Grupo abeliano libre

Álgebra de sumas formales

En matemáticas , un grupo abeliano libre es un grupo abeliano con una base . Ser un grupo abeliano significa que es un conjunto con una operación de adición que es asociativa , conmutativa e invertible. Una base, también llamada base integral , es un subconjunto tal que cada elemento del grupo puede expresarse de forma única como una combinación entera de un número finito de elementos de base. Por ejemplo, la red entera bidimensional forma un grupo abeliano libre, con la adición coordinada como su operación, y con los dos puntos (1,0) y (0,1) como su base. Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los hacen similares a los espacios vectoriales , y pueden llamarse equivalentemente módulos libres , los módulos libres sobre los números enteros. La teoría de retículas estudia los subgrupos abelianos libres de los espacios vectoriales reales . En topología algebraica , los grupos abelianos libres se utilizan para definir grupos de cadena , y en geometría algebraica se utilizan para definir divisores . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los elementos de un grupo abeliano libre con base pueden describirse de varias maneras equivalentes. Estas incluyen sumas formales sobre , que son expresiones de la forma donde cada uno es un entero distinto de cero, cada uno es un elemento de base distinto y la suma tiene un número finito de términos. Alternativamente, los elementos de un grupo abeliano libre pueden considerarse como multiconjuntos con signo que contienen un número finito de elementos de , con la multiplicidad de un elemento en el multiconjunto igual a su coeficiente en la suma formal. Otra forma de representar un elemento de un grupo abeliano libre es como una función de a los enteros con un número finito de valores distintos de cero; para esta representación funcional, la operación de grupo es la suma puntual de funciones. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Todo conjunto tiene como base un grupo abeliano libre con . Este grupo es único en el sentido de que cada dos grupos abelianos libres con la misma base son isomorfos . En lugar de construirlo describiendo sus elementos individuales, un grupo abeliano libre con base puede construirse como una suma directa de copias del grupo aditivo de los enteros, con una copia por miembro de . Alternativamente, el grupo abeliano libre con base puede describirse mediante una presentación con los elementos de como sus generadores y con los conmutadores de pares de miembros como sus relatores. El rango de un grupo abeliano libre es la cardinalidad de una base; cada dos bases para el mismo grupo dan el mismo rango, y cada dos grupos abelianos libres con el mismo rango son isomorfos. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo abeliano libre; este hecho permite que un grupo abeliano general se entienda como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones", o como un co-núcleo de un homomorfismo inyectivo entre grupos abelianos libres. Los únicos grupos abelianos libres que son grupos libres son el grupo trivial y el grupo cíclico infinito . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Definición y ejemplos

Una red en el plano euclidiano . Al sumar dos puntos de red azules cualesquiera se obtiene otro punto de red; el grupo formado por esta operación de adición es un grupo abeliano libre.

Un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base. ^[1] Aquí, ser un grupo abeliano significa que está descrito por un conjunto de sus elementos y una operación binaria sobre , convencionalmente denotada como un grupo aditivo por el símbolo (aunque no necesita ser la suma habitual de números) que obedecen a las siguientes propiedades: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle +}$

• La operación es conmutativa y asociativa , es decir, para todos los elementos , , y de , y . Por lo tanto, al combinar dos o más elementos de mediante esta operación, el orden y agrupamiento de los elementos no afecta el resultado. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+y=y+x}$ ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$contiene un elemento identidad (denotado convencionalmente ) con la propiedad de que, para cada elemento , . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+0=0+x=x}$
• Cada elemento en tiene un elemento inverso , tal que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x+(-x)=0}$

Una base es un subconjunto de los elementos de con la propiedad de que cada elemento de puede formarse de manera única eligiendo un número finito de elementos base de , eligiendo un entero distinto de cero para cada uno de los elementos base elegidos y sumando copias de los elementos base para los cuales es positivo, y copias de para cada elemento base para el cual es negativo. ^[2] Como caso especial, el elemento identidad siempre puede formarse de esta manera como la combinación de cero elementos base, de acuerdo con la convención habitual para una suma vacía , y no debe ser posible encontrar ninguna otra combinación que represente la identidad. ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle -k_{i}}$ ${\displaystyle -b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Los números enteros , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bajo la operación de adición habitual, forman un grupo abeliano libre con la base . ${\displaystyle \{1\}}$ Los números enteros son conmutativos y asociativos, con como identidad aditiva y con cada número entero teniendo un inverso aditivo , su negación. Cada número no negativo es la suma de copias de , y cada número entero negativo es la suma de copias de , por lo que la propiedad de la base también se satisface. ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -1}$

