Álgebra y teselación: homomorfismos al servicio de la geometría es un libro de texto de matemáticas sobre el uso de la teoría de grupos para responder preguntas sobre teselaciones y panales de dimensiones superiores , particiones del plano euclidiano o espacios de dimensiones superiores en teselas congruentes. Fue escrito por Sherman K. Stein y Sándor Szabó, y publicado por la Asociación Matemática de Estados Unidos como volumen 25 de su serie Carus Mathematical Monographs en 1994. [1] [2] Ganó el Premio del Libro Beckenbach en 1998 , [3] y fue reimpreso en rústica en 2008. [4]
Los siete capítulos del libro son en gran parte independientes y tratan distintos problemas que combinan teselaciones y álgebra. [1] A lo largo del libro se analiza la historia del tema, así como el estado del arte, y hay muchas ilustraciones. [4]
El primer capítulo trata de una conjetura de Hermann Minkowski según la cual, en cualquier teselación reticular de un espacio euclidiano mediante hipercubos unitarios (una teselación en la que una red de simetrías traslacionales lleva cualquier hipercubo a cualquier otro hipercubo), algunos dos cubos deben encontrarse cara a cara. Este resultado fue resuelto positivamente por el teorema de Hajós en teoría de grupos, [1] pero una generalización de esta cuestión a teselaciones no reticulares ( conjetura de Keller ) fue refutada poco antes de la publicación del libro, en parte mediante el uso de métodos de teoría de grupos similares.
A continuación, tres capítulos tratan de los mosaicos reticulares mediante policubos . La cuestión aquí es determinar, a partir de la forma del policubo, si todos los cubos del mosaico se encuentran cara a cara o, equivalentemente, si el mosaico de simetrías debe ser un subgrupo del mosaico entero . Después de un capítulo sobre la versión general de este problema, dos capítulos consideran clases especiales de policubos con forma de cruz y "semicruz", [1] tanto con respecto al mosaico como, cuando estas formas no se teselan, con respecto a cuán densamente se pueden empaquetar. En tres dimensiones, este es el famoso problema del empaquetamiento de trípode .
El capítulo cinco considera el teorema de Monsky sobre la imposibilidad de dividir un cuadrado en un número impar de triángulos de áreas iguales, y su prueba usando la valoración 2-ádica , y el capítulo seis aplica la teoría de Galois a problemas más generales de teselación de polígonos con triángulos congruentes, como la imposibilidad de teselar un cuadrado con 30-60-90 triángulos rectángulos . [1]
El capítulo final vuelve al tema del primero, con material sobre la generalización del teorema de Hajós por parte de László Rédei . Los apéndices cubren material de referencia sobre teoría de redes, secuencias exactas , grupos abelianos libres y la teoría de polinomios ciclotómicos . [4]
Álgebra y mosaicos puede ser leído por estudiantes de matemáticas de grado o posgrado que tengan cierta formación en álgebra abstracta, y proporciona una fuente de aplicaciones para este tema. Puede usarse como libro de texto, con ejercicios dispersos a lo largo de sus capítulos. [2]
El crítico William J. Walton escribe que "el estudiante o matemático cuyo área de interés es el álgebra debería disfrutar de este texto". [2] En 1998, la Asociación Matemática de Estados Unidos le otorgó el Premio Beckenbach al Libro como una de las mejores publicaciones de su tipo. La cita del premio lo describió como "una exposición a la vez erudita y atractiva de esta área sustancial y atemporal de las matemáticas". [3]