En la teoría de conjuntos , los cardinales de Berkeley son ciertos cardinales grandes sugeridos por Hugh Woodin en un seminario en la Universidad de California, Berkeley, aproximadamente en 1992.
Un cardenal de Berkeley es un cardinal κ en un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con la propiedad de que para cada conjunto transitivo M que incluye κ y α < κ, hay una incrustación elemental no trivial de M en M con α < punto crítico < κ . [1] Los cardenales de Berkeley son un axioma cardinal estrictamente más fuerte que los cardenales de Reinhardt , lo que implica que no son compatibles con el axioma de elección .
Un debilitamiento de ser un cardinal de Berkeley es que para cada relación binaria R en V κ , hay una incrustación elemental no trivial de ( V κ , R ) en sí misma. Esto implica que tenemos
y así sucesivamente. Esto puede continuar cualquier número finito de veces y, en la medida en que el modelo tenga una elección dependiente, de manera transfinita. Por lo tanto, es plausible que esta noción pueda reforzarse simplemente afirmando que existe una elección más dependiente.
Si bien todas estas nociones son incompatibles con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), sus consecuencias no parecen ser falsas. No se conoce ninguna inconsistencia con ZFC al afirmar, por ejemplo:
Para cada ordinal λ, existe un modelo transitivo de ZF + cardinal de Berkeley que está cerrado bajo secuencias λ.