Un ejemplo en el que la operación de grupo es diferente de la suma habitual de números lo dan los números racionales positivos , que forman un grupo abeliano libre con la operación de multiplicación habitual de números y con los números primos como base. La multiplicación es conmutativa y asociativa, con el número como su identidad y con como elemento inverso para cada número racional positivo . El hecho de que los números primos formen una base para la multiplicación de estos números se desprende del teorema fundamental de la aritmética , según el cual cada entero positivo puede factorizarse de forma única en el producto de un número finito de primos o sus inversos. Si es un número racional positivo expresado en términos más simples, entonces puede expresarse como una combinación finita de los primos que aparecen en las factorizaciones de y . El número de copias de cada primo a utilizar en esta combinación es su exponente en la factorización de , o la negación de su exponente en la factorización de . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q=a/b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Los polinomios de una sola variable , ${\displaystyle x}$ con coeficientes enteros, forman un grupo abeliano libre bajo la adición de polinomios, con las potencias de como base. Como grupo abstracto, esto es lo mismo que (un grupo isomorfo a) el grupo multiplicativo de números racionales positivos. Una forma de mapear estos dos grupos entre sí, mostrando que son isomorfos, es reinterpretar el exponente del ésimo número primo en el grupo multiplicativo de los racionales como dando en cambio el coeficiente de en el polinomio correspondiente, o viceversa. Por ejemplo, el número racional tiene exponentes de para los primeros tres números primos y correspondería de esta manera al polinomio que tiene los mismos coeficientes para sus términos constantes, lineales y cuadráticos. Debido a que estas aplicaciones simplemente reinterpretan los mismos números, definen una biyección entre los elementos de los dos grupos. Y como la operación de grupo de multiplicar racionales positivos actúa de manera aditiva sobre los exponentes de los números primos, de la misma manera que la operación de grupo de sumar polinomios actúa sobre los coeficientes de los polinomios, estas funciones preservan la estructura del grupo; son homomorfismos . Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo, y su existencia demuestra que estos dos grupos tienen las mismas propiedades. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i-1}}$ ${\displaystyle 5/27}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$ ${\displaystyle 2,3,5}$ ${\displaystyle -3x+x^{2}}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$

Aunque la representación de cada elemento del grupo en términos de una base dada es única, un grupo abeliano libre generalmente tiene más de una base, y bases diferentes generalmente darán como resultado representaciones diferentes de sus elementos. Por ejemplo, si uno reemplaza cualquier elemento de una base por su inverso, se obtiene otra base. Como un ejemplo más elaborado, la red entera bidimensional , que consiste en los puntos en el plano con coordenadas cartesianas enteras , forma un grupo abeliano libre bajo la adición vectorial con la base . ^[1] Para esta base, el elemento puede escribirse , donde 'multiplicación' se define de modo que, por ejemplo, . No hay otra forma de escribir en la misma base. Sin embargo, con una base diferente como , puede escribirse como . Generalizando este ejemplo, cada red forma un grupo abeliano libre finitamente generado . ^[6] La red entera -dimensional tiene una base natural que consiste en los vectores unitarios enteros positivos , pero también tiene muchas otras bases: si es una matriz entera con determinante , entonces las filas de forman una base, y a la inversa, cada base de la red entera tiene esta forma. ^[7] Para más información sobre el caso bidimensional, véase par fundamental de períodos . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle (4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$ ${\displaystyle \ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle \{(1,0),(1,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle M}$

Construcciones

Todo conjunto puede ser la base de un grupo abeliano libre, único salvo isomorfismos de grupo. El grupo abeliano libre para un conjunto base dado puede construirse de varias maneras diferentes pero equivalentes: como suma directa de copias de los números enteros, como familia de funciones de valores enteros, como multiconjunto con signo o mediante una presentación de un grupo .

