En teoría de conjuntos , un conjunto hereditario (o conjunto puro ) es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos hereditarios. Es decir, todos los elementos del conjunto son en sí mismos conjuntos, al igual que todos los elementos de los elementos, y así sucesivamente.
Por ejemplo, es vacuamente cierto que el conjunto vacío es un conjunto hereditario y, por lo tanto, el conjunto que contiene solo el conjunto vacío es un conjunto hereditario. De manera similar, un conjunto que contiene dos elementos: el conjunto vacío y el conjunto que contiene solo el conjunto vacío, es un conjunto hereditario.
En las formulaciones de la teoría de conjuntos que se pretende interpretar en el universo de von Neumann o expresar el contenido de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , todos los conjuntos son hereditarios, porque el único tipo de objeto que es candidato a ser un elemento de un conjunto es otro conjunto. Por lo tanto, la noción de conjunto hereditario es interesante solo en un contexto en el que puede haber urelementos .
La definición inductiva de los conjuntos hereditarios presupone que la pertenencia al conjunto está bien fundada (es decir, el axioma de regularidad ); de lo contrario, la recurrencia puede no tener una solución única. Sin embargo, se puede reformular de forma no inductiva de la siguiente manera: un conjunto es hereditario si y solo si su clausura transitiva contiene solo conjuntos. De esta manera, el concepto de conjuntos hereditarios también se puede extender a teorías de conjuntos no bien fundadas en las que los conjuntos pueden ser miembros de sí mismos. Por ejemplo, un conjunto que solo se contiene a sí mismo es un conjunto hereditario.
