El universo de von Neumann

Concepto de teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas , el universo de von Neumann , o jerarquía de conjuntos de von Neumann , denotado por V , es la clase de conjuntos bien fundados hereditarios . Esta colección, que está formalizada por la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), se utiliza a menudo para proporcionar una interpretación o motivación de los axiomas de ZFC. El concepto recibe su nombre de John von Neumann , aunque fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo en 1930.

El rango de un conjunto bien fundado se define inductivamente como el número ordinal más pequeño mayor que los rangos de todos los miembros del conjunto. ^[1] En particular, el rango del conjunto vacío es cero, y cada ordinal tiene un rango igual a sí mismo. Los conjuntos en V se dividen en la jerarquía transfinita V _α  , llamada jerarquía acumulativa , en función de su rango.

Definición

Segmento inicial del universo de von Neumann. La multiplicación ordinal se invierte respecto de nuestra convención habitual; véase Aritmética ordinal .

La jerarquía acumulativa es una colección de conjuntos V _α indexados por la clase de números ordinales ; en particular, V _α es el conjunto de todos los conjuntos que tienen rangos menores que α. Por lo tanto, existe un conjunto V _α para cada número ordinal α. V _α puede definirse por recursión transfinita de la siguiente manera:

• Sea V ₀ el conjunto vacío :

  ${\displaystyle V_{0}:=\varnothing .}$

• Para cualquier número ordinal β, sea V _β+1 el conjunto potencia de V _β :

  ${\displaystyle V_{\beta +1}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

• Para cualquier ordinal límite λ, sea V _λ la unión de todas las V etapas hasta el momento:

  ${\displaystyle V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }.}$

Un hecho crucial acerca de esta definición es que hay una única fórmula φ(α, x ) en el lenguaje de ZFC que establece "el conjunto x está en V _α ".

Los conjuntos V _α se denominan etapas o rangos .

La clase V se define como la unión de todas las etapas V :

${\displaystyle V:=\bigcup _{\alpha }V_{\alpha }.}$

Rango de un conjunto

El rango de un conjunto S es el α más pequeño tal que En otras palabras, es el conjunto de conjuntos con rango ≤α. La etapa V _α también se puede caracterizar como el conjunto de conjuntos con rango estrictamente menor que α, independientemente de si α es 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite: ${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha }\,.}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$

${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$

Esto proporciona una definición equivalente de V _α por recursión transfinita.

Sustituyendo la definición anterior de V _α en la definición del rango de un conjunto se obtiene una definición recursiva autónoma:

El rango de un conjunto es el número ordinal más pequeño estrictamente mayor que el rango de todos sus miembros.

En otras palabras,

${\displaystyle \operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}}$.

Etapas finitas y de baja cardinalidad de la jerarquía

Las primeras cinco etapas de von Neumann, V ₀ a V _4, se pueden visualizar de la siguiente manera. (Una caja vacía representa el conjunto vacío. Una caja que contiene sólo una caja vacía representa el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío, y así sucesivamente).

Las primeras 5 etapas de von Neumann

Esta secuencia muestra un crecimiento tetracional . El conjunto V ₅ contiene 2 ¹⁶ = 65536 elementos; el conjunto V ₆ contiene 2 ⁶⁵⁵³⁶ elementos, lo que excede muy sustancialmente el número de átomos en el universo conocido ; y para cualquier n natural , el conjunto V _{n +1} contiene 2 ⇈ n elementos utilizando la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Por lo tanto, las etapas finitas de la jerarquía acumulativa no se pueden escribir explícitamente después de la etapa 5. El conjunto V _ω tiene la misma cardinalidad que ω. El conjunto V _ω+1 tiene la misma cardinalidad que el conjunto de números reales.

Aplicaciones e interpretaciones

Aplicaciones deVcomo modelos para las teorías de conjuntos

Si ω es el conjunto de números naturales , entonces V _ω es el conjunto de conjuntos hereditariamente finitos , que es un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de infinito . ^{[2] [3]}

V _ω+ω es el universo de las "matemáticas ordinarias", y es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo (pero no un modelo de ZF ). ^[4] Un argumento simple a favor de la adecuación de V _ω+ω es la observación de que V _ω+1 es adecuado para los números enteros, mientras que V _ω+2 es adecuado para los números reales, y la mayoría de las otras matemáticas normales se pueden construir como relaciones de varios tipos a partir de estos conjuntos sin necesidad de que el axioma de reemplazo salga de V _ω+ω .

Si κ es un cardinal inaccesible , entonces V _κ es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) en sí, y V _κ+1 es un modelo de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . ^{[5] [6]} (Tenga en cuenta que cada modelo ZFC es también un modelo ZF, y cada modelo ZF es también un modelo Z).