Productos y sumas

El producto directo de grupos consiste en tuplas de un elemento de cada grupo en el producto, con adición de componentes. El producto directo de dos grupos abelianos libres es en sí mismo abeliano libre, con base la unión disjunta de las bases de los dos grupos. ^[8] De manera más general, el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es abeliano libre. La red entera -dimensional , por ejemplo, es isomorfa al producto directo de copias del grupo entero . El grupo trivial también se considera abeliano libre, con base el conjunto vacío . ^[9] Puede interpretarse como un producto vacío , el producto directo de cero copias de . ^[10] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para familias infinitas de grupos abelianos libres, el producto directo no es necesariamente abeliano libre. ^[8] Por ejemplo, Reinhold Baer demostró en 1937 que el grupo de Baer-Specker , un grupo incontable formado como el producto directo de un número contable de copias de , no era abeliano libre, ^[11] aunque Ernst Specker demostró en 1950 que todos sus subgrupos contables son abelianos libres. ^[12] En cambio, para obtener un grupo abeliano libre a partir de una familia infinita de grupos, se debería utilizar la suma directa en lugar del producto directo. La suma directa y el producto directo son lo mismo cuando se aplican a un número finito de grupos, pero difieren en familias infinitas de grupos. En la suma directa, los elementos son nuevamente tuplas de elementos de cada grupo, pero con la restricción de que todos menos un número finito de estos elementos son la identidad de su grupo. La suma directa de un número infinito de grupos abelianos libres sigue siendo abeliana libre. Tiene una base que consiste en tuplas en las que todos los elementos menos uno son la identidad, y el elemento restante forma parte de una base para su grupo. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Cada grupo abeliano libre puede describirse como una suma directa de copias de , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ con una copia para cada miembro de su base. ^{[13] [14]} Esta construcción permite que cualquier conjunto se convierta en la base de un grupo abeliano libre. ^[15] ${\displaystyle B}$

Funciones enteras y sumas formales

Dado un conjunto , ${\displaystyle B}$ se puede definir un grupo cuyos elementos son funciones desde hasta los números enteros, donde el paréntesis en el superíndice indica que solo se incluyen las funciones con un número finito de valores distintos de cero. Si y son dos de tales funciones, entonces es la función cuyos valores son sumas de los valores en y : es decir, . Esta operación de adición puntual da la estructura de un grupo abeliano. ^[16] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

Cada elemento del conjunto dado corresponde a un miembro de , la función para la cual y para la cual para todo . Cada función en es únicamente una combinación lineal de un número finito de elementos base: Por lo tanto, estos elementos forman una base para , y es un grupo abeliano libre. De esta manera, cada conjunto puede convertirse en la base de un grupo abeliano libre. ^[16] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ $${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$

Los elementos de también pueden escribirse como sumas formales , expresiones en forma de suma de un número finito de términos, donde cada término se escribe como el producto de un entero distinto de cero con un miembro distinto de . Estas expresiones se consideran equivalentes cuando tienen los mismos términos, independientemente del orden de los términos, y pueden sumarse formando la unión de los términos, sumando los coeficientes enteros para combinar términos con el mismo elemento base y eliminando términos para los que esta combinación produce un coeficiente cero. ^[4] También pueden interpretarse como los multiconjuntos con signo de un número finito de elementos de . ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Presentación

Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (lo que significa que todos los elementos del grupo pueden expresarse como productos de un número finito de generadores), junto con "relatores", productos de generadores que dan el elemento identidad. Los elementos de un grupo definido de esta manera son clases de equivalencia de sucesiones de generadores y sus inversos, bajo una relación de equivalencia que permite insertar o eliminar cualquier relator o par generador-inverso como una subsecuencia contigua. El grupo abeliano libre con base tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de , y los relatores son los conmutadores de pares de elementos de . Aquí, el conmutador de dos elementos y es el producto ; fijar este producto a la identidad hace que sea igual a , de modo que y conmutan. De manera más general, si todos los pares de generadores conmutan, entonces todos los pares de productos de generadores también conmutan. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano, y los relatores de la presentación forman un conjunto mínimo de relatores necesarios para garantizar que sea abeliano. ^[18] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación de un grupo abeliano libre también es finita, porque sólo hay un número finito de conmutadores diferentes para incluir en la presentación. Este hecho, junto con el hecho de que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre (abajo) se puede utilizar para mostrar que cada grupo abeliano finitamente generado es finitamente presentado. Porque, si es finitamente generado por un conjunto , es un cociente del grupo abeliano libre sobre por un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los relatores de la presentación de . Pero como este subgrupo es en sí mismo abeliano libre, también es finitamente generado, y su base (junto con los conmutadores sobre ) forma un conjunto finito de relatores para una presentación de . ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$

