

Dado que parece haber un consenso general, he realizado un recorte adicional para editarlo ligeramente en función de esta discusión. Siéntete libre de editar más. Saludos, Caleb Stanford ( discusión ) 03:04, 6 de septiembre de 2023 (UTC) [ responder ]

Para utilizar un ejemplo de matemáticas inversas , el teorema de Bolzano-Weierstrass es equivalente al axioma de comprensión aritmética sobre RCA ₀ , pero los artículos que contienen definiciones de ACA ₀ no definen ACA ₀ como RCA ₀ más el teorema de Bolzano-Weierstrass. C7XWiki ( discusión ) 03:43 10 feb 2024 (UTC) [ responder ]

¿Agregar paréntesis en ¬A=B para mayor claridad?

En la sección "lenguaje formal", en la primera tabla, se utiliza ¬A=B en las filas 1 y 4. Así es como se utiliza "=" en https://forallx.openlogicproject.org/html/ (página 231, capítulo 26 "Identidad") y la fila uno básicamente define "A≠A" como ¬A=B, por lo que supongo que está bastante claro. Pero yo diría que normalmente se ve que la negación "tiene prioridad sobre" los símbolos de relación, por lo que ¬A=B no sería equivalente a ¬(A=B). Creo que ¬(A=B) es más legible, pero técnicamente no hay nada malo en cómo está ahora. Propongo cambiar la tabla antes mencionada de la siguiente manera:

¿Alguien más está de acuerdo con esto o estoy tropezando? 88.193.176.69 (discusión) 12:56 14 ago 2024 (UTC) [ responder ]

Dado que ¬ se aplica a fórmulas mientras que los símbolos de relación (o =, que en muchas formulaciones no es técnicamente un símbolo de relación sino más bien parte de la lógica) se aplican a términos, normalmente no hay confusión. Si tuvieras un ¬ unario que también fuera un símbolo de función, ciertamente eso sería un problema y tendrías que desambiguar.

Otras notas:

• Hoy en día, es poco común utilizar la variable simple en lugar de ∀. Creo que tal vez Russell y Whitehead la usaron. En general, su notación no tuvo éxito.
• Por curiosidad, ¿por qué no sugeriste también paréntesis en la fórmula ? ${\displaystyle \lnot A\in B}$

-- Trovatore ( discusión ) 16:47 15 ago 2024 (UTC) [ responder ]

Si se observa más de cerca, se puede ver que no se cita ninguna parte de la sección "Lenguaje formal", aunque es probable que se pueda encontrar una parte en las referencias generales. Pero al menos el último tercio es problemático.

• La notación es idiosincrásica (corchetes angulares alrededor de los cuantificadores; la ∀ faltante; uso de comas después de los cuantificadores).
• El uso del término "notación constructora de conjuntos" para un nivel apenas superior al lenguaje formal parece surgir de la nada. Eso no es lo que significa "notación constructora de conjuntos", al menos no de manera estándar.
• La segunda tabla identifica términos en el lenguaje de la teoría de conjuntos (incorrectamente llamada "notación constructora de conjuntos") con afirmaciones existenciales , lo cual es simplemente incorrecto.
• La abreviatura "wff" también es idiosincrásica. Algunas personas la usan, pero no en un contexto muy formal.

Tengo la tentación de eliminar toda la sección, o al menos la parte que empieza a hablar de la "notación de constructor de conjuntos". Es cierto que se debería decir algo sobre el lenguaje formal, pero no es ese algo. -- Trovatore ( discusión ) 22:40 15 ago 2024 (UTC) [ responder ]