Interpretación deVcomo el "conjunto de todos los conjuntos"

V no es "el conjunto de todos los conjuntos (ingenuos) " por dos razones. En primer lugar, no es un conjunto; aunque cada etapa individual V _α es un conjunto, su unión V es una clase propia . En segundo lugar, los conjuntos en V son solo los conjuntos bien fundados. El axioma de fundamento (o regularidad) exige que cada conjunto esté bien fundado y, por lo tanto, en V , y, por lo tanto, en ZFC cada conjunto está en V . Pero otros sistemas axiomáticos pueden omitir el axioma de fundamento o reemplazarlo por una negación fuerte (un ejemplo es el axioma antifundamental de Aczel ). Estas teorías de conjuntos no bien fundados no se emplean comúnmente, pero aún es posible estudiarlas.

Una tercera objeción a la interpretación del "conjunto de todos los conjuntos" es que no todos los conjuntos son necesariamente "conjuntos puros", que se construyen a partir del conjunto vacío utilizando conjuntos potencia y uniones. Zermelo propuso en 1908 la inclusión de urelementos , a partir de los cuales construyó una jerarquía recursiva transfinita en 1930. ^[7] Dichos urelementos se utilizan ampliamente en la teoría de modelos , particularmente en los modelos de Fraenkel-Mostowski. ^[8]

La paradoja de Hilbert

El universo de von Neumann satisface las dos propiedades siguientes:

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V}$para cada conjunto . ${\displaystyle x\in V}$
• ${\displaystyle \bigcup x\in V}$para cada subconjunto . ${\displaystyle x\subseteq V}$

En efecto, si , entonces para algún ordinal . Cualquier etapa es un conjunto transitivo , por lo tanto, cada ya es , y por lo tanto cada subconjunto de es un subconjunto de . Por lo tanto, y . Para uniones de subconjuntos, si , entonces para cada , sea el ordinal más pequeño para el cual . Porque por suposición es un conjunto, podemos formar el límite . Las etapas son acumulativas, y por lo tanto nuevamente cada es . Entonces cada es también , y por lo tanto y . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\subseteq V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V}$ ${\displaystyle x\subseteq V}$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle \beta _{y}}$ ${\displaystyle y\in V_{\beta _{y}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}}$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle z\in y}$ ${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \cup x\subseteq V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \cup x\in V_{\alpha +1}}$

La paradoja de Hilbert implica que no existe ningún conjunto con las propiedades anteriores. ^[9] Supongamos que fuera un conjunto. Entonces sería un subconjunto de sí mismo, y pertenecería a , y por lo tanto . Pero de manera más general, si , entonces . Por lo tanto, , lo cual es imposible en modelos de ZFC como él mismo. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U=\cup V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ ${\displaystyle A\in B}$ ${\displaystyle A\subseteq \cup B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U}$ ${\displaystyle V}$

Curiosamente, es un subconjunto de si, y solo si, es miembro de . Por lo tanto, podemos considerar qué sucede si la condición de unión se reemplaza por . En este caso, no hay contradicciones conocidas y cualquier universo de Grothendieck satisface el nuevo par de propiedades. Sin embargo, si existen universos de Grothendieck es una pregunta que va más allá de ZFC. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V\implies \cup x\in V}$

Vy el axioma de regularidad

La fórmula V = ⋃ _α V _α se considera a menudo un teorema, no una definición. ^{[10] [11]} Roitman afirma (sin referencias) que la comprensión de que el axioma de regularidad es equivalente a la igualdad del universo de conjuntos ZF con la jerarquía acumulativa se debe a von Neumann. ^[12]

El estatus existencial deV

Dado que la clase V puede considerarse el ámbito de la mayor parte de las matemáticas, es importante establecer que "existe" en algún sentido. Dado que la existencia es un concepto difícil, normalmente se reemplaza la cuestión de la existencia por la cuestión de la consistencia, es decir, si el concepto está libre de contradicciones. Un obstáculo importante lo plantean los teoremas de incompletitud de Gödel , que implican efectivamente la imposibilidad de probar la consistencia de la teoría de conjuntos ZF en la teoría de conjuntos ZF en sí, siempre que sea de hecho consistente. ^[13]

La integridad del universo de von Neumann depende fundamentalmente de la integridad de los números ordinales , que actúan como parámetro de rango en la construcción, y de la integridad de la inducción transfinita , mediante la cual se construyen tanto los números ordinales como el universo de von Neumann. Se puede decir que la integridad de la construcción de los números ordinales se basa en los artículos de von Neumann de 1923 y 1928. ^[14] Se puede decir que la integridad de la construcción de V mediante inducción transfinita quedó establecida en el artículo de Zermelo de 1930. ^[7]

Historia

Gregory H. Moore (1982) afirma que la jerarquía de tipos acumulativos, también conocida como el universo de von Neumann, se atribuye incorrectamente a von Neumann . ^[15] La primera publicación del universo de von Neumann fue realizada por Ernst Zermelo en 1930. ^[7]

La existencia y unicidad de la definición general transfinita recursiva de conjuntos fue demostrada en 1928 por von Neumann tanto para la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ^[16] como para la propia teoría de conjuntos de von Neumann (que más tarde se convirtió en la teoría de conjuntos NBG ). ^[17] En ninguno de estos artículos aplicó su método transfinito recursivo para construir el universo de todos los conjuntos. Las presentaciones del universo de von Neumann por Bernays ^[10] y Mendelson ^[11] dan crédito a von Neumann por el método de construcción por inducción transfinita, aunque no por su aplicación a la construcción del universo de conjuntos ordinarios.