Como módulo

Los módulos sobre los números enteros se definen de forma similar a los espacios vectoriales sobre los números reales o racionales : consisten en sistemas de elementos que pueden sumarse entre sí, con una operación de multiplicación escalar por números enteros que es compatible con esta operación de adición. Todo grupo abeliano puede considerarse como un módulo sobre los números enteros, con una operación de multiplicación escalar definida de la siguiente manera: ^[20]

Sin embargo, a diferencia de los espacios vectoriales, no todos los grupos abelianos tienen una base, de ahí el nombre especial "libre" para aquellos que la tienen. Un módulo libre es un módulo que puede representarse como una suma directa sobre su anillo base , por lo que los grupos abelianos libres y los -módulos libres son conceptos equivalentes: cada grupo abeliano libre es (con la operación de multiplicación anterior) un -módulo libre, y cada -módulo libre proviene de un grupo abeliano libre de esta manera. ^[21] Además de la suma directa, otra forma de combinar grupos abelianos libres es usar el producto tensorial de -módulos. El producto tensorial de dos grupos abelianos libres es siempre abeliano libre, con una base que es el producto cartesiano de las bases para los dos grupos en el producto. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Muchas propiedades importantes de los grupos abelianos libres pueden generalizarse a módulos libres sobre un dominio ideal principal . Por ejemplo, los submódulos de módulos libres sobre dominios ideales principales son libres, un hecho que, como escribe Hatcher (2002), permite la "generalización automática" de la maquinaria homológica a estos módulos. ^[23] Además, el teorema de que todo módulo proyectivo es libre se generaliza de la misma manera. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Propiedades

Propiedad universal

Un grupo abeliano libre con base tiene la siguiente propiedad universal : para cada función de a un grupo abeliano , existe un único homomorfismo de grupo de a que extiende . ^{[4] [9]} Aquí, un homomorfismo de grupo es una aplicación de un grupo a otro que es consistente con la ley del producto de grupo: realizar un producto antes o después de la aplicación produce el mismo resultado. Por una propiedad general de propiedades universales, esto muestra que "el" grupo abeliano de base es único hasta un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal puede usarse como una definición del grupo abeliano libre de base . La unicidad del grupo definido por esta propiedad muestra que todas las demás definiciones son equivalentes. ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Es debido a esta propiedad universal que los grupos abelianos libres se llaman "libres": son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos , la categoría que tiene grupos abelianos como sus objetos y homomorfismos como sus flechas. La función de una base a su grupo abeliano libre es un funtor , una función que preserva la estructura de categorías, de conjuntos a grupos abelianos, y es adjunta al funtor olvidadizo de grupos abelianos a conjuntos. ^[25] Sin embargo, un grupo abeliano libre no es un grupo libre excepto en dos casos: un grupo abeliano libre que tiene una base vacía (rango cero, dando el grupo trivial ) o que tiene solo un elemento en la base (rango uno, dando el grupo cíclico infinito ). ^{[9] [26]} Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en los grupos libres deben ser diferentes de si y son elementos diferentes de la base, mientras que en los grupos abelianos libres los dos productos deben ser idénticos para todos los pares de elementos. En la categoría general de grupos , es una restricción añadida exigir que , mientras que esta es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos. ^[27] ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=ba}$

Rango

Cada dos bases del mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardinalidad , por lo que la cardinalidad de una base forma un invariante del grupo conocido como su rango. ^{[28] [29]} Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y solo si tienen el mismo rango. ^[4] Un grupo abeliano libre se genera finitamente si y solo si su rango es un número finito , en cuyo caso el grupo es isomorfo a . ^[30] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Esta noción de rango se puede generalizar, desde grupos abelianos libres a grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano se define como el rango de un subgrupo abeliano libre de para el cual el grupo cociente es un grupo de torsión . Equivalentemente, es la cardinalidad de un subconjunto máximo de lo que genera un subgrupo libre. El rango es un grupo invariante: no depende de la elección del subgrupo. ^[31] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/F}$ ${\displaystyle G}$

