Conjunto amorfo

Conjunto infinito que no es la unión disjunta de dos subconjuntos infinitos

En la teoría de conjuntos , un conjunto amorfo es un conjunto infinito que no es la unión disjunta de dos subconjuntos infinitos . ^[1]

Existencia

Los conjuntos amorfos no pueden existir si se supone el axioma de elección . Fraenkel construyó un modelo de permutación de Zermelo-Fraenkel con átomos en el que el conjunto de átomos es un conjunto amorfo. ^[2] Después del trabajo inicial de Cohen sobre forzamiento en 1963, se obtuvieron pruebas de la consistencia de los conjuntos amorfos con Zermelo-Fraenkel . ^[3]

Propiedades adicionales

Todo conjunto amorfo es Dedekind-finito , es decir, no tiene biyección a un subconjunto propio de sí mismo. Para ver esto, supongamos que es un conjunto que sí tiene una biyección a un subconjunto propio. Para cada número natural se define como el conjunto de elementos que pertenecen a la imagen de la composición de f consigo mismo pero no a la imagen de la composición de f. Entonces cada uno es no vacío, por lo que la unión de los conjuntos con índices pares sería un conjunto infinito cuyo complemento en es también infinito, mostrando que no puede ser amorfo. Sin embargo, lo inverso no es necesariamente cierto: es consistente que existan conjuntos infinitos Dedekind-finitos que no sean amorfos. ^[4] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ningún conjunto amorfo puede estar ordenado linealmente . ^{[5] [6]} Debido a que la imagen de un conjunto amorfo es en sí misma amorfa o finita, se deduce que cada función de un conjunto amorfo a un conjunto ordenado linealmente tiene solo una imagen finita.

El filtro cofinito de un conjunto amorfo es un ultrafiltro . Esto se debe a que el complemento de cada subconjunto infinito no debe ser infinito, por lo que cada subconjunto es finito o cofinito.

Variaciones

Si es una partición de un conjunto amorfo en subconjuntos finitos, entonces debe haber exactamente un entero tal que tenga infinitos subconjuntos de tamaño ; porque, si cada tamaño se usara un número finito de veces, o si se usara más de un tamaño un número infinito de veces, esta información podría usarse para hacer más gruesa la partición y dividirla en dos subconjuntos infinitos. Si un conjunto amorfo tiene la propiedad adicional de que, para cada partición , , entonces se llama estrictamente amorfo o fuertemente amorfo , y si hay un límite superior finito en entonces el conjunto se llama amorfo acotado . Es consistente con ZF que los conjuntos amorfos existen y son todos acotados, o que existen y son todos ilimitados. ^[1] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n(\Pi )}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle n(\Pi )=1}$ ${\displaystyle n(\Pi )}$

Referencias

1. Truss, JK (1995), "La estructura de los conjuntos amorfos", Anales de lógica pura y aplicada , 73 (2): 191–233, doi :10.1016/0168-0072(94)00024-W, MR  1332569.
2. Jech, Thomas J. (2008), El axioma de elección , Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 978-0486318257, OCLC  761390829
3. Plotkin, Jacob Manuel (noviembre de 1969), "Incrustaciones genéricas", The Journal of Symbolic Logic , 34 (3): 388–394, doi :10.2307/2270904, ISSN  0022-4812, JSTOR  2270904, MR  0252211, S2CID  250347797
4. Lévy, A. (1958), "La independencia de varias definiciones de finitud" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 46 : 1–13, doi :10.4064/fm-46-1-1-13, MR  0098671.
5. Truss, John (1974), "Clases de cardenales finitos de Dedekind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 84 (3): 187–208, doi :10.4064/fm-84-3-187-208, MR  0469760.
6. de la Cruz, Omar; Dzhafarov, Damir D.; Hall, Eric J. (2006), "Definiciones de finitud basadas en propiedades de orden" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 189 (2): 155–172, doi : 10.4064/fm189-2-5 , MR  2214576En particular, esta es la combinación de las implicaciones que de la Cruz et al. atribuyen respectivamente a Lévy (1958) y Truss (1974). ${\displaystyle {\text{Ia}}\Rightarrow {\text{II}}\Rightarrow \Delta _{3}}$