La notación V no es un tributo al nombre de von Neumann. Fue utilizada para el universo de conjuntos en 1889 por Peano, la letra V significa "Verum", que utilizó tanto como símbolo lógico como para denotar la clase de todos los individuos. ^{[18] La notación} V de Peano fue adoptada también por Whitehead y Russell para la clase de todos los conjuntos en 1910. ^[19] La notación V (para la clase de todos los conjuntos) no fue utilizada por von Neumann en sus artículos de la década de 1920 sobre números ordinales e inducción transfinita. Paul Cohen ^[20] atribuye explícitamente su uso de la letra V (para la clase de todos los conjuntos) a un artículo de 1940 de Gödel, ^[21] aunque Gödel probablemente obtuvo la notación de fuentes anteriores como Whitehead y Russell. ^[19]

Perspectivas filosóficas

Existen dos enfoques para entender la relación entre el universo de von Neumann V y la ZFC (junto con muchas variaciones de cada enfoque y matices entre ellos). En líneas generales, los formalistas tenderán a ver V como algo que se desprende de los axiomas de la ZFC (por ejemplo, la ZFC demuestra que todo conjunto está en V). Por otro lado, los realistas tienden más a ver la jerarquía de von Neumann como algo directamente accesible a la intuición, y los axiomas de la ZFC como proposiciones para cuya verdad en V podemos dar argumentos intuitivos directos en lenguaje natural. Una posible posición intermedia es que la imagen mental de la jerarquía de von Neumann proporciona a los axiomas de la ZFC una motivación (de modo que no sean arbitrarios), pero no necesariamente describe objetos con existencia real.

Véase también

• Universo (matemáticas)
• Universo construible
• El universo de Grothendieck
• Cardenal inaccesible
• S (teoría de conjuntos)

Notas

1. Mirimanoff 1917; Moore 2013, págs. 261–262; Rubin 1967, pág. 214.
2. Roitman 2011, p. 136, demuestra que: " V _ω es un modelo de todos los axiomas de ZFC excepto el infinito".
3. Cohen 2008, p. 54, afirma: "El primer axioma realmente interesante [de la teoría de conjuntos ZF] es el Axioma de Infinito. Si lo descartamos, entonces podemos tomar como modelo para ZF el conjunto M de todos los conjuntos finitos que pueden construirse a partir de ∅. [...] Está claro que M será un modelo para los otros axiomas, ya que ninguno de ellos sale de la clase de conjuntos finitos".
4. Smullyan & Fitting 2010. Consulte la página 96 para obtener una prueba de que V _ω+ω es un modelo de Zermelo.
5. Cohen 2008, p. 80, afirma y justifica que si κ es fuertemente inaccesible, entonces V _κ es un modelo de ZF.

   "Está claro que si A es un cardenal inaccesible, entonces el conjunto de todos los conjuntos de rango menor que A es un modelo para ZF, ya que los únicos dos axiomas problemáticos, Conjunto Potencia y Reemplazo, no conducen a partir del conjunto de cardinales menores que A".

6. Roitman 2011, págs. 134-135, demuestra que si κ es fuertemente inaccesible, entonces V _κ es un modelo de ZFC.
7. Zermelo 1930. Véanse especialmente las páginas 36-40.
8. Howard y Rubin 1998, págs. 175–221.
9. A. Kanamori, "Zermelo and Set Theory", p. 490. Bulletin of Symbolic Logic vol. 10, no. 4 (2004). Consultado el 21 de agosto de 2023.
10. Bernays 1991. Véanse las páginas 203–209.
11. Mendelson 1964. Véase página 202.
12. Roitman 2011. Véase la página 79.
13. Véase el artículo Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados y Gödel 1931.
14. von Neumann 1923, von Neumann 1928b. Véase también la presentación en inglés del "teorema de recursión general" de von Neumann por Bernays 1991, pp. 100-109.
15. Moore 2013. Véase la página 279 para la afirmación de la falsa atribución a von Neumann. Véase las páginas 270 y 281 para la atribución a Zermelo.
16. Von Neumann 1928b.
17. von Neumann 1928a. Véanse las páginas 745–752.
18. Peano 1889. Véanse las páginas VIII y XI.
19. Whitehead & Russell 2009. Véase la página 229.
20. Cohen 2008. Véase la página 88.
21. Gödel 1940.

Referencias

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