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind ^[32] fue un precursor del teorema análogo de Nielsen-Schreier de que cada subgrupo de un grupo libre es libre, y es una generalización del hecho de que cada subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito . La prueba necesita el axioma de elección . ^[25] Una prueba que utiliza el lema de Zorn (uno de los muchos supuestos equivalentes al axioma de elección) se puede encontrar en el Álgebra de Serge Lang . ^[33] Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky argumentan que utilizar el principio de buen orden en lugar del lema de Zorn conduce a una prueba más intuitiva. ^[14]

En el caso de grupos abelianos libres finitamente generados, la prueba es más fácil, no necesita el axioma de elección y conduce a un resultado más preciso. Si es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado , entonces es libre y existe una base de y enteros positivos (es decir, cada uno divide al siguiente) tal que es una base de Además, la secuencia depende solo de y y no de la base. ^[34] Una prueba constructiva de la parte de existencia del teorema la proporciona cualquier algoritmo que calcule la forma normal de Smith de una matriz de enteros. ^[35] La unicidad se desprende del hecho de que, para cualquier , el máximo común divisor de los menores de rango de la matriz no cambia durante el cálculo de la forma normal de Smith y es el producto al final del cálculo. ^[36] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r\leq k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$

Torsión y divisibilidad

Todos los grupos abelianos libres son libres de torsión , lo que significa que no existe ningún elemento de grupo no identidad ni ningún entero distinto de cero tal que . Por el contrario, todos los grupos abelianos libres de torsión generados finitamente son abelianos libres. ^{[9] [37]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx=0}$

El grupo aditivo de números racionales proporciona un ejemplo de un grupo abeliano libre de torsión (pero no finitamente generado) que no es abeliano libre. ^[38] Una razón por la que no es abeliano libre es que es divisible , lo que significa que, para cada elemento y cada entero distinto de cero , es posible expresarlo como un múltiplo escalar de otro elemento  . Por el contrario, los grupos abelianos libres no triviales nunca son divisibles, porque en un grupo abeliano libre los elementos base no se pueden expresar como múltiplos de otros elementos. ^[39] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ny}$ ${\displaystyle y=x/n}$

Simetría

Las simetrías de cualquier grupo pueden describirse como automorfismos de grupo , los homomorfismos invertibles del grupo hacia sí mismo. En los grupos no abelianos, estos se subdividen a su vez en automorfismos internos y externos , pero en los grupos abelianos todos los automorfismos no identidad son externos. Forman otro grupo, el grupo de automorfismos del grupo dado, bajo la operación de composición . El grupo de automorfismos de un grupo abeliano libre de rango finito es el grupo lineal general , que puede describirse concretamente (para una base específica del grupo de automorfismos libres) como el conjunto de matrices enteras invertibles bajo la operación de multiplicación de matrices . Su acción como simetrías en el grupo abeliano libre es simplemente la multiplicación matriz-vector. ^[40] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Los grupos de automorfismos de dos grupos abelianos libres de rango infinito tienen las mismas teorías de primer orden entre sí, si y solo si sus rangos son cardinales equivalentes desde el punto de vista de la lógica de segundo orden . Este resultado depende de la estructura de las involuciones de los grupos abelianos libres, los automorfismos que son su propio inverso. Dada una base para un grupo abeliano libre, se pueden encontrar involuciones que mapean cualquier conjunto de pares disjuntos de elementos base entre sí, o que niegan cualquier subconjunto elegido de elementos base, dejando los otros elementos base fijos. A la inversa, para cada involución de un grupo abeliano libre, se puede encontrar una base del grupo para la cual todos los elementos base se intercambian en pares, se niegan o se dejan sin cambios por la involución. ^[41]

Relación con otros grupos

Si un grupo abeliano libre es un cociente de dos grupos , entonces es la suma directa . ^[4] ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\oplus A/B}$

Dado un grupo abeliano arbitrario , siempre existe un grupo abeliano libre y un homomorfismo de grupo sobreyectivo de a . Una forma de construir una sobreyección sobre un grupo dado es dejar que sea el grupo abeliano libre sobre , representado como sumas formales. Entonces una sobreyección se puede definir mapeando sumas formales en a las sumas correspondientes de miembros de . Es decir, la sobreyección mapea donde es el coeficiente entero del elemento base en una suma formal dada, la primera suma está en , y la segunda suma está en . ^{[29] [42]} Esta sobreyección es el único homomorfismo de grupo que extiende la función , y por lo tanto su construcción puede verse como una instancia de la propiedad universal. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$ ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$

Cuando y son como los anteriores, el núcleo de la sobreyección de a también es abeliano libre, ya que es un subgrupo de (el subgrupo de elementos mapeados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una secuencia exacta corta en la que y son ambos abelianos libres y es isomorfo al grupo factorial . Esta es una resolución libre de . ^[2] Además, asumiendo el axioma de elección, ^[43] los grupos abelianos libres son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos . ^{[4] [44]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F/G}$ ${\displaystyle A}$

Aplicaciones

Topología algebraica

En topología algebraica , una suma formal de símplices -dimensionales se denomina -cadena , y el grupo abeliano libre que tiene una colección de -símplices como base se denomina grupo de cadena. ^[45] Los símplices generalmente se toman de algún espacio topológico , por ejemplo, como el conjunto de -símplices en un complejo simplicial , o el conjunto de -símplices singulares en una variedad . Cualquier símplice -dimensional tiene un límite que puede representarse como una suma formal de símplices -dimensionales, y la propiedad universal de los grupos abelianos libres permite que este operador de límite se extienda a un homomorfismo de grupo de -cadenas a -cadenas. El sistema de grupos de cadena unidos por operadores de límite de esta manera forma un complejo de cadena , y el estudio de los complejos de cadena forma la base de la teoría de la homología . ^[46] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$

Geometría algebraica y análisis complejo

La función racional tiene un cero de orden cuatro en 0 (el punto negro en el centro del gráfico), y polos simples en los cuatro números complejos y (los puntos blancos en los extremos de los cuatro pétalos). Puede representarse (hasta un escalar) por el divisor donde es el elemento base de un número complejo en un grupo abeliano libre sobre los números complejos. ${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$ ${\displaystyle e_{z}}$ ${\displaystyle z}$

Toda función racional sobre los números complejos puede asociarse con un multiconjunto con signo de números complejos , los ceros y polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidad de un punto en este multiconjunto es su orden como cero de la función, o la negación de su orden como polo. Luego, la función misma puede recuperarse a partir de estos datos, hasta un factor escalar , como Si estos multiconjuntos se interpretan como miembros de un grupo abeliano libre sobre los números complejos, entonces el producto o cociente de dos funciones racionales corresponde a la suma o diferencia de dos miembros del grupo. Por lo tanto, el grupo multiplicativo de funciones racionales puede factorizarse en el grupo multiplicativo de números complejos (los factores escalares asociados para cada función) y el grupo abeliano libre sobre los números complejos. Las funciones racionales que tienen un valor límite distinto de cero en el infinito (las funciones meromórficas en la esfera de Riemann ) forman un subgrupo de este grupo en el que la suma de las multiplicidades es cero. ^[47] ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ $${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$

Esta construcción se ha generalizado, en geometría algebraica , a la noción de divisor . Hay diferentes definiciones de divisores, pero en general forman una abstracción de una subvariedad de codimensión uno de una variedad algebraica , el conjunto de puntos solución de un sistema de ecuaciones polinómicas . En el caso en que el sistema de ecuaciones tenga un grado de libertad (sus soluciones formen una curva algebraica o superficie de Riemann ), una subvariedad tiene codimensión uno cuando consiste en puntos aislados, y en este caso un divisor es nuevamente un multiconjunto con signo de puntos de la variedad. ^[48] Las funciones meromórficas en una superficie compacta de Riemann tienen un número finito de ceros y polos, y sus divisores forman un subgrupo de un grupo abeliano libre sobre los puntos de la superficie, correspondiendo la multiplicación o división de funciones a la suma o resta de elementos del grupo. Para ser un divisor, un elemento del grupo abeliano libre debe tener multiplicidades que sumen cero y cumplir ciertas restricciones adicionales dependiendo de la superficie. ^[47]

Anillos de grupo

El anillo de grupo integral , para cualquier grupo , es un anillo cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano libre sobre . ^[49] Cuando es finito y abeliano, el grupo multiplicativo de unidades en tiene la estructura de un producto directo de un grupo finito y un grupo abeliano libre finitamente generado. ^{[50] [51]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

Referencias

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